À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les volumes des solides » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'un volume ?, Reconnaître les solides usuels, Volume du cube et du pavé droit, Volume du prisme droit. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'un volume ?
2 · Reconnaître les solides usuels
3 · Volume du cube et du pavé droit
4 · Volume du prisme droit
5 · Volume du cylindre
6 · Unités de volume et de contenance
7 · Méthode : résoudre un problème de volume
1Qu'est-ce qu'un volume ?
Jusqu'ici tu as mesuré des longueurs (en cm) et des aires (en cm²). Le volume est une nouvelle grandeur : il mesure la place qu'occupe un solide dans l'espace.
Définition. Le volume d'un solide est la mesure de la place qu'il occupe dans l'espace. On l'exprime en unités de volume : $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{dm}^3$, $\text{m}^3$…
Pourquoi le petit « $^3$ » ? Parce qu'un volume se construit dans trois directions : la longueur, la largeur et la hauteur. Un cube de $1$ cm d'arête a un volume de $1$ $\text{cm}^3$ : c'est l'unité de base. Pour mesurer un volume, on compte combien de petits cubes de $1$ $\text{cm}^3$ tiennent à l'intérieur du solide.
Attention ! Ne confonds pas les trois grandeurs : la longueur (en cm), l'aire (en cm², une surface) et le volume (en cm³, un solide). Le nombre d'unités au carré ou au cube te rappelle de quelle grandeur on parle.
Exemple. Une boîte remplie de petits cubes de $1$ cm d'arête, rangés en $4$ cubes de long, $3$ de large et $2$ de haut, contient $4 \times 3 \times 2 = 24$ cubes. Son volume est donc $24$ $\text{cm}^3$.
2Reconnaître les solides usuels
Avant de calculer, il faut savoir nommer le solide. Voici ceux du programme de 5e.
| Solide | Description |
|---|
| Cube | $6$ faces carrées identiques ; toutes les arêtes ont la même longueur $a$. |
| Pavé droit | Aussi appelé parallélépipède rectangle ou « brique ». $6$ faces rectangulaires ; trois dimensions $L$, $\ell$, $h$. |
| Prisme droit | Deux bases identiques (triangles, rectangles…) reliées par des faces rectangulaires. |
| Cylindre | Deux bases qui sont des disques identiques, reliées par une surface arrondie. |
Un solide se décrit par ses faces (les surfaces plates), ses arêtes (les segments où deux faces se rencontrent) et ses sommets (les coins).
Astuce. Le cube est un cas particulier du pavé droit : c'est un pavé droit dont les trois dimensions sont égales.
3Volume du cube et du pavé droit
Ce sont les deux volumes de base, à connaître par cœur.
Règle. Le volume d'un pavé droit de dimensions $L$, $\ell$ et $h$ vaut :
$$V = L \times \ell \times h$$ Le volume d'un cube d'arête $a$ vaut :
$$V = a \times a \times a = a^3$$
Exemple 1. Pavé droit de $6$ cm de long, $4$ cm de large et $3$ cm de haut : $V = 6 \times 4 \times 3 = 72$ $\text{cm}^3$.
Exemple 2. Cube d'arête $5$ cm : $V = 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ $\text{cm}^3$.
Attention ! Les trois dimensions doivent être dans la même unité avant de multiplier. Si une longueur est en mm et une autre en cm, convertis d'abord.
Le graphique ci-dessous montre que le volume d'un cube grandit très vite quand son arête augmente (à cause de la puissance $a^3$) :
4Volume du prisme droit
Un prisme droit a deux bases identiques reliées par des faces rectangulaires. Pour son volume, on utilise une idée très générale : aire de la base $\times$ hauteur.
Règle. Le volume d'un prisme droit vaut :
$$V = \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur du prisme (la distance entre les deux bases).
Astuce. Le pavé droit est en réalité un prisme dont la base est un rectangle : $\mathcal{B} = L \times \ell$, donc $V = (L \times \ell) \times h$. On retrouve bien la formule du paragraphe précédent !
Exemple. Un prisme dont la base est un triangle d'aire $\mathcal{B} = 12$ $\text{cm}^2$ et de hauteur $h = 10$ cm : $V = 12 \times 10 = 120$ $\text{cm}^3$. Si la base est un triangle de base $6$ cm et de hauteur $4$ cm, alors $\mathcal{B} = \dfrac{6 \times 4}{2} = 12$ $\text{cm}^2$.
Attention ! Ne confonds pas la hauteur du triangle de base (qui sert à calculer $\mathcal{B}$) et la hauteur $h$ du prisme (la longueur entre les deux bases).
5Volume du cylindre
Le cylindre suit la même idée que le prisme : aire de la base $\times$ hauteur. Mais ici la base est un disque.
Règle. Le volume d'un cylindre de rayon de base $r$ et de hauteur $h$ vaut :
$$V = \pi \times r^2 \times h$$ car l'aire du disque de base est $\mathcal{B} = \pi \times r^2$.
Exemple 1. Cylindre de rayon $r = 3$ cm et de hauteur $h = 10$ cm : $V = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \approx 90 \times 3{,}14 \approx 282{,}6$ $\text{cm}^3$.
Exemple 2. Boîte de conserve de diamètre $8$ cm et de hauteur $12$ cm. D'abord $r = \dfrac{8}{2} = 4$ cm, puis $V = \pi \times 4^2 \times 12 = \pi \times 16 \times 12 = 192\pi \approx 602{,}88$ $\text{cm}^3$.
Attention ! Comme pour l'aire du disque, on utilise toujours le rayon, jamais le diamètre directement. Si l'énoncé donne le diamètre, calcule d'abord $r = \dfrac{d}{2}$.
6Unités de volume et de contenance
Comme pour les aires, on convertit les volumes avec un tableau. Mais cette fois, chaque colonne vaut 1000 fois la suivante (et non 10 ou 100), car on travaille avec des cubes : il y a trois chiffres par colonne.
| $\text{km}^3$ | $\text{hm}^3$ | $\text{dam}^3$ | $\text{m}^3$ | $\text{dm}^3$ | $\text{cm}^3$ | $\text{mm}^3$ |
|---|
| $1$ $\text{m}^3 = 1000$ $\text{dm}^3 = 1\,000\,000$ $\text{cm}^3$ |
Exemple. Convertir $2$ $\text{m}^3$ en $\text{dm}^3$ : $2 \times 1000 = 2000$ $\text{dm}^3$. Convertir $5000$ $\text{cm}^3$ en $\text{dm}^3$ : $5000 \div 1000 = 5$ $\text{dm}^3$.
La contenance (ou capacité) est la quantité de liquide que peut contenir un récipient. On la mesure en litres. Il existe des égalités très pratiques entre volume et contenance :
À connaître.
• $1$ litre $= 1$ $\text{dm}^3$
• $1$ mL $= 1$ $\text{cm}^3$
• $1$ $\text{m}^3 = 1000$ litres
Astuce. Pour convertir un volume en litres, ramène-le d'abord en $\text{dm}^3$ : le nombre de $\text{dm}^3$ est directement le nombre de litres. Exemple : une cuve de $1{,}5$ $\text{m}^3$ contient $1{,}5 \times 1000 = 1500$ litres.
7Méthode : résoudre un problème de volume
Devant un problème, procède toujours dans le même ordre pour ne rien oublier.
Méthode en 4 étapes.
1. Reconnaître le solide (cube, pavé, prisme, cylindre).
2. Vérifier les unités : toutes les longueurs dans la même unité.
3. Écrire la formule, puis remplacer par les nombres.
4. Donner le résultat avec son unité (cm³, m³…), et le convertir en litres si on demande une contenance.
| Solide | Formule du volume |
|---|
| Cube (arête $a$) | $V = a^3$ |
| Pavé droit | $V = L \times \ell \times h$ |
| Prisme droit | $V = \mathcal{B} \times h$ |
| Cylindre | $V = \pi \times r^2 \times h$ |
Attention au piège des unités ! Pour exprimer un volume en litres, il faut être en $\text{dm}^3$. Un aquarium de $40$ cm $\times$ $20$ cm $\times$ $25$ cm fait $20\,000$ $\text{cm}^3 = 20$ $\text{dm}^3 = 20$ litres.
★À retenir
En bref :
• Le volume mesure la place dans l'espace (en $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$…), avec un petit $^3$.
• Cube : $V = a^3$. Pavé droit : $V = L \times \ell \times h$.
• Prisme droit : $V = \mathcal{B} \times h$ (aire de la base $\times$ hauteur).
• Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$ (avec le rayon, $\pi \approx 3{,}14$).
• Conversions : $\times 1000$ ou $\div 1000$ d'une colonne à l'autre.
• Contenance : $1$ L $= 1$ $\text{dm}^3$ ; $1$ mL $= 1$ $\text{cm}^3$ ; $1$ $\text{m}^3 = 1000$ L.