Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Aires, périmètres & cercle
Calculer le périmètre et l'aire des figures usuelles, maîtriser le cercle (rayon, diamètre, circonférence) et l'aire du disque (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Aires, périmètres & cercle » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Périmètre et aire : deux mesures différentes, Unités et conversions, Les formules des figures usuelles, Le cercle : rayon, diamètre, circonférence. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
1
Périmètre et aire : deux mesures différentes
Devant une figure plane, on mesure deux choses très différentes : la longueur de son contour et la taille de sa surface.
Définitions.
• Le périmètre est la longueur du contour. Unités : mm, cm, m, km.
• L'aire est la mesure de la surface. Unités : mm², cm², m², km².
• Le périmètre est la longueur du contour. Unités : mm, cm, m, km.
• L'aire est la mesure de la surface. Unités : mm², cm², m², km².
Exemple. Pour un jardin rectangulaire : le grillage qui l'entoure dépend du périmètre, le gazon qui le recouvre dépend de l'aire.
Attention ! Deux figures de même périmètre peuvent avoir des aires très différentes. Un rectangle $8 \times 4$ et un carré de côté $6$ ont tous deux un périmètre de $24$ cm, mais des aires de $32$ cm² et $36$ cm².
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Unités et conversions
Avant tout calcul, les mesures doivent être exprimées dans la même unité.
Longueurs. Chaque unité vaut $10$ fois la suivante : $1$ m $= 10$ dm $= 100$ cm $= 1\,000$ mm ; $1$ km $= 1\,000$ m.
Aires. Chaque unité vaut $100$ fois la suivante : $1$ m² $= 100$ dm² $= 10\,000$ cm² ; $1$ cm² $= 100$ mm².
| Conversion | Résultat |
|---|---|
| $2{,}5$ m² | $25\,000$ cm² |
| $4\,500$ cm² | $0{,}45$ m² |
| $1$ hectare (ha) | $10\,000$ m² |
Attention ! Pour les aires, on ne décale pas d'un rang mais de deux : $1$ m² vaut $10\,000$ cm², pas $100$ cm².
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Les formules des figures usuelles
On note $L$ la longueur, $\ell$ la largeur, $c$ le côté, $b$ la base et $h$ la hauteur.
| Figure | Périmètre | Aire |
|---|---|---|
| Carré (côté $c$) | $4 \times c$ | $c \times c$ |
| Rectangle ($L$, $\ell$) | $2 \times (L + \ell)$ | $L \times \ell$ |
| Triangle | somme des trois côtés | $\dfrac{b \times h}{2}$ |
| Parallélogramme | $2 \times (\text{côté} + \text{côté})$ | $b \times h$ |
Exemple. Un triangle de base $12$ cm et de hauteur $7$ cm a pour aire $\dfrac{12 \times 7}{2} = 42$ cm².
Attention ! La hauteur d'un triangle ou d'un parallélogramme est perpendiculaire à la base : ce n'est pas la longueur d'un côté oblique.
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Le cercle : rayon, diamètre, circonférence
Un cercle est l'ensemble des points situés à une même distance d'un point appelé centre.
Vocabulaire.
• Le rayon $r$ : distance du centre à un point du cercle.
• Le diamètre $d$ : $d = 2 \times r$, donc $r = \dfrac{d}{2}$.
• La circonférence : le périmètre du cercle.
• Le rayon $r$ : distance du centre à un point du cercle.
• Le diamètre $d$ : $d = 2 \times r$, donc $r = \dfrac{d}{2}$.
• La circonférence : le périmètre du cercle.
Formule. $$P = 2 \times \pi \times r = \pi \times d$$ avec $\pi \approx 3{,}14$.
Exemple. Cercle de rayon $5$ cm : $P = 2 \times 3{,}14 \times 5 = 31{,}4$ cm.
Cercle de diamètre $10$ cm : $P = 3{,}14 \times 10 = 31{,}4$ cm — c'est le même cercle.
Cercle de diamètre $10$ cm : $P = 3{,}14 \times 10 = 31{,}4$ cm — c'est le même cercle.
Astuce. $\pi$ est un nombre qui ne « tombe jamais juste ». On donne soit une valeur exacte ($10\pi$ cm), soit une valeur approchée ($31{,}4$ cm), en le précisant.
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L'aire du disque
Le disque est la surface délimitée par un cercle.
Formule. $$A = \pi \times r \times r$$ où $r$ est le rayon.
Exemple. Disque de rayon $5$ cm : $A = 3{,}14 \times 5 \times 5 = 78{,}5$ cm².
Disque de diamètre $12$ cm : d'abord $r = 6$ cm, puis $A = 3{,}14 \times 36 = 113{,}04$ cm².
Disque de diamètre $12$ cm : d'abord $r = 6$ cm, puis $A = 3{,}14 \times 36 = 113{,}04$ cm².
Attention ! L'aire utilise toujours le rayon. Utiliser le diamètre à sa place multiplie le résultat par $4$.
Astuce. Ne confonds pas les deux formules : celle avec $2$ donne une longueur (en cm), celle avec $r \times r$ donne une aire (en cm²). L'unité du résultat est un bon contrôle.
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Aires de figures composées
Une figure compliquée se découpe en figures simples.
Méthode.
1. Découper en rectangles, triangles, demi-disques…
2. Calculer l'aire de chaque morceau.
3. Additionner les morceaux qui s'ajoutent, soustraire ceux qu'on enlève.
1. Découper en rectangles, triangles, demi-disques…
2. Calculer l'aire de chaque morceau.
3. Additionner les morceaux qui s'ajoutent, soustraire ceux qu'on enlève.
Exemple. Une plaque rectangulaire de $12$ cm sur $5$ cm est percée d'un trou circulaire de rayon $2$ cm.
Aire de la plaque : $60$ cm². Aire du trou : $3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ cm².
Aire restante : $60 - 12{,}56 = 47{,}44$ cm².
Aire de la plaque : $60$ cm². Aire du trou : $3{,}14 \times 4 = 12{,}56$ cm².
Aire restante : $60 - 12{,}56 = 47{,}44$ cm².
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Choisir la bonne formule
Deux questions avant tout calcul : quelle figure ? et aire ou périmètre ?
| On cherche | Mots-clés de l'énoncé | Unité |
|---|---|---|
| le périmètre | contour, clôture, grillage, bordure, ficelle, tour | cm, m, km |
| l'aire | surface, peinture, gazon, carrelage, tissu, recouvrir | cm², m², ha |
Contrôle final. Une aire s'exprime toujours dans une unité « carrée ». Si ton résultat est en cm alors qu'on demandait une surface, la formule utilisée est fausse.
Attention ! Vérifie que toutes les longueurs sont dans la même unité avant de multiplier : $2$ m $\times$ $30$ cm ne se calcule pas tel quel, il faut $200$ cm $\times$ $30$ cm, soit $6\,000$ cm².
En bref
- Périmètre = contour (cm, m) ; aire = surface (cm², m²).
- Carré : $P = 4c$, $A = c \times c$. Rectangle : $P = 2(L + \ell)$, $A = L \times \ell$.
- Triangle : $A = \dfrac{b \times h}{2}$. Parallélogramme : $A = b \times h$ (hauteur perpendiculaire à la base).
- Cercle : $P = 2\pi r = \pi d$. Disque : $A = \pi \times r \times r$ — toujours le rayon.
- Conversions d'aires : on saute deux rangs ($1$ m² $= 10\,000$ cm²).
- Figure composée : on découpe, on calcule, on additionne ou on soustrait.
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