Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les volumes des solides » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Solide, volume : de quoi parle-t-on ?, Le prisme droit : description et patron, Le cylindre : description et patron, Rappel : volume du pavé droit et du cube. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Solide et volume : de quoi parle-t-on ?
2 · Le prisme droit : description et patron
3 · Le cylindre : description et patron
4 · Rappel : volume du pavé droit et du cube
5 · Volume du prisme droit
6 · Volume du cylindre
7 · Unités de volume et conversions
8 · Capacités (L, mL) et le lien 1 L = 1 dm³
1Solide, volume : de quoi parle-t-on ?
Un solide est un objet de l'espace (en 3 dimensions) : un dé, une boîte, une canette, une brique… Il occupe une « place » dans l'espace : c'est ce qu'on appelle son volume.
Définition. Le volume d'un solide est la mesure de la place qu'il occupe dans l'espace. On le mesure en unités de volume : le centimètre cube (cm³), le décimètre cube (dm³), le mètre cube (m³)…
Un centimètre cube (1 cm³) est le volume d'un petit cube dont chaque arête mesure 1 cm. Pour mesurer le volume d'un solide, on cherche combien de petits cubes de 1 cm³ on pourrait y ranger.
Il ne faut pas confondre trois grandeurs différentes :
la longueur (1 dimension) → en cm, m… ;
l'aire d'une surface (2 dimensions) → en cm², m²… ;
le volume (3 dimensions) → en cm³, m³…
💡 Le petit chiffre en haut indique le nombre de dimensions : ² pour une aire (2 longueurs multipliées), ³ pour un volume (3 longueurs multipliées). « cube » signifie « à la puissance 3 ».
2Le prisme droit : description et patron
Un prisme droit est un solide qui possède deux faces identiques et parallèles appelées les bases, reliées par des faces rectangulaires appelées les faces latérales.
Description d'un prisme droit.
• Les deux bases sont des polygones superposables (mêmes triangles, mêmes pentagones…) et parallèles.
• Les faces latérales sont des rectangles.
• Les arêtes latérales sont toutes égales et perpendiculaires aux bases : leur longueur est la hauteur du prisme.
On nomme un prisme d'après sa base : prisme à base triangulaire, à base pentagonale, etc. Si la base a n côtés, le prisme a :
Base à n côtés
Faces
Arêtes
Sommets
Formule générale
n + 2
3 × n
2 × n
Base triangulaire (n = 3)
5
9
6
Base rectangulaire (n = 4)
6
12
8
Voici un prisme droit à base triangulaire vu en perspective (les arêtes cachées sont en pointillés) :
Le patron d'un prisme droit
Un patron est le dessin « à plat » du solide : si on le découpe et qu'on le plie, on reconstitue le solide. Le patron d'un prisme droit est formé :
des deux bases (les deux polygones identiques) ;
des faces latérales rectangulaires, qui se déplient en une grande bande rectangulaire. La largeur de cette bande est la hauteur du prisme ; sa longueur est égale au périmètre de la base.
⚠️ Un pavé droit (une boîte) est un cas particulier de prisme droit : ses deux bases sont des rectangles. Un cube aussi : ses bases sont des carrés.
3Le cylindre : description et patron
Un cylindre de révolution (ou simplement « cylindre ») est un solide qui ressemble à une boîte de conserve ou un rouleau.
Description d'un cylindre.
• Ses deux bases sont deux disques identiques et parallèles, de même rayon r.
• Sa surface latérale, une fois dépliée, est un rectangle.
• La distance entre les deux bases est la hauteurh.
Voici un cylindre vu en perspective :
Le patron d'un cylindre
Pour fabriquer un cylindre, il faut :
deux disques identiques de rayon r (les bases) ;
un rectangle pour la surface latérale. Sa hauteur est h ; sa longueur est égale au périmètre du disque de base, c'est-à-dire 2 × π × r (la circonférence).
longueur du rectangle = périmètre du cercle = 2 × π × r
💡 Le nombre π (« pi ») est un nombre fixe, le même pour tous les cercles. En 5e on prend la valeur approchée π ≈ 3,14.
4Rappel : volume du pavé droit et du cube
On a déjà vu en 6e les volumes du pavé droit et du cube. C'est le point de départ de tout le chapitre.
Volume du pavé droit. Un pavé droit (boîte) de longueur L, largeur ℓ et hauteur h a pour volume :
V = L × ℓ × h
Volume du cube. Un cube d'arête a a pour volume :
V = a × a × a (« a au cube »)
Exemple 1. Boîte de 6 cm × 4 cm × 3 cm : V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³.
Exemple 2. Cube d'arête 5 cm : V = 5 × 5 × 5 = 125 cm³.
⚠️ Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant de multiplier. Si la boîte mesure 1,2 m × 50 cm × 40 cm, on convertit tout en cm (120 × 50 × 40) ou tout en m, mais on ne mélange jamais.
💡 Le pavé est un prisme droit dont la base est un rectangle : V = (L × ℓ) × h, c'est-à-dire aire de la base × hauteur. C'est exactement la formule de la section suivante !
5Volume du prisme droit
Pour tous les prismes droits, le volume se calcule de la même façon : on multiplie l'aire d'une base par la hauteur.
Règle (à connaître par cœur).
V = aire de la base × hauteur
soit V = 𝒜base × h
Méthode pas à pas
Étape 1 — identifier la base (le polygone qui se répète) et la hauteur (la distance entre les deux bases).
Étape 2 — calculer l'aire de la base avec la formule du polygone (rectangle : L × ℓ ; triangle : base × hauteur2…).
Étape 3 — multiplier cette aire par la hauteur du prisme.
Étape 4 — écrire le résultat avec la bonne unité de volume (cm³, m³…).
Exemple — prisme à base triangulaire. La base est un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm ; la hauteur du prisme est 10 cm.
Aire de la base : 3 × 42 = 6 cm².
Volume : 6 × 10 = 60 cm³.
Exemple — base un trapèze / un L. Si la base a une forme compliquée, on calcule d'abord son aire (en la découpant si besoin), puis on multiplie par la hauteur. Base d'aire 18 cm², hauteur 7 cm → V = 18 × 7 = 126 cm³.
⚠️ La « hauteur du prisme » n'est pas la hauteur du triangle de base ! La hauteur du prisme est la distance entre les deux bases (la longueur des arêtes latérales).
6Volume du cylindre
Le cylindre suit la même idée : son volume est aussi aire de la base × hauteur. Mais ici la base est un disque, dont l'aire vaut π × r × r (« π × r² »).
Règle (à connaître par cœur).
V = π × r² × h
avec r = rayon de la base, h = hauteur, et π ≈ 3,14
Méthode pas à pas
Étape 1 — repérer le rayon r de la base. Attention : si on te donne le diamètre, le rayon est sa moitié (r = d ÷ 2).
Étape 2 — calculer l'aire de la base : π × r × r.
Étape 3 — multiplier par la hauteur h.
Étape 4 — donner le résultat avec son unité (et préciser « valeur approchée » car on a remplacé π par 3,14).
Exemple. Cylindre de rayon r = 5 cm et de hauteur h = 10 cm.
Aire de la base : π × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm².
Volume : 78,5 × 10 = 785 cm³ (valeur approchée).
Exemple avec le diamètre. Boîte cylindrique de diamètre 8 cm et hauteur 3 cm.
Rayon : r = 8 ÷ 2 = 4 cm. Aire de la base : 3,14 × 4 × 4 = 50,24 cm². Volume : 50,24 × 3 ≈ 150,72 cm³.
⚠️ Erreur très fréquente : utiliser le diamètre à la place du rayon, ou oublier de mettre le rayon au carré. On multiplie bien r deux fois : π × r × r.
7Unités de volume et conversions
Les unités de volume se suivent comme les longueurs (mm, cm, dm, m…), mais quand on passe d'une unité à la suivante, on multiplie ou divise par 1000 (et non par 10 !), car il y a trois dimensions.
À retenir. D'un rang au suivant, le volume est multiplié (vers la droite) ou divisé (vers la gauche) par 1000 :
1 m³ = 1000 dm³ = 1 000 000 cm³
1 cm³ = 1000 mm³
On utilise un tableau de conversion où chaque unité occupe 3 colonnes :
m³
dm³
cm³
mm³
c
d
u
c
d
u
c
d
u
c
d
u
2
5
0
0
Dans ce tableau, 2500 cm³ = 2,5 dm³ : on place le chiffre des unités de chaque nombre dans la colonne « u » de la bonne unité.
Méthode pour convertir
On range les chiffres dans le tableau, un chiffre par colonne, le chiffre des unités sous le « u » de l'unité de départ.
Pour lire dans une autre unité, on place une virgule juste après la colonne « u » de cette nouvelle unité, en complétant avec des zéros si besoin.
⚠️ Piège classique : on passe d'une unité à l'autre en multipliant par 1000, pas par 10. Donc 1 m³ = 1 000 000 cm³ (et non 100 cm³).
8Capacités (L, mL) et le lien 1 L = 1 dm³
La capacité d'un récipient, c'est le volume de liquide qu'il peut contenir. On la mesure en litres (L) et leurs sous-multiples : mL (millilitre), cL (centilitre), dL (décilitre).
Le lien essentiel à connaître :
1 L = 1 dm³
et donc 1 mL = 1 cm³ ; 1 m³ = 1000 L.
Les capacités se convertissent comme les longueurs : d'un rang au suivant, on multiplie ou divise par 10.
Capacité
L
dL
cL
mL
1 L =
1
10
100
1000
Le pont entre volume et capacité. Grâce à 1 L = 1 dm³, on peut traduire un volume en litres :
1 dm³ = 1 L · 1 cm³ = 1 mL · 1 m³ = 1000 L
Exemples.
Un cube d'arête 1 dm (= 10 cm) contient 1 dm³ = 1 L d'eau.
Une bouteille de 1,5 L occupe 1,5 dm³ = 1500 cm³.
Un aquarium de 60 dm³ contient 60 L d'eau.
250 mL = 250 cm³ = 0,25 L.
💡 Pour un récipient en forme de pavé ou de cylindre, on calcule d'abord son volume en cm³ ou dm³, puis on traduit en litres : 1 dm³ = 1 L.
🎓 Récap express : prisme droit = 2 bases identiques + faces rectangulaires · cylindre = 2 disques + 1 rectangle déplié · Vprisme = aire de la base × h · Vcylindre = π × r² × h (π ≈ 3,14) · entre unités de volume on ×/÷ par 1000 · 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³.