Calcul intégral

Unité d’aire. Dans un repère orthogonal, l’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle construit sur une unité de chaque axe. Si une unité vaut $u$ cm en abscisse et $v$ cm en ordonnée, alors $1$ u.a. $=u\times v$ cm².

Définition. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$, avec $a<b$, et ${𝒞}_f$ sa courbe. L’intégrale de $a$ à $b$ de $f$, notée ${\int }_a^{b}f(x)dx$, est l’aire, en u.a., du domaine délimité par ${𝒞}_f$, l’axe des abscisses et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ (le « domaine sous la courbe »).

Notation. $a$ et $b$ sont les bornes de l’intégrale. La lettre $x$ est une variable muette : ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(t)dt$. Le résultat est un nombre, positif ici, et non une fonction.

Aires des figures usuelles (rappels). Quand le domaine est une figure simple, on calcule l’intégrale avec sa formule d’aire :

• fonction constante $k⩾0$ : un rectangle, donc ${\int }_a^{b}kdx=k(b-a)$ ;
• fonction affine positive : un trapèze de « bases » $f(a)$ et $f(b)$ et de hauteur $b-a$, d’aire ${\displaystyle \frac{f(a)+f(b)}{2}}\times (b-a)$ ; c’est un triangle si l’une des bases est nulle ;
• arc de cercle de rayon $r$ : un morceau de disque ; l’aire d’un disque vaut $\pi r^2$, celle d’un demi-disque ${\displaystyle \frac{\pi r^2}{2}}$.

Théorème. Si $f$ est continue sur $[a;b]$, la fonction $G$ définie sur $[a;b]$ par $G(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a;b]$ et $G\prime =f$. Comme $G(a)=0$, $G$ est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$. Le cas général est admis ; la démonstration ci-dessous traite une fonction positive et croissante.

Calcul par une primitive. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, nombre que l’on note $[F(x){]}_a^b$. Ce nombre ne dépend pas de la primitive choisie : une autre primitive s’écrit $F+k$, et $(F(b)+k)-(F(a)+k)$ $=F(b)-F(a)$.

Linéarité. Pour $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$ et deux réels $\alpha$ et $\beta$ : ${\int }_a^b(\alpha f(x)+\beta g(x))dx$ $=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$. On peut donc sortir un facteur constant et découper une somme.

Primitives à connaître (chapitre Primitives) :

Fonction de signe quelconque. Si $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$, on pose encore ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$. Quand $f⩾0$ et $a<b$, on retrouve l’aire sous la courbe.

Fonction négative. Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)dx⩽0$, et l’aire du domaine compris entre ${𝒞}_f$ et l’axe des abscisses vaut $-{\int }_a^{b}f(x)dx$ (le domaine est le symétrique, par rapport à l’axe des abscisses, du domaine sous la courbe de $-f$).

Aire algébrique. Si $f$ change de signe, ${\int }_a^{b}f(x)dx$ est égale à la somme des aires situées au-dessus de l’axe moins la somme des aires situées au-dessous. Pour obtenir l’aire (géométrique), on découpe $[a;b]$ aux points où $f$ s’annule et on additionne les valeurs absolues des intégrales.

Conventions. ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$ et ${\int }_b^{a}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$ : inverser les bornes change le signe.

Relation de Chasles. Pour $f$ continue sur un intervalle contenant $a$, $b$ et $c$, quel que soit l’ordre de ces trois nombres :

${\int }_a^{c}f(x)dx$ $={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$.

En effet, pour une primitive $F$ de $f$, $F(c)-F(a)$ est la somme de $F(b)-F(a)$ et de $F(c)-F(b)$. On découpe l’intervalle d’intégration.

Positivité. Si $a⩽b$ et si $f(x)⩾0$ pour tout $x\in [a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)dx⩾0$.

Croissance (comparaison). Si $a⩽b$ et si $f(x)⩽g(x)$ pour tout $x\in [a;b]$, alors ${\int }_a^{b}f(x)dx$ $⩽{\int }_a^{b}g(x)dx$. Justification : $g-f$ est positive, donc, par positivité puis linéarité, ${\int }_a^{b}g(x)dx-{\int }_a^{b}f(x)dx$ $={\int }_a^b(g(x)-f(x))dx$ $⩾0$.

Encadrer une intégrale. Si $m⩽f(x)⩽M$ pour tout $x\in [a;b]$, avec $a<b$, alors $m(b-a)$ $⩽{\int }_a^{b}f(x)dx$ $⩽M(b-a)$ : l’aire est comprise entre celles de deux rectangles de largeur $b-a$.

Valeur moyenne. Soit $f$ continue sur $[a;b]$ avec $a<b$. La valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le nombre $\mu$ $={\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f(x)dx$.

Interprétation. $\mu \times (b-a)={\int }_a^{b}f(x)dx$ : pour $f$ positive, $\mu$ est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe. D’après l’encadrement, $\mu$ est toujours comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur $[a;b]$.

En situation. L’intégrale d’une vitesse est une distance, celle d’un débit un volume, celle d’une puissance une énergie, celle d’un coût marginal un coût. La valeur moyenne est alors la vitesse moyenne, le débit moyen, la puissance moyenne…

Propriété. Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a;b]$ et si $f(x)⩾g(x)$ pour tout $x\in [a;b]$, l’aire du domaine compris entre ${𝒞}_f$, ${𝒞}_g$ et les droites d’équations $x=a$ et $x=b$ vaut, en u.a. :

${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ (courbe du haut moins courbe du bas).

C’est vrai même si les courbes passent sous l’axe des abscisses : translater les deux courbes vers le haut ne change ni le domaine (à une translation près) ni la différence $f-g$.

La méthode. 1. Les bornes : si l’énoncé ne les donne pas, ce sont les abscisses des points d’intersection, solutions de $f(x)=g(x)$. 2. La position relative : le signe de $f(x)-g(x)$. 3. L’intégrale « haut moins bas ». 4. La conversion en cm² si l’échelle est donnée.

Courbes qui se croisent. Si les courbes se coupent à l’intérieur de $[a;b]$, on découpe aux abscisses d’intersection (relation de Chasles) et on additionne les aires des morceaux.

Principe. On partage $[a;b]$ en $n$ intervalles de même largeur $h={\displaystyle \frac{b-a}{n}}$, de bornes $x_k=a+kh$ ($k=0,1,\dots ,n$). Sur chaque petit intervalle, on remplace l’aire sous la courbe par celle d’un rectangle de largeur $h$ :

• rectangles « à gauche » (hauteur prise à la borne gauche) : $R_g$ $=h(f(x_0)+\cdots +f(x_{n-1}))$ ;
• rectangles « à droite » : $R_d$ $=h(f(x_1)+\cdots +f(x_n))$.

Encadrement pour une fonction monotone. Si $f$ est croissante sur $[a;b]$ : $R_g$ $⩽{\int }_a^{b}f(x)dx$ $⩽R_d$. Si $f$ est décroissante : $R_d$ $⩽{\int }_a^{b}f(x)dx$ $⩽R_g$. L’amplitude de l’encadrement vaut $|R_d-R_g|$ $=h|f(b)-f(a)|$ $={\displaystyle \frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}}$ : elle tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$, on approche donc l’intégrale d’aussi près que l’on veut.

Méthode des trapèzes. La demi-somme ${\displaystyle \frac{R_g+R_d}{2}}$ revient à remplacer chaque rectangle par un trapèze qui suit mieux la courbe : c’est en général une bien meilleure approximation.

Algorithme. La fonction Python suivante renvoie le couple $(R_g,R_d)$ ; sg et sd sont les sommes des hauteurs à gauche et à droite :

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    sg = 0
    sd = 0
    for k in range(n):
        x = a + k*h
        sg = sg + f(x)
        sd = sd + f(x + h)
    return h*sg, h*sd