Mesurer le contour et la surface des figures planes
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Aires, périmètres & cercle » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Périmètre et aire : deux idées à ne JAMAIS confondre, Le périmètre des polygones, Le cercle : vocabulaire et circonférence, Aire du rectangle et du carré. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Périmètre et aire : ne pas confondre
2 · Le périmètre des polygones
3 · Le cercle : circonférence (π × d)
4 · Aire du rectangle et du carré
5 · Aire du triangle
6 · Aire du parallélogramme
7 · Aire du disque (π × r²)
8 · Unités d'aire et conversions
9 · Méthode pour résoudre un problème
1Périmètre et aire : deux idées à ne JAMAIS confondre
Avant tout calcul, il faut bien comprendre la différence entre ces deux mesures qui parlent d'une figure plane (un carré, un triangle, un disque…).
Le périmètre est la longueur du contour de la figure : c'est la distance qu'on parcourt si on fait le tour complet en marchant sur le bord. On le mesure en unités de longueur : mm, cm, m, km.
L'aire est la quantité de surface à l'intérieur de la figure : c'est la place qu'elle occupe, le nombre de petits carrés qui la recouvrent. On la mesure en unités d'aire : mm², cm², m², km².
Une image pour ne plus jamais se tromper : imagine un terrain.
La clôture autour du terrain, c'est le périmètre (une longueur, en m).
Le gazon qui recouvre le terrain, c'est l'aire (une surface, en m²).
⚠️ Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais des aires différentes (et inversement). Périmètre et aire sont deux choses indépendantes : on ne les additionne jamais ensemble, et leurs unités ne se mélangent pas (cm avec cm, cm² avec cm²).
2Le périmètre des polygones
Un polygone est une figure fermée formée de segments (ses côtés). Pour trouver son périmètre, la méthode est toujours la même.
Règle générale. Le périmètre d'un polygone = la somme des longueurs de tous ses côtés. Attention : toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant d'additionner.
Cas particuliers à connaître par cœur
Figure
Formule du périmètre
Pourquoi
Carré (côté c)
P = 4 × c
4 côtés tous égaux
Rectangle (L et l)
P = 2 × (L + l)
2 longueurs + 2 largeurs
Triangle équilatéral (côté c)
P = 3 × c
3 côtés égaux
Exemple 1. Un rectangle de longueur L = 7 cm et largeur l = 4 cm. P = 2 × (7 + 4) = 2 × 11 = 22 cm. (On peut aussi faire 7 + 4 + 7 + 4 = 22 cm.)
Exemple 2. Un carré de côté 5,5 cm. P = 4 × 5,5 = 22 cm.
Exemple 3 (attention aux unités). Un triangle a pour côtés 30 mm, 5 cm et 4,2 cm. On convertit d'abord : 30 mm = 3 cm. Puis P = 3 + 5 + 4,2 = 12,2 cm.
💡 Pour un rectangle, la formule P = 2 × (L + l) est plus rapide que d'additionner les 4 côtés un par un. On calcule d'abord la parenthèse, ensuite on multiplie par 2.
3Le cercle : vocabulaire et circonférence
Le cercle est la ligne (le bord) ; le disque est la surface à l'intérieur. Le périmètre d'un cercle porte un nom spécial : la circonférence.
Le centre O est le point au milieu, à égale distance de tout le cercle.
Le rayon r relie le centre à un point du cercle.
Le diamètre d traverse le cercle en passant par le centre : d = 2 × r (et donc r = d ÷ 2).
Le nombre π (« pi »). Pour tous les cercles, si on divise la circonférence par le diamètre, on tombe toujours sur le même nombre, noté π ≈ 3,14. Ce nombre a une infinité de décimales (3,14159…), on l'arrondit à 3,14 pour les calculs.
Circonférence d'un cercle.
P = π × d ou P = 2 × π × r
Les deux formules sont équivalentes (puisque d = 2 × r). On choisit celle qui correspond à la donnée de l'énoncé : si on connaît le diamètre, on prend π × d ; si on connaît le rayon, on prend 2 × π × r.
Exemple 1. Un cercle de diamètre d = 10 cm. P = π × d ≈ 3,14 × 10 = 31,4 cm.
Exemple 2. Un cercle de rayon r = 4 cm. P = 2 × π × r ≈ 2 × 3,14 × 4 = 6,28 × 4 = 25,12 cm.
⚠️ Erreur fréquente : oublier que la formule 2 × π × r utilise le rayon, alors que π × d utilise le diamètre. Si l'énoncé donne le diamètre et que tu veux utiliser 2 × π × r, calcule d'abord r = d ÷ 2.
4Aire du rectangle et du carré
L'aire se mesure en carrés-unités. Pour un rectangle quadrillé, il suffit de compter combien de carrés de côté 1 cm rentrent dedans. La formule fait ce comptage automatiquement.
Aire du rectangle. A = Longueur × largeur = L × l. Aire du carré. A = côté × côté = c × c (souvent noté c²).
Exemple 1. Rectangle L = 7 cm, l = 4 cm → A = 7 × 4 = 28 cm².
Exemple 2. Carré de côté 6 cm → A = 6 × 6 = 36 cm².
💡 Le résultat d'une aire est toujours en unité carrée (cm², m²…). Quand tu multiplies des cm par des cm, tu obtiens des cm². C'est une bonne façon de vérifier que tu as bien calculé une aire et non un périmètre.
⚠️ Les deux longueurs doivent être dans la même unité. Pour un rectangle de 2 m sur 50 cm : convertis d'abord 50 cm = 0,5 m, puis A = 2 × 0,5 = 1 m² (et non « 2 × 50 »).
5Aire du triangle
Un triangle, c'est exactement la moitié d'un rectangle (ou d'un parallélogramme) qui aurait la même base et la même hauteur. D'où la division par 2 dans la formule.
Aire du triangle.
A = base × hauteur2
La hauteur est le segment qui part d'un sommet et tombe perpendiculairement (à angle droit) sur la base opposée.
Exemple 1. Triangle de base 8 cm et hauteur 5 cm. A = (8 × 5) ÷ 2 = 40 ÷ 2 = 20 cm².
Exemple 2 (triangle rectangle). Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit servent de base et de hauteur. Avec des côtés de 6 cm et 4 cm : A = (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm².
⚠️ La hauteur n'est pas forcément un côté du triangle ! C'est la distance perpendiculaire entre un sommet et la base. Ne prends pas au hasard un autre côté à la place de la hauteur.
💡 Astuce de calcul : commence par le produit le plus simple. Pour (7 × 6) ÷ 2, fais plutôt 6 ÷ 2 = 3, puis 7 × 3 = 21. Plus rapide et sans erreur.
6Aire du parallélogramme
Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et de même longueur. En découpant un triangle d'un côté pour le recoller de l'autre, on le transforme en rectangle de même base et même hauteur : leurs aires sont donc égales.
Aire du parallélogramme. A = base × hauteur. Comme pour le triangle, la hauteur est perpendiculaire à la base : ce n'est pas la longueur du côté oblique.
Exemple. Parallélogramme de base 9 cm et hauteur 4 cm → A = 9 × 4 = 36 cm².
⚠️ Piège classique : on donne souvent la longueur du côté incliné en plus de la hauteur, pour te tromper. Pour l'aire, on n'utilise que la base et la hauteur (la hauteur perpendiculaire), jamais le côté oblique.
💡 Le rectangle et le carré sont des parallélogrammes particuliers : la formule base × hauteur marche aussi pour eux (la hauteur est alors égale à la largeur ou au côté).
7Aire du disque
Pour la surface d'un disque, on utilise encore le nombre π, mais avec le rayon multiplié par lui-même.
Aire du disque.
A = π × r × r (noté A = π × r²)
r est le rayon du disque, et π ≈ 3,14.
Méthode pas-à-pas.
1. Si l'énoncé donne le diamètre, calcule d'abord le rayon : r = d ÷ 2.
2. Calcule r × r (le rayon au carré).
3. Multiplie le résultat par π (≈ 3,14).
Exemple 1. Disque de rayon r = 5 cm. A = π × r × r ≈ 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm².
Exemple 2 (on donne le diamètre). Disque de diamètre 8 cm. D'abord r = 8 ÷ 2 = 4 cm. A = 3,14 × 4 × 4 = 3,14 × 16 = 50,24 cm².
⚠️ Ne confonds pas les deux formules du cercle ! · Circonférence (le tour, en cm) : P = 2 × π × r. · Aire du disque (la surface, en cm²) : A = π × r × r. Dans l'aire, le rayon est multiplié deux fois ; dans le périmètre, une seule fois (et par 2).
💡 Vérification d'unité : l'aire est en cm² → il faut bien deux longueurs multipliées (r × r). Si tu n'as multiplié le rayon qu'une fois, tu as calculé un périmètre, pas une aire.
8Unités d'aire et conversions
Les longueurs se convertissent en avançant d'un rang à la fois (mm, cm, dm, m…). Pour les aires, c'est pareil… sauf qu'on saute deux colonnes à chaque changement d'unité, car une unité d'aire est un carré.
La règle d'or. D'une unité d'aire à la suivante, on multiplie ou divise par 100 (et non par 10). Par exemple : 1 cm² = 100 mm², 1 m² = 10 000 cm², 1 dm² = 100 cm².
Pourquoi ×100 ? Parce que 1 cm = 10 mm, donc un carré de 1 cm de côté contient 10 × 10 = 100 petits carrés de 1 mm de côté.
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
×100
×100
×100
×100
×100
×100
1
Dans un tableau de conversion d'aires, on écrit deux chiffres par colonne (puisque chaque unité contient 100 fois la suivante).
5 m² = 5 × 10 000 = 50 000 cm²
300 cm² = 300 ÷ 100 = 3 dm²
2,5 dm² = 2,5 × 100 = 250 cm²
7 000 000 m² = 7 km² (on divise 3 fois par 100, soit ÷ 1 000 000)
Les unités agraires (terrains)
Pour les surfaces de terrains, on utilise aussi : · l'are (a) : 1 a = 100 m² ; · l'hectare (ha) : 1 ha = 100 a = 10 000 m².
Exemple. Un champ de 3 ha vaut 3 × 10 000 = 30 000 m².
⚠️ La grande erreur : convertir une aire comme une longueur (×10 au lieu de ×100). 1 m² ≠ 100 cm² → c'est 10 000 cm² !
9Méthode pour résoudre un problème
Beaucoup de problèmes mélangent périmètre, aire et conversions. Voici une méthode fiable pour ne pas se perdre.
Les 4 étapes.
1. Lire : la question demande-t-elle une longueur (périmètre, contour, clôture, frise…) ou une surface (aire, pelouse, peinture, carrelage…) ?
2. Repérer la figure et la formule qui va avec.
3. Vérifier les unités : tout dans la même unité avant de calculer.
4. Calculer puis donner le résultat avec la bonne unité (cm pour un périmètre, cm² pour une aire).
Mots-clés qui guident vers la bonne mesure
On cherche un PÉRIMÈTRE (longueur)
On cherche une AIRE (surface)
clôture, barrière, grillage
gazon, pelouse, terrain à semer
tour, contour, faire le tour
peinture, carrelage, moquette
frise, bordure, ruban autour
surface, place occupée
Exemple complet. Un jardin rectangulaire mesure 12 m sur 8 m. On veut (a) le grillager et (b) y semer du gazon. (a) Grillage = périmètre = 2 × (12 + 8) = 2 × 20 = 40 m. (b) Gazon = aire = 12 × 8 = 96 m². Même figure, deux questions, deux unités différentes !
🎓 Récap express. Périmètre = tour (en cm, m…) · Aire = surface (en cm², m²…) · Rectangle : P = 2×(L+l), A = L×l · Carré : P = 4×c, A = c×c · Triangle : A = base×hauteur÷2 · Parallélogramme : A = base×hauteur · Cercle : circonférence = π×d = 2×π×r, aire du disque = π×r×r · Conversions d'aires : ×100 d'une unité à la suivante · π ≈ 3,14.