Devoir surveillé : longueurs, périmètres, aires et durées

1. a)$4,6$ m $=460$ cm (de m à cm : $\times 100$) ; $3500$ m $=3,5$ km (de m à km : $÷1000$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$72$ mm $=0,72$ dm (deux rangs vers la gauche : $÷100$) ; $0,9$ hm $=90$ m ($\times 100$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$1$ m² $=100$ dm², donc $5$ m² $=500$ dm² ; $1$ dm² $=100$ cm², donc $800$ cm² $=8$ dm². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$2$ h $=120$ min, donc $2$ h $15$ min $=135$ min ; $200=3\times 60+20$, donc $200$ s $=3$ min $20$ s. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — pour les aires, on multiplie ou on divise par $100$ à chaque unité, et non par $10$ ; pour les durées, on compte par $60$, jamais par $100$.

1. a)$P=2\times (9+4,5)=2\times 13,5=27$ cm. (1 pt) (1)
2. b)On convertit d'abord : $48$ mm $=4,8$ cm. $P=6+7,5+4,8=18,3$ cm. (0,5 pt conversion + 0,5 pt résultat) (1)
3. c)$L=\pi \times d\approx 3,14\times 10=31,4$ cm. (1 pt) (1)
4. d)Les $4$ côtés d'un carré sont égaux : $26÷4=6,5$. Le côté mesure $6,5$ cm. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — avant d'additionner des longueurs, on vérifie qu'elles sont toutes dans la même unité ; sinon on additionne des millimètres avec des centimètres, et le résultat n'a pas de sens.

1. a)$A=8\times 5=40$ cm². (1 pt) (1)
2. b)$A=9\times 9=81$ m². (1 pt) (1)
3. c)$4$ demi-carreaux font $2$ carreaux entiers. Aire : $6+2=8$ cm². (1 pt) (1)
4. d)On met les deux longueurs dans la même unité : $30$ cm $=3$ dm. $A=3\times 2=6$ dm², soit $6\times 100=600$ cm². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — l'aire d'un rectangle est longueur $\times$ largeur, les deux longueurs étant exprimées dans la même unité ; l'aire est alors dans l'unité « au carré » correspondante.

1. a)$1$ h $35$ min $+2$ h $40$ min $=3$ h $75$ min. Or $75$ min $=1$ h $15$ min, donc le résultat est $4$ h $15$ min. (1 pt ; 0,5 pt si l'élève laisse $3$ h $75$ min) (1)
2. b)De $8$ h $50$ à $9$ h : $10$ min ; de $9$ h à $11$ h $25$ : $2$ h $25$ min. Total : $2$ h $35$ min. (1 pt) (1)
3. c)$20$ h $45+1$ h $=21$ h $45$ ; $21$ h $45+50$ min $=22$ h $35$ (car $45+50=95$ min $=1$ h $35$ min). Le film se termine à $22$ h $35$. (1 pt) (1)
4. d)$0,75$ h, ce sont les trois quarts d'une heure : $60÷4\times 3=45$ min. $30$ min $=0,5$ h, donc $1$ h $30$ min $=1,5$ h. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — pour une durée entre deux horaires, on passe par l'heure ronde suivante (ici $9$ h) : on compte les minutes jusqu'à elle, puis le reste.

1. a)On cherche le périmètre : $2\times (12+7,5)=2\times 19,5=39$ m. (1 pt) (1)
2. b)$A=12\times 7,5=90$ m². (1 pt) (1)
3. c)$39\times 4=156$. Le grillage coûte $156$ €. (1 pt) (1)
4. d)$39\times 3=117$ min ; $117=60+57$, donc $117$ min $=1$ h $57$ min. (0,5 pt + 0,5 pt conversion) (1)

Erreur fréquente — le grillage fait le tour du jardin : c'est un périmètre (en m), alors que la surface à cultiver est une aire (en m²) ; ne confonds pas les deux.

1. a)En mètres : $1,2$ km $=1200$ m ; $12$ hm $=1200$ m ; $9500$ dm $=950$ m. Ordre : $9500$ dm $<980$ m $<1,2$ km $=12$ hm. (1 pt ; 0,5 pt si l'égalité n'est pas repérée) (1)
2. b)$3,5$ m² $=350$ dm² et $350>345$, donc $3,5$ m² $>345$ dm². (1 pt) (1)
3. c)$2,5$ h $=2$ h $+0,5$ h $=2$ h $30$ min, et $30$ min $<50$ min, donc $2,5$ h $<2$ h $50$ min. (1 pt) (1)
4. d)Stylo : le cm (environ $14$ cm) ; terrain de football : le m² (environ $7000$ m²) ; département : le km² (plusieurs milliers de km²). (1 pt ; 0,5 pt pour deux bonnes réponses) (1)

Piège — $2,5$ h ne vaut pas $2$ h $50$ min : le chiffre après la virgule compte des dixièmes d'heure, et $0,5$ h est une demi-heure, soit $30$ min.

1. a)Un cercle de diamètre $6$ cm mesure $3,14\times 6=18,84$ cm ; le demi-cercle mesure la moitié : $18,84÷2=9,42$ cm. (1 pt) (1)
2. b)Le contour est formé de $[AB]$, du demi-cercle, de $[CD]$ et de $[DA]$ (le côté $[BC]$ est à l'intérieur) : $8+9,42+8+6=31,42$ cm. (1 pt) (1)
3. c)$A=8\times 6=48$ cm², et $1$ dm² $=100$ cm², donc $48$ cm² $=0,48$ dm². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Il a compté le côté $[BC]$, qui n'est plus sur le bord de la figure puisque le demi-cercle est collé dessus. Il faut retirer ces $6$ cm : $37,42-6=31,42$ cm. (1 pt) (1)

Méthode — pour le périmètre d'une figure composée, on suit le contour avec le doigt et on n'ajoute que les morceaux qui sont sur le bord ; un segment commun à deux morceaux de la figure ne compte pas.

1. a)De $7$ h $48$ à $8$ h : $12$ min ; de $8$ h à $9$ h $27$ : $1$ h $27$ min. Total : $1$ h $39$ min. (1 pt) (1)
2. b)$10$ h $05+1$ h $58$ min $=11$ h $63$ min $=12$ h $03$ (car $63$ min $=1$ h $3$ min). Elle arrive à $12$ h $03$. (1 pt) (1)
3. c)De $7$ h $48$ à $11$ h $48$ : $4$ h ; de $11$ h $48$ à $12$ h $03$ : $15$ min. Le voyage dure $4$ h $15$ min. (1 pt) (1)
4. d)$15$ min, c'est un quart d'heure, soit $0,25$ h : $4$ h $15$ min $=4,25$ h. (1 pt ; 0 pour $4,15$ h) (1)

Erreur fréquente — une durée se calcule entre l'horaire de départ et l'horaire d'arrivée ; si l'on additionne seulement les deux trajets, on oublie l'attente en gare.

1. a)A : $2\times (10+2)=24$ cm ; B : $4\times 5=20$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)A : $10\times 2=20$ cm² ; B : $5\times 5=25$ cm². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Lucas a tort : A a le plus grand périmètre ($24$ cm $>20$ cm) mais la plus petite aire ($20$ cm² $<25$ cm²). Ce contre-exemple suffit à prouver que l'affirmation est fausse. (1 pt) (1)
4. d)Le périmètre doit être $20$ cm, donc longueur $+$ largeur $=10$ cm, et longueur $\times$ largeur $=16$. On essaie : $9\times 1=9$ ; $8\times 2=16$. Le rectangle de $8$ cm sur $2$ cm convient (périmètre $2\times 10=20$ cm, aire $16$ cm²). (1 pt) (1)

Astuce — pour montrer qu'une affirmation générale est fausse, un seul contre-exemple suffit ; pour montrer qu'elle est vraie, un exemple ne suffit jamais.

1. a)Périmètre : $2\times (25+12,5)=2\times 37,5=75$ m. (1 pt) (1)
2. b)$A=25\times 12,5=312,5$ m². (1 pt) (1)
3. c)$312,5\times 6,40=2000$. La bâche coûte $2000$ €. (1 pt) (1)
4. d)Distance : $32\times 25=800$ m $=0,8$ km. Temps par longueur : $40÷32=1,25$ min, soit $1$ min $+0,25\times 60$ s $=1$ min $15$ s. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — $1,25$ min ne vaut pas $1$ min $25$ s : $0,25$ min est un quart de minute, soit $15$ s.

1. a)On cherche deux entiers dont le produit vaut $24$ : $1\times 24$ ; $2\times 12$ ; $3\times 8$ ; $4\times 6$ (au-delà, on retrouve les mêmes rectangles ; $24$ n'est pas le produit d'un entier par lui-même, donc pas de carré). Périmètres : $2\times 25=50$ cm ; $2\times 14=28$ cm ; $2\times 11=22$ cm ; $2\times 10=20$ cm. (1 pt pour les quatre rectangles + 0,5 pt pour les périmètres) (1,33333)
2. b)Le rectangle de $6$ cm sur $4$ cm a le plus petit périmètre ($20$ cm). C'est le plus « ramassé » : ses deux côtés sont les plus proches l'un de l'autre, il ressemble le plus à un carré. (1 pt) (1,33333)
3. c)On essaie des largeurs : avec $1$ cm ou $2$ cm, le périmètre dépasse toujours l'aire. Largeur $3$ cm : on essaie plusieurs longueurs ($4$ cm donne $12$ cm² et $14$ cm ; $5$ cm donne $15$ cm² et $16$ cm) ; $6$ cm donne $18$ cm² et $2\times 9=18$ cm. Largeur $4$ cm : la longueur $4$ cm donne $16$ cm² et $4\times 4=16$ cm. Le rectangle de $6$ cm sur $3$ cm et le carré de $4$ cm de côté conviennent. (0,5 pt pour la démarche par essais + 0,5 pt par rectangle trouvé) (1,33333)

Méthode — pour trouver tous les rectangles d'aire donnée, on liste les produits de deux entiers en partant de $1$ et on s'arrête quand les facteurs se répètent dans l'autre ordre.

1. a)L'élève a multiplié par $10$ comme pour des longueurs. Un carré de $1$ m de côté mesure $10$ dm sur $10$ dm, donc $1$ m² $=100$ dm². Ainsi $3$ m² $=300$ dm². (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Les minutes ne sont pas des centièmes d'heure. $45$ min, ce sont les trois quarts d'une heure, soit $0,75$ h : $2$ h $45$ min $=2,75$ h. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)La formule $\pi \times d$ utilise le diamètre, pas le rayon. Ici $d=2\times 5=10$ cm, donc $L\approx 3,14\times 10=31,4$ cm (ou $2\times 3,14\times 5=31,4$ cm). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)L'élève a fait $13-10=3$ h et $50-15=35$ min, en soustrayant les minutes à l'envers. Bon calcul : de $10$ h $50$ à $11$ h : $10$ min ; de $11$ h à $13$ h $15$ : $2$ h $15$ min ; total $2$ h $25$ min. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — quand on soustrait des horaires, on ne peut pas retirer les minutes « dans le sens qui arrange » : si les minutes de départ sont plus nombreuses, on passe par l'heure ronde ou on convertit $1$ h en $60$ min.

1. a)2027 compte $365$ jours et 2028 en compte $366$ : $365+366=731$ jours. (1 pt) (1)
2. b)Une journée compte $24\times 60=1440$ min. Distance : $1440\times 5=7200$ cm $=72$ m. (0,5 pt minutes + 0,5 pt distance convertie) (1)
3. c)Un siècle compte $100$ ans, dont $100÷4=25$ années bissextiles et $75$ années de $365$ jours : $75\times 365+25\times 366=27375+9150=36525$ jours. (1 pt) (1)
4. d)$1$ h $25$ min $=85$ min ; $85\times 30=2550$ min. $2550=42\times 60+30$, donc $42$ h $30$ min. Et $42$ h $=24$ h $+18$ h : $1$ jour $18$ h $30$ min. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — pour multiplier une durée en heures et minutes, on la convertit d'abord tout en minutes, on multiplie, puis on reconvertit en divisant par $60$ (et par $24$ pour les jours).

1. a)Aire du mur : $6\times 2,5=15$ m² ; aire de la porte : $2\times 0,9=1,8$ m². Aire à peindre : $15-1,8=13,2$ m², soit $13,2\times 100=1320$ dm². (1 pt pour $13,2$ m² + 0,5 pt conversion) (1,25)
2. b)Deux couches : $2\times 13,2=26,4$ m² à peindre. Durée : $26,4\times 5=132$ min $=2$ h $12$ min. (0,5 pt pour les deux couches + 0,5 pt durée convertie) (1,25)
3. c)Durée totale avec la pause : $2$ h $12$ min $+15$ min $=2$ h $27$ min. $9$ h $50+2$ h $=11$ h $50$ ; $11$ h $50+27$ min $=12$ h $17$. Il termine à $12$ h $17$. (1 pt) (1,25)
4. d)Le bas du mur mesure $6$ m, mais la porte, posée au sol, en occupe $0,9$ m : $6-0,9=5,1$ m $=510$ cm. (Ni la hauteur du mur ni le tour de la porte ne comptent.) (1 pt calcul + 0,5 pt conversion) (1,25)

Piège — lisez bien ce qui est demandé : la baguette ne fait pas le tour du mur, elle suit seulement le bas, et la porte en interrompt une partie.

1. a)Carré : $4\times 10=40$ cm ; cercle : $3,14\times 10=31,4$ cm. Différence : $40-31,4=8,6$ cm : le carré a le plus grand contour. (1 pt) (1)
2. b)Essais : $d=10$ cm donne $31,4$ cm (trop petit) ; $d=20$ cm donne $62,8$ cm (trop grand) ; $d=15$ cm donne $3,14\times 15=47,1$ cm. Le diamètre est $15$ cm. (0,5 pt démarche + 0,5 pt résultat vérifié) (1)
3. c)$1,5$ dm $=15$ cm, donc le diamètre vaut $2\times 15=30$ cm. $L\approx 3,14\times 30=94,2$ cm. (0,5 pt conversion et diamètre + 0,5 pt résultat) (1)

Méthode — pour retrouver un nombre inconnu dans un produit, on peut procéder par essais successifs en encadrant : un essai trop petit, un essai trop grand, puis on resserre jusqu'à tomber juste.