Devoir surveillé : Aires, volumes et représentation des solides

1. a)Faux. Périmètres : $2\times (7+3)=20$ cm et $4\times 5=20$ cm, ils sont bien égaux (0,5 pt). Aires : $7\times 3=21$ cm² et $5\times 5=25$ cm², elles sont différentes : un même périmètre ne donne pas la même aire (0,5 pt). (1)
2. b)Faux. Il a $2$ bases triangulaires et $3$ faces latérales rectangulaires, soit $2+3=5$ faces (0,5 pt) ; il a aussi $9$ arêtes et $6$ sommets (0,5 pt). (1)
3. c)Vrai. $1$ L $=1$ dm³ $=1000$ cm³ (0,5 pt), donc $2,5$ L $=2,5\times 1000=2500$ cm³ (0,5 pt). (1)
4. d)Faux. Seules les arêtes des faces avant et arrière (vues de face) sont en vraie grandeur (0,5 pt) ; les fuyantes sont tracées en oblique et raccourcies par un coefficient de réduction, par exemple la moitié (0,5 pt). (1)

Piège — deux figures de même périmètre peuvent avoir des aires différentes : le périmètre mesure un contour (en cm), l'aire une surface (en cm²).

1. a)$P=2\times (12+4,5)=2\times 16,5=33$ cm (0,5 pt) ; $A=12\times 4,5=54$ cm² (0,5 pt). (1)
2. b)$A={\displaystyle \frac{9\times 7}{2}}={\displaystyle \frac{63}{2}}=31,5$ cm² (formule 0,5 pt, résultat 0,5 pt). (1)
3. c)$A=\pi \times r\times r\approx 3,14\times 5\times 5=3,14\times 25=78,5$ cm² (formule 0,5 pt, résultat 0,5 pt). (1)
4. d)$L=\pi \times d\approx 3,14\times 15=47,1$ cm (formule 0,5 pt, résultat 0,5 pt). (1)

Méthode — avant d'appliquer une formule du cercle, repère si l'énoncé donne le rayon ou le diamètre : la circonférence se calcule avec le diamètre, l'aire du disque avec le rayon.

1. a)$V=6\times 6\times 6=216$ cm³ (1 pt). (1)
2. b)$V=8\times 5\times 2,5=40\times 2,5=100$ cm³ (0,5 pt) ; $100$ cm³ $=0,1$ dm³ $=0,1$ L (0,5 pt). (1)
3. c)Aire de la base : ${\displaystyle \frac{6\times 4}{2}}=12$ cm² (0,5 pt) ; $V=12\times 10=120$ cm³ (0,5 pt). (1)
4. d)Aire de la base : $3,14\times 3\times 3=28,26$ cm² (0,5 pt) ; $V=28,26\times 10=282,6$ cm³ (0,5 pt). (1)

Astuce — prisme droit ou cylindre, c'est toujours la même formule : aire de la base multipliée par la hauteur ; il suffit de bien calculer d'abord l'aire de la base.

1. a)$6$ faces, $12$ arêtes, $8$ sommets (0,5 pt) ; toutes les faces sont des rectangles (0,5 pt). (1)
2. b)Les arêtes des faces avant $ABFE$ et arrière $DCGH$ : $[AB]$, $[EF]$, $[DC]$, $[HG]$ de $6$ cm et $[AE]$, $[BF]$, $[DH]$, $[CG]$ de $4$ cm (0,5 pt). $[BC]$ est une fuyante : $3÷2=1,5$ cm sur le dessin (0,5 pt). (1)
3. c)Deux rectangles de $6$ cm $\times$ $4$ cm (avant, arrière), deux de $6$ cm $\times$ $3$ cm (dessus, dessous) et deux de $3$ cm $\times$ $4$ cm (côtés) (1 pt, 0,5 pt si une paire manque). (1)
4. d)Aire : $2\times 24+2\times 18+2\times 12=48+36+24=108$ cm² (0,5 pt). Volume : $6\times 3\times 4=72$ cm³ (0,5 pt). (1)

Erreur fréquente — mesurer une fuyante sur le dessin ne donne pas sa vraie longueur : il faut tenir compte du coefficient de réduction, dans un sens comme dans l'autre.

1. a)$A=2\times 1,5=3$ m² (1 pt). (1)
2. b)C'est le périmètre : $2\times (2+1,5)=2\times 3,5=7$ m (1 pt). (1)
3. c)$20$ cm $=0,2$ m (0,5 pt) ; $V=3\times 0,2=0,6$ m³ $=600$ dm³ $=600$ L (0,5 pt). (1)
4. d)$600÷25=24$ : il faut $24$ sacs (1 pt). (1)

Piège — on ne multiplie jamais des mètres par des centimètres : convertir la hauteur en mètres avant le calcul du volume évite une erreur d'un facteur cent.

1. a)Faux. Exemple : côté $3$ cm, aire $9$ cm² ; côté $6$ cm, aire $36$ cm² (0,5 pt). L'aire est multipliée par $2\times 2=4$ (0,5 pt). (1)
2. b)Faux. $V_1\approx 3,14\times 2\times 2\times 10=125,6$ cm³ (0,5 pt) ; $V_2\approx 3,14\times 4\times 4\times 5=251,2$ cm³, soit le double (0,5 pt). (1)
3. c)Vrai (0,5 pt). L'autre dimension du rectangle est la longueur du cercle de base, $\pi \times d$, car le rectangle s'enroule exactement autour du disque (0,5 pt). (1)
4. d)Faux. $0,06$ m³ $=0,06\times 1000=60$ dm³ (0,5 pt), et $1$ dm³ $=1$ L, donc l'aquarium contient $60$ L (0,5 pt). (1)

Méthode — pour réfuter une affirmation générale, un seul contre-exemple chiffré suffit ; pour la confirmer, il faut une raison qui marche dans tous les cas.

1. a)Rectangle : $10\times 6=60$ cm² (0,5 pt). Demi-disque de rayon $3$ cm : $3,14\times 3\times 3÷2=28,26÷2=14,13$ cm² (0,5 pt). Total : $60+14,13=74,13$ cm² (0,5 pt). (1,33333)
2. b)Le côté $[BC]$ est intérieur : il ne compte pas (0,5 pt). Demi-cercle : $3,14\times 6÷2=9,42$ cm (0,5 pt). $P=10+6+10+9,42=35,42$ cm (0,5 pt). (1,33333)
3. c)Pavé : $10\times 6\times 4=240$ cm³ ; demi-cylindre : $14,13\times 4=56,52$ cm³ (0,5 pt). $V=240+56,52=296,52$ cm³, soit aussi $74,13\times 4$ (0,5 pt). (1,33333)

Erreur fréquente — dans le périmètre d'une figure composée, un segment qui sépare deux morceaux n'est pas sur le contour : on ne l'ajoute pas, alors qu'on additionne bien les deux aires.

1. a)$5$ faces (2 triangles, 3 rectangles), $9$ arêtes, $6$ sommets (1 pt, 0,5 pt si une erreur). (1)
2. b)Les arêtes latérales $[AD]$, $[BE]$ et $[CF]$ (0,5 pt), dessinées avec $7÷2=3,5$ cm (0,5 pt). (1)
3. c)Deux triangles rectangles de côtés $3$ cm, $4$ cm, $5$ cm (0,5 pt) ; trois rectangles de $3\times 7$, $4\times 7$ et $5\times 7$ cm (0,5 pt). (1)
4. d)Triangles : $2\times {\displaystyle \frac{3\times 4}{2}}=12$ cm² ; rectangles : $21+28+35=84$ cm² ; total $96$ cm² (0,5 pt). Volume : $6\times 7=42$ cm³ (0,5 pt). (1)

Astuce — dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit servent à la fois de base et de hauteur : l'aire est leur produit divisé par deux.

1. a)$3,14\times 4\times 4=50,24$ cm² (0,5 pt) ; l'élève a calculé la longueur du cercle ($\pi \times d$) au lieu de l'aire (0,5 pt). (1)
2. b)$35000$ cm³ $=35$ dm³ est juste, mais $35$ dm³ $=35$ L (0,5 pt) ; l'erreur : $1$ dm³ vaut $1$ L, pas $10$ L (0,5 pt). (1)
3. c)Base : $6\times 5÷2=15$ cm², donc $V=15\times 10=150$ cm³ (0,5 pt) ; l'élève a oublié de diviser par $2$ l'aire du triangle (0,5 pt). (1)
4. d)$6\times 3\times 3=54$ cm² (0,5 pt) ; $27$ est le volume ($3\times 3\times 3=27$ cm³), pas l'aire des $6$ faces (0,5 pt). (1)

Piège — l'unité trahit souvent l'erreur : une longueur en cm, une aire en cm², un volume en cm³ ; un calcul qui mélange les trois n'a pas de sens.

1. a)Rayon $2$ m (0,5 pt) ; $A\approx 3,14\times 2\times 2=12,56$ m² (0,5 pt). (1)
2. b)$V\approx 12,56\times 1,2=15,072$ m³ (0,5 pt) ; $1$ m³ $=1000$ L, donc $15072$ L (0,5 pt). (1)
3. c)$15072÷12=1256$ min (0,5 pt) ; $1256=20\times 60+56$, soit $20$ h $56$ min (0,5 pt). (1)
4. d)Longueur : le tour du fond, $3,14\times 4=12,56$ m ; largeur : $1,5$ m (0,5 pt). Aire : $12,56\times 1,5=18,84$ m² (0,5 pt). (1)

Méthode — pour convertir des minutes en heures, on cherche combien de fois 60 min tiennent dans le total ; le reste donne les minutes, et non la partie décimale.

1. a)Une face : $150÷6=25$ cm², donc l'arête vaut $5$ cm car $5\times 5=25$ (0,5 pt). $V=5\times 5\times 5=125$ cm³ (0,5 pt). (1)
2. b)$V\approx 3,14\times 5\times 5\times 4$ ; on regroupe $25\times 4=100$ (0,5 pt), donc $V\approx 3,14\times 100=314$ cm³ (0,5 pt). (1)
3. c)Longueur + largeur $=26÷2=13$ cm. Couples possibles : $1$ et $12$ (aire $12$), $2$ et $11$ ($22$), $3$ et $10$ ($30$), $4$ et $9$ ($36$), $5$ et $8$ ($40$), $6$ et $7$ ($42$) (0,5 pt). Seul $8$ cm sur $5$ cm convient (0,5 pt). (1)
4. d)Non. Si la base a $n$ côtés, il y a $n$ arêtes en bas, $n$ en haut et $n$ latérales, soit $3\times n$ arêtes (0,5 pt). Or $25$ n'est pas un multiple de $3$ ($3\times 8=24$, $3\times 9=27$) (0,5 pt). (1)

Astuce — sans calculatrice, on regroupe les facteurs qui donnent 10, 100 ou 1 000 avant de multiplier par 3,14 : l'ordre des facteurs ne change pas un produit.

1. a)Les quatre quarts ont le même rayon $4$ cm et ne se chevauchent pas ($4+4=8$) : réunis, ils forment un disque entier (0,5 pt). Aire : $3,14\times 4\times 4=3,14\times 16=50,24$ cm² (0,5 pt). (1)
2. b)Carré : $8\times 8=64$ cm² (0,5 pt) ; reste $64-50,24=13,76$ cm² (0,5 pt). (1)
3. c)Chaque côté du carré, $8=4+4$, est entièrement mangé par deux quarts de disque : il ne reste que les $4$ arcs (0,5 pt). Ils forment un cercle de rayon $4$ cm : $3,14\times 8=25,12$ cm (0,5 pt). (1)
4. d)Cube : $8\times 8\times 8=512$ cm³ ; trou : $3,14\times 2\times 2\times 8=3,14\times 32=100,48$ cm³ (0,5 pt). Reste : $512-100,48=411,52$ cm³ (0,5 pt). (1)

Méthode — des morceaux de disque de même rayon se recollent en disque entier : on calcule une seule aire au lieu de quatre, et de même une seule longueur de cercle.

1. a)Comme $a$ est la plus petite dimension, $a\times a\times a⩽24$ ; or $3^3=27$, donc $a=1$ ou $a=2$ (0,5 pt). Si $a=1$ : $b\times c=24$ avec $b\times b⩽24$, donc $b⩽4$ : $1\times 1\times 24$, $1\times 2\times 12$, $1\times 3\times 8$, $1\times 4\times 6$ (0,5 pt). Si $a=2$ : $b\times c=12$ avec $2⩽b$ et $b\times b⩽12$, donc $b=2$ ou $3$ : $2\times 2\times 6$, $2\times 3\times 4$ (0,5 pt). Il y a donc $6$ pavés (0,5 pt). (1,66667)
2. b)Un cube aurait une arête $a$ avec $a\times a\times a=24$ ; or $2^3=8$ et $3^3=27$ : impossible (0,5 pt). Les pavés $1\times 1\times 24$ et $2\times 2\times 6$ ont deux faces carrées ($1\times 1$ et $2\times 2$) (0,5 pt). (1,66667)
3. c)Aire $=2\times (a\times b+b\times c+a\times c)$ : $98$ ; $76$ ; $70$ ; $68$ ; $56$ ; $52$ cm² dans l'ordre de la liste (1 pt, 0,5 pt si une erreur). Le moins de carton : $2\times 3\times 4$, avec $52$ cm² (0,5 pt) ; son patron a deux faces de $2\times 3$, deux de $3\times 4$ et deux de $2\times 4$ cm (0,5 pt). (1,66667)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on impose un ordre (a ≤ b ≤ c) puis on fait varier la plus petite dimension de 1 jusqu'à sa valeur maximale.

1. a)$1,2$ m $=120$ cm (0,5 pt). $V\approx 3,14\times 50\times 50\times 120=3,14\times 300000=942000$ cm³ $=942$ dm³ $=942$ L (0,5 pt). (1,33333)
2. b)Un bidon : $30\times 20\times 25=15000$ cm³ $=15$ L (0,5 pt). $942=15\times 62+12$ : $62$ bidons pleins ne suffisent pas (0,5 pt), il en faut $63$ et le dernier contient $12$ L (0,5 pt). (1,33333)
3. c)Le patron de la paroi est un rectangle : longueur $=3,14\times 100=314$ cm $=3,14$ m, largeur $1,2$ m (0,5 pt). Aire : $3,14\times 1,2=3,768$ m² (1 pt). (1,33333)

Erreur fréquente — quand un partage ne tombe pas juste, arrondir au plus proche est une faute : s'il reste de l'eau, il faut un contenant de plus, même presque vide.

1. a)Le volume est longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur ; chacun des trois facteurs est multiplié par $2$, donc le produit est multiplié par $2\times 2\times 2=8$ (1 pt). (1)
2. b)Chaque face est un rectangle dont les deux dimensions sont doublées : son aire est multipliée par $2\times 2=4$ (0,5 pt). Toutes les faces étant multipliées par $4$, leur somme aussi : l'aire totale est multipliée par $4$ (0,5 pt). (1)
3. c)Non. L'aire de la base $\pi \times r\times r$ devient $\pi \times (2r)\times (2r)$ : elle est multipliée par $4$, car le rayon apparaît deux fois (0,5 pt). La hauteur divisée par $2$ donne un volume multiplié par $4÷2=2$ : il double (0,5 pt). (1)

Piège — quand les longueurs sont multipliées par 2, les aires le sont par 4 et les volumes par 8 : une dimension qui figure deux fois dans une formule compte deux fois.