Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Calcul intégral
Intégrale d'une fonction continue, calcul d'aires et théorème fondamental de l'analyse (programme Maths complémentaires Terminale)
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Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une primitive de $f(x) = 3x^2$ est :
- A. $x^3$
- B. $6x$
- C. $x^3 + 1$
- D. $\frac{x^3}{3}$
Réponse
A. $x^3$ — $F(x)=x^3$ car $F'(x)=3x^2=f(x)$.
$\displaystyle\int_0^1 2x\,dx = $
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $\frac{1}{2}$
Réponse
B. $1$ — $[x^2]_0^1 = 1 - 0 = 1$.
Une primitive de $f(x) = e^x$ est :
- A. $e^x$
- B. $\frac{e^x}{x}$
- C. $xe^x$
- D. $e^{x+1}$
Réponse
A. $e^x$ — La dérivée de $e^x$ est $e^x$.
$\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = $
- A. $f(a)$
- B. $0$
- C. $2f(a)$
- D. $1$
Réponse
B. $0$ — Les bornes sont identiques, donc l'intégrale est nulle.
L'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ quand $f$ est positive représente :
- A. Un volume
- B. Une aire
- C. Une vitesse
- D. Un périmètre
Réponse
B. Une aire — L'intégrale d'une fonction positive représente l'aire sous la courbe.
Une primitive de $\cos x$ est :
- A. $-\sin x$
- B. $\sin x$
- C. $\cos x$
- D. $-\cos x$
Réponse
B. $\sin x$ — La dérivée de $\sin x$ est $\cos x$.
$\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = $
- A. $1$
- B. $e$
- C. $e-1$
- D. $\ln(e-1)$
Réponse
A. $1$ — $[\ln x]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$.
Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle :
- A. Sont égales
- B. Diffèrent d'une constante
- C. Sont opposées
- D. N'ont aucun lien
Réponse
B. Diffèrent d'une constante — Deux primitives diffèrent d'une constante additive.
La relation de Chasles affirme que :
- A. $\int_a^b f = \int_a^b g$
- B. $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$
- C. $\int_a^b f = \int_b^a f$
- D. $\int_a^b f = f(b)-f(a)$
Réponse
B. $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ — La relation de Chasles permet de décomposer une intégrale en sous-intervalles.
Une primitive de $\sin x$ est :
- A. $\cos x$
- B. $-\cos x$
- C. $\sin x$
- D. $-\sin x$
Réponse
B. $-\cos x$ — La dérivée de $-\cos x$ est $\sin x$.
$\displaystyle\int_0^3 1\,dx = $
- A. $0$
- B. $1$
- C. $3$
- D. $9$
Réponse
C. $3$ — $[x]_0^3 = 3 - 0 = 3$.
Si $f$ est positive sur $[a,b]$ avec $a \lt b$, alors $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est :
- A. Négatif
- B. Positif ou nul
- C. Nul
- D. Toujours égal à 1
Réponse
B. Positif ou nul — Propriété de positivité de l'intégrale.
Niveau moyen — 12 questions
$\displaystyle\int_0^\pi \sin x\,dx = $
- A. $0$
- B. $2$
- C. $-2$
- D. $\pi$
Réponse
B. $2$ — $[-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$.
Si $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 4$, alors $\displaystyle\int_0^2 3f(x)\,dx = $
- A. $4$
- B. $12$
- C. $7$
- D. $\frac{4}{3}$
Réponse
B. $12$ — Linéarité : $3 \times 4 = 12$.
L'aire entre $f(x)=x$ et $g(x)=x^2$ sur $[0,1]$ vaut :
- A. $\frac{1}{2}$
- B. $\frac{1}{3}$
- C. $\frac{1}{6}$
- D. $1$
Réponse
C. $\frac{1}{6}$ — $\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$.
La valeur moyenne de $f(x)=2x$ sur $[0,3]$ vaut :
- A. $2$
- B. $3$
- C. $6$
- D. $9$
Réponse
B. $3$ — $\mu=\frac{1}{3}\int_0^3 2x\,dx=\frac{1}{3}[x^2]_0^3=\frac{9}{3}=3$.
Si $F(x)=\displaystyle\int_0^x t^3\,dt$, alors $F'(x)=$
- A. $x^3$
- B. $\frac{x^4}{4}$
- C. $3x^2$
- D. $x^4$
Réponse
A. $x^3$ — Par le théorème fondamental, $F'(x)=f(x)=x^3$.
$\displaystyle\int_0^2 (x^2-1)\,dx = $
- A. $\frac{2}{3}$
- B. $2$
- C. $\frac{8}{3}-2$
- D. $-\frac{2}{3}$
Réponse
C. $\frac{8}{3}-2$ — $\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_0^2=\frac{8}{3}-2$.
Si $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 6$, quelle est la valeur moyenne de $f$ sur $[1,4]$ ?
- A. $6$
- B. $2$
- C. $18$
- D. $\frac{1}{6}$
Réponse
B. $2$ — $\mu = \frac{6}{4-1}=\frac{6}{3}=2$.
$\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx = $ (primitive : $\frac{1}{2}e^{x^2}$)
- A. $e-1$
- B. $\frac{e-1}{2}$
- C. $\frac{e+1}{2}$
- D. $e$
Réponse
B. $\frac{e-1}{2}$ — $\left[\frac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1=\frac{e}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e-1}{2}$.
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx + \displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = $
- A. $2\displaystyle\int_a^b f\,dx$
- B. $0$
- C. $f(b)-f(a)$
- D. Impossible
Réponse
B. $0$ — $\int_b^a f\,dx = -\int_a^b f\,dx$, donc la somme vaut $0$.
Si $f \leq g$ sur $[a,b]$ avec $a\lt b$, alors :
- A. $\int_a^b f \geq \int_a^b g$
- B. $\int_a^b f \leq \int_a^b g$
- C. Les intégrales sont égales
- D. On ne peut rien conclure
Réponse
B. $\int_a^b f \leq \int_a^b g$ — Propriété de croissance de l'intégrale.
Quelle est la primitive de $\frac{1}{\sqrt{x}}$ qui vaut $0$ en $x=1$ ?
- A. $\sqrt{x}$
- B. $2\sqrt{x}-2$
- C. $2\sqrt{x}$
- D. $\frac{1}{2}x^{3/2}$
Réponse
B. $2\sqrt{x}-2$ — $F(x)=2\sqrt{x}+C$ avec $F(1)=0 \Rightarrow C=-2$.
$\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^x\,dx = $
- A. $\ln 2$
- B. $2$
- C. $1$
- D. $e^{\ln 2}-1$
Réponse
C. $1$ — $[e^x]_0^{\ln 2}=2-1=1$.
Niveau difficile — 12 questions
L'intégrale $\displaystyle\int_{-1}^{1} x^3\,dx$ vaut :
- A. $2$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $0$
- D. $-2$
Réponse
C. $0$ — $x^3$ est impaire, donc l'intégrale sur un intervalle symétrique est nulle.
Si $G(x) = \displaystyle\int_0^{x^2} \ln t\,dt$, alors $G'(x) = $
- A. $\ln x$
- B. $\ln(x^2) \cdot 2x$
- C. $2x \ln x$
- D. $\frac{2}{x}$
Réponse
B. $\ln(x^2) \cdot 2x$ — Règle de la chaîne : $G'(x) = \ln(x^2) \cdot 2x$.
L'aire délimitée par $f(x) = \sin x$ et l'axe des abscisses sur $[0, 2\pi]$ vaut :
- A. $0$
- B. $2$
- C. $4$
- D. $2\pi$
Réponse
C. $4$ — Changement de signe en $\pi$ : aire $= \int_0^\pi \sin x + |\int_\pi^{2\pi}\sin x| = 2+2 = 4$.
$\displaystyle\int_0^2 |x-1|\,dx = $
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $\frac{3}{2}$
Réponse
B. $1$ — $\int_0^1(1-x)\,dx+\int_1^2(x-1)\,dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.
On pose $F(x)=\displaystyle\int_1^x \frac{1}{t}\,dt$. La dérivée $F'(x)$ vaut :
- A. $\ln x$
- B. $\frac{1}{x}$
- C. $\frac{1}{x}-1$
- D. $x$
Réponse
B. $\frac{1}{x}$ — Par le théorème fondamental, $F'(x)=\frac{1}{x}$.
L'aire entre $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x$ sur $[0,2]$ vaut :
- A. $\frac{4}{3}$
- B. $0$
- C. $4$
- D. $\frac{2}{3}$
Réponse
A. $\frac{4}{3}$ — $g \geq f$ sur $[0,2]$. $\int_0^2(2x-x^2)\,dx=[x^2-\frac{x^3}{3}]_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$.
La valeur moyenne de $f(x)=\cos x$ sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ est :
- A. $1$
- B. $\frac{\pi}{2}$
- C. $\frac{2}{\pi}$
- D. $0$
Réponse
C. $\frac{2}{\pi}$ — $\mu=\frac{2}{\pi}[\sin x]_0^{\pi/2}=\frac{2}{\pi}$.
Si $f$ est continue et positive sur $[a,b]$ avec $a\lt b$ et $\int_a^b f(x)\,dx = 0$, alors :
- A. $f$ est constante sur $[a,b]$
- B. $f$ est nulle partout sur $[a,b]$
- C. $a = b$
- D. $f$ change de signe
Réponse
B. $f$ est nulle partout sur $[a,b]$ — Si $f \geq 0$ et son intégrale est nulle (avec $a\lt b$), alors $f=0$ partout sur $[a,b]$.
Que vaut $\dfrac{d}{dx}\left(\displaystyle\int_x^5 e^{t^2}\,dt\right)$ ?
- A. $e^{x^2}$
- B. $-e^{x^2}$
- C. $e^{25}$
- D. $5e^{25}$
Réponse
B. $-e^{x^2}$ — $\frac{d}{dx}\int_x^5 e^{t^2}\,dt = -\frac{d}{dx}\int_5^x e^{t^2}\,dt = -e^{x^2}$.
$\displaystyle\int_0^2 (e^x + e^{-x})\,dx$ vaut :
- A. $e^2-e^{-2}$
- B. $e^2+e^{-2}$
- C. $e^2-e^{-2}-2$
- D. $0$
Réponse
A. $e^2-e^{-2}$ — $[e^x-e^{-x}]_0^2=(e^2-e^{-2})-(1-1)=e^2-e^{-2}$.
Pour que $\int_a^b f(x)\,dx$ représente exactement l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, il faut que :
- A. $f$ soit positive sur $[a,b]$
- B. $f$ soit continue
- C. $f$ soit dérivable
- D. Les bornes soient positives
Réponse
A. $f$ soit positive sur $[a,b]$ — Si $f$ est positive sur $[a,b]$, l'intégrale donne directement l'aire. Sinon il faut prendre $|f|$.
Quelle est la primitive de $f(x)=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ qui vaut $0$ en $x=0$ ?
- A. $\sqrt{x}$
- B. $x^{3/2}$
- C. $\frac{3}{4\sqrt{x}}$
- D. $3\sqrt{x}$
Réponse
B. $x^{3/2}$ — $F(x)=x^{3/2}$ car $F'(x)=\frac{3}{2}x^{1/2}=\frac{3}{2}\sqrt{x}$ et $F(0)=0$.
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