Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Équations différentielles

Q: Quel lien entre l’exponentielle et les équations différentielles ?

En 1re, l’exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable telle que f′ = f et f(0) = 1 : c’est la solution de y′ = y qui vaut 1 en 0. Toutes les solutions des équations y′ = ay et y′ = ay + b s’écrivent avec des exponentielles e^(ax), dont la dérivée est ae^(ax).

Q: Comment vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle ?

On calcule f′(x) en dérivant, puis séparément af(x) + b en développant, et on constate que les deux expressions sont égales pour tout x. Pour montrer qu’une fonction n’est pas solution, une seule valeur de x où l’égalité est fausse suffit.

Q: Quelles sont les solutions de y′ = ay ?

Ce sont les fonctions x ↦ Ce^(ax), où C est un réel quelconque. La constante C se lit en 0 : C = f(0). Le sens de variation dépend du signe de aC, et si a < 0, toutes les solutions tendent vers 0 en +∞.

Q: Comment résoudre y′ = ay + b avec une condition initiale ?

On cherche la solution constante en résolvant ac + b = 0, soit c = −b/a. Les solutions sont les x ↦ Ce^(ax) + c. La condition initiale f(x₀) = y₀ donne une seule valeur de C : la solution est unique.

Q: Comment calculer au bout de combien de temps un seuil est atteint ?

On écrit l’équation ou l’inéquation avec l’expression de la solution, on isole l’exponentielle, puis on applique ln (en changeant le sens si l’on divise par un nombre négatif). On conclut par une valeur approchée avec l’unité. La valeur d’équilibre, elle, n’est jamais atteinte.

Q: À quoi sert la méthode d’Euler ?

Elle donne des valeurs approchées d’une solution, pas à pas, en suivant la tangente : yₙ₊₁ = yₙ + h(ayₙ + b). Les valeurs forment une suite arithmético-géométrique (géométrique si b = 0), et l’approximation s’améliore quand le pas h diminue.

Rappels sur l’exponentielle, notion de solution et vérification, équations y′ = ay et y′ = ay + b avec solution constante, condition initiale et allure des courbes, modélisation (équilibre, seuil), méthode d’Euler.

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires de Terminale sur les équations différentielles suit six parties : rappels de 1re sur l’exponentielle (solution de y′ = y), notion de solution et vérification, équation y′ = ay avec sa démonstration, équation y′ = ay + b avec solution constante, condition initiale et allure des courbes, modélisation (loi de Newton, désintégration, équilibre et seuil), méthode d’Euler avec un programme Python.

Rappels de 1re : l’exponentielle, solution de y′ = y

Ce qu’il faut savoir

Définition (1^re). La fonction exponentielle est l’unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que $f' = f$ et $f (0) = 1$ . On la note $x \mapsto e^{x}$ , avec $e = e^{1} \approx 2, 718$ . C’est déjà une équation différentielle : l’exponentielle est la solution de $y' = y$ qui vaut $1$ en $0$ .

Signe et calcul. Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ : une exponentielle ne s’annule jamais. Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$ et $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ .

Dérivée de $x \mapsto C e^{a x + b}$ ( $a$ , $b$ , $C$ réels) : ${(C e^{a x + b})}^{'} = a C e^{a x + b}$ . Le coefficient $a$ de $x$ « descend » devant l’exponentielle.

Sens de variation et limites. Si $a > 0$ , $x \mapsto e^{a x}$ est strictement croissante et tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ ; si $a < 0$ , elle est strictement décroissante et tend vers $0$ en $+ \infty$ (limites : chapitre Limites, continuité et TVI).

Isoler $x$ dans une exponentielle (chapitre Fonction logarithme népérien) : pour $k > 0$ , $e^{a x} = k ⟺ a x = \ln k$ . La fonction $\ln$ est strictement croissante : elle conserve le sens des inégalités entre nombres strictement positifs.

Lien avec les suites géométriques (1^re). Si $f (t) = C e^{a t}$ , les valeurs aux instants entiers $u_{n} = f (n) = C e^{a n}$ forment une suite géométrique de raison $e^{a}$ : la fonction est la version « en temps continu » d’une évolution à taux constant.

Exemples

Dériver. $g (x) = 6 - 5 e^{- 0, 4 x}$ : $g' (x)$ $= - 5 \times (- 0, 4) e^{- 0, 4 x}$ $= 2 e^{- 0, 4 x}$ . Comme $e^{- 0, 4 x} > 0$ , $g' (x) > 0$ : $g$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

Une solution de $y' = y$ déjà connue. $k (x) = 3 e^{x}$ vérifie $k' (x) = 3 e^{x} = k (x)$ et $k (0) = 3$ . En 1^re, l’exponentielle a été définie comme la solution de $y' = y$ qui vaut $1$ en $0$ ; ce chapitre démontre que les solutions de $y' = a y$ sont toutes les $x \mapsto C e^{a x}$ (pour $a = 1$ : les $x \mapsto C e^{x}$ , comme $k$ ), puis résout $y' = a y + b$ .

Résoudre une équation. $4 e^{0, 5 t}$ $= 30$ $⟺ e^{0, 5 t}$ $= 7, 5$ $⟺ 0, 5 t$ $= \ln 7, 5$ $⟺ t$ $= 2 \ln 7, 5$ $\approx 4, 03$ .

Résoudre une inéquation. $12 e^{- 0, 2 t}$ $< 3$ $⟺ e^{- 0, 2 t}$ $< 0, 25$ $⟺ - 0, 2 t$ $< \ln 0, 25$ (la fonction $\ln$ est croissante) $⟺ t > \frac{\ln 0, 25}{- 0, 2}$ , soit $t > 5 \ln 4 \approx 6, 93$ : on a divisé par $- 0, 2 < 0$ , le sens a changé.

Discret et continu. $f (t) = 200 e^{0, 1 t}$ : $f (n + 1)$ $= 200 e^{0, 1 n} e^{0, 1}$ $= e^{0, 1} f (n)$ . Les valeurs $f (0)$ , $f (1)$ , $f (2)$ … forment une suite géométrique de raison $e^{0, 1} \approx 1, 105$ : une hausse d’environ $10, 5 %$ par unité de temps.

Réflexe — Pour dériver $C e^{a x + b}$ , je multiplie par $a$ sans toucher à l’exposant. Pour isoler $t$ dans $C e^{a t} = k$ , je divise par $C$ , j’applique $\ln$ (le nombre obtenu doit être strictement positif), puis je divise par $a$ — en changeant le sens d’une inégalité si $a < 0$ .

Attention — ${(e^{a x})}^{'} = a e^{a x}$ , et non $e^{a}$ , ni $a e^{x}$ , ni $a x e^{a x - 1}$ : l’exponentielle n’est pas une puissance de $x$ . Et $e^{a (x - 1)} = e^{a x - a} = e^{a x} e^{- a}$ , jamais $e^{a x} - e^{a}$ .

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Équation différentielle : solution et vérification

Ce qu’il faut savoir

Équation différentielle. Dans une équation ordinaire, l’inconnue est un nombre ; dans une équation différentielle, l’inconnue est une fonction $y$ , et l’équation relie $y$ et sa dérivée $y'$ . Une solution sur un intervalle $I$ est une fonction $f$ dérivable sur $I$ qui rend l’égalité vraie pour tout $x$ de $I$ . Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.

Notation. $a$ et $b$ étant deux réels fixés, l’écriture « $y' = a y + b$ » est un raccourci pour « pour tout réel $x$ , $f' (x) = a f (x) + b$ ». Le programme se limite à ces équations : du premier ordre (seule la dérivée $y'$ intervient), linéaires et à coefficients constants ( $a$ et $b$ ne dépendent pas de $x$ ).

Vérifier qu’une fonction est solution. On calcule $f' (x)$ d’un côté, $a f (x) + b$ de l’autre, et on constate que les deux expressions sont égales pour tout $x$ . Pour montrer qu’une fonction n’est pas solution, une seule valeur de $x$ où l’égalité est fausse suffit.

Cas $a = 0$ : l’équation $y' = b$ . Ses solutions sont les primitives de la fonction constante $b$ , c’est-à-dire les fonctions $x \mapsto b x + K$ ( $K$ réel). Plus généralement, les solutions de $y' = f$ sont les primitives de $f$ (chapitre Primitives). Dans $y' = a y + b$ avec $a \neq 0$ , la dérivée dépend en plus de la fonction cherchée.

Une infinité de solutions. Une équation $y' = a y + b$ a une infinité de solutions, qui dépendent d’une constante ; une condition initiale $y (x_{0}) = y_{0}$ en sélectionne une seule.

Exemples

Vérifier, équation $y' = a y$ . $f (x) = 6 e^{- 0, 15 x}$ est-elle solution de $y' = - 0, 15 y$ ? Pour tout réel $x$ , $f' (x)$ $= 6 \times (- 0, 15) e^{- 0, 15 x}$ $= - 0, 15 \times 6 e^{- 0, 15 x}$ $= - 0, 15 f (x)$ : oui.

Vérifier, équation $y' = a y + b$ . $g (t) = 5 e^{- 0, 2 t} + 12$ et l’équation $y' = - 0, 2 y + 2, 4$ . D’une part, $g' (t)$ $= 5 \times (- 0, 2) e^{- 0, 2 t}$ $= - e^{- 0, 2 t}$ . D’autre part, $- 0, 2 g (t) + 2, 4$ $= - e^{- 0, 2 t} - 2, 4 + 2, 4$ $= - e^{- 0, 2 t}$ . Les deux expressions coïncident pour tout réel $t$ : $g$ est solution.

Montrer qu’une fonction n’est pas solution. $k (x) = 2 e^{3 x} + 1$ et l’équation $y' = 3 y$ . En $x = 0$ : $k' (0) = 6$ alors que $3 k (0) = 9$ . L’égalité est fausse en $0$ : $k$ n’est pas solution.

Cas $a = 0$ . Les solutions de $y' = - 4$ sont les fonctions $x \mapsto - 4 x + K$ , $K \in ℝ$ : des droites parallèles, de coefficient directeur $- 4$ .

Réflexe — Je calcule $f' (x)$ en dérivant, je calcule à part $a f (x) + b$ en développant, puis je compare. Je conclus par la phrase : « pour tout réel $x$ , $f' (x) = a f (x) + b$ , donc $f$ est solution ».

Attention — Vérifier l’égalité en un seul point ne prouve pas qu’une fonction est solution : il faut l’égalité pour tout $x$ . Et quand on demande de « résoudre », répondre par une seule fonction est incomplet : la réponse contient la constante et la mention « où $C$ est un réel quelconque ».

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L’équation y′ = ay

Ce qu’il faut savoir

Théorème. Soit $a$ un réel. Les solutions sur $ℝ$ de l’équation différentielle $y' = a y$ sont exactement les fonctions $x \mapsto C e^{a x}$ , où $C$ est un réel quelconque.

Condition initiale. Pour tous réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , il existe une unique solution telle que $f (x_{0}) = y_{0}$ . En $0$ , c’est immédiat : $f (0) = C e^{0} = C$ , donc $C = y_{0}$ . En $x_{0} \neq 0$ : $C e^{a x_{0}} = y_{0}$ donne $C = y_{0} e^{- a x_{0}}$ , et $f (x) = y_{0} e^{a (x - x_{0})}$ .

Allure des courbes ( $C \neq 0$ ). Comme $e^{a x} > 0$ , une solution garde le signe de $C$ et ne s’annule jamais. Sa dérivée $f' (x) = a C e^{a x}$ a le signe du produit $a C$ :

	$C > 0$	$C < 0$
$a > 0$	croissante, tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ (croissance exponentielle)	décroissante, tend vers $- \infty$ en $+ \infty$
$a < 0$	décroissante, tend vers $0$ en $+ \infty$ (décroissance exponentielle)	croissante, tend vers $0$ en $+ \infty$

Temps de doublement, demi-vie. Pour $f (t) = C e^{a t}$ , $f (t + T) = e^{a T} f (t)$ : sur une durée $T$ , la grandeur est toujours multipliée par le même facteur $e^{a T}$ , quelle que soit sa valeur de départ. Si $a > 0$ , elle double en $T = \frac{\ln 2}{a}$ ; si $a < 0$ , elle est divisée par deux en $T = \frac{\ln 2}{- a}$ : c’est la demi-vie.

Exemples

Démonstration du théorème (au programme). Ces fonctions conviennent : ${(C e^{a x})}^{'} = a C e^{a x}$ . Ce sont les seules : soit $f$ une solution ; posons $g (x) = f (x) e^{- a x}$ , dérivable comme produit. Pour tout réel $x$ , $g' (x)$ $= f' (x) e^{- a x} - a f (x) e^{- a x}$ $= (f' (x) - a f (x)) e^{- a x}$ $= 0$ , puisque $f' (x) = a f (x)$ . La fonction $g$ est donc constante sur $ℝ$ , égale à un réel $C$ : $f (x) e^{- a x} = C$ , d’où $f (x) = C e^{a x}$ (on multiplie par $e^{a x}$ ).

Condition en $0$ . Les solutions de $y' = 0, 8 y$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{0, 8 x}$ ; celle qui vaut $- 3$ en $0$ est $x \mapsto - 3 e^{0, 8 x}$ . Ici $a > 0$ et $C < 0$ : elle est décroissante et tend vers $- \infty$ en $+ \infty$ .

Condition en $x_{0} \neq 0$ . Solution de $y' = 1, 5 y$ telle que $f (2) = 4$ : $C e^{3} = 4$ , donc $C = 4 e^{- 3}$ et $f (x)$ $= 4 e^{- 3} e^{1, 5 x}$ $= 4 e^{1, 5 (x - 2)}$ . Vérification : $f (2) = 4 e^{0} = 4$ .

Demi-vie. Une substance se dégrade selon $m' = - 0, 02 m$ ( $t$ en jours). Sa demi-vie $T$ vérifie $e^{- 0, 02 T} = \frac{1}{2}$ , soit $- 0, 02 T = - \ln 2$ et $T = 50 \ln 2 \approx 34, 7$ jours, quelle que soit la masse de départ.

Réflexe — Pour $y' = a y$ , j’écris directement $f (x) = C e^{a x}$ , avec le même $a$ en exposant ; la condition initiale donne ensuite $C$ : $C = f (0)$ si elle est donnée en $0$ .

Attention — Le coefficient $a$ va dans l’exposant, la valeur initiale devant : la solution de $y' = 2 y$ qui vaut $7$ en $0$ est $7 e^{2 x}$ , pas $2 e^{7 x}$ . Et si la condition est donnée en $x_{0} \neq 0$ , $C$ n’est pas égal à $y_{0}$ .

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L’équation y′ = ay + b et la condition initiale

Ce qu’il faut savoir

Solution constante. Soit $a \neq 0$ et $b$ deux réels. Une fonction constante a une dérivée nulle : la fonction constante égale à $c$ est solution de $y' = a y + b$ si et seulement si $0 = a c + b$ , c’est-à-dire $c = - \frac{b}{a}$ . C’est la seule solution constante.

Théorème. Les solutions sur $ℝ$ de $y' = a y + b$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , où $C$ décrit $ℝ$ : on ajoute la solution constante aux solutions de $y' = a y$ .

Existence et unicité. Pour tous réels $x_{0}$ et $y_{0}$ , l’équation admet une unique solution $f$ telle que $f (x_{0}) = y_{0}$ : l’équation $C e^{a x_{0}} - \frac{b}{a} = y_{0}$ , d’inconnue $C$ , a une seule solution, car $e^{a x_{0}} \neq 0$ . Si $x_{0} = 0$ : $C = y_{0} + \frac{b}{a}$ . Conséquence : deux courbes solutions distinctes ne se coupent jamais (sinon elles auraient la même valeur en un point, donc seraient la même solution).

Allure des courbes. Si $a < 0$ , $e^{a x} \to 0$ en $+ \infty$ : toutes les solutions tendent vers $- \frac{b}{a}$ , et la droite d’équation $y = - \frac{b}{a}$ est asymptote horizontale (état d’équilibre). Une solution qui part au-dessus ( $C > 0$ ) décroît vers cette valeur, une solution qui part au-dessous ( $C < 0$ ) croît vers elle, sans jamais l’atteindre. Si $a > 0$ , les solutions non constantes tendent vers $+ \infty$ ( $C > 0$ ) ou vers $- \infty$ ( $C < 0$ ).

Exemples

Démonstration du théorème. Soit $f$ une fonction dérivable et $g = f + \frac{b}{a}$ , de sorte que $g' = f'$ . Si $f$ est solution, $g'$ $= f'$ $= a f + b$ $= a (g - \frac{b}{a}) + b$ $= a g$ : $g$ est solution de $y' = a y$ , donc $g (x) = C e^{a x}$ et $f (x) = C e^{a x} - \frac{b}{a}$ . Réciproquement, ces fonctions conviennent : ${(C e^{a x} - \frac{b}{a})}^{'}$ $= a C e^{a x}$ et $a (C e^{a x} - \frac{b}{a}) + b$ $= a C e^{a x}$ .

Rédaction modèle. Résolvons $y' = - 0, 5 y + 4$ avec $f (0) = 10$ . Ici $a = - 0, 5$ et $b = 4$ ; la solution constante vérifie $- 0, 5 c + 4 = 0$ , soit $c = 8$ . Les solutions sont les fonctions $x \mapsto C e^{- 0, 5 x} + 8$ , $C \in ℝ$ . La condition donne $C + 8 = 10$ , soit $C = 2$ . Donc $f (x) = 2 e^{- 0, 5 x} + 8$ . Vérification : $f (0) = 2 + 8 = 10$ . Comme $- 0, 5 < 0$ , $lim_{x \to + \infty} f (x) = 8$ .

Quatre solutions de $y' = - 0, 5 y + 4$ (valant $14$ , $10$ , $4$ et $0$ en $0$ ) : elles ne se coupent pas et se rapprochent toutes de la droite d’équation $y = 8$ .

Condition en $x_{0} \neq 0$ . $y' = 0, 7 y + 2, 1$ avec $f (1) = 5$ : $- \frac{2, 1}{0, 7} = - 3$ , donc les solutions sont les $x \mapsto C e^{0, 7 x} - 3$ . La condition donne $C e^{0, 7} - 3 = 5$ , soit $C e^{0, 7} = 8$ et $C = 8 e^{- 0, 7}$ . Ainsi $f (x)$ $= 8 e^{- 0, 7} e^{0, 7 x} - 3$ $= 8 e^{0, 7 (x - 1)} - 3$ .

Le signe de $- \frac{b}{a}$ . Pour $y' = 2 y - 9$ : $2 c - 9 = 0$ donne $c = 4, 5$ (dans $- \frac{- 9}{2}$ , les deux signes « moins » s’annulent). Pour $y' = - 0, 4 y + 7$ : $c = 17, 5$ , et non $7$ .

Réflexe — Je cherche d’abord la solution constante en résolvant $a c + b = 0$ (plutôt que de réciter $- \frac{b}{a}$ ), j’écris $x \mapsto C e^{a x} + c$ , puis la condition initiale donne $C$ . Je vérifie à la fin la valeur en $x_{0}$ .

Attention — La constante ajoutée n’est pas $b$ : les solutions de $y' = a y + b$ sont les $C e^{a x} - \frac{b}{a}$ , et non les $C e^{a x} + b$ . Et ne pas confondre $C$ , qui dépend de la condition initiale, avec $- \frac{b}{a}$ , qui ne dépend que de l’équation.

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Modéliser un phénomène : équilibre et seuil

Ce qu’il faut savoir

Traduire un énoncé. La vitesse de variation d’une grandeur $y$ au cours du temps $t$ est sa dérivée $y' (t)$ . On développe pour obtenir la forme $y' = a y + b$ .

Phrase de l’énoncé	Équation	Équilibre
la grandeur varie proportionnellement à sa valeur (population, désintégration, élimination)	$y' = k y$	$0$ ; croissance si $k > 0$ , décroissance si $k < 0$
la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart avec la température ambiante $θ_{a}$ (loi de Newton)	$θ' = - k (θ - θ_{a})$ , $k > 0$	$θ_{a}$
un apport constant $D$ par unité de temps et une élimination proportionnelle à la quantité, de coefficient $k$	$Q' = - k Q + D$	$\frac{D}{k}$

Unités. $t$ étant un temps, $a$ s’exprime « par unité de temps » ( $h^{- 1}$ , ${m i n}^{- 1}$ , ${a n}^{- 1}$ ) et $b$ dans l’unité de la grandeur par unité de temps.

Exploiter la solution. La solution constante $- \frac{b}{a}$ est l’état d’équilibre (température de la pièce, plateau d’un traitement, effectif stationnaire) ; si $a < 0$ , la grandeur s’en approche sans jamais l’atteindre. Pour savoir quand un seuil est atteint, on isole l’exponentielle, on applique $\ln$ , puis on conclut avec l’unité.

Exemples

Traduire. Un échantillon se désintègre à une vitesse proportionnelle à la masse présente, de coefficient $0, 032$ par jour ; sa masse initiale est de $250$ mg. On note $m (t)$ la masse, en mg, au bout de $t$ jours. La masse diminue, donc $m' (t) = - 0, 032 m (t)$ : $a = - 0, 032$ et $b = 0$ . Les solutions sont les $t \mapsto C e^{- 0, 032 t}$ et $m (0) = 250$ donne $C = 250$ : $m (t) = 250 e^{- 0, 032 t}$ .

Loi de Newton, puis seuil. Un thé à $85$ °C refroidit dans une pièce à $20$ °C ; la vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart avec la pièce, de coefficient $0, 08$ par minute. Avec $θ (t)$ la température en °C au bout de $t$ minutes : $θ' (t)$ $= - 0, 08 (θ (t) - 20)$ $= - 0, 08 θ (t) + 1, 6$ . La solution constante vaut $20$ , donc $θ (t) = C e^{- 0, 08 t} + 20$ , et $θ (0) = 85$ donne $C = 65$ . Le thé se boit sous $50$ °C : $65 e^{- 0, 08 t} + 20$ $< 50$ $⟺ e^{- 0, 08 t}$ $< \frac{6}{13}$ $⟺ - 0, 08 t$ $< \ln \frac{6}{13}$ $⟺ t$ $> \frac{\ln \frac{13}{6}}{0, 08}$ $\approx 9, 66$ . Au bout d’environ $9, 7$ minutes, le thé est buvable ; sa température tend vers $20$ °C sans l’atteindre.

Seuil pour une solution de $y' = a y$ . Pour $f (t) = 20 e^{- 0, 3 t}$ : $f (t)$ $= 3$ $⟺ e^{- 0, 3 t}$ $= 0, 15$ $⟺ - 0, 3 t$ $= \ln 0, 15$ $⟺ t$ $= \frac{\ln \frac{20}{3}}{0, 3}$ $\approx 6, 3$ unités de temps.

Réflexe — Je nomme la grandeur et la variable avec leurs unités, je traduis « proportionnelle à… » par une égalité sur $y'$ , je développe pour lire $a$ et $b$ , et je relève la valeur initiale. À la fin, chaque résultat a une unité et une phrase de conclusion.

Attention — Une grandeur qui « diminue » donne un coefficient négatif : $m' = - 0, 032 m$ , pas $m' = 0, 032 m$ . Et la valeur d’équilibre n’est jamais atteinte par une solution non constante : le modèle donne une asymptote, pas un instant d’arrivée.

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Méthode d’Euler : approcher une solution

Ce qu’il faut savoir

Idée. Pour $h$ petit, l’approximation affine vue en 1^re donne $f (x + h) \approx f (x) + h f' (x)$ : on avance le long de la tangente. Si $f$ est solution de $y' = a y + b$ , alors $f' (x) = a f (x) + b$ , donc $f (x + h)$ $\approx f (x) + h (a f (x) + b)$ .

Méthode d’Euler. On part de $x_{0}$ et de $y_{0} = f (x_{0})$ , on choisit un pas $h > 0$ et on calcule de proche en proche :
$x_{n + 1} = x_{n} + h$ et $y_{n + 1} = y_{n} + h (a y_{n} + b)$ .
Le nombre $y_{n}$ est une valeur approchée de $f (x_{0} + n h)$ ; l’approximation est en général meilleure quand $h$ diminue.

Discret et continu. La relation s’écrit $y_{n + 1} = (1 + a h) y_{n} + h b$ : la suite $(y_{n})$ est arithmético-géométrique (chapitre Suites et modèles discrets), et géométrique de raison $1 + a h$ quand $b = 0$ . La méthode d’Euler remplace le modèle continu par un modèle discret.

En Python. Une boucle for répète $n$ fois le même pas.

Exemples

Trois pas à la main. Soit $f$ la solution de $y' = 0, 4 y + 2$ telle que $f (0) = 0$ , et le pas $h = 0, 5$ . Alors $y_{n + 1}$ $= y_{n} + 0, 5 (0, 4 y_{n} + 2)$ $= 1, 2 y_{n} + 1$ :
$y_{1} = 1, 2 \times 0 + 1 = 1$ ; $y_{2} = 1, 2 \times 1 + 1 = 2, 2$ ; $y_{3} = 1, 2 \times 2, 2 + 1 = 3, 64$ .
Valeur exacte : la solution constante vaut $- 5$ et $f (0) = 0$ donne $C = 5$ , donc $f (x) = 5 e^{0, 4 x} - 5$ et $f (1, 5)$ $= 5 e^{0, 6} - 5$ $\approx 4, 111$ . Ici, Euler donne une valeur trop petite.

Le même calcul en Python.

def euler(a, b, y0, h, n):
    y = y0
    for k in range(n):
        y = y + h * (a * y + b)
    return y

L’appel euler(0.4, 2, 0, 0.5, 3) renvoie $3, 64$ (Python peut afficher quelques chiffres parasites, dus au calcul en virgule flottante). Avec un pas dix fois plus petit, euler(0.4, 2, 0, 0.05, 30) renvoie environ $4, 057$ , plus proche de $f (1, 5) \approx 4, 111$ .

Réflexe — J’écris d’abord la relation $y_{n + 1} = y_{n} + h (a y_{n} + b)$ , simplifiée sous la forme $y_{n + 1} = (1 + a h) y_{n} + h b$ , puis je calcule les termes un par un en gardant les valeurs exactes (ou assez de décimales).

Attention — Les $y_{n}$ sont des valeurs approchées : ne pas les confondre avec les valeurs exactes $f (x_{n})$ . Le pas $h$ multiplie toute la dérivée $a y_{n} + b$ , pas seulement $a y_{n}$ . Si la solution est convexe, ses tangentes sont sous la courbe et, avec un pas assez petit, Euler donne des valeurs trop petites (chapitre Convexité).

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Pour aller plus loin

Primitives et équation $y' = f$ . Quand la dérivée cherchée ne dépend que de $x$ (vitesse donnée, coût marginal), les solutions sont les primitives : primitives usuelles, formes $2 u' u$ , $u' e^{u}$ , $\frac{u'}{u}$ et condition initiale sont traitées dans le chapitre Primitives.

Équation logistique. Le modèle de Verhulst $y' = a y (b - y)$ , qui freine une croissance, n’est pas linéaire : on peut vérifier qu’une fonction donnée en est solution, mais aucune méthode de résolution n’est au programme.

Pour aller plus loin. En spécialité maths, on résout aussi des équations $y' = a y + f (x)$ dont le second membre dépend de $x$ : chapitre Équations différentielles (spécialité).

À retenir

Équation différentielle : l’inconnue est une fonction. Vérifier une solution : calculer $f' (x)$ et $a f (x) + b$ séparément, puis comparer pour tout $x$ .
$y' = a y$ : solutions $x \mapsto C e^{a x}$ , $C \in ℝ$ , avec $C = f (0)$ .
$y' = a y + b$ ( $a \neq 0$ ) : solution constante $c = - \frac{b}{a}$ (on résout $a c + b = 0$ ), solutions $x \mapsto C e^{a x} + c$ .
Une condition initiale $f (x_{0}) = y_{0}$ fixe une unique solution ; si $a < 0$ , toutes les solutions tendent vers l’équilibre $- \frac{b}{a}$ sans l’atteindre.
Seuil : isoler l’exponentielle, appliquer $\ln$ , changer le sens si l’on divise par un nombre négatif, conclure avec l’unité.
Euler : $y_{n + 1} = y_{n} + h (a y_{n} + b)$ donne des valeurs approchées de $f (x_{0} + n h)$ .

Questions fréquentes

Quel lien entre l’exponentielle et les équations différentielles ?

En 1re, l’exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable telle que f′ = f et f(0) = 1 : c’est la solution de y′ = y qui vaut 1 en 0. Toutes les solutions des équations y′ = ay et y′ = ay + b s’écrivent avec des exponentielles e^(ax), dont la dérivée est ae^(ax).

Comment vérifier qu’une fonction est solution d’une équation différentielle ?

On calcule f′(x) en dérivant, puis séparément af(x) + b en développant, et on constate que les deux expressions sont égales pour tout x. Pour montrer qu’une fonction n’est pas solution, une seule valeur de x où l’égalité est fausse suffit.

Quelles sont les solutions de y′ = ay ?

Ce sont les fonctions x ↦ Ce^(ax), où C est un réel quelconque. La constante C se lit en 0 : C = f(0). Le sens de variation dépend du signe de aC, et si a < 0, toutes les solutions tendent vers 0 en +∞.

Comment résoudre y′ = ay + b avec une condition initiale ?

On cherche la solution constante en résolvant ac + b = 0, soit c = −b/a. Les solutions sont les x ↦ Ce^(ax) + c. La condition initiale f(x₀) = y₀ donne une seule valeur de C : la solution est unique.

Comment calculer au bout de combien de temps un seuil est atteint ?

On écrit l’équation ou l’inéquation avec l’expression de la solution, on isole l’exponentielle, puis on applique ln (en changeant le sens si l’on divise par un nombre négatif). On conclut par une valeur approchée avec l’unité. La valeur d’équilibre, elle, n’est jamais atteinte.

À quoi sert la méthode d’Euler ?

Elle donne des valeurs approchées d’une solution, pas à pas, en suivant la tangente : yₙ₊₁ = yₙ + h(ayₙ + b). Les valeurs forment une suite arithmético-géométrique (géométrique si b = 0), et l’approximation s’améliore quand le pas h diminue.

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