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Équations différentielles
Rappels sur l’exponentielle, notion de solution et vérification, équations y′ = ay et y′ = ay + b avec solution constante, condition initiale et allure des courbes, modélisation (équilibre, seuil), méthode d’Euler.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Quelles sont les solutions sur ℝ de l’équation y′ = 7y ?
- A. les fonctions x ↦ Ce^(7x)
- B. les fonctions x ↦ 7e^(Cx)
- C. les fonctions x ↦ Ce^(−7x)
- D. les fonctions x ↦ C + e^(7x)
Réponse
A. les fonctions x ↦ Ce^(7x) — Pour y′ = ay, les solutions sont x ↦ Ce^(ax), C réel : ici a = 7.
Quelle est la solution constante de l’équation y′ = 2y + 14 ?
- A. la fonction constante 14
- B. la fonction constante −7
- C. la fonction constante 7
- D. la fonction constante −14
Réponse
B. la fonction constante −7 — On résout 2c + 14 = 0, soit c = −7 : c’est −b/a = −14/2.
La fonction f définie par f(x) = 4e^(0,9x) est solution de :
- A. y′ = 0,9y + 4
- B. y′ = 4y
- C. y′ = 0,9y
- D. y′ = y + 0,9
Réponse
C. y′ = 0,9y — f′(x) = 3,6e^(0,9x) = 0,9 × 4e^(0,9x) = 0,9f(x) : le coefficient de x dans l’exposant est a.
Quelles sont les solutions de l’équation y′ = −y + 5 ?
- A. les fonctions x ↦ Ce^(−x) − 5
- B. les fonctions x ↦ Ce^(x) + 5
- C. les fonctions x ↦ Ce^(−5x) + 1
- D. les fonctions x ↦ Ce^(−x) + 5
Réponse
D. les fonctions x ↦ Ce^(−x) + 5 — Ici a = −1 et b = 5 : −c + 5 = 0 donne c = 5, donc les solutions sont x ↦ Ce^(−x) + 5.
Dans l’écriture x ↦ Ce^(ax) des solutions, qu’est-ce qui permet de déterminer C ?
- A. la valeur du coefficient a
- B. le signe du coefficient a
- C. la limite en −∞
- D. une condition initiale f(x₀) = y₀
Réponse
D. une condition initiale f(x₀) = y₀ — L’équation seule a une infinité de solutions ; seule une condition initiale en sélectionne une.
Si a < 0, quelle est la limite en +∞ des solutions de y′ = ay ?
- A. −∞
- B. +∞
- C. 0
- D. a
Réponse
C. 0 — Pour a < 0, e^(ax) tend vers 0 en +∞, donc Ce^(ax) aussi, quel que soit : notion de solution d’une équation différentielle et vérification ; résolution de y′ = ay (démonstration) ; équation y′ = ay + b : solution particulière constante, puis solution générale ; existence et unicité de la solution vérifiant une condition initiale ; allure des courbes ; modélisation de phénomènes d’évolution ; résolution approchée par la méthode d’Euler.
L’équation y′ = 0,5y + 3 est de la forme y′ = ay + b avec :
- A. a = 3 et b = 0,5
- B. a = 0,5 et b = 3
- C. a = 0,5 et b = −3
- D. a = −0,5 et b = 3
Réponse
B. a = 0,5 et b = 3 — a multiplie la fonction inconnue, b est le terme constant : a = 0,5 et b = 3.
Combien l’équation y′ = 8y admet-elle de solutions sur ℝ ?
- A. une infinité
- B. exactement une
- C. exactement deux
- D. aucune
Réponse
A. une infinité — Chaque réel C donne une solution x ↦ Ce^(8x) : il y en a une infinité.
La dérivée de la fonction x ↦ 5e^(−2x) est :
- A. x ↦ −10e^(−2x)
- B. x ↦ 5e^(−2x)
- C. x ↦ −10x e^(−2x)
- D. x ↦ −2e^(−2x)
Réponse
A. x ↦ −10e^(−2x) — Le coefficient −2 de x descend devant : 5 × (−2)e^(−2x) = −10e^(−2x).
Pour montrer qu’une fonction n’est pas solution de y′ = ay + b, il suffit :
- A. de montrer qu’elle n’est pas constante
- B. d’une valeur de x où l’égalité est fausse
- C. de calculer sa limite en +∞
- D. de vérifier l’égalité en x = 0
Réponse
B. d’une valeur de x où l’égalité est fausse — Une solution vérifie l’égalité pour tout x : une seule valeur où elle est fausse suffit à l’exclure.
Méthode d’Euler pour y′ = 3y + 1, y(0) = 0, pas h = 0,1 : la valeur y₁ vaut :
- A. 1
- B. 0,3
- C. 0,1
- D. 1,1
Réponse
C. 0,1 — y₁ = y₀ + h(3y₀ + 1) = 0 + 0,1 × 1 = 0,1 : le pas multiplie toute la dérivée.
La fonction exponentielle est l’unique fonction f dérivable sur ℝ telle que :
- A. f′ = f et f(0) = 0
- B. f′ = 1 et f(0) = 1
- C. f′ = −f et f(1) = e
- D. f′ = f et f(0) = 1
Réponse
D. f′ = f et f(0) = 1 — C’est sa définition en 1re : la solution de y′ = y qui vaut 1 en 0.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Quelle est la solution de y′ = 3y vérifiant f(0) = 5 ?
- A. f(x) = 3e^(5x)
- B. f(x) = 5e^(3x)
- C. f(x) = 5e^(−3x)
- D. f(x) = e^(3x) + 5
Réponse
B. f(x) = 5e^(3x) — Les solutions sont x ↦ Ce^(3x) et f(0) = C = 5.
Quelle est la solution de y′ = −0,2y + 1 vérifiant f(0) = 9 ?
- A. f(x) = 9e^(−0,2x)
- B. f(x) = 5e^(−0,2x) + 4
- C. f(x) = 4e^(−0,2x) − 5
- D. f(x) = 4e^(−0,2x) + 5
Réponse
D. f(x) = 4e^(−0,2x) + 5 — La solution constante vaut 1/0,2 = 5, puis C + 5 = 9 donne C = 4.
Soit f(x) = 2e^(−1,5x) + 6. Que vaut f′(0) ?
- A. −3
- B. −1,5
- C. 3
- D. −9
Réponse
A. −3 — f′(x) = 2 × (−1,5)e^(−1,5x) = −3e^(−1,5x), donc f′(0) = −3 : la constante 6 disparaît en dérivant.
Quelle est la solution de y′ = 0,6y vérifiant f(2) = 10 ?
- A. f(x) = 10e^(0,6x)
- B. f(x) = 10e^(0,6x − 2)
- C. f(x) = 10e^(0,6(x − 2))
- D. f(x) = 10e^(2 − 0,6x)
Réponse
C. f(x) = 10e^(0,6(x − 2)) — Ce^(1,2) = 10 donne C = 10e^(−1,2), donc f(x) = 10e^(0,6x − 1,2) = 10e^(0,6(x − 2)).
Une grandeur est modélisée par y′ = −0,05y + 2. Vers quelle valeur se stabilise-t-elle ?
- A. 2
- B. −0,05
- C. 40
- D. 0,05
Réponse
C. 40 — a < 0 : toutes les solutions tendent vers la solution constante 2/0,05 = 40.
La solution de y′ = −1,1y vérifiant f(0) = 15 atteint la valeur 5 pour t environ égal à :
- A. 1,0
- B. 0,3
- C. 3,0
- D. 5,5
Réponse
A. 1,0 — 15e^(−1,1t) = 5 donne e^(−1,1t) = 1/3, soit t = ln 3 / 1,1 ≈ 0,999.
Une grandeur vérifie y′ = 0,08y. Au bout de combien de temps double-t-elle ?
- A. 12,5
- B. 2
- C. 16
- D. 8,7
Réponse
D. 8,7 — e^(0,08t) = 2 donne t = ln 2 / 0,08 ≈ 8,66, quelle que soit la valeur de départ.
Les fonctions x ↦ Ce^(−0,9x) + 7 sont les solutions de :
- A. y′ = −0,9y + 7
- B. y′ = −0,9y + 6,3
- C. y′ = −0,9y − 6,3
- D. y′ = 0,9y − 6,3
Réponse
B. y′ = −0,9y + 6,3 — a = −0,9 et la constante 7 vérifie −0,9 × 7 + b = 0, donc b = 6,3.
Méthode d’Euler pour y′ = −2y + 4, y(0) = 0, pas h = 0,25 : la valeur y₂ vaut :
- A. 1
- B. 1,5
- C. 2
- D. 1,75
Réponse
B. 1,5 — y₁ = 0 + 0,25 × 4 = 1, puis y₂ = 1 + 0,25 × (−2 + 4) = 1,5.
Une grandeur diminue à une vitesse proportionnelle à sa valeur, avec un coefficient de 0,3 par heure. Elle vérifie :
- A. y′ = 0,3y
- B. y′ = y − 0,3
- C. y′ = −0,3y
- D. y′ = −0,3
Réponse
C. y′ = −0,3y — « Proportionnelle à sa valeur » donne y′ = ky ; la grandeur diminue, donc k = −0,3.
Avec la méthode d’Euler de pas h, les valeurs approchées des solutions de y′ = ay forment une suite :
- A. arithmétique de raison ah
- B. géométrique de raison e^(ah)
- C. arithmétique de raison 1 + ah
- D. géométrique de raison 1 + ah
Réponse
D. géométrique de raison 1 + ah — yₙ₊₁ = yₙ + h × ayₙ = (1 + ah)yₙ : suite géométrique de raison 1 + ah.
La loi de Newton θ′ = −0,1(θ − 19) s’écrit aussi :
- A. θ′ = −0,1θ − 1,9
- B. θ′ = −0,1θ + 19
- C. θ′ = −0,1θ − 19
- D. θ′ = −0,1θ + 1,9
Réponse
D. θ′ = −0,1θ + 1,9 — On développe : −0,1 × (−19) = +1,9. La température d’équilibre est 19.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Un élève écrit que les solutions de y′ = −4y + 6 sont les x ↦ Ce^(−4x) + 6. Que faut-il en penser ?
- A. c’est exact
- B. c’est exact uniquement si C > 0
- C. c’est faux : la constante est 1,5
- D. c’est faux : la constante est −1,5
Réponse
C. c’est faux : la constante est 1,5 — La solution constante vérifie −4c + 6 = 0, soit c = 1,5 : les solutions sont les x ↦ Ce^(−4x) + 1,5.
Quelles sont les solutions de l’équation y′ = 4, c’est-à-dire le cas a = 0 ?
- A. les fonctions x ↦ 4x + C
- B. les fonctions x ↦ Ce^(4x)
- C. les fonctions x ↦ 4e^x + C
- D. il n’y a aucune solution
Réponse
A. les fonctions x ↦ 4x + C — Pour a = 0, on cherche les primitives de la fonction constante 4.
Que peut-on dire de deux courbes solutions distinctes d’une même équation y′ = ay + b ?
- A. elles peuvent se couper une fois
- B. elles peuvent se couper deux fois
- C. elles se coupent quand C = 0
- D. elles ne se coupent jamais
Réponse
D. elles ne se coupent jamais — Par un point donné passe une seule solution : un point commun rendrait les deux solutions égales.
Soit f la solution de y′ = 1,5y − 6 vérifiant f(0) = 4. Que vaut f(10) ?
- A. 4e^15
- B. 4
- C. 4e^15 − 4
- D. −4
Réponse
B. 4 — 6/1,5 = 4 : la condition initiale est celle de la solution constante, donc f vaut 4 partout.
Si f est solution de y′ = ay + b (avec a ≠ 0) et si g = f + b/a, alors g vérifie :
- A. g′ = ag + b
- B. g′ = ag
- C. g′ = −ag
- D. g′ = ag − b
Réponse
B. g′ = ag — g′ = f′ = a(g − b/a) + b = ag : on est ramené au cas y′ = ay.
Une population vérifie P′ = 0,04P − 500. Quel est son effectif d’équilibre ?
- A. 500
- B. −12 500
- C. 20 000
- D. 12 500
Réponse
D. 12 500 — 0,04P − 500 = 0 donne P = 500/0,04 = 12 500.
Pour y′ = ay avec a < 0, la solution telle que f(0) = y₀, avec y₀ < 0, est :
- A. croissante, de limite 0 en +∞
- B. décroissante, de limite 0 en +∞
- C. croissante, de limite −∞ en +∞
- D. constante
Réponse
A. croissante, de limite 0 en +∞ — f′(x) = ay₀e^(ax) et ay₀ > 0 : f croît en tendant vers 0.
Dans le modèle y′ = ay, où y est une masse en mg et la variable un temps en heures, l’unité de a est :
- A. le mg
- B. le mg·h
- C. l’heure puissance −1
- D. le mg par heure
Réponse
C. l’heure puissance −1 — y′ est en mg·h⁻¹ et y en mg : le quotient y′/y est en h⁻¹.
Une solution f de y′ = ay vérifie f(0) = 2 et f(1) = 6. Alors a vaut :
- A. 3
- B. ln 3
- C. ln 6
- D. e³
Réponse
B. ln 3 — f(x) = 2e^(ax) et 2e^a = 6, donc e^a = 3 et a = ln 3.
Euler pour y′ = −2y, y(0) = 1 : yₙ = (1 − 2h)ⁿ. Avec le pas h = 0,6, les valeurs yₙ :
- A. restent toutes positives
- B. croissent vers +∞
- C. sont toutes égales à 1
- D. changent de signe à chaque pas
Réponse
D. changent de signe à chaque pas — 1 − 2h = −0,2 < 0 : les yₙ changent de signe, alors que la vraie solution e^(−2x) reste positive. Le pas est trop grand.
Une solution f de y′ = −0,5y + 3 vérifie f(0) = 10. Alors f :
- A. croît vers 6
- B. décroît vers 6
- C. décroît vers 0
- D. décroît vers 3
Réponse
B. décroît vers 6 — La solution constante vaut 6 et C = 10 − 6 = 4 > 0 avec a < 0 : f décroît vers 6.
Une grandeur vérifie y′ = −0,1y. Sa demi-vie vaut :
- A. 10 ln 2, soit environ 6,9
- B. 5, la moitié de 10
- C. 0,1 ln 2, soit environ 0,07
- D. ln 0,5, soit environ −0,7
Réponse
A. 10 ln 2, soit environ 6,9 — e^(−0,1T) = 1/2 donne −0,1T = −ln 2, soit : notion de solution d’une équation différentielle et vérification ; résolution de y′ = ay (démonstration) ; équation y′ = ay + b : solution particulière constante, puis solution générale ; existence et unicité de la solution vérifiant une condition initiale ; allure des courbes ; modélisation de phénomènes d’évolution ; résolution approchée par la méthode d’Euler.
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