Quelle est la différence entre aire et volume en 5e ?

L' aire mesure une surface plane (en cm², m²…) tandis que le volume mesure la place occupée dans l'espace par un solide (en cm³, m³…). Le volume utilise trois dimensions (longueur, largeur, hauteur), l'aire seulement deux.

Comment calculer le volume d'un pavé droit ?

Le volume d'un pavé droit (parallélépipède rectangle) vaut $V = L \times \ell \times h$, c'est-à-dire longueur $\times$ largeur $\times$ hauteur. Par exemple, pour un pavé de $5$ cm sur $3$ cm sur $2$ cm : $V = 5 \times 3 \times 2 = 30$ cm³.

Quelle est la formule du volume d'un cylindre ?

Le volume d'un cylindre vaut $V = \pi \times r^2 \times h$, où $r$ est le rayon de la base circulaire et $h$ la hauteur. On calcule d'abord l'aire du disque de base ($\pi r^2$), puis on la multiplie par la hauteur. On prend $\pi \approx 3{,}14$.

Combien de litres dans un m³ ?

$1$ m³ $= 1000$ litres. De plus, $1$ litre $= 1$ dm³ et $1$ mL $= 1$ cm³. Ce sont les égalités à connaître pour passer des volumes aux contenances.

Collège · 5ᵉ · Mathématiques

Les volumes des solides

Calculer le volume du cube, du pavé droit, du prisme et du cylindre, maîtriser les unités de volume et de contenance (programme de 5e)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Les volumes des solides » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'un volume ?, Reconnaître les solides usuels, Volume du cube et du pavé droit, Volume du prisme droit. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.

Qu'est-ce qu'un volume ?

Après les longueurs (cm) et les aires (cm²), le volume est une troisième grandeur : il mesure la place occupée dans l'espace.

Définition. Le volume d'un solide se mesure en unités cubiques : mm³, cm³, dm³, m³.

Exemple. Un cube de $1$ cm d'arête occupe un volume de $1$ cm³. Un pavé formé de $24$ petits cubes de $1$ cm d'arête a un volume de $24$ cm³.

Attention ! Ne confonds pas les trois grandeurs : une longueur se mesure en cm, une aire en cm², un volume en cm³. L'unité du résultat révèle immédiatement une erreur de formule.

Reconnaître les solides usuels

Avant de calculer, il faut nommer le solide.

Solide	Description
Cube	$6$ faces carrées identiques, toutes les arêtes de même longueur $a$.
Pavé droit	$6$ faces rectangulaires ; trois dimensions $L$, $\ell$, $h$.
Prisme droit	Deux bases identiques et parallèles (triangles, trapèzes…), reliées par des rectangles.
Cylindre de révolution	Deux bases en forme de disque, reliées par une surface courbe.

Astuce. Le cube et le pavé droit sont eux-mêmes des prismes droits : la formule « aire de la base $\times$ hauteur » fonctionne pour tous.

Volume du cube et du pavé droit

Règles. Pavé droit de dimensions $L$, $\ell$, $h$ : $$V = L \times \ell \times h$$ Cube d'arête $a$ : $$V = a \times a \times a$$

Exemple 1. Pavé de $6$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $3$ cm : $V = 72$ cm³.
Exemple 2. Cube d'arête $5$ cm : $V = 5 \times 5 \times 5 = 125$ cm³.

Attention aux unités ! Les trois dimensions doivent être exprimées dans la même unité avant de multiplier. Pour $1{,}2$ m $\times$ $80$ cm $\times$ $50$ cm, on convertit tout en cm : $120 \times 80 \times 50 = 480\,000$ cm³.

Astuce. Connaissant le volume et deux dimensions, on retrouve la troisième par division : $h = V \div (L \times \ell)$.

Volume du prisme droit

Un prisme droit a deux bases identiques reliées par des faces rectangulaires.

Règle. $$V = \mathcal{B} \times h$$ où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur du prisme, c'est-à-dire la distance entre les deux bases.

Exemple. Un prisme droit dont la base est un triangle de base $6$ cm et de hauteur $4$ cm, avec une hauteur de prisme de $10$ cm :
aire de la base $\mathcal{B} = \dfrac{6 \times 4}{2} = 12$ cm² ; volume $V = 12 \times 10 = 120$ cm³.

Attention ! Deux « hauteurs » coexistent : celle du triangle de base (pour son aire) et celle du prisme (pour le volume). Les confondre fausse tout le calcul.

Volume du cylindre

Même principe : aire de la base $\times$ hauteur, la base étant un disque.

Règle. $$V = \pi \times r \times r \times h$$ où $r$ est le rayon de la base et $h$ la hauteur du cylindre.

Exemple 1. Cylindre de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm : $V = 3{,}14 \times 9 \times 10 = 282{,}6$ cm³.
Exemple 2. Cylindre de diamètre $10$ cm et de hauteur $6$ cm : rayon $5$ cm, donc $V = 3{,}14 \times 25 \times 6 = 471$ cm³.

Attention ! Comme pour l'aire du disque, on utilise le rayon. Si l'énoncé donne le diamètre, la première ligne du calcul doit être $r = d \div 2$.

Unités de volume et de contenance

Pour les volumes, chaque unité vaut $1\,000$ fois la suivante.

Conversions. $1$ m³ $= 1\,000$ dm³ $= 1\,000\,000$ cm³ ; $1$ dm³ $= 1\,000$ cm³.

Contenance. $$1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 \qquad 1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ m}^3 = 1\,000 \text{ L}$$

Volume	Contenance
$2\,500$ cm³	$2{,}5$ L
$0{,}5$ m³	$500$ L
$8\,000$ cm³	$8$ L

Attention ! Longueurs : on saute $1$ rang. Aires : $2$ rangs. Volumes : $3$ rangs. C'est la source d'erreur numéro un des conversions.

Résoudre un problème de volume

Méthode en 4 étapes.
1. Reconnaître le solide (cube, pavé, prisme, cylindre).
2. Vérifier les unités : toutes les longueurs dans la même unité.
3. Écrire la formule, puis remplacer par les nombres.
4. Conclure avec l'unité, convertie en litres si l'énoncé parle de contenance.

Exemple. Un aquarium mesure $80$ cm $\times$ $40$ cm $\times$ $50$ cm.
$V = 80 \times 40 \times 50 = 160\,000$ cm³ $= 160$ dm³ $= 160$ L.

Contrôle de vraisemblance. Un aquarium de $160$ L, c'est plausible ; s'il on trouvait $160\,000$ L, c'est-à-dire une piscine, il faudrait revoir la conversion.

En bref

Pavé droit : $V = L \times \ell \times h$. Cube : $V = a \times a \times a$.
Prisme droit et cylindre : $V = \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$.
Cylindre : $V = \pi \times r \times r \times h$ — toujours le rayon.
Conversions de volumes : on saute trois rangs ($1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³).
Contenance : $1$ L $= 1$ dm³, $1$ mL $= 1$ cm³, $1$ m³ $= 1\,000$ L.
Toutes les longueurs doivent être dans la même unité avant de multiplier.

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