Volumes : pavé, prisme droit, cylindre

Les pavés sont formés de cubes unités. Le premier est dessiné ci-dessous (cubes de 1 cm d’arête).

1. Volume du pavé dessiné : cm³
   Une couche : $4\times 3=12$ cubes. Il y a $4$ couches : $12\times 4=48$ cubes, soit $48$ cm³.
2. Pavé de $7$ cubes de long, $2$ de large et $5$ de haut (cubes de $1$ cm d’arête) : cm³
   Une couche : $7\times 2=14$ cubes ; $5$ couches : $14\times 5=70$ cubes, soit $70$ cm³.
3. Pavé de $9\times 2\times 3$ cubes de $1$ dm d’arête : dm³
   $9\times 2\times 3=54$ cubes. Chaque cube a un volume de $1$ dm³ : le volume est $54$ dm³.

Complète avec l’unité qui convient : une unité de longueur, d’aire ou de volume (tu peux écrire m2 pour m², m3 pour m³).

1. La surface d’une table : $1,2$
   Une surface est une aire : $1,2$ m².
2. La place occupée par un carton de déménagement : $0,06$
   La place occupée est un volume : $0,06$ m³.
3. Le tour d’une boîte de conserve : $25$
   Un tour (un contour) est une longueur : $25$ cm.
4. L’intérieur d’une boîte de céréales : $3000$
   L’intérieur d’une boîte, c’est la place disponible : un volume, $3000$ cm³.

Raisonne avec les couches de cubes.

1. Combien de cubes de $1$ cm d’arête faut-il pour remplir une boîte de $10$ cm sur $10$ cm, haute de $10$ cm ?
   Une couche : $10\times 10=100$ cubes ; $10$ couches : $100\times 10=1000$ cubes. Un cube de $1$ dm d’arête contient $1000$ cm³ (on s’en sert pour les conversions).
2. Une boîte de $6$ cm sur $4$ cm, haute de $5$ cm, contient déjà $2$ couches de cubes de $1$ cm d’arête. Combien de cubes faut-il encore pour la remplir ?
   Une couche : $6\times 4=24$ cubes. Il manque $5-2=3$ couches : $24\times 3=72$ cubes.
3. Combien de cubes de $2$ cm d’arête peut-on ranger dans une boîte cubique de $8$ cm d’arête ?
   Sur chaque arête de $8$ cm, on aligne $8÷2=4$ cubes : $4\times 4=16$ cubes par couche et $4$ couches, soit $16\times 4=64$ cubes.

Calcule le volume.

1. Pavé droit de $7$ cm $\times$ $3$ cm $\times$ $2$ cm : cm³
   $V=7\times 3\times 2=42$ cm³.
2. Pavé droit de $12$ cm $\times$ $5$ cm $\times$ $4$ cm : cm³
   $V=12\times 5\times 4=240$ cm³.
3. Cube d’arête $9$ cm : cm³
   $V=9\times 9\times 9=81\times 9=729$ cm³.
4. Cube d’arête $10$ cm : cm³
   $V=10\times 10\times 10=1000$ cm³ : c’est exactement $1$ dm³.

Convertis d’abord les trois dimensions dans la même unité.

1. Pavé droit de $1,2$ m $\times$ $80$ cm $\times$ $50$ cm : cm³
   Tout en cm : $1,2$ m $=120$ cm. $V=120\times 80\times 50=480000$ cm³.
2. Pavé droit de $2$ m $\times$ $5$ dm $\times$ $30$ cm : dm³
   Tout en dm : $2$ m $=20$ dm et $30$ cm $=3$ dm. $V=20\times 5\times 3=300$ dm³.
3. Pavé droit de $0,4$ m $\times$ $25$ cm $\times$ $3$ dm : dm³
   Tout en dm : $0,4$ m $=4$ dm et $25$ cm $=2,5$ dm. $V=4\times 2,5\times 3=30$ dm³.

Retrouve la dimension manquante.

1. Un cube a un volume de $64000$ cm³. Son arête : cm
   $40\times 40\times 40=1600\times 40=64000$ : l’arête mesure $40$ cm.
2. Un pavé droit a un volume de $180$ cm³ et une base de $6$ cm sur $5$ cm. Sa hauteur : cm
   Aire de la base : $6\times 5=30$ cm². $h=180÷30=6$ cm.
3. Un pavé droit de $360$ cm³ a une largeur de $4$ cm et une hauteur de $6$ cm. Sa longueur : cm
   $4\times 6=24$ ; $L=360÷24=15$ cm (vérification : $15\times 4\times 6=360$).

Complète.

1. $1$ dm³ = cm³
   $1$ dm³ $=10\times 10\times 10$ cm³ $=1000$ cm³ : pour les volumes, on décale de trois rangs.
2. $3$ L = dm³
   $1$ L $=1$ dm³, donc $3$ L $=3$ dm³.
3. $2$ m³ = L
   $1$ m³ $=1000$ dm³ $=1000$ L, donc $2$ m³ $=2000$ L.
4. $500$ cm³ = mL
   $1$ cm³ $=1$ mL, donc $500$ cm³ $=500$ mL.
5. $5$ cm³ = mm³
   $1$ cm³ $=1000$ mm³, donc $5$ cm³ $=5000$ mm³.

Complète (attention aux virgules).

1. $2500$ cm³ = L
   $2500$ cm³ $=2,5$ dm³ $=2,5$ L (on divise par $1000$).
2. $0,75$ m³ = L
   $0,75$ m³ $=0,75\times 1000=750$ dm³ $=750$ L.
3. $45000$ cm³ = dm³
   On divise par $1000$ : $45000$ cm³ $=45$ dm³.
4. $1,2$ dm³ = mL
   $1,2$ dm³ $=1200$ cm³ $=1200$ mL.
5. $33$ cL = cm³
   $1$ cL $=10$ mL : $33$ cL $=330$ mL $=330$ cm³.
6. $1,5$ hL = L
   $1$ hL $=100$ L, donc $1,5$ hL $=150$ L.

Problèmes de contenance.

1. Combien de verres de $20$ cL peut-on remplir entièrement avec une bouteille de $1,5$ L ?
   $1,5$ L $=150$ cL. $150÷20$ : $7$, il reste $10$. On remplit $7$ verres (il reste $10$ cL).
2. Contenance d’une jardinière de $70$ cm $\times$ $20$ cm $\times$ $25$ cm : L
   $V=70\times 20\times 25=35000$ cm³ $=35$ dm³ $=35$ L.
3. Une citerne de $2,4$ m³ est remplie avec des seaux de $10$ L. Combien de seaux faut-il ?
   $2,4$ m³ $=2400$ L. $2400÷10=240$ seaux.

Calcule le volume du prisme droit.

1. Base d’aire $15$ cm², hauteur $7$ cm : cm³
   $V=B\times h=15\times 7=105$ cm³.
2. Base d’aire $8,5$ cm², hauteur $6$ cm : cm³
   $V=8,5\times 6=51$ cm³.
3. Pavé droit vu comme un prisme : base de $4$ cm sur $9$ cm, hauteur $3$ cm : cm³
   Aire de la base : $B=4\times 9=36$ cm². $V=36\times 3=108$ cm³.

Calcule d’abord l’aire de la base.

1. Base triangulaire (base $6$ cm, hauteur $5$ cm), hauteur du prisme $9$ cm : cm³
   $B=6\times 5÷2=15$ cm² ; $V=15\times 9=135$ cm³.
2. Base en triangle rectangle (côtés de l’angle droit $3$ cm et $4$ cm), hauteur du prisme $12$ cm : cm³
   Les côtés de l’angle droit jouent le rôle de base et de hauteur : $B=3\times 4÷2=6$ cm². $V=6\times 12=72$ cm³.
3. Base formée d’un carré de $4$ cm de côté surmonté d’un triangle de hauteur $3$ cm, hauteur du prisme $8$ cm : cm³
   $B=4\times 4+4\times 3÷2=16+6=22$ cm². $V=22\times 8=176$ cm³.

Retrouve la donnée manquante.

1. Un prisme droit a un volume de $96$ cm³ et une hauteur de $8$ cm. Aire de sa base : cm²
   $V=B\times h$, donc $B=96÷8=12$ cm².
2. Un prisme droit a un volume de $150$ cm³ et une base d’aire $12,5$ cm². Sa hauteur : cm
   $h=150÷12,5=12$ cm (vérification : $12,5\times 12=150$).
3. La base d’un prisme droit est un triangle de base $5$ cm et de hauteur $4$ cm ; son volume est $130$ cm³. Hauteur du prisme : cm
   $B=5\times 4÷2=10$ cm² ; $h=130÷10=13$ cm.

Calcule le volume avec $\pi \approx 3,14$.

1. Cylindre de rayon $2$ cm et de hauteur $10$ cm : cm³
   $V\approx 3,14\times 2\times 2\times 10=3,14\times 40=125,6$ cm³.
2. Cylindre de diamètre $6$ cm et de hauteur $5$ cm : cm³
   Rayon : $6÷2=3$ cm. $V\approx 3,14\times 3\times 3\times 5=3,14\times 45=141,3$ cm³.
3. Cylindre de rayon $5$ cm et de hauteur $8$ cm : cm³
   $V\approx 3,14\times 5\times 5\times 8=3,14\times 200=628$ cm³.

Valeur exacte et contenance.

1. Cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $7$ cm : valeur exacte $V=$ $\pi$ cm³
   $V=\pi \times 3\times 3\times 7=63\pi$ cm³ (valeur exacte, sans arrondi).
2. Tube cylindrique de diamètre $4$ cm et de hauteur $12$ cm : cm³
   Rayon $2$ cm : $V\approx 3,14\times 2\times 2\times 12=3,14\times 48=150,72$ cm³.
3. Casserole cylindrique de diamètre $20$ cm et de hauteur $11$ cm : contenance L
   Rayon $10$ cm : $V\approx 3,14\times 10\times 10\times 11=3,14\times 1100=3454$ cm³ $=3,454$ dm³ $=3,454$ L.

Retrouve une dimension, puis calcule une contenance ($\pi \approx 3,14$).

1. Un cylindre a un volume de $785$ cm³ et un rayon de $5$ cm. Sa hauteur : cm
   Aire de la base : $3,14\times 5\times 5=78,5$ cm². $h=785÷78,5=10$ cm.
2. Une citerne cylindrique a un rayon de $0,8$ m et une hauteur de $2$ m. Son volume, arrondi au centième : m³
   $V\approx 3,14\times 0,8\times 0,8\times 2=3,14\times 1,28=4,0192$ m³, soit environ $4,02$ m³.
3. Contenance de cette citerne, arrondie au litre : L
   $4,0192$ m³ $=4019,2$ dm³ $=4019,2$ L, soit environ $4019$ L.