Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Équations différentielles
Résolution des équations y' = ay et y' = ay + b — modélisation en Terminale
À propos de cette page
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction (et non un nombre) et qui fait intervenir cette fonction et sa (ou ses) dérivée(s).
En Terminale Maths complémentaires, on étudie deux types :
- $y' = ay$ (équation homogène)
- $y' = ay + b$ (équation avec second membre constant)
où $a$ et $b$ sont des réels donnés, avec $a \neq 0$.
Équation y' = ay : solution générale
$$y(x) = C e^{ax}$$
où $C$ est une constante réelle arbitraire.
L'ensemble de toutes ces solutions (pour $C$ parcourant $\mathbb{R}$) s'appelle la solution générale.
Ici $a = -2$, donc la solution générale est $y(x) = C e^{-2x}$, $C \in \mathbb{R}$.
Vérification : $y'(x) = -2C e^{-2x} = -2 \times C e^{-2x} = -2y(x)$ ✓
Caption : Famille de solutions de $y' = -y$ — chaque courbe correspond à une valeur de la constante $C$.
Condition initiale et solution particulière de y' = ay
Pour déterminer une seule solution parmi la famille $y = Ce^{ax}$, il faut une information supplémentaire : la condition initiale.
La solution particulière vérifiant $y(x_0) = y_0$ est alors :
$$y(x) = y_0 \, e^{a(x - x_0)}$$Solution générale : $y = Ce^{3x}$.
Condition initiale : $y(0) = C e^0 = C = 5$.
Solution particulière : $\boxed{y(x) = 5e^{3x}}$.
1. Écrire la solution générale $y = Ce^{ax}$.
2. Substituer la condition initiale pour trouver $C$.
3. Écrire la solution particulière.
Équation y' = ay + b : solution générale
L'équation $y' = ay + b$ (avec $b \neq 0$) se ramène à l'équation homogène par changement de variable.
$$y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$$
où $C$ est une constante réelle arbitraire.
Idée de la démonstration : On pose $z = y + \frac{b}{a}$ (translation). Alors $z' = y'$ et l'équation devient $z' = az$, dont la solution est $z = Ce^{ax}$, d'où $y = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
Ici $a = 2$, $b = -6$, donc $-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$.
Solution générale : $y(x) = Ce^{2x} + 3$, $C \in \mathbb{R}$.
Vérification : $y'(x) = 2Ce^{2x}$ et $2y - 6 = 2(Ce^{2x} + 3) - 6 = 2Ce^{2x} + 6 - 6 = 2Ce^{2x}$ ✓
Caption : Famille de solutions de $y' = 2y - 6$ — la droite $y = 3$ est la solution constante.
Condition initiale et solution particulière de y' = ay + b
Comme pour $y' = ay$, une condition initiale permet de déterminer $C$ de façon unique.
1. Écrire $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
2. Substituer : $Ce^{ax_0} - \frac{b}{a} = y_0$, donc $C = \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}$.
3. Écrire la solution particulière.
Solution générale : $y = Ce^{2x} + 3$.
Condition : $C e^0 + 3 = 1 \Rightarrow C = -2$.
Solution particulière : $\boxed{y(x) = -2e^{2x} + 3}$.
Interprétation : quand $x \to +\infty$, $y \to -\infty$ (car $C = -2 \lt 0$).
| Type d'équation | Solution générale | Constante C |
|---|---|---|
| $y' = ay$ | $Ce^{ax}$ | $C = y_0 e^{-ax_0}$ |
| $y' = ay + b$ | $Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ | $C = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{-ax_0}$ |
Modélisation et applications
Les équations différentielles modélisent de nombreux phénomènes naturels où la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à cette grandeur (ou à une transformation affine de celle-ci).
| Phénomène | Équation | Interprétation |
|---|---|---|
| Croissance bactérienne | $N'(t) = k N(t)$ | $k \gt 0$ : taux de croissance |
| Désintégration radioactive | $N'(t) = -\lambda N(t)$ | $\lambda \gt 0$ : constante de désintégration |
| Refroidissement de Newton | $T'(t) = -k(T(t) - T_{\text{ext}})$ | Vitesse proportionnelle à l'écart de température |
| Remboursement d'emprunt | $C'(t) = r C(t) - m$ | $r$ : taux, $m$ : mensualité continue |
L'équation est $N'(t) = -0{,}1 N(t)$, avec $N(0) = 1000$.
Solution : $N(t) = 1000 e^{-0{,}1t}$.
Nombre d'atomes après 10 heures : $N(10) = 1000 e^{-1} \approx 368$.
Synthèse et méthode de résolution
Voici la démarche complète pour résoudre un problème d'équation différentielle :
1. Identifier le type : $y' = ay$ ou $y' = ay + b$ ?
2. Écrire la solution générale.
3. Utiliser la condition initiale pour trouver $C$.
4. Écrire la solution particulière.
5. Répondre à la question posée (calcul de valeur, comportement asymptotique, etc.).
• Si $a \gt 0$ et $C \gt 0$ : $y(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ (croissance exponentielle).
• Si $a \lt 0$ : $y(x) \to -\frac{b}{a}$ quand $x \to +\infty$ (convergence vers la solution constante).
• Si $a \lt 0$ et $b = 0$ : $y(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ (décroissance vers 0).
• Oublier le signe « $-$ » dans $-\frac{b}{a}$.
• Confondre $y' = ay$ (solution $Ce^{ax}$) et $y' = a$ (solution $ax + C$).
• Ne pas vérifier la solution trouvée par substitution.
Caption : Schéma récapitulatif de la méthode de résolution.
- $y' = ay$ → solution générale $y = Ce^{ax}$ ($C \in \mathbb{R}$)
- $y' = ay + b$ → solution générale $y = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ ($C \in \mathbb{R}$)
- La condition initiale $y(x_0) = y_0$ détermine $C$ de façon unique
- La solution constante de $y' = ay + b$ est $y = -\frac{b}{a}$ (obtenue pour $C = 0$)
- Vérification : substituer dans l'équation différentielle
Cours particuliers de maths complémentaires (option tle) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs