Calcul intégral

1. a)Une primitive de $x\mapsto 2x+5$ est $x\mapsto x^2+5x$. Donc ${\int }_0^3(2x+5)dx$ $=[x^2+5x{]}_0^3$ $=(9+15)-0$ $=24$. (1)
2. b)Sur $[1;e^2]$, une primitive de $x\mapsto {\displaystyle \frac{4}{x}}$ est $x\mapsto 4\ln x$. Donc ${\int }_1^{e^2}{\displaystyle \frac{4}{x}}dx$ $=4\ln \left(e^2\right)-4\ln 1$ $=4\times 2-0$ $=8$. (1)
3. c)Avec $u(x)=x^2+x$, on a $u\prime (x)=2x+1$ : la fonction intégrée est de la forme $u\prime e^u$, dont une primitive est $e^u$. Donc ${\int }_0^2(2x+1)e^{x^2+x}dx$ $=[e^{x^2+x}{]}_0^2$ $=e^6-e^0$ $=e^6-1$. (1)
4. d)${\int }_1^{2}6x^{2}dx$ $=[2x^3{]}_1^2$ $=16-2$ $=14$. La fonction $x\mapsto 6x^2$ est continue et positive sur $[1;2]$ : l’aire du domaine vaut $14$ u.a. Or $1$ u.a. $=1\times 2=2$ cm², donc l’aire vaut $14\times 2=28$ cm². (1)

Repère — Une primitive, un crochet, puis F(b) − F(a) : on vérifie toujours la primitive en la dérivant.

1. a)D’après la relation de Chasles, ${\int }_{-1}^{5}f(x)dx$ $={\int }_{-1}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx$ $=7+(-1)$ $=6$. (1)
2. b)Inverser les bornes change le signe : ${\int }_5^{2}f(x)dx$ $=-{\int }_2^{5}f(x)dx$ $=-(-1)$ $=1$. (1)
3. c)Par linéarité, ${\int }_{-1}^5(3f(x)-2g(x))dx$ $=3{\int }_{-1}^{5}f(x)dx-2{\int }_{-1}^{5}g(x)dx$ $=3\times 6-2\times 4$ $=18-8$ $=10$. (1)
4. d)Par linéarité, ${\int }_{-1}^5(f(x)+2)dx$ $={\int }_{-1}^{5}f(x)dx+{\int }_{-1}^{5}2dx$. Or ${\int }_{-1}^{5}2dx$ $=2\times (5-(-1))$ $=12$. Le résultat vaut $6+12=18$. (1)

Repère — Chasles découpe l’intervalle ; la linéarité découpe la fonction.

1. a)$f$ est un polynôme, donc continue sur $[0;3]$. Une primitive de $f$ est $F(x)=9x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}$. Donc ${\int }_0^{3}f(x)dx$ $=F(3)-F(0)$ $=(27-9)-0$ $=18$. (1)
2. b)$\mu$ $={\displaystyle \frac{1}{3-0}}{\int }_0^{3}f(x)dx$ $={\displaystyle \frac{18}{3}}$ $=6$. Comme $f$ est positive sur $[0;3]$, $\mu =6$ est la hauteur du rectangle de base $[0;3]$ qui a la même aire, $18$ u.a., que le domaine sous ${𝒞}_f$. (1)
3. c)$9-x^2$ $=6$ $⟺x^2$ $=3$ $⟺x$ $=\sqrt{3}$ ou $x=-\sqrt{3}$. Seule $\sqrt{3}$ appartient à $[0;3]$ : $f$ prend sa valeur moyenne en $x=\sqrt{3}\approx 1,73$. (1)
4. d)Pour $x\in [0;3]$, $f(x)-(9-3x)$ $=3x-x^2$ $=x(3-x)$ $⩾0$, car $x⩾0$ et $3-x⩾0$ : ${𝒞}_f$ est au-dessus de $𝒟$ (elles se coupent en $0$ et en $3$). L’aire vaut ${\int }_0^3(3x-x^2)dx$ $=[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}{]}_0^3$ $=13,5-9$ $=4,5$ u.a. (1)

Repère — Valeur moyenne : on divise par la longueur de l’intervalle. Aire entre deux courbes : haut moins bas.

1. a)$f$ est dérivable et $f\prime (x)=3x^2⩾0$ sur $[0;2]$ : $f$ est croissante sur cet intervalle. (1)
2. b)$h={\displaystyle \frac{2-0}{4}}=0,5$ ; $f(0)=1$, $f(0,5)=1,125$, $f(1)=2$, $f(1,5)=4,375$, $f(2)=9$. $R_g$ $=0,5\times (1+1,125+2+4,375)$ $=0,5\times 8,5$ $=4,25$ et $R_d$ $=0,5\times (1,125+2+4,375+9)$ $=0,5\times 16,5$ $=8,25$. $f$ étant croissante, les rectangles à gauche minorent et ceux à droite majorent : $4,25⩽J⩽8,25$. (1)
3. c)$J$ $=[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x{]}_0^2$ $=(4+2)-0$ $=6$, et l’on a bien $4,25⩽6⩽8,25$ : l’encadrement est cohérent. (1)
4. d)L’amplitude vaut ${\displaystyle \frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}}$ $={\displaystyle \frac{2\times |9-1|}{n}}$ $={\displaystyle \frac{16}{n}}$. ${\displaystyle \frac{16}{n}}$ $⩽0,05$ $⟺n$ $⩾{\displaystyle \frac{16}{0,05}}$ $=320$. Le plus petit entier convenable est $n=320$. (1)

Repère — Le sens de variation décide quelle somme minore et quelle somme majore.

1. a)$P$ est un polynôme, donc continue. Une primitive de $P$ est $𝒫(t)$ $=400t+75t^2-{\displaystyle \frac{25}{3}}{t}^3$. Donc ${\int }_0^{6}P(t)dt$ $=𝒫(6)-𝒫(0)$ $=2400+2700-{\displaystyle \frac{25}{3}}\times 216$ $=2400+2700-1800$ $=3300$ kWh. (1)
2. b)La puissance moyenne est la valeur moyenne de $P$ : $\overline{P}$ $={\displaystyle \frac{1}{6-0}}\times 3300$ $=550$ kW. (1)
3. c)$400+150t-25t^2$ $=550$ $⟺25t^2-150t+150$ $=0$ $⟺t^2-6t+6$ $=0$. $\Delta =36-24=12$, donc $t$ $={\displaystyle \frac{6-2\sqrt{3}}{2}}$ $=3-\sqrt{3}$ $\approx 1,27$ h ou $t=3+\sqrt{3}\approx 4,73$ h, toutes deux dans $[0;6]$. (1)
4. d)$P(0)=400$ et $P(6)=400+900-900=400$, donc ce nombre vaut $400$ kW, soit $150$ kW de moins que la vraie moyenne. $P$ n’est pas affine : c’est un trinôme qui culmine à $P(3)=625$ kW ; les valeurs aux extrémités ignorent toute la production du milieu de la période. (1)

Repère — Une énergie est l’intégrale d’une puissance ; la puissance moyenne est cette énergie divisée par la durée.