Calcul intégral

C. 20 — C’est l’aire d’un rectangle de largeur 5 et de hauteur 4 : 5 × 4 = 20. Avec la primitive x ↦ 4x : 20 − 0 = 20.

A. négative ou nulle — L’intégrale d’une fonction négative est négative ou nulle ; l’aire du domaine compris entre la courbe et l’axe des abscisses en est l’opposé.

B. 0 — Quand les deux bornes sont égales, l’intégrale vaut 0, quelle que soit la fonction continue g.

D. ∫_a^b f + ∫_b^c f = ∫_a^c f — La relation de Chasles découpe l’intervalle d’intégration en additionnant les morceaux. L’égalité ∫_a^b f + ∫_a^b g = ∫_a^b (f + g) est la linéarité : elle porte sur les fonctions, pas sur les bornes.

A. (1/(b − a)) × ∫_a^b f(x) dx — On divise l’intégrale par la longueur b − a de l’intervalle : c’est la hauteur du rectangle de base [a ; b] qui a la même aire que le domaine sous la courbe.

D. −9 — Inverser les bornes change le signe de l’intégrale : le résultat est −9.

B. (b − a)/n — On partage [a ; b], de longueur b − a, en n morceaux de même largeur : chacun mesure (b − a)/n.

C. 8 cm² — L’unité d’aire est l’aire du rectangle construit sur les deux unités : 2 × 4 = 8 cm². On multiplie les deux échelles, on ne les additionne pas.

C. F(b) − F(a) — On évalue la primitive à la borne du haut, puis on retire sa valeur à la borne du bas. On n’utilise pas f elle-même.

A. un rectangle d’aire 10 u.a. — C’est un rectangle de largeur 6 − 1 = 5 et de hauteur 2, d’aire 5 × 2 = 10 u.a. Le nombre 12 oublie de retirer la borne 1.

D. la primitive de f qui s’annule en 4 — D’après le théorème du cours, G est dérivable et G′ = f : c’est une primitive de f. De plus G(4) = 0, car les deux bornes sont alors égales.

B. égaux, la variable étant muette — La lettre utilisée pour la variable d’intégration ne change pas le nombre obtenu : on dit qu’elle est muette.

B. 8 — Une primitive est x ↦ 1,5x² + x, donc l’intégrale vaut (6 + 2) − 0 = 8. On le vérifie avec le trapèze de bases 1 et 7 et de hauteur 2 : (1 + 7)/2 × 2 = 8.

D. 16 — Par linéarité : 2 × 5 − 3 × (−2) = 10 + 6 = 16. L’erreur classique est d’oublier que −3 × (−2) est positif, ce qui donne 4.

A. 6 et 24 — L’encadrement m(b − a) ≤ I ≤ M(b − a) avec b − a = 6 donne 1 × 6 = 6 et 4 × 6 = 24. C’est la valeur moyenne qui est comprise entre 1 et 4.

D. ∫_a^b (f(x) − g(x)) dx — On intègre « courbe du haut moins courbe du bas » : la fonction intégrée est positive, donc le résultat aussi. L’intégrale n’est jamais multiplicative.

B. 0,7 ≤ I ≤ 0,9 — Pour une fonction décroissante, les rectangles à droite minorent l’intégrale et ceux à gauche la majorent. La demi-somme 0,8 est une approximation, pas la valeur exacte.

C. 4 — Une primitive est x ↦ x²/2 − x, donc l’intégrale vaut (8 − 4) − 0 = 4. La fonction change de signe en 1 : ce nombre est une aire algébrique.

A. 18 u.a. — Sur [0 ; 6], x − 6 ≤ 0 et ∫₀⁶ (x − 6) dx = 18 − 36 = −18. L’aire est l’opposé de cette intégrale : 18 u.a. Une aire n’est jamais négative.

D. 3 ln 2 — Une primitive de x ↦ 3/x sur ]0 ; +∞[ est x ↦ 3 ln x. L’intégrale vaut 3 ln 2 − 3 ln 1 = 3 ln 2, car ln 1 = 0.

B. e² − 1 — Une primitive de x ↦ 2e^(2x) est x ↦ e^(2x) (le facteur 2 compense le 1/2). L’intégrale vaut e² − e⁰ = e² − 1.

C. (e³ − e)/2 — ∫ de 1 à 3 de eˣ dx = e³ − e, et la longueur de l’intervalle vaut 3 − 1 = 2 : μ = (e³ − e)/2 ≈ 8,68. Le nombre e³ − e est l’intégrale, pas encore divisée par 2 ; (e³ + e)/2 est la moyenne des valeurs aux bornes et e² la valeur au milieu de l’intervalle : ni l’une ni l’autre n’est la valeur moyenne.

D. 4/3 u.a. — Les courbes se coupent en −1 et 1, et la droite est au-dessus entre ces abscisses : aire = ∫_-1¹ (1 − x²) dx = 2 − 2/3 = 4/3 u.a.

A. 10 — Une primitive de t ↦ 3t² + 1 est t ↦ t³ + t, donc G(x) = x³ + x et G(2) = 8 + 2 = 10. Le nombre 13 est la valeur de la fonction intégrée en 2, c’est-à-dire G′(2).

C. f est nulle ou change de signe — Les aires au-dessus et au-dessous de l’axe se compensent : x ↦ x − 0,5 a une intégrale nulle sur [0 ; 1] sans être nulle. Une fonction continue de signe constant et d’intégrale nulle est, elle, nulle.

B. entre le minimum et le maximum de f — Si m ≤ f ≤ M, l’encadrement de l’intégrale donne m ≤ μ ≤ M. Les deux formules proposées sont justes pour une fonction affine, pas en général, et rien n’impose μ > f(a).

A. une minoration de l’intégrale — Pour une fonction croissante, chaque rectangle appuyé sur la borne gauche reste sous la courbe : la somme minore l’intégrale. Ce sont les rectangles à droite qui la majorent.

D. ((b − a)/n) × |f(b) − f(a)| — Dans R_d − R_g, tous les termes se simplifient sauf f(b) et f(a) : l’écart vaut h|f(b) − f(a)| avec h = (b − a)/n. Il tend vers 0 quand n augmente.

A. ∫_a^b f ≤ ∫_a^b g — C’est la croissance de l’intégrale, obtenue en appliquant la positivité à g − f. Elle ne passe pas aux valeurs absolues : avec les constantes f = −5 et g = 1, on a f ≤ g mais |∫f| > |∫g|.

C. 0 — Une primitive est x ↦ x⁴/4, qui vaut 4 en −2 et en 2 : l’intégrale vaut 4 − 4 = 0. Les aires de part et d’autre de l’origine sont égales et se compensent.

D. la fonction change de signe en 2 — x ↦ x − 2 est négative sur [0 ; 2] et positive sur [2 ; 3] : l’intégrale est une aire algébrique. Pour l’aire, on découpe en 2 et on additionne les valeurs absolues des deux intégrales.

B. λ∫_a^b f(x) dx — C’est la linéarité : un facteur constant sort de l’intégrale. Ajouter une constante k à la fonction, en revanche, ajoute k(b − a) à l’intégrale.

D. e^(−x²) — D’après le théorème du cours, x ↦ ∫ de 2 à x de f(t) dt est la primitive de f qui s’annule en 2 : sa dérivée est f(x) = e^(−x²). On n’a pas besoin de connaître une primitive.

C. 10 — L’amplitude vaut (b − a)|f(b) − f(a)|/n = 10 × |3 − 8|/5 = 50/5 = 10. Le nombre 50 oublie de diviser par n.

B. 125/6 u.a. — Les courbes se coupent en 0 et 5, et 5x ≥ x² sur [0 ; 5] : aire = ∫₀⁵ (5x − x²) dx = 125/2 − 125/3 = 125/6 u.a.

A. 1/3 — Une primitive est x ↦ −1/x : l’intégrale vaut −1/3 + 1 = 2/3, que l’on divise par 3 − 1 = 2 : μ = 1/3. Le nombre 5/9 est la moyenne de f(1) et de f(3).