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Aires : comptage, carré et rectangle
Aire par comptage sur un quadrillage ; aire du carré et du rectangle ; aire et périmètre ; unités d’aire (cm², dm², m², et aussi mm², km²) et conversions entre m², dm² et cm² ; problèmes
À propos de cette page
Calculer une aire : comptage, carré et rectangle
Pour un rectangle de longueur L et de largeur l : Aire = L × l.
Pour un carré de côté c : Aire = c × c.
Les deux longueurs doivent être dans la même unité ; l’aire s’exprime alors dans l’unité au carré (cm × cm donne des cm²).
Par comptage sur un quadrillage
Figure A : 3 rangées de 3 carreaux, soit 3 × 3 = 9 carreaux.
Figure B : 8 carreaux entiers et 2 demi-carreaux. Les 2 demi-carreaux, recollés, font 1 carreau : 8 + 1 = 9 carreaux.
A et B ont la même aire (9 carreaux) mais pas la même forme : on peut comparer des aires sans les mesurer, en découpant et en recollant.
Aire du rectangle et du carré
Un rectangle de 7 cm sur 4 cm contient 4 rangées de 7 carreaux de 1 cm² : c’est pour cela qu’on multiplie la longueur par la largeur.
Rectangle de 7 cm sur 4 cm : Aire = 7 × 4 = 28, soit 28 cm².
Carré de 5 cm de côté : Aire = 5 × 5 = 25, soit 25 cm².
Rectangle de 3 m sur 15 dm : je mets les longueurs dans la même unité, 15 dm = 1,5 m. Aire = 3 × 1,5 = 4,5, soit 4,5 m².
Rectangle d’aire 54 cm² et de largeur 6 cm : la longueur est le nombre qui, multiplié par 6, donne 54. 54 ÷ 6 = 9 : la longueur mesure 9 cm.
Aire ou périmètre ?
Le périmètre est la longueur du contour (en cm, m…) ; l’aire mesure la surface (en cm², m²…). Ce sont deux grandeurs différentes.
Rectangle de 6 cm sur 2 cm : aire 6 × 2 = 12 cm² ; périmètre 2 × (6 + 2) = 16 cm.
Rectangle de 4 cm sur 3 cm : aire 4 × 3 = 12 cm² ; périmètre 2 × (4 + 3) = 14 cm.
Même aire, périmètres différents : connaître l’un ne suffit pas pour connaître l’autre.
Réflexe — avant de calculer, je me demande : « le contour ou la surface ? ». Pour une surface, je vérifie que les longueurs sont dans la même unité, je multiplie et j’écris une unité au carré.
Attention — l’aire d’un carré, c’est c × c et pas c × 4 (c × 4 donne son périmètre) : un carré de 5 cm de côté a une aire de 25 cm² et un périmètre de 20 cm.
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Unités d’aire et conversions
Un carré de 1 dm de côté se découpe en 10 rangées de 10 carrés de 1 cm de côté (c’est l’aire d’un carré, c × c) :
1 dm² = 10 cm × 10 cm = 100 cm² et 1 m² = 10 dm × 10 dm = 100 dm².
Dans l’autre sens : 1 cm² est un centième de 1 dm², 1 cm² = 0,01 dm² ; et 1 dm² = 0,01 m².
Pour convertir, je m’appuie sur ces deux égalités :
- vers une unité plus petite (m² → dm², dm² → cm²) : il en faut 100 fois plus, je multiplie par 100 ;
- vers une unité plus grande (cm² → dm², dm² → m²) : il en faut 100 fois moins, je divise par 100.
7 m² = 7 × 100 dm² = 700 dm² · 2,5 dm² = 2,5 × 100 cm² = 250 cm²
3 400 cm² = (3 400 ÷ 100) dm² = 34 dm² · 85 dm² = (85 ÷ 100) m² = 0,85 m²
6 cm² = (6 ÷ 100) dm² = 0,06 dm²
Choisir une unité, comparer des aires
On choisit l’unité selon la taille de la surface : le mm² pour une puce électronique, le cm² pour un timbre, le dm² pour une feuille de cahier, le m² pour une chambre, le km² pour une ville ou un pays.
Comparer 3 m² et 250 dm² : je mets les deux aires dans la même unité. 3 m² = 300 dm², et 300 dm² > 250 dm², donc 3 m² > 250 dm².
Réflexe — je contrôle le sens : en passant à une unité plus petite, le nombre devient plus grand (1 m² = 100 dm²), et inversement.
Attention — 1 dm = 10 cm, mais 1 dm² = 100 cm² : pour les aires, on multiplie ou on divise par 100, jamais par 10. Et une aire s’écrit toujours avec une unité « au carré » (cm², m²…).
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Pour aller plus loin
Pour la suite — Les volumes : en 6e, on découvre seulement le centimètre cube (1 cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête) et on trouve le volume d’un assemblage en comptant ses cubes : 12 cubes de 1 cm d’arête font 12 cm³ (voir le chapitre « Espace : solides, patrons et assemblages de cubes »). Les formules du volume du cube et du pavé droit, les unités dm³ et m³, les capacités en litres (1 dm³ = 1 L), l’aire du triangle et du disque et les autres conversions d’aire (km², hectare…) se verront à partir de la 5e.
- Une unité d’aire est l’aire d’un carré : 1 cm² = carré de 1 cm de côté ; de même mm², dm², m², km².
- Sur un quadrillage, l’aire = nombre de carreaux (deux demi-carreaux font un carreau).
- Rectangle : Aire = L × l ; carré : Aire = c × c ; longueurs dans la même unité, résultat en unité au carré.
- Aire (surface, en cm²) et périmètre (contour, en cm) sont deux grandeurs différentes.
- 1 m² = 100 dm² et 1 dm² = 100 cm² ; inversement 1 dm² = 0,01 m² et 1 cm² = 0,01 dm².
- Vers une unité plus petite : × 100 ; vers une unité plus grande : ÷ 100 (jamais × 10 ou ÷ 10).
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une aire et comment la mesure-t-on ?
L’aire est la mesure d’une surface. On la mesure avec une unité d’aire, qui est l’aire d’un carré : 1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté. Sur un quadrillage, l’aire d’une figure est le nombre de carreaux qu’elle recouvre (deux demi-carreaux font un carreau).
Comment calculer l’aire d’un rectangle ou d’un carré ?
Rectangle : Aire = longueur × largeur ; carré : Aire = côté × côté. Les deux longueurs doivent être dans la même unité et le résultat s’écrit en unité au carré : un rectangle de 10 cm sur 3 cm a une aire de 30 cm².
Quelle est la différence entre aire et périmètre ?
Le périmètre est la longueur du contour (en cm, en m) ; l’aire mesure la surface (en cm², en m²). Deux rectangles peuvent avoir la même aire et des périmètres différents : 6 cm sur 2 cm et 4 cm sur 3 cm ont tous deux une aire de 12 cm², mais des périmètres de 16 cm et 14 cm.
Comment convertir des m² en dm² ou des dm² en cm² ?
On utilise 1 m² = 100 dm² et 1 dm² = 100 cm². Vers une unité plus petite, on multiplie par 100 : 2,4 m² = 240 dm². Vers une unité plus grande, on divise par 100 : 1 800 cm² = 18 dm².
Les volumes et les capacités sont-ils au programme de 6e ?
En 6e, on découvre seulement le centimètre cube (le volume d’un cube de 1 cm d’arête) et on trouve le volume d’un assemblage en comptant ses cubes. Les formules du volume du cube et du pavé droit, les dm³, m³ et litres (1 dm³ = 1 L) se travaillent à partir de la 5e.
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