Équations différentielles

1. a)L’équation est de la forme $y\prime =ay$ avec $a=2,5$. D’après le cours, ses solutions sur $ℝ$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^{2,5x}$, où $C$ est un réel quelconque. (1)
2. b)Ici $a=-1,25$ et $b=5$. La solution constante vérifie $-1,25c+5=0$, soit $c={\displaystyle \frac{5}{1,25}}=4$. Les solutions de $(E)$ sont donc les fonctions $x\mapsto C{e}^{-1,25x}+4$, $C\in ℝ$. (1)
3. c)$g$ est dérivable sur $ℝ$ et $g\prime (x)$ $=-3\times (-1,25)e^{-1,25x}$ $=3,75e^{-1,25x}$. Par ailleurs, $-1,25g(x)+5$ $=-5+3,75e^{-1,25x}+5$ $=3,75e^{-1,25x}$. Pour tout réel $x$, $g\prime (x)=-1,25g(x)+5$ : $g$ est solution de $(E)$. De plus $g(0)=4-3=1$. Comme l’équation admet une unique solution valant $1$ en $0$, c’est $g$. (1)
4. d)Une fonction constante a une dérivée nulle : on résout $0,8c-14=0$, soit $c={\displaystyle \frac{14}{0,8}}=17,5$. La solution constante est la fonction constante égale à $17,5$. (1)

Repère — La solution constante se trouve en résolvant ac + b = 0 : c’est −b/a, jamais b.

1. a)Ici $a=-0,45$ et $b=9$. La solution constante vérifie $-0,45c+9=0$, soit $c=20$. Les solutions sont les $x\mapsto C{e}^{-0,45x}+20$, $C\in ℝ$. La condition $f(0)=30$ donne $C+20=30$, soit $C=10$. Donc $f(x)=10e^{-0,45x}+20$. Vérification : $f(0)=10+20=30$. (1)
2. b)$f\prime (x)$ $=10\times (-0,45)e^{-0,45x}$ $=-4,5e^{-0,45x}$. Une exponentielle est strictement positive, donc $f\prime (x)<0$ pour tout $x$ : $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$. (1)
3. c)$-0,45<0$, donc $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{-0,45x}$ $=0$ et, par produit et somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=20$. La droite d’équation $y=20$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ ; comme $10e^{-0,45x}>0$, la courbe reste au-dessus de cette droite. (1)
4. d)$f(x)$ $⩽21$ $⟺10e^{-0,45x}$ $⩽1$ $⟺e^{-0,45x}$ $⩽0,1$ $⟺-0,45x$ $⩽\ln 0,1$ (la fonction $\ln$ est strictement croissante) $⟺x$ $⩾{\displaystyle \frac{\ln 10}{0,45}}$ (on divise par $-0,45<0$ : le sens change, et $-\ln 0,1=\ln 10$). L’ensemble des solutions est $[{\displaystyle \frac{\ln 10}{0,45}};+\infty [$, avec ${\displaystyle \frac{\ln 10}{0,45}}\approx 5,117$. (1)

Repère — Pour a < 0, toutes les solutions tendent vers la solution constante ; le signe de aC donne le sens de variation.

1. a)La solution constante vérifie $-1,2c+1560=0$, soit $c={\displaystyle \frac{1560}{1,2}}=1300$. Comme $a=-1,2<0$, toutes les solutions tendent vers $1300$ : à long terme, le taux de dioxyde de carbone se stabilise vers $1300$ ppm. (1)
2. b)Les solutions sont les $t\mapsto C{e}^{-1,2t}+1300$. La condition $y(0)=420$ donne $C+1300=420$, soit $C=-880$. Donc, pour tout $t⩾0$, $y(t)=1300-880e^{-1,2t}$. (1)
3. c)$45$ minutes $=0,75$ heure. $y(0,75)=1300-880e^{-0,9}$ ; avec $e^{-0,9}\approx 0,40657$, on obtient $y(0,75)\approx 942,2$ ppm. (1)
4. d)$y(t)$ $>1000$ $⟺880e^{-1,2t}$ $<300$ $⟺e^{-1,2t}$ $<{\displaystyle \frac{15}{44}}$ $⟺-1,2t$ $<\ln {\displaystyle \frac{15}{44}}$ $⟺t$ $>{\displaystyle \frac{\ln \frac{44}{15}}{1,2}}$ (division par $-1,2<0$). Or ${\displaystyle \frac{\ln \frac{44}{15}}{1,2}}$ $\approx 0,8968$ h, et $0,8968\times 60\approx 53,8$. Le seuil est dépassé au bout d’environ $54$ minutes. (1)

Repère — Un seuil se trouve en isolant l’exponentielle puis en appliquant ln ; une durée se convertit en minutes à la fin.

1. a)Les solutions de $c\prime =-0,26c$ sont les $t\mapsto K{e}^{-0,26t}$, et $c(0)=K=480$ : $c(t)=480e^{-0,26t}$. Alors $c(5)$ $=480e^{-1,3}$ $\approx 480\times 0,27253$ $\approx 130,8$ mg/L. (1)
2. b)$480e^{-0,26t}$ $=240$ $⟺e^{-0,26t}$ $=0,5$ $⟺-0,26t$ $=-\ln 2$ $⟺t$ $={\displaystyle \frac{\ln 2}{0,26}}$ $\approx 2,67$ h. Cette durée ne dépend pas de la concentration de départ. (1)
3. c)Pour tout $n$, $c_{n+1}$ $=c_n+0,5\times (-0,26c_n)$ $=(1-0,13)c_n$ $=0,87c_n$ : la suite est géométrique de raison $0,87$. Donc $c_1=480\times 0,87=417,6$ et $c_2$ $=0,87\times 417,6$ $=363,312$ mg/L. La valeur exacte est $c(1)=480e^{-0,26}\approx 370,1$ mg/L : la méthode d’Euler donne ici une valeur trop petite, d’environ $6,8$ mg/L. (1)
4. d)$c(20)$ $=480e^{-5,2}$ $\approx 480\times 0,005517$ $\approx 2,6$ mg/L. Une exponentielle ne s’annule jamais : $c(t)>0$ pour tout $t$. La concentration devient très faible mais reste strictement positive ; l’opérateur confond « proche de $0$ » et « nulle ». (1)

Repère — Pour y′ = ay, la méthode d’Euler donne une suite géométrique de raison 1 + ah.

1. a)On a $f(x)=C{e}^{ax}-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ avec $C\ne 0$, puisque $f$ n’est pas constante. Si $a>0$, $e^{ax}\to +\infty$ et $f$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $C$ : ce n’est pas le cas, donc $a<0$. Alors $e^{ax}\to 0$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)$ $=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$, d’où $-{\displaystyle \frac{b}{a}}=6$. (1)
2. b)$-{\displaystyle \frac{5,4}{a}}=6$ donne $a=-{\displaystyle \frac{5,4}{6}}=-0,9$. Les solutions sont les $x\mapsto C{e}^{-0,9x}+6$, et $f(0)=C+6=2$ donne $C=-4$. Donc $f(x)=6-4e^{-0,9x}$. (1)
3. c)Pour tout réel $x$, $e^{-0,9x}>0$, donc $4e^{-0,9x}>0$ et $f(x)=6-4e^{-0,9x}<6$ : la limite $6$ n’est jamais atteinte, la courbe reste au-dessous de son asymptote. (1)
4. d)$6-4e^{-0,9x}$ $=5$ $⟺e^{-0,9x}$ $=0,25$ $⟺-0,9x$ $=-\ln 4$ $⟺x$ $={\displaystyle \frac{\ln 4}{0,9}}$. Valeur exacte ${\displaystyle \frac{\ln 4}{0,9}}$, valeur approchée $1,540$. (1)

Repère — La limite finie d’une solution non constante impose a < 0 et donne la solution constante −b/a.