À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Longueurs, périmètres et conversions » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une longueur ?, Les unités de longueur et le tableau de conversion, Convertir des longueurs sans se tromper, Le périmètre : la longueur du contour. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une longueur ?
2 · Les unités de longueur et le tableau de conversion
3 · Convertir des longueurs sans se tromper
4 · Le périmètre : la longueur du contour
5 · Périmètres du carré et du rectangle
6 · Périmètre d'un polygone et figures composées
7 · Le périmètre du cercle
1Qu'est-ce qu'une longueur ?
Une longueur est la mesure de la distance entre deux points, ou de l'étendue d'un objet dans une direction (sa taille, sa hauteur, sa largeur…). Pour la mesurer, on utilise une règle graduée, un mètre ruban ou un décamètre.
Définition. La longueur mesure une distance. Elle s'exprime avec des unités « simples » : le millimètre ($\text{mm}$), le centimètre ($\text{cm}$), le mètre ($\text{m}$), le kilomètre ($\text{km}$)… L'unité de référence est le mètre ($\text{m}$).
Exemple. La largeur d'une feuille est d'environ $21\ \text{cm}$ ; la hauteur d'une porte est d'environ $2\ \text{m}$ ; la distance Marseille–Paris est d'environ $775\ \text{km}$.
Astuce. Pour choisir la bonne unité, pense à l'ordre de grandeur : on mesure un crayon en $\text{cm}$, une pièce en $\text{m}$ et un trajet en voiture en $\text{km}$.
2Les unités de longueur et le tableau de conversion
Les unités de longueur sont rangées de la plus grande à la plus petite. On passe d'une unité à la voisine en multipliant ou en divisant par $10$.
Règle. Entre deux unités voisines, le rapport est $10$ : $1\ \text{km} = 10\ \text{hm}$, $1\ \text{m} = 10\ \text{dm}$, $1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}$. À retenir aussi : $1\ \text{m} = 100\ \text{cm} = 1\,000\ \text{mm}$ et $1\ \text{km} = 1\,000\ \text{m}$.
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|
| kilo | hecto | déca | mètre | déci | centi | milli |
| On place un seul chiffre par colonne. On multiplie ou on divise par $10$ d'une colonne à la colonne voisine. |
Exemple. $1\ \text{cm} = 10\ \text{mm}$, $1\ \text{dm} = 10\ \text{cm} = 100\ \text{mm}$, $1\ \text{m} = 1\,000\ \text{mm}$.
3Convertir des longueurs sans se tromper
Pour convertir une longueur, on place le chiffre des unités de départ dans la bonne colonne du tableau, puis on lit le résultat dans la colonne d'arrivée en complétant avec des zéros si besoin.
Méthode. 1) Repère l'unité de départ et l'unité d'arrivée. 2) Si l'unité d'arrivée est plus petite (on descend vers les mm), on multiplie par $10$, $100$, $1\,000$… 3) Si l'unité d'arrivée est plus grande (on monte vers les km), on divise.
Exemple résolu. Convertir $3\ \text{m}$ en cm : l'arrivée (cm) est $2$ colonnes plus petite, donc on multiplie par $100$. $3\ \text{m} = 300\ \text{cm}$.
Exemple résolu. Convertir $4\,500\ \text{m}$ en km : l'arrivée (km) est $3$ colonnes plus grande, donc on divise par $1\,000$. $4\,500\ \text{m} = 4{,}5\ \text{km}$.
Attention ! Avec les nombres décimaux, garde bien la virgule à la même place : la virgule se trouve toujours juste à droite de la colonne de l'unité. $2{,}5\ \text{m} = 250\ \text{cm}$ (et non $25\ \text{cm}$).
4Le périmètre : la longueur du contour
Le périmètre d'une figure est une longueur particulière : c'est la longueur totale de son contour. On l'obtient en additionnant la longueur de tous les côtés.
Définition. Le périmètre d'une figure fermée est la longueur de son contour. Il s'exprime dans une unité de longueur ($\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{m}$…), jamais en unité carrée.
Attention ! Ne confonds pas périmètre (le contour, en $\text{cm}$) et aire (la surface intérieure, en $\text{cm}^2$). Le périmètre est une longueur, pas une surface.
Exemple. Un terrain en forme de triangle a des côtés de $5\ \text{m}$, $6\ \text{m}$ et $7\ \text{m}$. Son périmètre est $P = 5 + 6 + 7 = 18\ \text{m}$.
Astuce. Avant d'additionner, vérifie que tous les côtés sont dans la même unité. Si un côté est en m et un autre en cm, convertis-les d'abord.
5Périmètres du carré et du rectangle
Pour les figures régulières, on dispose de formules qui évitent d'additionner les côtés un par un.
Formules à connaître.
• Périmètre d'un carré de côté $c$ : $P = 4 \times c$ (les $4$ côtés sont égaux).
• Périmètre d'un rectangle de longueur $L$ et largeur $\ell$ : $P = 2 \times (L + \ell)$.
| Figure | Formule du périmètre | Exemple |
|---|
| Carré | $P = 4 \times c$ | $c = 5\ \text{cm}$ : $P = 4 \times 5 = 20\ \text{cm}$ |
| Rectangle | $P = 2 \times (L + \ell)$ | $L = 8\ \text{cm}$, $\ell = 3\ \text{cm}$ : $P = 2 \times (8 + 3) = 22\ \text{cm}$ |
Exemple résolu. Un jardin rectangulaire mesure $12\ \text{m}$ de long et $7\ \text{m}$ de large. Son périmètre est $P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38\ \text{m}$.
Attention ! Dans la formule du rectangle, on calcule d'abord la parenthèse $(L + \ell)$, puis on multiplie par $2$. Faire $2 \times L + \ell$ donnerait un résultat faux.
6Périmètre d'un polygone et figures composées
Pour n'importe quel polygone (triangle, pentagone, figure en L…), le périmètre est toujours la somme de tous les côtés.
Règle générale. Périmètre d'un polygone $=$ somme des longueurs de tous ses côtés. Pour un polygone régulier (tous les côtés égaux) à $n$ côtés : $P = n \times c$.
Exemple. Un pentagone régulier a $5$ côtés de $4\ \text{cm}$ chacun. Son périmètre est $P = 5 \times 4 = 20\ \text{cm}$.
Astuce. Pour une figure en L, additionne tous les côtés du contour : pense à n'oublier aucun segment, même les plus courts. On peut suivre le contour avec le doigt en notant chaque longueur.
7Le périmètre du cercle
Le contour d'un cercle s'appelle la circonférence. On ne peut pas l'obtenir en additionnant des côtés : on utilise une formule avec le nombre $\pi$ (« pi »), qui vaut environ $3{,}14$.
Vocabulaire et formules.
• Le rayon $r$ relie le centre au bord ; le diamètre $d$ traverse le cercle : $d = 2 \times r$.
• Circonférence : $P = 2 \times \pi \times r$ ou $P = \pi \times d$, avec $\pi \approx 3{,}14$.
Exemple résolu. Un cercle a un rayon de $5\ \text{cm}$. Son périmètre est $P = 2 \times 3{,}14 \times 5 = 31{,}4\ \text{cm}$.
Exemple résolu. Une roue a un diamètre de $0{,}5\ \text{m}$. Sa circonférence est $P = 3{,}14 \times 0{,}5 = 1{,}57\ \text{m}$.
Attention ! Le résultat avec $\pi \approx 3{,}14$ est une valeur approchée. On écrit souvent $\approx$ (environ) plutôt que $=$. N'oublie pas non plus de doubler le rayon si l'énoncé donne le diamètre.
★À retenir
En bref :
• Longueur = distance ; unités : km, hm, dam, m, dm, cm, mm. On multiplie ou divise par $10$ d'une unité à la voisine.
• Repères : $1\ \text{m} = 100\ \text{cm} = 1\,000\ \text{mm}$ ; $1\ \text{km} = 1\,000\ \text{m}$.
• Périmètre = longueur du contour (en cm, m…), jamais en cm².
• Carré : $P = 4 \times c$ ; rectangle : $P = 2 \times (L + \ell)$ ; polygone : somme des côtés.
• Cercle : $P = 2 \times \pi \times r = \pi \times d$, avec $\pi \approx 3{,}14$.