À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Équations différentielles » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?, Équation y' = ay : solution générale, Condition initiale et solution particulière de y' = ay, Équation y' = ay + b : solution générale. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
2 · Équation y' = ay : solution générale
3 · Condition initiale et solution particulière de y' = ay
4 · Équation y' = ay + b : solution générale
5 · Condition initiale et solution particulière de y' = ay + b
6 · Modélisation et applications
7 · Synthèse et méthode de résolution
1Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction (et non un nombre) et qui fait intervenir cette fonction et sa (ou ses) dérivée(s).
Définition. Une équation différentielle du premier ordre est une relation de la forme $F(x, y, y') = 0$ où $y$ est la fonction inconnue et $y'$ sa dérivée.
En Terminale Maths complémentaires, on étudie deux types :
- $y' = ay$ (équation homogène)
- $y' = ay + b$ (équation avec second membre constant)
où $a$ et $b$ sont des réels donnés, avec $a \neq 0$.
Exemple. L'équation $y' = 3y$ est une équation différentielle du type $y' = ay$ avec $a = 3$. Une solution est la fonction $f$ définie par $f(x) = 2e^{3x}$ car $f'(x) = 6e^{3x} = 3 \times 2e^{3x} = 3f(x)$.
Astuce. Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle se fait en calculant sa dérivée et en vérifiant l'égalité.
2Équation y' = ay : solution générale
Théorème. Les solutions de l'équation différentielle $y' = ay$ (où $a \in \mathbb{R}$) sont les fonctions de la forme :
$$y(x) = C e^{ax}$$
où $C$ est une constante réelle arbitraire.
L'ensemble de toutes ces solutions (pour $C$ parcourant $\mathbb{R}$) s'appelle la solution générale.
Exemple. Résoudre $y' = -2y$.
Ici $a = -2$, donc la solution générale est $y(x) = C e^{-2x}$, $C \in \mathbb{R}$.
Vérification : $y'(x) = -2C e^{-2x} = -2 \times C e^{-2x} = -2y(x)$ ✓
Attention ! La constante $C$ peut être n'importe quel réel, y compris 0 (qui donne la solution nulle $y = 0$). On ne peut pas simplifier $C e^{ax}$ en $e^{ax}$ sans perdre de solutions.
Caption : Famille de solutions de $y' = -y$ — chaque courbe correspond à une valeur de la constante $C$.
3Condition initiale et solution particulière de y' = ay
Pour déterminer une seule solution parmi la famille $y = Ce^{ax}$, il faut une information supplémentaire : la condition initiale.
Problème de Cauchy. Résoudre l'équation $y' = ay$ avec la condition initiale $y(x_0) = y_0$ revient à trouver la constante $C$ telle que $Ce^{ax_0} = y_0$, soit $C = y_0 e^{-ax_0}$.
La solution particulière vérifiant $y(x_0) = y_0$ est alors :
$$y(x) = y_0 \, e^{a(x - x_0)}$$
Exemple. Résoudre $y' = 3y$ avec $y(0) = 5$.
Solution générale : $y = Ce^{3x}$.
Condition initiale : $y(0) = C e^0 = C = 5$.
Solution particulière : $\boxed{y(x) = 5e^{3x}}$.
Méthode.
1. Écrire la solution générale $y = Ce^{ax}$.
2. Substituer la condition initiale pour trouver $C$.
3. Écrire la solution particulière.
4Équation y' = ay + b : solution générale
L'équation $y' = ay + b$ (avec $b \neq 0$) se ramène à l'équation homogène par changement de variable.
Théorème. Les solutions de $y' = ay + b$ (avec $a \neq 0$) sont les fonctions de la forme :
$$y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$$
où $C$ est une constante réelle arbitraire.
Idée de la démonstration : On pose $z = y + \frac{b}{a}$ (translation). Alors $z' = y'$ et l'équation devient $z' = az$, dont la solution est $z = Ce^{ax}$, d'où $y = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
Exemple. Résoudre $y' = 2y - 6$.
Ici $a = 2$, $b = -6$, donc $-\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$.
Solution générale : $y(x) = Ce^{2x} + 3$, $C \in \mathbb{R}$.
Vérification : $y'(x) = 2Ce^{2x}$ et $2y - 6 = 2(Ce^{2x} + 3) - 6 = 2Ce^{2x} + 6 - 6 = 2Ce^{2x}$ ✓
Attention ! Ne pas oublier la solution constante $y = -\frac{b}{a}$, obtenue pour $C = 0$. Elle vérifie bien $y' = 0 = a \cdot (-\frac{b}{a}) + b = -b + b = 0$.
Caption : Famille de solutions de $y' = 2y - 6$ — la droite $y = 3$ est la solution constante.
5Condition initiale et solution particulière de y' = ay + b
Comme pour $y' = ay$, une condition initiale permet de déterminer $C$ de façon unique.
Méthode. Pour résoudre $y' = ay + b$ avec $y(x_0) = y_0$ :
1. Écrire $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.
2. Substituer : $Ce^{ax_0} - \frac{b}{a} = y_0$, donc $C = \left(y_0 + \frac{b}{a}\right)e^{-ax_0}$.
3. Écrire la solution particulière.
Exemple. Résoudre $y' = 2y - 6$ avec $y(0) = 1$.
Solution générale : $y = Ce^{2x} + 3$.
Condition : $C e^0 + 3 = 1 \Rightarrow C = -2$.
Solution particulière : $\boxed{y(x) = -2e^{2x} + 3}$.
Interprétation : quand $x \to +\infty$, $y \to -\infty$ (car $C = -2 < 0$).
| Type d'équation | Solution générale | Constante C |
|---|
| $y' = ay$ | $Ce^{ax}$ | $C = y_0 e^{-ax_0}$ |
| $y' = ay + b$ | $Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$ | $C = \left(y_0 + \dfrac{b}{a}\right)e^{-ax_0}$ |
6Modélisation et applications
Les équations différentielles modélisent de nombreux phénomènes naturels où la vitesse de variation d'une grandeur est proportionnelle à cette grandeur (ou à une transformation affine de celle-ci).
| Phénomène | Équation | Interprétation |
|---|
| Croissance bactérienne | $N'(t) = k N(t)$ | $k > 0$ : taux de croissance |
| Désintégration radioactive | $N'(t) = -\lambda N(t)$ | $\lambda > 0$ : constante de désintégration |
| Refroidissement de Newton | $T'(t) = -k(T(t) - T_{\text{ext}})$ | Vitesse proportionnelle à l'écart de température |
| Remboursement d'emprunt | $C'(t) = r C(t) - m$ | $r$ : taux, $m$ : mensualité continue |
Exemple — Radioactivité. Un échantillon contient initialement $N_0 = 1000$ atomes radioactifs. Le taux de désintégration est $\lambda = 0{,}1$ (en h⁻¹).
L'équation est $N'(t) = -0{,}1 N(t)$, avec $N(0) = 1000$.
Solution : $N(t) = 1000 e^{-0{,}1t}$.
Nombre d'atomes après 10 heures : $N(10) = 1000 e^{-1} \approx 368$.
Astuce — Demi-vie. La demi-vie $t_{1/2}$ est le temps au bout duquel la moitié des atomes s'est désintégrée. On résout $e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2}$, soit $t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$.
7Synthèse et méthode de résolution
Voici la démarche complète pour résoudre un problème d'équation différentielle :
Algorithme de résolution.
1. Identifier le type : $y' = ay$ ou $y' = ay + b$ ?
2. Écrire la solution générale.
3. Utiliser la condition initiale pour trouver $C$.
4. Écrire la solution particulière.
5. Répondre à la question posée (calcul de valeur, comportement asymptotique, etc.).
Comportement asymptotique.
• Si $a > 0$ et $C > 0$ : $y(x) \to +\infty$ quand $x \to +\infty$ (croissance exponentielle).
• Si $a < 0$ : $y(x) \to -\frac{b}{a}$ quand $x \to +\infty$ (convergence vers la solution constante).
• Si $a < 0$ et $b = 0$ : $y(x) \to 0$ quand $x \to +\infty$ (décroissance vers 0).
Pièges fréquents.
• Oublier le signe « $-$ » dans $-\frac{b}{a}$.
• Confondre $y' = ay$ (solution $Ce^{ax}$) et $y' = a$ (solution $ax + C$).
• Ne pas vérifier la solution trouvée par substitution.
Caption : Schéma récapitulatif de la méthode de résolution.
★À retenir
À retenir :
• $y' = ay$ → solution générale $y = Ce^{ax}$ ($C \in \mathbb{R}$)
• $y' = ay + b$ → solution générale $y = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$ ($C \in \mathbb{R}$)
• La condition initiale $y(x_0) = y_0$ détermine $C$ de façon unique
• La solution constante de $y' = ay + b$ est $y = -\frac{b}{a}$ (obtenue pour $C = 0$)
• Vérification : substituer dans l'équation différentielle