À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Aires, périmètres & cercle » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Périmètre et aire : deux mesures différentes, Unités de longueur et d'aire (conversions), Périmètres et aires des figures usuelles, Le cercle : rayon, diamètre, circonférence. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Périmètre et aire : deux mesures différentes
2 · Unités de longueur et d'aire (conversions)
3 · Périmètres et aires des figures usuelles
4 · Le cercle : rayon, diamètre, circonférence
5 · L'aire du disque
6 · Aires de figures composées
7 · Méthode : choisir la bonne formule
1Périmètre et aire : deux mesures différentes
Devant une figure plane, on peut mesurer deux choses très différentes : la longueur de son contour et la taille de sa surface. Il ne faut jamais les confondre.
Définitions.
• Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour. On l'exprime en unités de longueur : $\text{mm}$, $\text{cm}$, $\text{m}$, $\text{km}$…
• L'aire d'une figure est la mesure de sa surface (la place qu'elle occupe). On l'exprime en unités d'aire : $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$…
Exemple. Un carré de côté $4$ cm a un périmètre $P = 4 \times 4 = 16$ cm et une aire $A = 4 \times 4 = 16$ $\text{cm}^2$. Ici les deux nombres sont égaux par hasard, mais ce sont deux grandeurs différentes (l'une en cm, l'autre en $\text{cm}^2$).
Attention ! Deux figures peuvent avoir le même périmètre et des aires différentes. Un rectangle $1 \times 6$ et un rectangle $3 \times 4$ ont tous deux un périmètre de $14$ cm, mais leurs aires valent $6$ et $12$ $\text{cm}^2$.
2Unités de longueur et d'aire (conversions)
Pour comparer ou additionner des mesures, il faut d'abord les exprimer dans la même unité. On utilise un tableau de conversion.
Longueurs — chaque colonne vaut $10$ fois la suivante :
| km | hm | dam | m | dm | cm | mm |
|---|
| $1$ m $= 100$ cm $= 1000$ mm ; $1$ km $= 1000$ m |
Attention ! Pour les aires, chaque colonne vaut 100 fois la suivante (et non 10), car on travaille avec des carrés. Il y a deux chiffres par colonne.
| $\text{km}^2$ | $\text{hm}^2$ | $\text{dam}^2$ | $\text{m}^2$ | $\text{dm}^2$ | $\text{cm}^2$ | $\text{mm}^2$ |
|---|
| $1$ $\text{m}^2 = 100$ $\text{dm}^2 = 10\,000$ $\text{cm}^2$ |
Exemple. Convertir $3$ $\text{m}^2$ en $\text{cm}^2$ : $3 \times 10\,000 = 30\,000$ $\text{cm}^2$. Convertir $250$ $\text{cm}^2$ en $\text{dm}^2$ : $250 \div 100 = 2{,}5$ $\text{dm}^2$.
Astuce. Pour les surfaces agricoles : $1$ are $= 100$ $\text{m}^2$ et $1$ hectare (ha) $= 10\,000$ $\text{m}^2$.
3Périmètres et aires des figures usuelles
Voici les formules à connaître par cœur. On note $L$ et $\ell$ la longueur et la largeur, $c$ le côté, $b$ la base et $h$ la hauteur.
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|
| Carré (côté $c$) | $P = 4 \times c$ | $A = c \times c = c^2$ |
| Rectangle ($L$, $\ell$) | $P = 2 \times (L + \ell)$ | $A = L \times \ell$ |
| Triangle (base $b$, hauteur $h$) | $P = $ somme des 3 côtés | $A = \dfrac{b \times h}{2}$ |
| Parallélogramme (base $b$, hauteur $h$) | $P = 2 \times (\text{côté}_1 + \text{côté}_2)$ | $A = b \times h$ |
Attention ! Dans un triangle ou un parallélogramme, la hauteur $h$ est perpendiculaire à la base $b$ : ce n'est pas forcément la longueur d'un côté incliné !
Exemple. Triangle de base $b = 8$ cm et de hauteur $h = 5$ cm : $A = \dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20$ $\text{cm}^2$.
4Le cercle : rayon, diamètre, circonférence
Un cercle est l'ensemble des points situés à une même distance d'un point appelé centre.
Vocabulaire.
• Le rayon $r$ : distance du centre à un point du cercle.
• Le diamètre $d$ : longueur qui traverse le cercle en passant par le centre. On a $d = 2 \times r$, donc $r = \dfrac{d}{2}$.
• La circonférence : le périmètre du cercle.
Règle. La circonférence d'un cercle vaut :
$$P = 2 \times \pi \times r \qquad \text{ou} \qquad P = \pi \times d$$ où $\pi$ (« pi ») est un nombre constant : $\pi \approx 3{,}14$.
Exemple. Cercle de rayon $r = 7$ cm : $P = 2 \times \pi \times 7 = 14\pi \approx 14 \times 3{,}14 \approx 43{,}96$ cm. Cercle de diamètre $d = 10$ cm : $P = \pi \times 10 = 10\pi \approx 31{,}4$ cm.
Astuce. Si tu connais le diamètre, utilise $P = \pi \times d$ ; si tu connais le rayon, utilise $P = 2 \times \pi \times r$. Les deux donnent le même résultat.
5L'aire du disque
Le disque est la surface délimitée par un cercle (l'intérieur). Son aire dépend du rayon.
Règle. L'aire d'un disque de rayon $r$ vaut :
$$A = \pi \times r^2$$ où $r^2 = r \times r$.
Attention ! Pour l'aire, on utilise toujours le rayon, jamais le diamètre directement. Si on te donne le diamètre, calcule d'abord $r = \dfrac{d}{2}$.
Exemple 1. Disque de rayon $r = 6$ cm : $A = \pi \times 6^2 = 36\pi \approx 36 \times 3{,}14 \approx 113{,}04$ $\text{cm}^2$.
Exemple 2. Disque de diamètre $d = 8$ cm. D'abord $r = \dfrac{8}{2} = 4$ cm, puis $A = \pi \times 4^2 = 16\pi \approx 50{,}24$ $\text{cm}^2$.
Le graphique ci-dessous montre comme l'aire d'un disque grandit beaucoup plus vite que son rayon (à cause du carré $r^2$) :
6Aires de figures composées
Une figure compliquée se découpe souvent en figures simples. On calcule chaque aire, puis on additionne (assemblage) ou on soustrait (trou, partie enlevée).
Méthode.
1. Découper la figure en rectangles, triangles, demi-disques…
2. Calculer l'aire de chaque morceau.
3. Additionner les morceaux qui s'ajoutent, soustraire ceux qu'on enlève.
Exemple. Une plaque rectangulaire de $10$ cm $\times$ $6$ cm dans laquelle on a percé un trou circulaire de rayon $2$ cm. Aire restante : $A = (10 \times 6) - (\pi \times 2^2) = 60 - 4\pi \approx 60 - 12{,}56 \approx 47{,}44$ $\text{cm}^2$.
Attention ! Pour un demi-disque, on divise l'aire du disque par 2 : $A = \dfrac{\pi \times r^2}{2}$. De même, le périmètre d'un demi-disque = la moitié du cercle $+$ le diamètre.
7Méthode : choisir la bonne formule
Avant de calculer, pose-toi toujours deux questions : quelle figure ? et aire ou périmètre ?
| On cherche… | Mots-clés de l'énoncé | Unité |
|---|
| le périmètre | contour, clôture, tour, ficelle, bordure, longueur de grillage | cm, m, km |
| l'aire | surface, peinture, gazon, carrelage, place occupée, terrain à couvrir | $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, ha |
Astuce finale. Avant de répondre : (1) vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité ; (2) écris la formule ; (3) remplace par les nombres ; (4) n'oublie pas l'unité du résultat (avec ou sans le « carré »).
★À retenir
En bref :
• Périmètre = contour (en cm, m…) ; aire = surface (en $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$…).
• Rectangle : $P = 2(L+\ell)$ et $A = L \times \ell$. Triangle : $A = \dfrac{b \times h}{2}$. Parallélogramme : $A = b \times h$.
• Cercle : $d = 2r$ ; circonférence $P = 2\pi r = \pi d$.
• Disque : $A = \pi r^2$ (avec le rayon), $\pi \approx 3{,}14$.
• Conversions d'aires : $\times 100$ ou $\div 100$ d'une colonne à l'autre.
• Figure composée : on additionne ou on soustrait des aires simples.