Équations différentielles

Exercice 1 — Solution générale et vérification
Corrigé :
1. La solution générale de $y' = -4y$ est $y(x) = Ce^{-4x}$, $C \in \mathbb{R}$. (1 pt)
2. $g'(x) = -12e^{-4x}$ et $-4g(x) = -4 \times 3e^{-4x} = -12e^{-4x}$ ✓ Donc $g' = -4g$. (2 pts)
3. Oui : $y = 0$ correspond à $C = 0$. $y' = 0 = -4 \times 0$ ✓ (1 pt)

Exercice 2 — Condition initiale
Corrigé :
1. $a = -3$, $b = 12$ : $-b/a = 12/3 = 4$. Solution générale : $y = Ce^{-3x} + 4$. (1 pt)
2. $y(0) = C + 4 = 8 \Rightarrow C = 4$. Solution : $y(x) = 4e^{-3x} + 4$. (2 pts)
3. $y(2) = 4e^{-6} + 4 \approx 4 \times 0{,}00248 + 4 \approx 4{,}01$. (1 pt)
4. Comme $a = -3 \lt 0$, $e^{-3x} \to 0$ donc $y(x) \to 4$. La solution converge vers 4. (1 pt)

Exercice 3 — Modélisation — population
Corrigé :
a) $P(t) = e^{0{,}4t}$ (car $C = 1$). (1 pt)
b) $P(5) = e^2 \approx 7{,}4$ milliers. (1 pt)
c) $e^{0{,}4t} = 10 \Rightarrow 0{,}4t = \ln 10 \Rightarrow t = \frac{\ln 10}{0{,}4} \approx \frac{2{,}303}{0{,}4} \approx 5{,}8$ heures. (3 pts)

Exercice 4 — Étude d'une solution et représentation
Corrigé :
a) $f'(x) = -e^x + (2-x)e^x = (1-x)e^x$. Or $f(x) = (2-x)e^x \neq (1-x)e^x$ en général. Donc $f' \neq f$. (1 pt)
b) $f'(x) = (1-x)e^x$ et $f(x) = (2-x)e^x$. Alors $f'(x) = f(x) - e^x$. Or $e^x = f(x) - (1-x)e^x + (1-x)e^x$... On essaie autrement : $f'(x) = (1-x)e^x = f(x) + (-1)e^x$. Mais $e^x$ n'est pas un multiple simple de $f$. En réalité : $f' = f - e^x$ ce qui n'est pas une équation différentielle du programme (le second membre dépend de $x$). L'exercice illustre qu'une fonction quelconque ne satisfait pas forcément $y' = ay + b$. (2 pts)

Exercice 5 — Problème de refroidissement
Corrigé :
a) $T' = 0{,}2(22 - T) = 0{,}2 \times 22 - 0{,}2T = 4{,}4 - 0{,}2T = -0{,}2T + 4{,}4$. (1 pt)
b) $a = -0{,}2$, $-b/a = 4{,}4/0{,}2 = 22$. Sol. générale : $T = Ce^{-0{,}2t} + 22$. Cond. initiale : $C + 22 = 18 \Rightarrow C = -4$. Sol. particulière : $T(t) = -4e^{-0{,}2t} + 22$. (1 pt)
c) Quand $t \to +\infty$, $e^{-0{,}2t} \to 0$, donc $T \to 22$ °C. (1 pt)