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Primitives
Primitive d’une fonction et équation y′ = f, primitives des fonctions usuelles et linéarité, formes 2u′u, u′eᵘ et u′/u, primitive vérifiant une condition initiale, coût total, position et quantité à partir de leur taux de variation.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Sur ℝ, une primitive de x ↦ x⁶ est :
- A. 6x⁵
- B. x⁷
- C. x⁷/7
- D. x⁶/6
Réponse
C. x⁷/7 — On applique xⁿ → xⁿ⁺¹/(n + 1) avec n = 6. En dérivant x⁷/7, on retrouve bien x⁶.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ eˣ est :
- A. eˣ
- B. x eˣ
- C. eˣ/x
- D. eˣ − x
Réponse
A. eˣ — L’exponentielle est sa propre dérivée, donc aussi sa propre primitive. La dérivée de eˣ − x vaut eˣ − 1.
Sur ]0 ; +∞[, une primitive de x ↦ 1/x est :
- A. −1/x²
- B. 1/x²
- C. x ln x
- D. ln x
Réponse
D. ln x — La dérivée de ln x est 1/x sur ]0 ; +∞[. Attention : −1/x² est la dérivée de 1/x, pas une primitive, et x ln x a pour dérivée ln x + 1.
Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors sur I :
- A. F′ = F
- B. F′ = f
- C. f′ = F
- D. F = f + k
Réponse
B. F′ = f — C’est la définition : F est dérivable sur I et sa dérivée est f. Les autres égalités confondent la fonction et sa dérivée.
Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle diffèrent :
- A. d’une constante
- B. d’une fonction affine
- C. d’un facteur constant
- D. de rien : elles sont égales
Réponse
A. d’une constante — Leur différence a une dérivée nulle sur l’intervalle, donc elle est constante. C’est pourquoi on note les primitives F + k.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ e⁵ˣ est :
- A. 5e⁵ˣ
- B. e⁵ˣ
- C. e⁵ˣ/x
- D. (1/5)e⁵ˣ
Réponse
D. (1/5)e⁵ˣ — Pour e^(ax+b), une primitive est (1/a)e^(ax+b). En dérivant (1/5)e⁵ˣ, le facteur 5 sort et compense le 1/5.
Sur un intervalle I, une fonction admet à coup sûr des primitives dès qu’elle est :
- A. bornée sur I
- B. continue sur I
- C. positive sur I
- D. croissante sur I
Réponse
B. continue sur I — Le théorème admis du cours : toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives. Les autres propriétés ne suffisent pas.
Les solutions sur I de l’équation différentielle y′ = f sont :
- A. les fonctions f + k
- B. les primitives de f sur I
- C. les réels x où f(x) = 0
- D. les dérivées de f sur I
Réponse
B. les primitives de f sur I — Une solution y vérifie y′ = f : c’est exactement la définition d’une primitive de f.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ 2x + 3 est :
- A. x² + 3
- B. 2x² + 3x
- C. x² + 3x
- D. 2
Réponse
C. x² + 3x — Une primitive de 2x est x² et une primitive de 3 est 3x. La dérivée de x² + 3 vaut 2x seulement.
Sur ]0 ; +∞[, une primitive de x ↦ 3/x² est :
- A. 3/x
- B. −3/x
- C. −6/x³
- D. 3 ln(x²)
Réponse
B. −3/x — Une primitive de 1/x² est −1/x ; par linéarité, celle de 3/x² est −3/x. La dérivée de 3/x vaut −3/x².
En économie, le coût total C d’une production est :
- A. la dérivée du coût marginal
- B. une primitive du coût marginal
- C. le carré du coût marginal
- D. égal au coût marginal
Réponse
B. une primitive du coût marginal — Le coût marginal est la dérivée du coût total : le coût total est donc une primitive du coût marginal, fixée par les coûts fixes.
Soit f(x) = x² + 1. Toute primitive F de f sur ℝ est :
- A. positive sur ℝ
- B. nulle en 0
- C. strictement croissante
- D. strictement décroissante
Réponse
C. strictement croissante — F′ = f et x² + 1 > 0 : F est strictement croissante. En revanche, F(x) = x³/3 + x − 5 prend des valeurs négatives et ne s’annule pas en 0.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Sur ℝ, une primitive de x ↦ 4x(x² + 1) est :
- A. (x² + 1)²/2
- B. (x² + 1)²
- C. 2(x² + 1)²
- D. 4(x² + 1)²
Réponse
B. (x² + 1)² — Avec u = x² + 1, u′ = 2x : 4x(x² + 1) = 2u′u, dont une primitive est u² = (x² + 1)².
Sur ℝ, une primitive de x ↦ 2x/(x² + 7) est :
- A. (1/2) ln(x² + 7)
- B. 2 ln(x² + 7)
- C. ln(x² + 7)
- D. 2x ln(x² + 7)
Réponse
C. ln(x² + 7) — Ici u = x² + 7 > 0 et u′ = 2x : la fonction est exactement u′/u, sans coefficient à ajuster.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ (4x − 3)e^(2x² − 3x) est :
- A. e^(2x² − 3x)
- B. (1/2)e^(2x² − 3x)
- C. (2x² − 3x)e^(2x² − 3x)
- D. 4e^(2x² − 3x)
Réponse
A. e^(2x² − 3x) — Avec u = 2x² − 3x, u′ = 4x − 3 : la fonction est exactement u′eᵘ, dont une primitive est eᵘ.
La primitive de x ↦ 2x + 1 sur ℝ qui vaut 3 en 0 est :
- A. x² + x
- B. x² + x − 3
- C. x² + x + 3
- D. x² + 3x
Réponse
C. x² + x + 3 — Les primitives sont x² + x + k ; en 0 elles valent k, donc k = 3. La dérivée de x² + 3x vaut 2x + 3.
Sur ]0 ; +∞[, une primitive de x ↦ 5/√x est :
- A. 5√x
- B. 10√x
- C. 5/(2√x)
- D. −10/√x
Réponse
B. 10√x — La dérivée de √x vaut 1/(2√x) : celle de 10√x vaut 5/√x. 5/(2√x) est la dérivée de 5√x, pas une primitive de 5/√x.
Sur [0 ; +∞[, une primitive de x ↦ 3x²/(x³ + 4) est :
- A. 3/(x³ + 4)
- B. 3 ln(x³ + 4)
- C. (1/3) ln(x³ + 4)
- D. ln(x³ + 4)
Réponse
D. ln(x³ + 4) — Avec u = x³ + 4, u′ = 3x² : la fonction est exactement u′/u, et u ⩾ 4 > 0 sur [0 ; +∞[.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ (3x − 7)⁵ est :
- A. (3x − 7)⁶/6
- B. 5(3x − 7)⁴
- C. 3(3x − 7)⁶
- D. (3x − 7)⁶/18
Réponse
D. (3x − 7)⁶/18 — Fonction de ax + b avec a = 3 : on divise la primitive (3x − 7)⁶/6 par 3, ce qui donne (3x − 7)⁶/18.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ e⁻ˣ est :
- A. −e⁻ˣ
- B. e⁻ˣ
- C. −eˣ
- D. −x e⁻ˣ
Réponse
A. −e⁻ˣ — Forme e^(ax+b) avec a = −1 : une primitive est (1/(−1))e⁻ˣ = −e⁻ˣ. En dérivant, (−e⁻ˣ)′ = e⁻ˣ.
La primitive F de x ↦ eˣ sur ℝ telle que F(0) = 5 est :
- A. eˣ + 5
- B. 5eˣ
- C. eˣ + 4
- D. eˣ − 4
Réponse
C. eˣ + 4 — F(x) = eˣ + k et F(0) = 1 + k = 5, donc k = 4. Piège : F(0) n’est pas k, car e⁰ = 1.
Sur ]1 ; +∞[, une primitive de x ↦ 1/(x − 1) est :
- A. ln x − 1
- B. ln(x − 1)
- C. −1/(x − 1)²
- D. ln(1 − x)
Réponse
B. ln(x − 1) — Avec u = x − 1 > 0 sur ]1 ; +∞[ et u′ = 1 : la fonction est u′/u. ln(1 − x) n’est pas défini sur ]1 ; +∞[.
Un mobile a pour vitesse v(t) = 6t (en m/s) et part de l’abscisse 0. À l’instant t = 3, son abscisse vaut :
- A. 18 m
- B. 27 m
- C. 9 m
- D. 54 m
Réponse
B. 27 m — La position est la primitive de v nulle en 0 : x(t) = 3t². Donc x(3) = 27 m ; 18 m/s est la vitesse à cet instant, pas la position.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ (x − 1)/(x² − 2x + 3) est :
- A. (1/2) ln(x² − 2x + 3)
- B. ln(x² − 2x + 3)
- C. 2 ln(x² − 2x + 3)
- D. (x − 1) ln(x² − 2x + 3)
Réponse
A. (1/2) ln(x² − 2x + 3) — u = x² − 2x + 3 > 0 (discriminant −8) et u′ = 2x − 2 = 2(x − 1) : la fonction vaut (1/2) u′/u.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Sur l’intervalle ]−∞ ; 0[, une primitive de x ↦ 1/x est :
- A. ln x
- B. −ln x
- C. ln(−x) + x
- D. ln(−x)
Réponse
D. ln(−x) — Sur cet intervalle x < 0, donc ln x n’existe pas. La dérivée de ln(−x) vaut −1/(−x) = 1/x.
L’affirmation « les primitives de x ↦ 1/x² sur ℝ* sont les F + k » est fausse :
- A. parce que la fonction n’est pas dérivable sur ℝ*
- B. parce que la fonction change de signe sur ℝ*
- C. parce que ℝ* n’est pas un intervalle
- D. parce que la fonction n’est pas continue sur ℝ*
Réponse
C. parce que ℝ* n’est pas un intervalle — La propriété exige un intervalle. Sur ℝ*, réunion de deux intervalles, on peut choisir une constante différente sur chaque morceau.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ x eˣ est :
- A. (x²/2)eˣ
- B. (x − 1)eˣ
- C. x eˣ
- D. x²/2 + eˣ
Réponse
B. (x − 1)eˣ — En dérivant : ((x − 1)eˣ)′ = eˣ + (x − 1)eˣ = x eˣ. Le produit des primitives, (x²/2)eˣ, ne convient pas.
Écrire que ln u est une primitive de u′/u sur I suppose que, sur I :
- A. u > 0
- B. u′ > 0
- C. u est croissante
- D. u ⩾ 1
Réponse
A. u > 0 — Le logarithme n’est défini que pour des nombres strictement positifs : il faut u > 0 sur l’intervalle. u peut être décroissante, et prendre des valeurs entre 0 et 1.
F et G sont deux primitives de f sur un intervalle I, et F(1) = G(1) avec 1 ∈ I. Alors :
- A. elles diffèrent d’une constante non nulle
- B. F = G + 1 sur I
- C. F = G sur I
- D. on ne peut rien conclure sur I
Réponse
C. F = G sur I — On sait que F = G + k ; l’égalité en 1 impose k = 0. Deux primitives qui coïncident en un point sont égales sur tout l’intervalle.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ e³ˣ/(e³ˣ + 2) est :
- A. ln(e³ˣ + 2)
- B. 3 ln(e³ˣ + 2)
- C. (1/3) ln(e³ˣ + 2)
- D. (1/3) e³ˣ ln(e³ˣ + 2)
Réponse
C. (1/3) ln(e³ˣ + 2) — u = e³ˣ + 2 > 0 et u′ = 3e³ˣ : la fonction vaut (1/3) u′/u, d’où (1/3) ln(e³ˣ + 2).
La fonction F(x) = e^(x² + 1) est, sur ℝ, une primitive de :
- A. e^(x² + 1)
- B. 2x e^(x² + 1)
- C. (x² + 1)e^(x²)
- D. e^(2x)
Réponse
B. 2x e^(x² + 1) — On dérive F : avec u = x² + 1, (eᵘ)′ = u′eᵘ = 2x e^(x² + 1).
Le coût marginal d’une production est Cₘ(q) = 4q + 3 et les coûts fixes valent 80. Passer de q = 10 à q = 25 coûte :
- A. 1 405
- B. 1 095
- C. 310
- D. 103
Réponse
B. 1 095 — C(q) = 2q² + 3q + 80. C(25) − C(10) = 1 405 − 310 = 1 095. 1 405 et 310 sont les coûts totaux, 103 le coût marginal en 25.
F est une primitive sur ℝ de f(x) = 3 − 2x. La variation F(4) − F(1) vaut :
- A. 6
- B. −4
- C. elle dépend de la primitive choisie
- D. −6
Réponse
D. −6 — Avec F(x) = 3x − x² + k : F(4) − F(1) = (12 − 16) − (3 − 1) = −6, et k disparaît dans la différence.
Sur ]0 ; +∞[, une primitive de x ↦ (2x + 1)/x est :
- A. 2x + ln x
- B. (x² + x) ln x
- C. x² + ln x
- D. 2 + ln x
Réponse
A. 2x + ln x — On simplifie d’abord : (2x + 1)/x = 2 + 1/x, dont une primitive est 2x + ln x. Il n’y a pas de règle du quotient.
Sur ℝ, une primitive de x ↦ 2eˣ(eˣ − 1) est :
- A. 2(eˣ − 1)²
- B. (eˣ − 1)²/2
- C. e²ˣ − eˣ
- D. (eˣ − 1)²
Réponse
D. (eˣ − 1)² — Avec u = eˣ − 1, u′ = eˣ : la fonction est 2u′u, dont une primitive est u². La dérivée de e²ˣ − eˣ vaut 2e²ˣ − eˣ.
La primitive de x ↦ 1/x sur ]0 ; +∞[ qui s’annule en e est :
- A. ln x − e
- B. ln x + 1
- C. ln(x − e)
- D. ln x − 1
Réponse
D. ln x − 1 — Les primitives sont ln x + k et ln e + k = 1 + k = 0, donc k = −1.
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