Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Fiche de révision : primitives

Primitive d’une fonction et équation y′ = f, primitives des fonctions usuelles et linéarité, formes 2u′u, u′eᵘ et u′/u, primitive vérifiant une condition initiale, coût total, position et quantité à partir de leur taux de variation.

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Primitives

Fiche méthode

(Maths complémentaires Terminale · Analyse · Primitives)

La démarche pour trouver une primitive

1. Je lis l’intervalle et je vérifie que la fonction y est continue (dénominateur non nul, racine ou logarithme définis).

2. Je reconnais la forme : somme de fonctions du tableau, fonction de $a x + b$ , ou forme composée $2 u' u$ , $u' e^{u}$ , $\frac{u'}{u}$ .

3. J’écris la primitive en ajustant les coefficients constants, avec $+ k$ si l’on demande toutes les primitives ou une condition initiale.

4. Je vérifie en dérivant : je dois retrouver exactement $f$ .

Le réflexe — une primitive se contrôle toujours en la dérivant : cette vérification prend quelques secondes et évite de perdre les points de toute la suite.

Cas 1 · Montrer que F est une primitive de f

Réflexe — je dérive F (produit, quotient, composée) et je retrouve f ; je ne dérive jamais f.

Exemple. Questions types : « Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ », « Résoudre $y' = f$ ». Exemple : $F (x) = (x - 1) e^{2 x}$ et $f (x) = (2 x - 1) e^{2 x}$ sur $ℝ$ .

$F$ est dérivable sur $ℝ$ comme produit de fonctions dérivables, avec $u (x) = x - 1$ et $v (x) = e^{2 x}$ , $v' (x) = 2 e^{2 x}$ .

$F' (x) = e^{2 x} + 2 (x - 1) e^{2 x}$ $= (2 x - 1) e^{2 x} = f (x)$ .

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $ℝ$ , et les primitives de $f$ sont les $x \mapsto (x - 1) e^{2 x} + k$ .

Attention — F′ = f, pas f′ = F ; et « toutes les primitives » demande le + k.

Cas 2 · Somme de fonctions usuelles

Réflexe — je sors les coefficients, je primitive terme à terme avec le tableau, je précise l’intervalle.

Exemple. Questions types : « Déterminer une primitive de $f$ sur $I$ ». Exemple : $f (x) = 6 x^{2} - \frac{3}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$ sur $] 0; + \infty [$ .

$6 x^{2} = 6 \times x^{2}$ donne $6 \times \frac{x^{3}}{3} = 2 x^{3}$ ; $\frac{3}{x} = 3 \times \frac{1}{x}$ donne $3 \ln x$ ; $\frac{2}{\sqrt{x}}$ donne $2 \times 2 \sqrt{x} = 4 \sqrt{x}$ .

Une primitive est $F (x) = 2 x^{3} - 3 \ln x + 4 \sqrt{x}$ .

Vérification : $F' (x) = 6 x^{2} - \frac{3}{x} + \frac{4}{2 \sqrt{x}} = f (x)$ .

Attention — pas de règle pour un produit ou un quotient : développer ou simplifier d’abord.

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Cas 3 · Forme composée

Réflexe — je repère u, je calcule u′, je compare au facteur présent et j’ajuste la constante ; pour ln u, je justifie u > 0.

Exemple. Questions types : « Déterminer une primitive en précisant la fonction $u$ ». Exemple : $f (x) = \frac{3 x^{2} + 1}{x^{3} + x + 2}$ sur $[0; + \infty [$ .

On pose $u (x) = x^{3} + x + 2$ : pour $x ⩾ 0$ , $u (x) ⩾ 2 > 0$ .

$u' (x) = 3 x^{2} + 1$ , donc $f = \frac{u'}{u}$ .

Une primitive est $F (x) = \ln (x^{3} + x + 2)$ sur $[0; + \infty [$ .

Attention — on n’ajuste qu’un nombre, jamais un facteur en x ; ln u exige u > 0.

Cas 4 · Condition initiale

Réflexe — forme générale F₀ + k, je remplace x par x₀, je résous en k, je conclus par l’expression complète.

Exemple. Questions types : « Déterminer la primitive $F$ de $f$ telle que $F (x_{0}) = y_{0}$ ». Exemple : $f (x) = 2 e^{2 x} + 1$ sur $ℝ$ , avec $F (0) = 3$ .

Les primitives de $f$ sont les $x \mapsto e^{2 x} + x + k$ .

$F (0) = e^{0} + 0 + k = 1 + k$ ; $1 + k = 3$ donne $k = 2$ .

Conclusion : $F (x) = e^{2 x} + x + 2$ .

Attention — F(0) ≠ k dès qu’une exponentielle apparaît (e⁰ = 1).

Cas 5 · Grandeur et taux de variation

Réflexe — marginal, vitesse, débit = dérivée ; la grandeur est la primitive fixée par sa valeur initiale ; une variation se calcule par Q(b) − Q(a).

Exemple. Questions types : « Exprimer la position (le coût total, le volume) », « Calculer ce qui s’ajoute entre $a$ et $b$ ». Exemple : vitesse $v (t) = 3 t^{2} + 2$ (m/s), position initiale $x (0) = 1$ .

$x' = v$ , donc $x (t) = t^{3} + 2 t + k$ , et $x (0) = k = 1$ : $x (t) = t^{3} + 2 t + 1$ .

Distance parcourue entre $t = 1$ et $t = 2$ (la vitesse est positive) : $x (2) - x (1) = 13 - 4 = 9$ m.

Attention — les coûts fixes ne sont pas nuls ; Q(b) − Q(a) n’est pas Q(b).

Les pièges

Oublier le + k quand on demande toutes les primitives, ou une condition initiale.
Écrire eᵃˣ⁺ᵇ au lieu de (1/a)eᵃˣ⁺ᵇ : en dérivant, le facteur a sortirait.
Écrire ln u sans vérifier que u > 0 sur l’intervalle ; sur ]−∞ ; 0[, une primitive de 1/x est ln(−x).
Inventer une règle du produit : une primitive de f × g n’est pas F × G.
Oublier l’intervalle : 1/x² n’a pas de primitive sur ℝ, mais en a sur ]0 ; +∞[ et sur ]−∞ ; 0[.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour trouver une primitive, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types et une réponse rédigée : montrer qu’une fonction est une primitive, primitiver une somme de fonctions usuelles, reconnaître une forme composée, trouver la primitive qui vérifie une condition initiale, passer d’un taux de variation à une grandeur.

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