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Aires et périmètres : parallélogramme, triangle, disque
Rappels de 6ᵉ (périmètre, aire du carré et du rectangle), conversions de longueurs et d’aires (dont hectare et are), aire du parallélogramme et du triangle avec la hauteur relative à un côté, longueur du cercle et aire du disque, aires et périmètres de figures composées.
À propos de cette page
Rappels de 6ᵉ : périmètre, aire du carré et du rectangle
• polygone : somme des longueurs de tous ses côtés ;
• carré de côté c : P = 4 × c · rectangle de longueur L et de largeur l : P = 2 × (L + l).
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. L’unité d’aire est l’aire d’un carré : 1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté. Sur un quadrillage, l’aire est le nombre de carreaux recouverts.
• rectangle : A = L × l · carré : A = c × c.
Les longueurs doivent être dans la même unité ; l’aire s’écrit alors dans l’unité « au carré » (cm × cm donne des cm²).
Rectangle de 8,5 cm sur 4 cm : P = 2 × (8,5 + 4) = 2 × 12,5 = 25 cm ; A = 8,5 × 4 = 34 cm².
Carré de 7,5 cm de côté : P = 4 × 7,5 = 30 cm ; A = 7,5 × 7,5 = 56,25 cm².
Triangle de côtés 4,6 cm, 5,3 cm et 7 cm : P = 4,6 + 5,3 + 7 = 16,9 cm.
Rectangle de 2,4 m sur 90 cm : je mets les longueurs dans la même unité, 90 cm = 0,9 m. A = 2,4 × 0,9 = 2,16 m².
Retrouver une longueur
Un carré a un périmètre de 26 cm : ses 4 côtés sont égaux, c = 26 ÷ 4 = 6,5 cm.
Un rectangle a une aire de 63 cm² et une longueur de 9 cm : la largeur est le nombre qui, multiplié par 9, donne 63. l = 63 ÷ 9 = 7 cm.
Aire ou périmètre ?
Ce sont deux grandeurs différentes. Un rectangle de 8 cm sur 4 cm et un carré de 6 cm de côté ont le même périmètre, 24 cm, mais leurs aires sont 32 cm² et 36 cm² : connaître l’une ne suffit pas pour connaître l’autre. Les mots de l’énoncé disent ce qu’on cherche.
| On cherche | Mots de l’énoncé | Unité |
|---|---|---|
| le périmètre | contour, clôture, grillage, bordure, ficelle, faire le tour | mm, cm, m, km |
| l’aire | surface, peinture, gazon, carrelage, tissu, recouvrir | cm², m², ha… |
Réflexe — avant de calculer, je me demande : « le contour ou la surface ? ». Je mets les longueurs dans la même unité, puis j’écris l’unité qui convient : cm pour un périmètre, cm² pour une aire.
Attention — l’aire d’un carré, c’est c × c et non 4 × c (4 × c donne son périmètre). Et le périmètre d’un rectangle compte ses quatre côtés : 2 × (L + l), pas L + l.
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Conversions de longueurs et d’aires
Aires : 1 m² est l’aire d’un carré de 1 m de côté, soit 10 dm × 10 dm : 1 m² = 100 dm². Entre deux unités d’aire voisines, on multiplie ou on divise par 100 :
1 km² = 100 hm² ; 1 hm² = 100 dam² ; 1 dam² = 100 m² ; 1 m² = 100 dm² ; 1 dm² = 100 cm² ; 1 cm² = 100 mm².
Unités agraires (terrains, champs) : 1 hectare (ha) = 1 hm² = 10 000 m² ; 1 are (a) = 1 dam² = 100 m².
Vers une unité plus petite, le nombre devient plus grand (je multiplie) ; vers une unité plus grande, il devient plus petit (je divise).
| km² | hm² | dam² | m² | dm² | cm² | mm² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ha | a |
5,2 m² en cm² : de m² à cm², deux colonnes vers la droite, × 100 × 100 = × 10 000. 5,2 × 10 000 = 52 000, soit 52 000 cm².
625 mm² en cm² : une colonne vers la gauche, 625 ÷ 100 = 6,25, soit 6,25 cm².
38 000 m² en hectares : 1 ha = 10 000 m², 38 000 ÷ 10 000 = 3,8, soit 3,8 ha.
2,7 km² en hectares : 1 km² = 100 hm² = 100 ha, 2,7 × 100 = 270, soit 270 ha.
0,9 a en m² : 1 a = 100 m², 0,9 × 100 = 90, soit 90 m².
Calculer avec des unités différentes
Rectangle de 2 m sur 30 cm : 2 m × 30 cm ne se calcule pas tel quel. 2 m = 200 cm, et 200 × 30 = 6 000, soit 6 000 cm², c’est-à-dire 0,6 m².
Comparer 0,15 m² et 1 400 cm² : 0,15 m² = 0,15 × 10 000 cm² = 1 500 cm², et 1 500 cm² > 1 400 cm², donc 0,15 m² est la plus grande aire.
Réflexe — je compte les colonnes entre les deux unités : pour les longueurs, chaque colonne vaut × 10 ; pour les aires, chaque colonne vaut × 100. Puis je contrôle le sens : unité plus petite, nombre plus grand.
Attention — 1 m = 100 cm, mais 1 m² = 10 000 cm² : pour les aires, on ne décale pas d’un rang mais de deux. Et 1 ha n’est pas 100 m² (c’est l’are) : 1 ha = 10 000 m².
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Aire d’un parallélogramme et d’un triangle
• Parallélogramme : A = b × h (base × hauteur relative à cette base).
• Triangle : A = b × h ÷ 2 (côté × hauteur relative à ce côté, divisé par 2).
• Triangle rectangle : les deux côtés de l’angle droit sont l’un la hauteur relative à l’autre : A = produit des côtés de l’angle droit ÷ 2.
Pourquoi ça marche ? Dans le parallélogramme ABCD, on découpe le triangle rectangle ADH et on le recolle de l’autre côté, contre [BC] : on obtient un rectangle de longueur b et de largeur h, de même aire, b × h. Un triangle est la moitié d’un parallélogramme : deux triangles identiques, accolés tête-bêche, forment un parallélogramme de même base et de même hauteur. D’où le « ÷ 2 ».
Parallélogramme de base 7 cm et de hauteur relative 4,5 cm (ses autres côtés mesurent 5 cm) : A = 7 × 4,5 = 31,5 cm². Le côté de 5 cm n’est pas une hauteur : il ne sert que pour le périmètre, 2 × (7 + 5) = 24 cm.
Triangle de base 9 cm et de hauteur relative 5,2 cm : A = 9 × 5,2 ÷ 2 = 46,8 ÷ 2 = 23,4 cm².
Triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 6 cm et 4,5 cm : A = 6 × 4,5 ÷ 2 = 13,5 cm².
Le pied de la hauteur peut être hors du triangle
Dans le triangle EFG, l’angle est obtus : la hauteur relative à [FG] tombe sur le prolongement de [FG], en K. La formule ne change pas : on multiplie FG par EK et on divise par 2.
Si FG = 3 cm et EK = 6 cm : A = 3 × 6 ÷ 2 = 9 cm².
Retrouver une hauteur : un triangle a une aire de 27 cm² et une base de 7,5 cm. Comme b × h = 2 × 27 = 54, h = 54 ÷ 7,5 = 7,2 cm.
Le parallélogramme de l’exemple ci-dessus a aussi une hauteur relative au côté de 5 cm : 5 × h = 31,5, donc h = 31,5 ÷ 5 = 6,3 cm. Chaque côté a sa hauteur ; l’aire est la même.
Réflexe — je repère l’angle droit : la hauteur est le segment perpendiculaire à la base. Je multiplie la base par la hauteur qui lui correspond ; pour un triangle, je n’oublie pas de diviser par 2.
Attention — la hauteur n’est pas un côté oblique : dans le parallélogramme, le côté de 5 cm ne sert pas pour l’aire. Pas de « ÷ 2 » pour un parallélogramme ; toujours un « ÷ 2 » pour un triangle.
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Le cercle et le disque : longueur et aire
Le disque est la surface délimitée par un cercle. Son aire vaut A = π × r × r (on écrit aussi π × r²) : on utilise toujours le rayon.
Avec π ≈ 3,14, on obtient une valeur approchée : on écrit « ≈ » et on précise l’arrondi.
Cercle de rayon 4,5 cm : L = 2 × π × 4,5 ≈ 2 × 3,14 × 4,5 = 28,26, soit L ≈ 28,3 cm (au dixième).
Disque de rayon 4,5 cm : A = π × 4,5 × 4,5 ≈ 3,14 × 20,25 = 63,585, soit A ≈ 63,6 cm² (au dixième).
Disque de diamètre 14 cm : d’abord r = 14 ÷ 2 = 7 cm, puis A ≈ 3,14 × 7 × 7 = 153,86, soit A ≈ 153,86 cm².
Valeur exacte : un disque de rayon 5 cm a une aire de π × 25 = 25π cm² (valeur exacte), soit environ 78,5 cm² (valeur approchée).
Pourquoi π × r × r ? On découpe le disque en parts très fines, comme une tarte, et on les range tête-bêche. On obtient presque un rectangle : sa longueur est la moitié du cercle, π × r, et sa largeur est le rayon r. Son aire est donc π × r × r.
Demi-disque, rayon retrouvé, rayon agrandi
Demi-disque de rayon 8 cm : A ≈ 3,14 × 8 × 8 ÷ 2 = 200,96 ÷ 2 = 100,48 cm². Un quart de disque : on divise par 4.
Un cercle mesure environ 50,24 cm de long. Comme L = π × d, d ≈ 50,24 ÷ 3,14 = 16 cm, donc r = 16 ÷ 2 = 8 cm.
Un disque a une aire de 36π cm² (valeur exacte) : r × r = 36, et 6 × 6 = 36, donc r = 6 cm.
Si le rayon est multiplié par 2, l’aire est multipliée par 2 × 2 = 4 ; s’il est multiplié par 3, l’aire est multipliée par 3 × 3 = 9 : le rayon intervient deux fois dans la formule. La longueur du cercle, elle, est seulement multipliée par 2 (ou par 3).
Réflexe — je regarde si l’énoncé donne le rayon ou le diamètre. Pour la longueur : π × d (ou 2 × π × r). Pour l’aire : je calcule d’abord le rayon, puis π × r × r. L’unité contrôle la formule : cm pour une longueur, cm² pour une aire.
Attention — utiliser le diamètre à la place du rayon dans l’aire multiplie le résultat par 4. Et ne confonds pas les formules : celle avec « 2 × » donne une longueur, celle avec « r × r » donne une aire.
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Figures composées : aire et périmètre
Aire : je calcule l’aire de chaque morceau, puis j’additionne les morceaux accolés et je soustrais les morceaux enlevés (un trou, un coin découpé).
Périmètre : je suis le contour et j’additionne seulement les longueurs qui sont sur le bord ; les traits intérieurs ne comptent pas.
Figure ci-dessus. Aire : rectangle 10 × 6 = 60 cm² ; les deux demi-disques de diamètre 6 cm forment un disque de rayon 3 cm, 3,14 × 3 × 3 = 28,26 cm². A ≈ 60 + 28,26 = 88,26 cm².
Même figure, périmètre : les deux longueurs du rectangle et les deux demi-cercles (les largeurs de 6 cm sont à l’intérieur). Les deux demi-cercles forment un cercle de diamètre 6 cm : P ≈ 2 × 10 + 3,14 × 6 = 20 + 18,84 = 38,84 cm.
Maison : un rectangle de 8 cm sur 5 cm surmonté d’un triangle de base 8 cm et de hauteur 3 cm. A = 8 × 5 + 8 × 3 ÷ 2 = 40 + 12 = 52 cm².
Plaque trouée : une plaque de 15 cm sur 8 cm est percée d’un trou rond de rayon 3 cm. Plaque : 15 × 8 = 120 cm² ; trou : 3,14 × 3 × 3 = 28,26 cm². Aire restante ≈ 120 − 28,26 = 91,74 cm².
Réflexe — je découpe la figure et j’écris le calcul de chaque morceau avant de les additionner ou de les soustraire. Pour un périmètre, je suis le contour du doigt.
Attention — dans un périmètre, on ne compte pas les traits intérieurs : dans la figure ci-dessus, les deux largeurs de 6 cm ne sont pas sur le contour. Et l’aire d’un demi-disque se calcule avec son rayon, la moitié du diamètre.
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Pour aller plus loin
Ensuite — l’aire de la base d’un prisme droit ou d’un cylindre se calcule avec ces formules, puis on la multiplie par la hauteur du solide : voir Volumes : pavé, prisme droit, cylindre.
Hauteurs et médianes — tracer les hauteurs d’un triangle, et pourquoi une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire : voir Triangles : médiatrices, hauteurs et médianes.
- Périmètre = longueur du contour (cm, m…) ; aire = mesure de la surface (cm², m²…). Carré : P = 4 × c, A = c × c ; rectangle : P = 2 × (L + l), A = L × l.
- Longueurs : × 10 ou ÷ 10 d’une unité à la voisine ; aires : × 100 ou ÷ 100. 1 m² = 10 000 cm² ; 1 ha = 10 000 m² ; 1 a = 100 m².
- Parallélogramme : A = b × h ; triangle : A = b × h ÷ 2, avec h la hauteur relative à la base b (perpendiculaire), jamais un côté oblique.
- Cercle : L = π × d = 2 × π × r ; disque : A = π × r × r, toujours avec le rayon ; π ≈ 3,14 donne une valeur approchée.
- Figure composée : on découpe, on additionne ou on soustrait les aires ; pour le périmètre, on ne compte que le contour.
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre l’aire et le périmètre ?
Le périmètre est la longueur du contour (en cm, en m) ; l’aire mesure la surface (en cm², en m²). Un rectangle de 8,5 cm sur 4 cm a un périmètre de 2 × (8,5 + 4) = 25 cm et une aire de 8,5 × 4 = 34 cm². Deux figures de même périmètre n’ont pas forcément la même aire.
Comment convertir des m² en cm², ou des m² en hectares ?
Pour les aires, on multiplie ou on divise par 100 d’une unité à la voisine : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm². Ainsi 5,2 m² = 52 000 cm². Pour les terrains, 1 hectare = 10 000 m² et 1 are = 100 m² : 38 000 m² = 3,8 ha.
Comment calculer l’aire d’un triangle ou d’un parallélogramme ?
On prend un côté (la base) et la hauteur relative à ce côté, perpendiculaire à lui. Parallélogramme : base × hauteur ; triangle : base × hauteur ÷ 2. Un triangle de base 9 cm et de hauteur 5,2 cm a une aire de 9 × 5,2 ÷ 2 = 23,4 cm². Un côté oblique n’est jamais une hauteur.
Comment calculer l’aire d’un disque et la longueur d’un cercle ?
Aire du disque : π × r × r, avec le rayon r ; longueur du cercle : π × d ou 2 × π × r. Avec π ≈ 3,14, un disque de rayon 4,5 cm a une aire d’environ 63,6 cm². Si l’énoncé donne le diamètre, on le divise d’abord par 2.
Comment calculer l’aire d’une figure composée ?
On la découpe en figures simples, on calcule l’aire de chaque morceau, puis on additionne ceux qui sont accolés et on soustrait ceux qui sont enlevés. Une plaque de 15 cm sur 8 cm percée d’un trou de rayon 3 cm : 120 − 28,26 = 91,74 cm². Pour le périmètre, on ne compte que le contour.
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