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Calcul intégral
Intégrale d'une fonction continue, calcul d'aires et théorème fondamental de l'analyse (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Calcul intégral » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : primitives d'une fonction continue, Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive, L'intégrale pour une fonction quelconque et propriétés, Théorème fondamental de l'analyse. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
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Rappels : primitives d'une fonction continue
Une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$.
Propriété. Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$. Deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante : si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$, alors $F - G$ est une constante.
| Fonction $f(x)$ | Primitive $F(x)$ | Condition |
|---|---|---|
| $x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$, $n \neq -1$) | $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ | $n \geq 0$ ou $x \neq 0$ |
| $\dfrac{1}{x}$ | $\ln|x|$ | $x \neq 0$ |
| $e^x$ | $e^x$ | |
| $\cos x$ | $\sin x$ | |
| $\sin x$ | $-\cos x$ | |
| $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ | $2\sqrt{x}$ | $x \gt 0$ |
Astuce. Pour vérifier qu'une primitive est correcte, il suffit de la dériver et de retrouver $f$.
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Définition de l'intégrale d'une fonction continue positive
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a,b]$ (avec $a < b$). L'intégrale de $f$ entre $a$ et $b$, notée $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$, est l'aire du domaine délimité par la courbe $y = f(x)$, l'axe des abscisses, et les droites $x = a$ et $x = b$.
Définition. Si $f$ est continue positive sur $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$, alors :$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = \Big[F(x)\Big]_a^b$$Cette quantité est un réel positif (une aire en unités d'aire, u.a.).
Exemple. Calculons $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx$.
Une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
Donc $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx = \Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_1^3 = \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}$.
Une primitive de $f(x)=x^2$ est $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$.
Donc $\displaystyle\int_1^3 x^2\,dx = \Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_1^3 = \dfrac{27}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{26}{3}$.
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L'intégrale pour une fonction quelconque et propriétés
La définition s'étend aux fonctions continues de signe quelconque, et même pour $a > b$ ou $a = b$.
Convention. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$, on pose :
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ (quelle que soit la position de $a$ et $b$).
En particulier : $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ et $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$.
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ (quelle que soit la position de $a$ et $b$).
En particulier : $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ et $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$.
Propriétés fondamentales (pour $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$, $\lambda \in \mathbb{R}$) :
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Linéarité (somme) | $\displaystyle\int_a^b (f+g)\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx$ |
| Linéarité (scalaire) | $\displaystyle\int_a^b \lambda f\,dx = \lambda \int_a^b f\,dx$ |
| Relation de Chasles | $\displaystyle\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$ |
| Positivité | $f \geq 0 \Rightarrow \displaystyle\int_a^b f\,dx \geq 0$ (pour $a \leq b$) |
| Croissance | $f \leq g \Rightarrow \displaystyle\int_a^b f\,dx \leq \int_a^b g\,dx$ (pour $a \leq b$) |
Attention ! Si $f$ change de signe sur $[a,b]$, l'intégrale $\int_a^b f\,dx$ n'est pas l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses : les zones négatives soustraient des aires positives.
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Théorème fondamental de l'analyse
Ce théorème établit le lien fondamental entre intégration et dérivation.
Théorème fondamental. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a \in I$. La fonction $F$ définie sur $I$ par $$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$ : $F'(x) = f(x)$ pour tout $x \in I$, et $F(a) = 0$.
Exemple. Soit $f(t) = e^t$. Posons $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^t\,dt = \Big[e^t\Big]_0^x = e^x - 1$.
On vérifie : $F'(x) = e^x = f(x)$ et $F(0) = 0$. ✓
On vérifie : $F'(x) = e^x = f(x)$ et $F(0) = 0$. ✓
Astuce. Pour dériver une intégrale à borne variable :
$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$.
Si la borne supérieure est $u(x)$, règle de la chaîne : $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$.
$\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$.
Si la borne supérieure est $u(x)$, règle de la chaîne : $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x)) \cdot u'(x)$.
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Calcul d'une intégrale : méthodes pratiques
En pratique, calculer $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ se fait en trois étapes :
- Trouver une primitive $F$ de $f$.
- Calculer $[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
- Simplifier le résultat.
Exemple 1. $\displaystyle\int_0^{\pi} \sin x\,dx = [-\cos x]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$.
Exemple 2. $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx = [\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.
Exemple 3 (linéarité). $\displaystyle\int_0^2 (3x^2 - 2x + 1)\,dx = \Big[x^3 - x^2 + x\Big]_0^2 = (8 - 4 + 2) - 0 = 6$.
Attention ! On ne peut pas utiliser la primitive $\ln|u|$ si $u$ s'annule sur l'intervalle d'intégration.
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Calcul d'aires de domaines plans
L'intégrale permet de calculer des aires de domaines délimitées par des courbes.
Aire entre une courbe et l'axe des abscisses. Soit $f$ continue sur $[a,b]$. L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses, $x=a$ et $x=b$ vaut :$$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x)|\,dx$$Si $f$ garde un signe constant sur $[a,b]$ : $\mathcal{A} = \left|\int_a^b f(x)\,dx\right|$.
Aire entre deux courbes. Soient $f$ et $g$ continues sur $[a,b]$. L'aire du domaine compris entre $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ vaut :$$\mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$Si $f(x) \geq g(x)$ sur $[a,b]$ : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_a^b (f(x)-g(x))\,dx$.
Exemple. Calculons l'aire entre $f(x) = x$ et $g(x) = x^2$ sur $[0,1]$.
Sur $[0,1]$ : $x \geq x^2$ car $x - x^2 = x(1-x) \geq 0$.
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \Big[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ u.a.
Sur $[0,1]$ : $x \geq x^2$ car $x - x^2 = x(1-x) \geq 0$.
$\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \Big[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ u.a.
Méthode. Quand $f-g$ change de signe : trouver les zéros de $f-g$, puis intégrer $|f-g|$ en découpant en sous-intervalles.
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Valeur moyenne d'une fonction
L'intégrale permet de définir la valeur « moyenne » d'une fonction sur un intervalle.
Définition. Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ (avec $a < b$). La valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$ est le réel :$$\mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$Interprétation géométrique : $\mu$ est la hauteur du rectangle de largeur $b-a$ ayant la même aire que le domaine sous la courbe de $f$.
Exemple. Valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0,3]$ :
$\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \dfrac{1}{3}\cdot 9 = 3$.
$\mu = \dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}\cdot\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \dfrac{1}{3}\cdot 9 = 3$.
Propriété. La valeur moyenne de $f$ est comprise entre son minimum et son maximum sur $[a,b]$ : $\min_{[a,b]} f \leq \mu \leq \max_{[a,b]} f$.
À retenir — Calcul intégral
- Primitive : $F'=f$. Deux primitives diffèrent d'une constante.
- Intégrale : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a)$.
- Propriétés : linéarité, Chasles, positivité, croissance.
- Théorème fondamental : $\dfrac{d}{dx}\displaystyle\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$.
- Aire entre courbes : $\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b|f-g|\,dx$ (décomposer si changement de signe).
- Valeur moyenne : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
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