Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Calcul intégral
Intégrale d'une fonction continue, calcul d'aires et théorème fondamental de l'analyse (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calcul d'intégrales classiques
/ 5 pts- Calculer $\displaystyle\int_1^2 \left(x^2 + \frac{1}{x}\right)dx$. (2 pts)
- Calculer $\displaystyle\int_0^{\pi/2} (\sin x + \cos x)\,dx$. (2 pts)
- Calculer $\displaystyle\int_0^{\ln 3} e^x\,dx$. (1 pt)
Exercice 2 — Théorème fondamental de l'analyse
/ 4 pts- Soit $F(x) = \displaystyle\int_2^x (t^2 - 3t + 1)\,dt$. Calculer $F'(x)$ et $F(2)$. (2 pts)
- Soit $G(x) = \displaystyle\int_0^{x^3} \cos t\,dt$. Calculer $G'(x)$ en utilisant la règle de dérivation composée. (2 pts)
Exercice 3 — Calcul d'aire entre deux courbes
/ 6 pts- Soient $f(x) = x^2 - 2x$ et $g(x) = x$. Trouver les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. (2 pts)
- Étudier le signe de $g(x)-f(x)$ sur l'intervalle délimité par ces points. (1 pt)
- Calculer l'aire du domaine délimité par $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. (3 pts)
Exercice 4 — Valeur moyenne
/ 3 pts- Calculer la valeur moyenne de $f(x) = e^x$ sur l'intervalle $[0,2]$. (2 pts)
- Interpréter géométriquement ce résultat. (1 pt)
Exercice 5 — Problème de synthèse — Linéarité
/ 2 pts- On sait que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx = 3$ et $\displaystyle\int_0^1 g(x)\,dx = 1$. Calculer $\displaystyle\int_0^1 (4f(x) - 2g(x) + 5)\,dx$. (2 pts)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calcul d'intégrales classiques
Corrigé :
1. $\displaystyle\int_1^2\left(x^2+\frac{1}{x}\right)dx = \left[\frac{x^3}{3}+\ln x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3}+\ln 2\right)-\frac{1}{3} = \frac{7}{3}+\ln 2$.
2. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\sin x + \cos x)\,dx = [-\cos x + \sin x]_0^{\pi/2} = (0+1)-(-1+0) = 2$.
3. $\displaystyle\int_0^{\ln 3} e^x\,dx = [e^x]_0^{\ln 3} = 3 - 1 = 2$.
Exercice 2 — Théorème fondamental de l'analyse
Corrigé :
1. Par le théorème fondamental : $F'(x) = x^2 - 3x + 1$. Et $F(2) = \int_2^2 \ldots = 0$.
2. On pose $u = x^3$, donc $G = \int_0^u \cos t\,dt$. Règle de la chaîne : $G'(x) = \cos(x^3) \cdot 3x^2$.
Exercice 3 — Calcul d'aire entre deux courbes
Corrigé :
1. $x^2-2x = x \Leftrightarrow x^2-3x=0 \Leftrightarrow x(x-3)=0$. Points : $x=0$ et $x=3$.
2. Sur $[0,3]$ : $g(x)-f(x)=x-(x^2-2x)=3x-x^2=x(3-x) \geq 0$. Donc $g \geq f$ sur $[0,3]$.
3. $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^3 (3x-x^2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2}-9 = \frac{9}{2}$ u.a.
Exercice 4 — Valeur moyenne
Corrigé :
1. $\mu = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^2 e^x\,dx = \dfrac{1}{2}[e^x]_0^2 = \dfrac{e^2-1}{2} \approx 3{,}19$.
2. Géométriquement, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[0,2]$ dont l'aire est égale à celle sous la courbe de $e^x$ de 0 à 2.
Exercice 5 — Problème de synthèse — Linéarité
Corrigé : Par linéarité : $\displaystyle\int_0^1(4f-2g+5)\,dx = 4\int_0^1 f\,dx - 2\int_0^1 g\,dx + 5\int_0^1 1\,dx = 4 \times 3 - 2 \times 1 + 5 \times 1 = 12 - 2 + 5 = 15$.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Calcul intégral » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calcul d'intégrales classiques/ 5 pts
- Exercice 2 — Théorème fondamental de l'analyse/ 4 pts
- Exercice 3 — Calcul d'aire entre deux courbes/ 6 pts
- Exercice 4 — Valeur moyenne/ 3 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse — Linéarité/ 2 pts
Notions évaluées
Rappels : primitives d'une fonction continue, Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive, L'intégrale pour une fonction quelconque et propriétés, Théorème fondamental de l'analyse, Calcul d'une intégrale : méthodes pratiques, Calcul d'aires de domaines plans.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Calcul intégral » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Calcul intégral » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Rappels : primitives d'une fonction continue, Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive, L'intégrale pour une fonction quelconque et propriétés, Théorème fondamental de l'analyse.
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