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Volumes : pavé, prisme droit, cylindre
Volume et cubes unités (rappels de 6ᵉ), volume du cube et du pavé droit, unités de volume et de contenance (1 L = 1 dm³), volume du prisme droit (aire de la base × hauteur) et du cylindre de révolution (π × r × r × h) ; retrouver une dimension et problèmes.
À propos de cette page
Rappels de 6ᵉ : le volume et les cubes unités
On mesure un volume en comptant des cubes unités : 1 cm³ (un centimètre cube) est le volume d’un cube de 1 cm d’arête ; de même, 1 mm³, 1 dm³ et 1 m³ sont les volumes de cubes de 1 mm, 1 dm et 1 m d’arête.
Pour un pavé formé de petits cubes, on compte les cubes d’une couche, puis on multiplie par le nombre de couches.
Une longueur s’exprime en cm, une aire en cm², un volume en cm³ : l’exposant rappelle le nombre de dimensions.
Le pavé ci-dessus : une couche compte 6 × 2 = 12 cubes, et il y a 3 couches : 12 × 3 = 36 cubes. Avec des cubes de 1 cm d’arête, son volume est 36 cm³.
Un mur de 9 cubes de long, 1 cube d’épaisseur et 4 cubes de haut compte 9 × 1 × 4 = 36 cubes : il a le même volume que le pavé ci-dessus, avec une autre forme.
Avec des cubes de 1 dm d’arête, le pavé ci-dessus aurait un volume de 36 dm³ : le nombre de cubes est le même, l’unité change.
| Grandeur | Ce qu’elle mesure | Unités |
|---|---|---|
| longueur | une distance, un contour | mm, cm, m, km |
| aire | une surface | mm², cm², m², km² |
| volume | la place occupée | mm³, cm³, dm³, m³ |
Réflexe — pour un pavé de petits cubes, je compte les cubes d’une couche, puis je multiplie par le nombre de couches ; le volume est ce nombre de cubes, dans l’unité « au cube ».
Attention — 36 cm, 36 cm² et 36 cm³ ne mesurent pas la même chose : une longueur, une aire, un volume. Et deux solides de formes différentes peuvent avoir le même volume.
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Volume du cube et du pavé droit
Un cube est un pavé droit dont toutes les arêtes ont la même longueur a. Son volume est V = a × a × a, qu’on écrit aussi a³.
On exprime d’abord les trois longueurs dans une même unité : des cm donnent des cm³, des m donnent des m³.
Pour retrouver une dimension, on divise le volume par le produit des deux autres : h = V ÷ (L × ℓ).
Pourquoi ça marche ? Au fond du pavé, une couche de cubes de 1 cm³ en compte L × ℓ (c’est l’aire de la base en cm²) ; il y a h couches. Le volume est donc L × ℓ × h.
Pavé ci-dessus : V = 8 × 5 × 3 = 120 cm³ (une couche de 8 × 5 = 40 cubes de 1 cm³, et 3 couches).
Cube de 6 cm d’arête : V = 6 × 6 × 6 = 216 cm³.
Unités différentes, dimension inconnue
Pavé de 1,5 m sur 60 cm sur 40 cm : on convertit d’abord, 1,5 m = 150 cm. V = 150 × 60 × 40 = 360 000 cm³.
Un pavé de 210 cm³ a une base de 7 cm sur 5 cm. Aire de la base : 7 × 5 = 35 cm². Hauteur : h = 210 ÷ 35 = 6 cm.
Un cube a un volume de 512 cm³. Comme 8 × 8 × 8 = 512, son arête mesure 8 cm.
Réflexe — je vérifie que les trois dimensions sont dans la même unité, puis je multiplie ; pour une dimension inconnue, je divise le volume par le produit des deux autres.
Attention — L × ℓ donne l’aire de la base (en cm²), pas le volume. Pour un cube, c’est a × a × a, et non 3 × a : pour 6 cm d’arête, 216 cm³ et pas 18.
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Unités de volume et de contenance
La contenance (ou capacité) d’un récipient est le volume de liquide qu’il peut contenir. Elle s’exprime souvent en litres : 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³ ; donc 1 m³ = 1 000 L.
Les unités de contenance vont de 10 en 10 : 1 hL = 100 L ; 1 L = 10 dL = 100 cL = 1 000 mL.
Pourquoi 1 000 ? Un cube de 1 dm d’arête, c’est un cube de 10 cm d’arête : il contient 10 × 10 × 10 = 1 000 cubes de 1 cm³. Donc 1 dm³ = 1 000 cm³. Chaque unité de volume occupe trois colonnes dans le tableau.
| m³ | dm³ | cm³ | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| hL | L | dL | cL | mL | ||||
| 3 | 2 | 0 | 0 | |||||
| 0 | 6 | 0 | 0 | |||||
3,2 dm³ : dans le tableau, le 3 va dans la colonne des dm³ (celle du L), puis 2, 0, 0. Donc 3,2 dm³ = 3,2 × 1 000 = 3 200 cm³, soit 3 200 mL ou 3,2 L.
0,6 m³ : le 0 va dans la colonne des m³, puis 6, 0, 0. Donc 0,6 m³ = 600 dm³ = 600 L.
750 mL = 750 cm³ = 0,75 dm³ = 0,75 L.
25 cL = 250 mL = 250 cm³ ; 2,5 hL = 250 L.
Réflexe — pour un volume, je décale de trois rangs (× 1 000 ou ÷ 1 000) ; pour passer aux litres, je passe par le dm³ : 1 L = 1 dm³, et 1 mL = 1 cm³.
Attention — longueurs : × 10 d’une unité à la suivante ; aires : × 100 ; volumes : × 1 000. Ainsi 1 m³ = 1 000 000 cm³, et non 1 000 cm³. Et 1 L n’est pas 1 cm³ : 1 L = 1 000 cm³.
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Volume du prisme droit
Le volume d’un prisme droit est V = B × h, où B est l’aire d’une base.
L’aire de la base se calcule avec les formules d’aire : pour un triangle, base × hauteur ÷ 2.
Le pavé droit et le cube sont des prismes droits : leur base est un rectangle, B = L × ℓ, et on retrouve V = L × ℓ × h.
Prisme ci-dessus : la base est un triangle de base 7 cm et de hauteur 4 cm. B = 7 × 4 ÷ 2 = 14 cm². Le prisme a une hauteur de 9 cm : V = 14 × 9 = 126 cm³.
Un prisme droit dont la base a une aire de 23,5 cm² et qui a une hauteur de 6 cm : V = 23,5 × 6 = 141 cm³.
Un prisme droit de 91 cm³ a une hauteur de 7 cm : l’aire de sa base est B = 91 ÷ 7 = 13 cm².
Un prisme couché
Les bases ne sont pas toujours en bas : on les repère parce qu’elles sont superposables et reliées par des rectangles.
Cette rampe de skate est un prisme droit couché. Ses bases sont les triangles rectangles (devant et derrière) dont les côtés de l’angle droit mesurent 2,4 m et 0,8 m, et la hauteur du prisme est sa largeur, 1,5 m.
B = 2,4 × 0,8 ÷ 2 = 0,96 m² ; V = 0,96 × 1,5 = 1,44 m³.
Réflexe — je repère les deux bases, je calcule l’aire d’une base, puis je la multiplie par la distance entre les deux bases.
Attention — un prisme à base triangulaire a deux hauteurs : celle du triangle (4 cm, pour l’aire de la base) et celle du prisme (9 cm, pour le volume). Et on n’oublie pas le « ÷ 2 » du triangle : 7 × 4 × 9 = 252 cm³ donne le double du volume.
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Volume du cylindre de révolution
Comme pour le prisme droit, volume = aire de la base × hauteur. La base est un disque d’aire π × r × r, donc V = π × r × r × h.
Si l’on prend 3,14 pour π, le volume trouvé est une valeur approchée : on écrit « ≈ ». La valeur exacte s’écrit avec π.
Cylindre ci-dessus, de rayon 5 cm et de hauteur 12 cm : V = π × 5 × 5 × 12 = 300π cm³ (valeur exacte) ; V ≈ 3,14 × 25 × 12 = 942 cm³, soit environ 0,94 L.
Cylindre de diamètre 12 cm et de hauteur 5 cm : d’abord r = 12 ÷ 2 = 6 cm, puis V ≈ 3,14 × 36 × 5 = 565,2 cm³.
Retrouver la hauteur
Un cylindre de rayon 10 cm a un volume d’environ 3 140 cm³. Aire de la base : 3,14 × 10 × 10 = 314 cm². Hauteur : h ≈ 3 140 ÷ 314 = 10 cm.
Réflexe — je repère le rayon (diamètre ÷ 2 si besoin), je calcule l’aire du disque de base, je la multiplie par la hauteur, et j’écris « ≈ » si j’ai pris 3,14.
Attention — avec le diamètre à la place du rayon, on trouve un volume 4 fois trop grand. Et 2 × π × r est la longueur du cercle, pas l’aire de la base. Doubler le rayon multiplie le volume par 2 × 2 = 4.
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Pour aller plus loin
Aires des bases — l’aire du triangle, du parallélogramme et du disque, et les conversions d’aires : voir Aires et périmètres : parallélogramme, triangle, disque.
Solides — reconnaître et représenter un pavé, un prisme droit ou un cylindre (perspective cavalière, patrons) : voir Espace : perspective cavalière et patrons. La notation a³ du cube d’un nombre : voir Puissances : carré et cube d’un nombre.
En 4ᵉ — le volume de la pyramide et du cône de révolution : on prend le tiers de « aire de la base × hauteur ».
- Le volume mesure la place occupée dans l’espace : 1 cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête ; pour un pavé de petits cubes, cubes d’une couche × nombre de couches.
- Pavé droit : V = L × ℓ × h ; cube : V = a × a × a, avec les trois longueurs dans la même unité.
- Volumes : × 1 000 d’une unité à la suivante (1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³) ; 1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³.
- Prisme droit : V = B × h, où B est l’aire d’une base et h la distance entre les deux bases.
- Cylindre : V = π × r × r × h, avec le rayon ; 3,14 à la place de π donne une valeur approchée (≈).
Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’un volume et comment le mesurer ?
Le volume mesure la place occupée dans l’espace. On compte des cubes unités : 1 cm³ est le volume d’un cube de 1 cm d’arête. Un pavé de 6 × 2 cubes par couche et 3 couches compte 36 cubes : son volume est 36 cm³.
Comment calculer le volume d’un pavé droit ou d’un cube ?
Pavé droit : V = longueur × largeur × hauteur, les trois dans la même unité (8 cm × 5 cm × 3 cm = 120 cm³). Cube d’arête a : V = a × a × a (6 × 6 × 6 = 216 cm³). Pour une dimension inconnue, on divise le volume par le produit des deux autres.
Combien de cm³ dans un litre ?
1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³, et 1 mL = 1 cm³. Les unités de volume vont de 1 000 en 1 000 : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L. Par exemple 750 mL = 750 cm³ = 0,75 L.
Comment calculer le volume d’un prisme droit ?
V = aire de la base × hauteur du prisme. Pour une base triangulaire de base 7 cm et de hauteur 4 cm, B = 7 × 4 ÷ 2 = 14 cm² ; avec une hauteur de prisme de 9 cm, V = 14 × 9 = 126 cm³.
Comment calculer le volume d’un cylindre ?
V = π × r × r × h, avec le rayon r (la moitié du diamètre) et la hauteur h. Pour r = 5 cm et h = 12 cm : V ≈ 3,14 × 25 × 12 = 942 cm³, soit environ 0,94 L.
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