Primitives

Calcule $f=F\prime$, puis la valeur demandée. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $F(x)=x^4+3x-1$ est une primitive de $f$ sur $ℝ$ : $f(2)=$
   $f(x)=F\prime (x)=4x^3+3$, donc $f(2)=4\times 8+3=35$.
2. $F(x)=8\sqrt{x}$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$ : $f(16)=$
   $f(x)=8\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{4}{\sqrt{x}}}$, donc $f(16)={\displaystyle \frac{4}{4}}=1$.
3. $F(x)=2e^x-x^2$ est une primitive de $f$ sur $ℝ$ : $f(0)=$
   $f(x)=2e^x-2x$, donc $f(0)=2e^0-0=2$.
4. $F(x)=5\ln x-x$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$ : $f(10)=$
   $f(x)={\displaystyle \frac{5}{x}}-1$, donc $f(10)=0,5-1=-0,5$.

Primitives et équation $y\prime =f$.

1. $F(x)=(x-1)(x+7)$ et $G(x)=x^2+6x$ sont deux primitives sur $ℝ$ de $f(x)=2x+6$. Pour tout réel $x$, $G(x)-F(x)=$
   $F(x)=x^2+7x-x-7=x^2+6x-7$, donc $G(x)-F(x)=7$ : deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent bien d’une constante.
2. Les solutions sur $ℝ$ de l’équation $y\prime =10x^4$ s’écrivent $y(x)=a{x}^5+k$, avec $a=$
   Les solutions de $y\prime =10x^4$ sont les primitives de $x\mapsto 10x^4$ : $10\times {\displaystyle \frac{x^5}{5}}+k=2x^5+k$. Donc $a=2$.
3. Toute primitive $F$ de $f(x)=3-x$ sur $ℝ$ est croissante sur $]-\infty ;m]$ et décroissante sur $[m;+\infty [$, avec $m=$
   $F\prime =f$ : $F$ est croissante là où $f(x)=3-x⩾0$, c’est-à-dire pour $x⩽3$, et décroissante pour $x⩾3$. Donc $m=3$, sans avoir besoin de calculer $F$.

Soit $F(x)=(x^2-2x+2)e^x$ sur $ℝ$.

1. Démontrer que $F$ est une primitive sur $ℝ$ de $f(x)=x^2{e}^x$. Contrôle : valeur exacte de $F\prime (1)=$
   Rédaction attendue. $F$ est dérivable sur $ℝ$ comme produit de fonctions dérivables. Avec $u(x)=x^2-2x+2$ et $v(x)=e^x$ : $u\prime (x)=2x-2$ et $v\prime (x)=e^x$. Pour tout réel $x$, $F\prime (x)$ $=(2x-2)e^x+(x^2-2x+2)e^x$ $=(x^2-2x+2+2x-2)e^x=x^2{e}^x$. Donc $F\prime =f$ sur $ℝ$ : $F$ est une primitive de $f$. Contrôle : $F\prime (1)=1^2\times e^1=e$.
2. La primitive $G$ de $f$ sur $ℝ$ telle que $G(0)=0$ s’écrit $G(x)=F(x)+k$ avec $k=$
   $G(0)$ $=F(0)+k$ $=(0-0+2)e^0+k$ $=2+k$. $G(0)=0$ donne $k=-2$ : $G(x)=(x^2-2x+2)e^x-2$.
3. Valeur exacte de $G(1)$ :
   $G(1)=(1-2+2)e^1-2=e-2$. Comme $G\prime =f⩾0$, $G$ est croissante sur $ℝ$ : il est normal que $G(1)⩾G(0)=0$ (et $e-2\approx 0,72$).

On note $\ln$ la fonction logarithme népérien, définie sur $]0;+\infty [$, et on pose $F(x)=x\ln x-x$.

1. Démontrer que $F$ est une primitive de $\ln$ sur $]0;+\infty [$. Contrôle : $F\prime (e)=$
   Rédaction attendue. $F$ est dérivable sur $]0;+\infty [$ comme différence d’un produit de fonctions dérivables et d’une fonction affine. Avec $u(x)=x$ et $v(x)=\ln x$ : $(x\ln x{)}^{\prime }=1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}=\ln x+1$. Donc, pour tout $x>0$, $F\prime (x)=\ln x+1-1=\ln x$ : $F$ est une primitive de $\ln$ sur $]0;+\infty [$. Contrôle : $F\prime (e)=\ln e=1$.
2. Une primitive de $g(x)=\ln x+3x^2$ sur $]0;+\infty [$ est $G(x)=x\ln x-x+a{x}^3$ avec $a=$
   Une primitive de $3x^2$ est $3\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}=x^3$. Par linéarité, $G(x)=x\ln x-x+x^3$ : $a=1$. Vérification : $G\prime (x)=\ln x+3x^2$.
3. La primitive $H$ de $\ln$ sur $]0;+\infty [$ telle que $H(1)=5$ est $H(x)=x\ln x-x+k$ avec $k=$
   Les primitives de $\ln$ sont les $x\mapsto x\ln x-x+k$. $H(1)=1\times \ln 1-1+k=-1+k$, et $H(1)=5$ donne $k=6$ : $H(x)=x\ln x-x+6$.

Lis le tableau des primitives usuelles. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=x^9$ : $F(x)=k{x}^{10}$ avec $k=$
   $x^n\to {\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}}$ avec $n=9$ : $F(x)={\displaystyle \frac{x^{10}}{10}}$, donc $k={\displaystyle \frac{1}{10}}$.
2. $f(x)={\displaystyle \frac{4}{x^2}}$ sur $]0;+\infty [$ : $F(x)={\displaystyle \frac{k}{x}}$ avec $k=$
   Une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est $-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ ; par linéarité, $F(x)=4\times (-{\displaystyle \frac{1}{x}})={\displaystyle \frac{-4}{x}}$, donc $k=-4$.
3. $f(x)={\displaystyle \frac{7}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\infty [$ : $F(x)=k\sqrt{x}$ avec $k=$
   Une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ est $2\sqrt{x}$, donc $F(x)=7\times 2\sqrt{x}=14\sqrt{x}$.
4. $f(x)=e^{-2x+3}$ : $F(x)=k{e}^{-2x+3}$ avec $k=$
   $e^{ax+b}\to {\displaystyle \frac{1}{a}}{e}^{ax+b}$ avec $a=-2$ : $k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. Vérification : ${(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x+3})}^{\prime }$ $=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\times (-2)e^{-2x+3}$ $=e^{-2x+3}$.

Linéarité : une primitive de chaque terme, coefficients gardés. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=4x^3-9x^2+2$ : $F(x)=a{x}^4+b{x}^3+cx$ avec $a=$ , $b=$ et $c=$
   $4x^3$ donne $4\times {\displaystyle \frac{x^4}{4}}=x^4$, $-9x^2$ donne $-9\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}=-3x^3$ et $2$ donne $2x$ : $F(x)=x^4-3x^3+2x$. Vérification : $F\prime (x)=4x^3-9x^2+2$.
2. $g(x)=7-5x$ : $G(x)=7x+b{x}^2$ avec $b=$
   $-5x$ donne $-5\times {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ : $G(x)=7x-{\displaystyle \frac{5}{2}}{x}^2$, donc $b=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$.
3. $h(x)={\displaystyle \frac{x^2}{3}}-6x^5$ : $H(x)=a{x}^3+b{x}^6$ avec $a=$ et $b=$
   ${\displaystyle \frac{x^2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^2$ donne ${\displaystyle \frac{1}{3}}\times {\displaystyle \frac{x^3}{3}}={\displaystyle \frac{x^3}{9}}$ et $-6x^5$ donne $-6\times {\displaystyle \frac{x^6}{6}}=-x^6$ : $H(x)={\displaystyle \frac{x^3}{9}}-x^6$.

Exponentielle, inverse, racine et fonctions de $ax+b$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=e^{4x-1}$ : $F(x)=k{e}^{4x-1}$ avec $k=$
   Forme $e^{ax+b}$ avec $a=4$ : $F(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{e}^{4x-1}$. Vérification : $F\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 4e^{4x-1}=e^{4x-1}$.
2. $g(x)={\displaystyle \frac{3}{x}}+2e^x$ sur $]0;+\infty [$ : $G(x)=a\ln x+b{e}^x$ avec $a=$ et $b=$
   Sur $]0;+\infty [$, une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ est $\ln x$ et une primitive de $e^x$ est $e^x$ : par linéarité, $G(x)=3\ln x+2e^x$.
3. $h(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ sur $]0;+\infty [$ : $H(x)={\displaystyle \frac{a}{x}}+b\sqrt{x}$ avec $a=$ et $b=$
   Une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ est $-{\displaystyle \frac{1}{x}}$, une primitive de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$ est $2\sqrt{x}$ : $H(x)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}-2\sqrt{x}$. Vérification : $H\prime (x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}-2\times {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}=h(x)$.
4. $k(x)=(2x+3{)}^4$ : $K(x)=c(2x+3{)}^5$ avec $c=$
   Une primitive de $x^4$ est ${\displaystyle \frac{x^5}{5}}$ ; pour la fonction de $2x+3$, on divise par $a=2$ : $K(x)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{(2x+3{)}^5}{5}}$ $={\displaystyle \frac{(2x+3{)}^5}{10}}$. Vérification : $K\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{5\times 2(2x+3{)}^4}{10}}$ $=(2x+3{)}^4$.

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty [$ par $f(x)={\displaystyle \frac{2x^3-5x+4}{x^2}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Démontrer que, pour tout $x>0$, $f(x)=2x-{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$. Contrôle : $f(2)=$
   Rédaction attendue. Pour tout $x>0$, $x^2\ne 0$ et l’on sépare le quotient terme à terme : ${\displaystyle \frac{2x^3-5x+4}{x^2}}$ $={\displaystyle \frac{2x^3}{x^2}}-{\displaystyle \frac{5x}{x^2}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$ $=2x-{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$. L’égalité est démontrée. Contrôle : $f(2)={\displaystyle \frac{16-10+4}{4}}={\displaystyle \frac{10}{4}}=2,5$, et $4-2,5+1=2,5$.
2. Une primitive de $f$ sur $]0;+\infty [$ est $F_0(x)=x^2+a\ln x+{\displaystyle \frac{b}{x}}$ avec $a=$ et $b=$
   Une primitive de $2x$ est $x^2$, de ${\displaystyle \frac{5}{x}}$ est $5\ln x$, de ${\displaystyle \frac{4}{x^2}}$ est $4\times (-{\displaystyle \frac{1}{x}})=-{\displaystyle \frac{4}{x}}$. Donc $F_0(x)=x^2-5\ln x-{\displaystyle \frac{4}{x}}$. Vérification : $F_0^{\prime }(x)=2x-{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{4}{x^2}}=f(x)$.
3. La primitive $F$ de $f$ telle que $F(1)=1$ est $F(x)=F_0(x)+k$ avec $k=$
   $F(1)=1-5\ln 1-4+k=-3+k$. La condition $F(1)=1$ donne $k=4$ : $F(x)=x^2-5\ln x-{\displaystyle \frac{4}{x}}+4$.

Chaque fonction est de la forme $2u\prime u$, $u\prime e^u$ ou ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$, à une constante près. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)=(3x^2-4)e^{x^3-4x}$ : $F(x)=k{e}^{x^3-4x}$ avec $k=$
   $u(x)=x^3-4x$, $u\prime (x)=3x^2-4$ : $f=u\prime e^u$, donc $F(x)=e^{x^3-4x}$ et $k=1$.
2. $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+10}}$ sur $ℝ$ : $F(x)=k\ln (x^2+10)$ avec $k=$
   $u(x)=x^2+10>0$ et $u\prime (x)=2x$, donc $x={\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime (x)$ et $f={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ : $F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+10)$.
3. $f(x)=6x(x^2-3)$ : $F(x)=k(x^2-3{)}^2$ avec $k=$
   $u(x)=x^2-3$, $u\prime (x)=2x$ : $6x(x^2-3)=3\times 2xu={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 2u\prime u$. Une primitive de $2u\prime u$ est $u^2$, donc $F(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}(x^2-3{)}^2$. Vérification : $F\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 2\times 2x(x^2-3)$ $=6x(x^2-3)$.
4. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}{e}^{\frac{1}{x}}$ sur $]0;+\infty [$ : $F(x)=k{e}^{\frac{1}{x}}$ avec $k=$
   $u(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$, $u\prime (x)=-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$, donc ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}=-u\prime (x)$ et $f=-u\prime e^u$ : $F(x)=-e^{\frac{1}{x}}$. Vérification : $F\prime (x)=-(-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})e^{\frac{1}{x}}=f(x)$.

Forme ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ : le dénominateur doit être strictement positif sur l’intervalle. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)={\displaystyle \frac{4x}{x^2+13}}$ sur $ℝ$ : $F(x)=k\ln (x^2+13)$ avec $k=$
   $x^2+13⩾13>0$. Avec $u(x)=x^2+13$, $u\prime (x)=2x$ et $4x=2u\prime (x)$ : $f=2\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$, donc $F(x)=2\ln (x^2+13)$.
2. $f(x)={\displaystyle \frac{5e^x}{e^x+7}}$ sur $ℝ$ : $F(x)=k\ln (e^x+7)$ avec $k=$
   $e^x>0$ donc $e^x+7>7>0$. Avec $u(x)=e^x+7$, $u\prime (x)=e^x$ : $f=5\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ et $F(x)=5\ln (e^x+7)$.
3. $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2x+1}}$ sur $]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty [$ : $F(x)=k\ln (2x+1)$ avec $k=$
   Sur cet intervalle, $2x+1>0$. Avec $u(x)=2x+1$, $u\prime (x)=2$ : $f={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$, donc $F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (2x+1)$.
4. La primitive $F$ de $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ sur $]-\infty ;0[$ telle que $F(-1)=0$ s’écrit $F(x)=\ln (kx)$ avec $k=$
   Sur $]-\infty ;0[$, $\ln x$ n’existe pas, mais $-x>0$. Avec $u(x)=-x$, $u\prime (x)=-1$ : ${\displaystyle \frac{u\prime }{u}}={\displaystyle \frac{-1}{-x}}={\displaystyle \frac{1}{x}}$, donc $\ln (-x)$ est une primitive de $f$. Elle vaut $\ln 1=0$ en $-1$ : c’est la primitive cherchée, et $k=-1$. (Sans la condition, $\ln (-2x)=\ln 2+\ln (-x)$ conviendrait aussi.)

Justifier la condition, puis conclure. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $f(x)={\displaystyle \frac{3x^2-12}{x^3-12x+40}}$ sur $[0;3]$. Démontrer que $u(x)=x^3-12x+40$ est strictement positif sur $[0;3]$, puis donner une primitive de $f$. Minimum de $u$ sur $[0;3]$ :
   Rédaction attendue. $u$ est dérivable et $u\prime (x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$. Sur $[0;3]$, $x+2>0$ : $u\prime (x)⩽0$ sur $[0;2]$ et $u\prime (x)⩾0$ sur $[2;3]$. Donc $u$ décroît puis croît : son minimum sur $[0;3]$ est $u(2)=8-24+40=24>0$. Ainsi $u>0$ sur $[0;3]$. Comme $f={\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$, une primitive de $f$ sur $[0;3]$ est $F(x)=\ln (x^3-12x+40)$.
2. $f(x)=(x-2)(x^2-4x+9)$ : $F(x)=k(x^2-4x+9{)}^2$ avec $k=$
   $u(x)=x^2-4x+9$, $u\prime (x)=2x-4=2(x-2)$, donc $x-2={\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime (x)$ et $f={\displaystyle \frac{1}{2}}u\prime u={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 2u\prime u$. Une primitive est $F(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}(x^2-4x+9{)}^2$. Vérification : $F\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{1}{4}}\times 2(2x-4)(x^2-4x+9)$ $=(x-2)(x^2-4x+9)$.
3. $f(x)={\displaystyle \frac{x+4}{x^2+8x+20}}$ sur $ℝ$ : $F(x)=k\ln (x^2+8x+20)$ avec $k=$
   Le discriminant de $x^2+8x+20$ vaut $64-80=-16<0$ : le trinôme est strictement positif sur $ℝ$. $u\prime (x)=2x+8=2(x+4)$, donc $f={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{u\prime }{u}}$ et $F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x^2+8x+20)$.

Soit $f(x)=e^x(e^x+3)$ sur $ℝ$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. Avec $u(x)=e^x+3$, une primitive de $f$ est $F(x)=k(e^x+3{)}^2$ avec $k=$
   $u\prime (x)=e^x$, donc $f=u\prime u={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 2u\prime u$ : une primitive est $F(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^x+3{)}^2$.
2. En développant, $f(x)=e^{2x}+3e^x$, dont une primitive est $G(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}+3e^x$. Démontrer que $F-G$ est constante sur $ℝ$ et donner sa valeur : $F(x)-G(x)=$
   Rédaction attendue. $F$ et $G$ sont deux primitives de la même fonction $f$ sur l’intervalle $ℝ$ : elles diffèrent donc d’une constante. Calculons-la : $F(x)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{2x}+6e^x+9)$ $={\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}+3e^x+{\displaystyle \frac{9}{2}}$, donc $F(x)-G(x)={\displaystyle \frac{9}{2}}$ pour tout réel $x$. Les deux méthodes sont justes : elles donnent deux primitives différentes.
3. La primitive de $f$ sur $ℝ$ qui s’annule en $0$ s’écrit $G(x)+c$ avec $c=$
   $G(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}+3={\displaystyle \frac{7}{2}}$, donc $G(0)+c=0$ donne $c=-{\displaystyle \frac{7}{2}}$. (Avec $F$ : $F(0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\times 16=8$ et $8-{\displaystyle \frac{9}{2}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$ : cohérent.)

Toutes les primitives sont données ; la condition fixe la constante $k$.

1. $F(x)=x^4-3x+k$ et $F(1)=0$ : $k=$
   $F(1)=1-3+k=-2+k=0$, donc $k=2$.
2. $G(x)=3e^x+k$ et $G(0)=1$ : $k=$
   $G(0)=3e^0+k=3+k=1$, donc $k=-2$. Attention : $G(0)\ne k$, car $e^0=1$.
3. $H(x)=4\ln x+k$ sur $]0;+\infty [$ et $H(e)=7$ : $k=$
   $H(e)=4\ln e+k=4+k=7$, donc $k=3$.
4. $L(x)=-{\displaystyle \frac{2}{x}}+k$ sur $]0;+\infty [$ et $L(2)=0$ : $k=$
   $L(2)=-1+k=0$, donc $k=1$.

Déterminer l’unique primitive vérifiant la condition, puis répondre.

1. $F$ est la primitive de $f(x)=6x^2-2x+5$ sur $ℝ$ telle que $F(1)=4$. $F(2)=$
   Les primitives de $f$ sont les $x\mapsto 2x^3-x^2+5x+k$. $F(1)=2-1+5+k=6+k=4$, donc $k=-2$ et $F(x)=2x^3-x^2+5x-2$. Alors $F(2)=16-4+10-2=20$.
2. $G$ est la primitive de $g(x)={\displaystyle \frac{2}{x}}+1$ sur $]0;+\infty [$ telle que $G(e)=0$. $G(x)=2\ln x+x+k$ avec $k=$
   $G(e)=2\ln e+e+k=2+e+k$, et $G(e)=0$ donne $k=-2-e$. Conclusion : $G(x)=2\ln x+x-2-e$.
3. $H$ est la primitive de $h(x)=4e^{2x}$ sur $ℝ$ telle que $H(0)=1$. $H(\ln 2)=$
   Les primitives de $h$ sont les $x\mapsto 4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{2x}+k=2e^{2x}+k$. $H(0)=2+k=1$, donc $k=-1$ et $H(x)=2e^{2x}-1$. Alors $H(\ln 2)=2e^{2\ln 2}-1=2\times 4-1=7$, car $e^{2\ln 2}={\left(e^{\ln 2}\right)}^2=4$.

Résoudre l’équation différentielle avec sa condition initiale.

1. Démontrer que l’équation $y\prime =e^{-x}+2$ a une unique solution sur $ℝ$ telle que $y(0)=0$, puis la déterminer. Valeur approchée de $y(1)$ au centième :
   Rédaction attendue. La fonction $f:x\mapsto e^{-x}+2$ est continue sur l’intervalle $ℝ$ : elle y admet des primitives, et les solutions de $y\prime =f$ sont ces primitives. Une primitive de $e^{-x}$ est $-e^{-x}$ (forme $e^{ax+b}$ avec $a=-1$), donc les solutions sont les fonctions $x\mapsto -e^{-x}+2x+k$. La condition $y(0)=0$ s’écrit $-1+k=0$, d’où $k=1$ : la constante est unique, donc la solution aussi. C’est $y(x)=-e^{-x}+2x+1$. Alors $y(1)=3-e^{-1}\approx 2,63$.
2. $y\prime =6x(x^2+1)$ sur $ℝ$, avec $y(0)=0$ : $y(1)=$
   Avec $u(x)=x^2+1$, $u\prime (x)=2x$ : $6x(x^2+1)=3u\prime u={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 2u\prime u$. Les solutions sont donc les fonctions $y(x)={\displaystyle \frac{3}{2}}(x^2+1{)}^2+k$. $y(0)={\displaystyle \frac{3}{2}}+k=0$ donne $k=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. Alors $y(1)={\displaystyle \frac{3}{2}}\times 4-{\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}=4,5$. (En développant, $6x^3+6x$ a pour primitive ${\displaystyle \frac{3}{2}}{x}^4+3x^2$, qui vaut aussi $4,5$ en $1$.)

Soit $f(x)=2x-4$ sur $ℝ$.

1. La primitive $F$ de $f$ dont la courbe passe par le point $A(1;2)$ s’écrit $F(x)=x^2-4x+k$ avec $k=$
   La courbe passe par $A$ lorsque $F(1)=2$ : $1-4+k=2$, donc $k=5$ et $F(x)=x^2-4x+5$.
2. Le minimum de cette fonction $F$ sur $ℝ$ vaut
   $F\prime =f$ est négative pour $x⩽2$ et positive pour $x⩾2$ : $F$ décroît puis croît, et son minimum est $F(2)=4-8+5=1$.
3. Démontrer qu’aucune primitive de $f$ n’a une courbe passant à la fois par $A(1;2)$ et par $B(3;5)$. Pour toute primitive $G$ de $f$ : $G(3)-G(1)=$
   Rédaction attendue. Les primitives de $f$ sur $ℝ$ sont les fonctions $G:x\mapsto x^2-4x+c$, $c$ réel. Pour chacune, $G(3)-G(1)$ $=(9-12+c)-(1-4+c)$ $=-3+3$ $=0$ : la constante disparaît. Si la courbe de $G$ passait par $A$ et par $B$, on aurait $G(3)-G(1)=5-2=3\ne 0$. C’est impossible : aucune primitive de $f$ ne convient. (La condition initiale fixe une seule valeur ; on ne peut pas en imposer deux.)

Retrouver une grandeur à partir de son taux de variation.

1. Coût marginal $C_m(q)=2q+10$ (en euros par objet, pour $q$ objets), coûts fixes $300$ € : $C(20)=$ €
   $C\prime =C_m$, donc $C(q)=q^2+10q+k$ et $C(0)=k=300$. $C(20)=400+200+300=900$ €.
2. Vitesse $v(t)=4t$ (en m/s), position initiale $x(0)=0$ : $x(5)=$ m
   $x\prime =v$, donc $x(t)=2t^2+k$ et $x(0)=k=0$ : $x(t)=2t^2$ et $x(5)=2\times 25=50$ m.
3. Débit constant $d(t)=30$ (en litres par minute), volume initial $V(0)=100$ L : $V(10)=$ L
   $V\prime =d$, donc $V(t)=30t+k$ et $V(0)=k=100$ : $V(10)=300+100=400$ L.

La variation entre deux valeurs ne dépend pas de la constante.

1. L’intensité d’une pluie est $i(t)=2t$ (en mm par heure, $t$ en heures). Hauteur d’eau tombée entre $t=1$ et $t=4$ : mm
   La hauteur d’eau $h$ vérifie $h\prime =i$, donc $h(t)=t^2+k$. Entre $t=1$ et $t=4$ : $h(4)-h(1)=16-1=15$ mm, quelle que soit la constante $k$.
2. Une population augmente à la vitesse $p(t)=0,3t^2$ (en milliers d’habitants par an). Augmentation entre $t=2$ et $t=5$ : milliers
   Une primitive de $p$ est $P(t)=0,1t^3$. Augmentation : $P(5)-P(2)$ $=0,1\times 125-0,1\times 8$ $=12,5-0,8$ $=11,7$ milliers d’habitants.
3. Coût marginal $C_m(q)=3q^2-8q+9$ (en milliers d’euros par tonne, $q$ en tonnes). Coût supplémentaire pour passer de $1$ à $3$ tonnes : milliers d’euros
   $C(q)=q^3-4q^2+9q+k$. $C(3)-C(1)$ $=(27-36+27)-(1-4+9)$ $=18-6$ $=12$ milliers d’euros.

Une coopérative vend $q$ tonnes de fruits. Sa recette marginale est $R_m(q)=50e^{-0,1q}$ (en milliers d’euros par tonne) et sa recette totale $R$ vérifie $R(0)=0$.

1. Démontrer que $R(q)=500(1-e^{-0,1q})$. Contrôle : $R\prime (0)=$
   Rédaction attendue. La recette marginale est la dérivée de la recette totale : $R\prime =R_m$, donc $R$ est une primitive de $R_m$. Une primitive de $e^{-0,1q}$ est ${\displaystyle \frac{1}{-0,1}}{e}^{-0,1q}=-10e^{-0,1q}$ ; les primitives de $R_m$ sont donc les fonctions $q\mapsto -500e^{-0,1q}+k$. La condition $R(0)=0$ donne $-500+k=0$, soit $k=500$. Ainsi $R(q)$ $=500-500e^{-0,1q}$ $=500(1-e^{-0,1q})$. Contrôle : $R\prime (0)=R_m(0)=50e^0=50$.
2. Recette pour $10$ tonnes vendues, au centième de millier d’euros :
   $R(10)$ $=500(1-e^{-1})$ $\approx 500\times 0,63212$ $\approx 316,06$ milliers d’euros.
3. Quantité à vendre pour que la recette atteigne $400$ milliers d’euros, au dixième de tonne :
   $R(q)$ $=400$ $⟺1-e^{-0,1q}$ $=0,8$ $⟺e^{-0,1q}$ $=0,2$ $⟺-0,1q$ $=\ln 0,2$ $=-\ln 5$ $⟺q$ $=10\ln 5$. Or $10\ln 5\approx 16,1$ tonnes. Comme $e^{-0,1q}>0$, la recette reste toujours inférieure à $500$ milliers d’euros, quelle que soit la quantité vendue.

Un parking ouvre à 7 h avec $40$ voitures déjà garées. Pour $t\in [0;10]$ ($t$ en heures après 7 h), le nombre de voitures qui s’ajoutent par heure (entrées moins sorties) est $d(t)=120e^{-0,5t}$. On note $N(t)$ le nombre de voitures dans le parking.

1. Démontrer que $N(t)=a-240e^{-0,5t}$, avec $a=$
   Rédaction attendue. $d$ est la vitesse de variation de $N$ : $N\prime =d$, donc $N$ est la primitive de $d$ sur $[0;10]$ qui vaut $40$ en $0$. Une primitive de $e^{-0,5t}$ est ${\displaystyle \frac{1}{-0,5}}{e}^{-0,5t}=-2e^{-0,5t}$ ; les primitives de $d$ sont les $t\mapsto -240e^{-0,5t}+k$. $N(0)=-240+k=40$ donne $k=280$ : $N(t)=280-240e^{-0,5t}$, et $a=280$.
2. Nombre de voitures à 9 h, arrondi à l’unité :
   9 h correspond à $t=2$ : $N(2)$ $=280-240e^{-1}$ $\approx 280-88,29$ $\approx 191,7$, soit environ $192$ voitures.
3. Le parking compte $260$ places. Instant où il est complet, en heures après 7 h, au centième :
   $N(t)$ $=260$ $⟺240e^{-0,5t}$ $=20$ $⟺e^{-0,5t}$ $={\displaystyle \frac{1}{12}}$ $⟺-0,5t$ $=-\ln 12$ $⟺t$ $=2\ln 12$. Or $2\ln 12\approx 4,97$ : le parking est complet environ $4,97$ h après l’ouverture, vers 11 h 58. Comme $N$ est croissante ($N\prime =d>0$), il le reste ensuite.