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Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)

Équations différentielles

Résolution des équations y' = ay et y' = ay + b — modélisation en Terminale

À propos de cette page
Ce QCM sur « Équations différentielles » en terminale teste tes connaissances en maths complémentaires (option tle) de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?, Équation y' = ay : solution générale, Condition initiale et solution particulière de y' = ay, Équation y' = ay + b : solution générale. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en maths complémentaires (option tle) en terminale.

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Les 37 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. La solution générale de $y' = 3y$ est :

    • A. $y = 3x + C$
    • B. $y = Ce^{3x}$
    • C. $y = e^{3x}$
    • D. $y = 3Ce^x$
    Réponse

    B. $y = Ce^{3x}$ — Pour $y' = ay$, la solution est $Ce^{ax}$, ici $Ce^{3x}$.

  2. Quelle est la solution constante de $y' = 2y - 8$ ?

    • A. $y = 4$
    • B. $y = -4$
    • C. $y = 2$
    • D. $y = 8$
    Réponse

    A. $y = 4$ — $-b/a = 8/2 = 4$.

  3. La solution générale de $y' = -y$ est :

    • A. $y = Ce^x$
    • B. $y = C e^{-x}$
    • C. $y = -Cx$
    • D. $y = e^{-x}$
    Réponse

    B. $y = C e^{-x}$ — $a = -1$ donc $y = Ce^{-x}$.

  4. Pour $y' = ay + b$ avec $a \neq 0$, la solution générale est :

    • A. $y = Ce^{ax}$
    • B. $y = Ce^{ax} - b/a$
    • C. $y = Ce^{bx} - a/b$
    • D. $y = Ce^{ax} + b$
    Réponse

    B. $y = Ce^{ax} - b/a$ — La translation $-b/a$ vient du second membre.

  5. La dérivée de $f(x) = 5e^{2x}$ est :

    • A. $10e^{2x}$
    • B. $5e^{2x}$
    • C. $10xe^{2x}$
    • D. $5e^{x}$
    Réponse

    A. $10e^{2x}$ — $f'(x) = 5 \times 2 e^{2x} = 10e^{2x}$.

  6. La fonction $f(x) = e^{-x}$ vérifie l'équation différentielle :

    • A. $y' = y$
    • B. $y' = -y$
    • C. $y' = y - 1$
    • D. $y' = 2y$
    Réponse

    B. $y' = -y$ — $f'(x) = -e^{-x} = -f(x)$.

  7. La solution générale de $y' = 0{,}5 y$ est :

    • A. $Ce^{0{,}5}$
    • B. $Ce^{0{,}5x}$
    • C. $0{,}5Ce^x$
    • D. $Ce^{-0{,}5x}$
    Réponse

    B. $Ce^{0{,}5x}$ — $a = 0{,}5$ donc $y = Ce^{0{,}5x}$.

  8. Pour $y' = ay$, si $a \gt 0$ et $C \gt 0$, la solution est :

    • A. Décroissante
    • B. Constante
    • C. Croissante
    • D. Nulle
    Réponse

    C. Croissante — $y = Ce^{ax}$ croît si $a \gt 0$ et $C \gt 0$.

  9. L'équation $y' = -4y$ a pour solution générale :

    • A. $Ce^{4x}$
    • B. $Ce^{-4x}$
    • C. $-4Ce^x$
    • D. $Ce^{-4}$
    Réponse

    B. $Ce^{-4x}$ — $a = -4$ donc $y = Ce^{-4x}$.

  10. Quelle est la solution de $y' = y$ avec $y(0) = 1$ ?

    • A. $y = x$
    • B. $y = e^x$
    • C. $y = 1$
    • D. $y = e^{x-1}$
    Réponse

    B. $y = e^x$ — $y = Ce^x$ et $y(0) = C = 1$ donc $y = e^x$.

  11. Pour $y' = 2y + 6$, la solution constante est :

    • A. $y = 6$
    • B. $y = -6$
    • C. $y = 3$
    • D. $y = -3$
    Réponse

    D. $y = -3$ — $-b/a = -6/2 = -3$.

  12. La solution générale de $y' = -y + 5$ est :

    • A. $Ce^{-x} + 5$
    • B. $Ce^{-x} - 5$
    • C. $Ce^x + 5$
    • D. $Ce^{-x} + 1$
    Réponse

    A. $Ce^{-x} + 5$ — $a = -1$, $-b/a = 5/1 = 5$, donc $y = Ce^{-x} + 5$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. La solution de $y' = 3y$ avec $y(0) = 2$ est :

    • A. $y = 3e^{2x}$
    • B. $y = 2e^{3x}$
    • C. $y = 2e^x$
    • D. $y = 6e^x$
    Réponse

    B. $y = 2e^{3x}$ — $C = 2$, donc $y = 2e^{3x}$.

  2. Pour $y' = -2y + 4$ avec $y(0) = 3$, la constante $C$ vaut :

    • A. $1$
    • B. $3$
    • C. $5$
    • D. $-1$
    Réponse

    A. $1$ — $y(0) = C + 2 = 3 \Rightarrow C = 1$.

  3. La solution de $y' = -y + 2$ avec $y(0) = 0$ tend vers quoi quand $x \to +\infty$ ?

    • A. $0$
    • B. $+\infty$
    • C. $2$
    • D. $-\infty$
    Réponse

    C. $2$ — $y = Ce^{-x} + 2$, avec $a \lt 0$, $y \to 2$.

  4. La solution de $y' = 5y$ avec $y(1) = e^5$ est :

    • A. $e^{5x}$
    • B. $e^{5(x-1)}$
    • C. $e^{5x-5}$
    • D. $e^{5x+5}$
    Réponse

    A. $e^{5x}$ — $y = Ce^{5x}$, $y(1) = Ce^5 = e^5 \Rightarrow C = 1$, donc $y = e^{5x}$.

  5. Pour $y' = ky$ avec $y(0) = 10$ et $y(2) = 40$, la valeur de $k$ est :

    • A. $\ln 2$
    • B. $\frac{\ln 4}{2}$
    • C. $2$
    • D. $4$
    Réponse

    B. $\frac{\ln 4}{2}$ — $40 = 10e^{2k} \Rightarrow e^{2k} = 4 \Rightarrow k = \frac{\ln 4}{2} = \ln 2$.

  6. La solution de $y' = -3y + 9$ avec $y(0) = 4$ est :

    • A. $e^{-3x} + 3$
    • B. $e^{-3x} + 9$
    • C. $4e^{-3x} + 3$
    • D. $e^{-3x+9}$
    Réponse

    A. $e^{-3x} + 3$ — $y = Ce^{-3x} + 3$, $y(0) = C + 3 = 4 \Rightarrow C = 1$, donc $y = e^{-3x} + 3$.

  7. L'équation $y' = 2y - 4$ a pour solution vérifiant $y(0) = 2$ :

    • A. $y = 2$
    • B. $y = 2e^{2x}$
    • C. $y = e^{2x} + 2$
    • D. $y = 2e^{2x} + 2$
    Réponse

    A. $y = 2$ — $-b/a = 4/2 = 2 = y(0)$, donc $C = 0$ et $y = 2$ (constante).

  8. Si $y = 3e^{-2x} + 1$, quelle équation différentielle $y' = ay + b$ vérifie-t-elle ?

    • A. $y' = -2y + 2$
    • B. $y' = 2y + 2$
    • C. $y' = -2y - 2$
    • D. $y' = 2y - 2$
    Réponse

    A. $y' = -2y + 2$ — $y' = -6e^{-2x} = -2(3e^{-2x}+1) + 2 = -2y + 2$.

  9. La solution particulière de $y' = 4y$ telle que $y(0) = 0$ est :

    • A. $e^{4x}$
    • B. $0$
    • C. $4x$
    • D. $4e^x$
    Réponse

    B. $0$ — $y = Ce^{4x}$, $C = 0 \Rightarrow y = 0$.

  10. Pour $N'(t) = -0{,}1 N$ avec $N(0) = 500$, la valeur de $N(10)$ est environ :

    • A. $184$
    • B. $250$
    • C. $450$
    • D. $500$
    Réponse

    A. $184$ — $N(10) = 500e^{-1} \approx 184$.

  11. La demi-vie d'une quantité vérifiant $y' = -\lambda y$ est :

    • A. $\frac{1}{\lambda}$
    • B. $\frac{\ln 2}{\lambda}$
    • C. $\frac{\lambda}{\ln 2}$
    • D. $2\lambda$
    Réponse

    B. $\frac{\ln 2}{\lambda}$ — $y = y_0 e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{y_0}{2} \Rightarrow t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.

  12. Pour $y' = ay + b$, si $a \lt 0$, toutes les solutions convergent vers :

    • A. $0$
    • B. $+\infty$
    • C. $-b/a$
    • D. $b/a$
    Réponse

    C. $-b/a$ — La solution constante est $-b/a$ et toutes les solutions y convergent si $a \lt 0$.

Niveau difficile — 13 questions

  1. Soit $y$ solution de $y' = 3y - 6$ avec $y(0) = 3$. Alors $y(1)$ vaut :

    • A. $3e^3 - 2$
    • B. $3$
    • C. $e^3 + 2$
    • D. $3e^3$
    Réponse

    B. $3$ — $y(0) = -b/a = 2$ ? Non : $-b/a = 6/3 = 2 \neq 3$. $C = 3 - 2 = 1$, $y = e^{3x} + 2$, $y(1) = e^3 + 2$.

  2. La solution de $y' = ay$ vérifiant $y(0) = y_0 \gt 0$ est strictement positive :

    • A. Seulement si $a \gt 0$
    • B. Pour tout $a \in \mathbb{R}$
    • C. Seulement si $a \lt 0$
    • D. Seulement si $y_0 = 1$
    Réponse

    B. Pour tout $a \in \mathbb{R}$ — $y = y_0 e^{ax} \gt 0$ pour tout $x$ car $y_0 \gt 0$ et $e^{ax} \gt 0$ quels que soient $a$ et $x$.

  3. Laquelle de ces fonctions est solution de $y' = 2y - 4$ ?

    • A. $2e^{2x}$
    • B. $e^{2x} + 2$
    • C. $2e^{2x} + 2$
    • D. $2$
    Réponse

    B. $e^{2x} + 2$ — $y = Ce^{2x} + 2$ avec $C = 1$ : vérif : $y' = 2e^{2x}$ et $2y - 4 = 2e^{2x} + 4 - 4 = 2e^{2x}$ ✓

  4. Si $f$ et $g$ sont deux solutions de $y' = ay$, alors $f - g$ est solution de :

    • A. $y' = 2ay$
    • B. $y' = 0$
    • C. $y' = ay$
    • D. $y' = a^2 y$
    Réponse

    C. $y' = ay$ — $(f-g)' = f' - g' = af - ag = a(f-g)$, donc $f - g$ est aussi solution de $y' = ay$.

  5. Pour $T' = -k(T - 20)$ avec $k = 0{,}1$, $T(0) = 80$, à quel temps $T = 40$ ?

    • A. $t = 10\ln 3$
    • B. $t = \frac{\ln 3}{0{,}1}$
    • C. $t = 10\ln 2$
    • D. $t = \frac{\ln 4}{0{,}1}$
    Réponse

    A. $t = 10\ln 3$ — $T = 60e^{-0{,}1t} + 20 = 40 \Rightarrow 60e^{-0{,}1t} = 20 \Rightarrow e^{-0{,}1t} = 1/3 \Rightarrow t = 10\ln 3$.

  6. La solution générale de $y' = 2y + 3$ peut s'écrire :

    • A. $Ce^{2x} + \frac{3}{2}$
    • B. $Ce^{2x} - \frac{3}{2}$
    • C. $Ce^{3x} + \frac{2}{3}$
    • D. $Ce^{2x} + 3$
    Réponse

    B. $Ce^{2x} - \frac{3}{2}$ — $-b/a = -3/2$, donc $y = Ce^{2x} - 3/2$.

  7. Si $y' = ay$ et $y(0) = y(1)$, alors :

    • A. $a = 1$
    • B. $a = 0$
    • C. $y = 0$ partout
    • D. $a = -1$
    Réponse

    B. $a = 0$ — $Ce^{a \cdot 0} = Ce^{a \cdot 1} \Rightarrow C = Ce^a$. Si $C \neq 0$ : $e^a = 1 \Rightarrow a = 0$.

  8. Une quantité double en 5 unités de temps en suivant $Q' = kQ$. Alors $k$ vaut :

    • A. $\frac{\ln 2}{5}$
    • B. $\frac{5}{\ln 2}$
    • C. $\frac{2}{5}$
    • D. $\frac{\ln 5}{2}$
    Réponse

    A. $\frac{\ln 2}{5}$ — $Q_0 e^{5k} = 2Q_0 \Rightarrow e^{5k} = 2 \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{5}$.

  9. La solution de $y' = -y + 1$ avec $y(0) = 1$ est :

    • A. $e^{-x} + 1$
    • B. $e^{-x}$
    • C. $1$
    • D. $e^{-x+1}$
    Réponse

    C. $1$ — $y = Ce^{-x} + 1$. $y(0) = C + 1 = 1 \Rightarrow C = 0$. Donc $y = 1$ (solution constante).

  10. L'équation $y'' = -y$ (deuxième ordre) est-elle au programme de Maths complémentaires Tle ?

    • A. Oui, c'est le cas général
    • B. Non, seules $y'=ay$ et $y'=ay+b$ sont au programme
    • C. Oui, mais uniquement avec condition initiale
    • D. Oui, avec coefficient constant
    Réponse

    B. Non, seules $y'=ay$ et $y'=ay+b$ sont au programme — En Maths complémentaires Terminale, seules les équations du premier ordre $y'=ay$ et $y'=ay+b$ sont au programme.

  11. Si $y = Ce^{-x} + 3$ est solution de $y' = ay + b$, alors $(a, b)$ vaut :

    • A. $(-1, 3)$
    • B. $(-1, -3)$
    • C. $(-1, 0)$
    • D. $(1, -3)$
    Réponse

    A. $(-1, 3)$ — $y' = -Ce^{-x}$ et $ay + b = a(Ce^{-x}+3)+b = aCe^{-x}+3a+b$. Donc $a = -1$ et $3a + b = 0 \Rightarrow b = 3$.

  12. Pour $y' = ky$ modélisant la désintégration, si $k = -\ln 2$, la demi-vie est :

    • A. $\frac{1}{\ln 2}$
    • B. $\ln 2$
    • C. $1$
    • D. $2$
    Réponse

    C. $1$ — $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|} = \frac{\ln 2}{\ln 2} = 1$.

  13. La solution de $y' = 2(y - 5)$ avec $y(0) = 7$ tend vers quoi quand $x \to +\infty$ ?

    • A. $7$
    • B. $5$
    • C. $+\infty$
    • D. $-\infty$
    Réponse

    C. $+\infty$ — $y' = 2y - 10$, $a = 2 \gt 0$. $C = y(0) + 5 - 5 = 7 - 5 = 2 \gt 0$, donc $y \to +\infty$.

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