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Longueurs, périmètres et conversions
Unités de longueur, tableau de conversion et ordres de grandeur ; périmètre d’un polygone, d’un carré et d’un rectangle ; longueur d’un cercle avec π ; périmètre d’une figure composée ; problèmes
À propos de cette page
Conversions de longueurs
Pour mesurer une longueur, on choisit une unité adaptée à la taille de l’objet : on ne mesure pas une fourmi et une route avec la même unité. L’unité de référence est le mètre (m).
Entre deux unités voisines, on multiplie ou on divise par 10.
1 km = 1 000 m · 1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm · 1 cm = 10 mm.
Vers une unité plus petite, le nombre devient plus grand ; vers une unité plus grande, il devient plus petit.
Astuce. Pour retenir l’ordre : « Kim Habite Dans Mon Domaine Campagnard Magnifique » (km, hm, dam, m, dm, cm, mm).
Le tableau de conversion
On écrit un chiffre par colonne, en plaçant le chiffre des unités dans la colonne de l’unité de départ. On lit ensuite le nombre avec la nouvelle unité : la virgule se place juste après sa colonne, et on complète par des zéros si besoin.
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3,45 m | 3 | 4 | 5 | ||||
| = 345 cm | 3 | 4 | 5 | ||||
| 1 200 m | 1 | 2 | 0 | 0 | |||
| = 1,2 km | 1 | 2 |
3,45 m = 345 cm · 1 200 m = 1,2 km (lus dans le tableau)
2,6 km = 2 600 m : de km à m, on avance de 3 colonnes, c’est × 1 000 (2,6 × 1 000 = 2 600).
85 mm = 8,5 cm (85 ÷ 10 = 8,5) · 7 cm = 70 mm · 4 dam = 40 m
Choisir une unité, ordre de grandeur
Avoir quelques longueurs en tête permet de choisir l’unité et de repérer un résultat absurde.
une fourmi : quelques mm · un crayon neuf : environ 17 cm · une porte : environ 2 m de haut
un terrain de football : environ 100 m de long · un marathon : environ 42 km
Comparer des longueurs
Pour comparer deux longueurs, on les écrit d’abord dans la même unité.
0,8 km ou 750 m ? 0,8 km = 800 m, et 800 m > 750 m : c’est 0,8 km la plus longue.
Réflexe — avant de convertir, je me demande si le nombre doit grandir (unité plus petite) ou diminuer (unité plus grande), puis je compte les colonnes : 1 colonne = 10, 2 colonnes = 100, 3 colonnes = 1 000.
Attention — les colonnes hm et dam servent peu, mais elles comptent : de km à m, il y a 3 colonnes, donc on multiplie par 1 000, pas par 100.
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Calculer un périmètre
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour : la distance parcourue quand on en fait le tour.
Carré de côté c : P = 4 × c. Rectangle de longueur L et de largeur l : P = 2 × (L + l).
Toutes les longueurs doivent être dans la même unité ; le périmètre s’exprime dans cette unité (cm, m…).
Triangle de côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm : P = 5 + 7 + 9 = 21 cm.
Rectangle de 8 cm sur 5 cm : P = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 cm.
Carré de côté 6 cm : P = 4 × 6 = 24 cm.
Rectangle de 1,2 m sur 80 cm : je convertis d’abord, 1,2 m = 120 cm. P = 2 × (120 + 80) = 2 × 200 = 400 cm, soit 4 m.
Retrouver une longueur à partir du périmètre
Un carré a pour périmètre 36 cm : ses 4 côtés sont égaux, donc c = 36 ÷ 4 = 9 cm.
Un triangle a pour périmètre 20 cm et deux côtés de 6 cm et 9 cm : le troisième mesure 20 − (6 + 9) = 20 − 15 = 5 cm.
La longueur d’un cercle
Le rayon r relie le centre à un point du cercle ; le diamètre d traverse le cercle en passant par le centre : d = 2 × r.
Pour tous les cercles, la longueur du cercle (on dit aussi sa circonférence) vaut un peu plus de 3 fois son diamètre. Ce nombre s’appelle π (« pi ») : π = 3,141 59… On utilise sa valeur approchée π ≈ 3,14.
Autrement dit, la longueur du cercle est proportionnelle à son diamètre (le coefficient est π) : si le diamètre double, la longueur double aussi.
Avec π ≈ 3,14, on obtient une valeur approchée : on écrit le signe ≈.
Cercle de rayon 5 cm : L = 2 × π × 5 ≈ 2 × 3,14 × 5 = 31,4 cm, soit : connaître les unités de longueur (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) et convertir avec le tableau ; choisir une unité adaptée, estimer un ordre de grandeur et comparer des longueurs ; calculer le périmètre d’un polygone, d’un carré, d’un rectangle ; calculer la longueur d’un cercle (π × d ou 2 × π × r, avec π ≈ 3,14) ; calculer le périmètre d’une figure composée.
Cercle de diamètre 7 cm : L = π × 7 ≈ 3,14 × 7 = 21,98 cm, soit : connaître les unités de longueur (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) et convertir avec le tableau ; choisir une unité adaptée, estimer un ordre de grandeur et comparer des longueurs ; calculer le périmètre d’un polygone, d’un carré, d’un rectangle ; calculer la longueur d’un cercle (π × d ou 2 × π × r, avec π ≈ 3,14) ; calculer le périmètre d’une figure composée.
Figures composées
Une figure composée est faite de plusieurs figures simples (rectangle, triangle, demi-cercle…). Son périmètre est toujours la longueur de son contour : on additionne seulement les morceaux qui sont sur le bord, jamais les traits intérieurs.
Stade : un rectangle de 40 m sur 20 m, prolongé à chaque bout par un demi-cercle de diamètre 20 m. Le contour = les 2 longueurs du rectangle + les 2 demi-cercles (les largeurs de 20 m sont à l’intérieur). Les 2 demi-cercles forment un cercle entier de diamètre 20 m : P ≈ 2 × 40 + 3,14 × 20 = 80 + 62,8 = 142,8 m.
Maison : un carré de côté 8 cm surmonté d’un triangle équilatéral de côté 8 cm. Le côté commun est à l’intérieur : le contour compte 3 côtés du carré et 2 côtés du triangle, P = 5 × 8 = 40 cm.
Réflexe — je vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité avant de calculer ; pour un cercle, je regarde si l’énoncé donne le rayon ou le diamètre (avec le diamètre, j’utilise directement L = π × d) ; pour une figure composée, je suis le contour du doigt et je n’additionne que ses morceaux.
Attention — un périmètre est une longueur : il s’exprime en cm, en m… jamais en cm² (c’est ce qui le distingue d’une aire). Et avec le diamètre, calculer 2 × 3,14 × d double le résultat : le 2 sert seulement avec le rayon.
À savoir — retrouver le diamètre ou le rayon à partir de la longueur d’un cercle demande de diviser par un nombre décimal (3,14) : cela se verra en 5e.
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- Unités : km, hm, dam, m, dm, cm, mm ; entre deux unités voisines, × 10 ou ÷ 10.
- 1 km = 1 000 m ; 1 m = 100 cm = 1 000 mm ; 1 cm = 10 mm. Tableau : un chiffre par colonne.
- Pour comparer ou additionner des longueurs, je les écris d’abord dans la même unité.
- Périmètre = longueur du contour : somme des côtés ; carré P = 4 × c ; rectangle P = 2 × (L + l).
- Cercle : d = 2 × r et L = π × d = 2 × π × r, avec π ≈ 3,14 (valeur approchée, signe ≈). Figure composée : on additionne seulement les morceaux du contour.
Questions fréquentes
Comment convertir des longueurs ?
On utilise le tableau km, hm, dam, m, dm, cm, mm avec un chiffre par colonne : entre deux unités voisines, on multiplie ou on divise par 10. Par exemple 5,8 m = 580 cm (2 colonnes vers la droite, × 100) et 940 m = 0,94 km (3 colonnes vers la gauche, ÷ 1 000).
Comment retenir l’ordre des unités de longueur ?
De la plus grande à la plus petite : km, hm, dam, m, dm, cm, mm, avec la phrase « Kim Habite Dans Mon Domaine Campagnard Magnifique ». À connaître par cœur : 1 km = 1 000 m, 1 m = 100 cm = 1 000 mm et 1 cm = 10 mm.
Qu’est-ce que le périmètre d’une figure ?
C’est la longueur de son contour. Pour un polygone, on additionne les longueurs de tous ses côtés, après les avoir écrites dans la même unité : un triangle de côtés 4 cm, 4 cm et 3 cm a pour périmètre 11 cm.
Quelles sont les formules du périmètre du carré et du rectangle ?
Carré de côté c : P = 4 × c. Rectangle de longueur L et de largeur l : P = 2 × (L + l). Pour un rectangle de 7 cm sur 2 cm : P = 2 × 9 = 18 cm.
Comment calculer la longueur d’un cercle ?
L = π × d (diamètre) ou L = 2 × π × r (rayon), avec π ≈ 3,14. Le résultat est une valeur approchée : pour un diamètre de 20 cm, L ≈ 3,14 × 20, soit environ 62,8 cm.
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