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Mathématiques 5ᵉ

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Représenter l'espace : perspective cavalière et patrons

Solides usuels (cube, pavé droit, prisme droit, cylindre), vocabulaire (faces, arêtes, sommets), dessin en perspective cavalière, patrons du cube, du pavé droit, du prisme droit et du cylindre, reconnaître et compléter un patron

À propos de cette page
Ces problèmes corrigés sur « Représenter l'espace : perspective cavalière et patrons » en cinquième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de cinquième et se résolvent étape par étape. Au programme : Les solides usuels : faces, arêtes, sommets, Le prisme droit et le cylindre, Les règles de la perspective cavalière, Dessiner un solide en perspective cavalière. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en cinquième.

Résous chaque problème, écris ta réponse puis clique sur « Vérifier ». Pose tes calculs au brouillon.

Facile
Problème 1Une boîte de sucres est un pavé droit de 11 cm de long, 6 cm de large et 3 cm de haut.
Combien de faces de la boîte sont des rectangles de 11 cm sur 3 cm ?
On colle un ruban adhésif sur toutes les arêtes. Quelle longueur de ruban faut-il, en cm ?
Finalement, on ne renforce que les arêtes verticales. Quelle longueur de ruban faut-il, en cm ?
Léo affirme que la boîte a 6 sommets, « un par face ». Explique son erreur.
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  1. 2 — Les faces opposées d'un pavé droit sont identiques : la face avant et la face arrière.
  2. 80 — 4×11+4×6+4×3=44+24+12=80 cm.
  3. 12 — Quatre arêtes verticales de 3 cm : 4×3=12 cm.
  4. Réponse libre — exemple : Il confond faces et sommets : la boîte a 6 faces mais 8 sommets, 4 sur le dessus et 4 sur le dessous. Chaque sommet est commun à 3 faces. — Un sommet n'appartient pas à une seule face : il est au croisement de trois faces.
Problème 2Sur un dé à jouer, la somme des points de deux faces opposées vaut toujours 7. Voici le patron d'un dé dont trois faces sont déjà numérotées.
a
23bc
6
Quel nombre faut-il écrire sur la face a ?
Quel nombre faut-il écrire sur la face b ?
Quel nombre faut-il écrire sur la face c ?
Un camarade veut écrire 4 sur la face b. Pourquoi est-ce impossible sur un vrai dé ?
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  1. 1 — a est au-dessus de la rangée et 6 au-dessous : elles fermeront les deux ouvertures, donc seront opposées. a=7−6=1.
  2. 5 — Dans la rangée, b est séparée de 2 par la face 3 : b est opposée à 2, donc b=7−2=5.
  3. 4 — c est séparée de 3 par la face b : c est opposée à 3, donc c=7−3=4.
  4. Réponse libre — exemple : La face b sera opposée à la face 2 ; or 2+4=6 et non 7. Il faut écrire 5 sur la face b. — On cherche d'abord quelle face sera opposée, puis on applique la règle de la somme 7.
Moyen
Problème 3Mia dessine en perspective cavalière une armoire en forme de pavé droit : largeur 1,20 m, hauteur 1,80 m, profondeur 60 cm. La face avant est la porte (largeur × hauteur). Sur son dessin, 1 cm représente 20 cm, puis elle applique aux fuyantes un coefficient de réduction de 0,5.
Largeur de la face avant sur le dessin, en cm :
Hauteur de la face avant sur le dessin, en cm :
Longueur des fuyantes sur le dessin, en cm :
Son frère mesure une fuyante sur le dessin et annonce : « l'armoire a 30 cm de profondeur. » D'où vient son erreur ?
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  1. 6 — 1,20 m =120 cm et 120÷20=6 cm. La face avant est en vraie grandeur (à l'échelle) : aucun coefficient.
  2. 9 — 1,80 m =180 cm et 180÷20=9 cm.
  3. 1,5 — 60÷20=3 cm à l'échelle, puis 3×0,5=1,5 cm.
  4. Réponse libre — exemple : Il a seulement converti 1,5 cm en 1,5×20=30 cm, sans tenir compte du coefficient 0,5. Les fuyantes sont réduites de moitié : la vraie profondeur est 2×30=60 cm. — Une fuyante ne se lit jamais directement : il faut diviser par le coefficient de réduction.
Problème 4Une chocolaterie fabrique des boîtes en forme de prisme droit. Chaque base est un triangle équilatéral de 4 cm de côté et la boîte mesure 20 cm de long : c'est la hauteur du prisme.
Combien de faces faut-il prévoir sur le patron ?
Combien de ces faces sont des rectangles identiques ?
Mises côte à côte, les faces latérales forment un grand rectangle. Quelle est sa longueur, en cm, mesurée le long des côtés de 4 cm ?
Sur le patron de l'apprenti, les deux triangles sont accrochés en haut du grand rectangle, sur deux faces latérales différentes. La boîte pourra-t-elle se fermer ? Explique.
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  1. 5 — Deux bases triangulaires et trois faces latérales rectangulaires.
  2. 3 — Trois rectangles de 4 cm sur 20 cm, identiques car les trois côtés du triangle sont égaux.
  3. 12 — 3×4=12 cm : c'est le périmètre de la base. L'autre dimension du rectangle est 20 cm.
  4. Réponse libre — exemple : Non : au pliage, les deux triangles viennent fermer la même extrémité et se superposent, tandis que l'autre extrémité reste ouverte. Il faut un triangle en haut du rectangle et l'autre en bas. — Les deux bases d'un prisme sont opposées : sur le patron, elles sont de part et d'autre de la bande latérale.
Difficile
Problème 5Une boîte de conserve cylindrique a un diamètre de 7,4 cm et une hauteur de 11 cm. On fabrique une étiquette rectangulaire qui fait exactement le tour de la boîte.
Longueur de l'étiquette, en cm, arrondie au dixième :
Largeur maximale de l'étiquette, en cm :
On ajoute 1 cm de recouvrement pour la colle. Nouvelle longueur, en cm, arrondie au dixième :
On veut laisser 1,5 cm de métal visible en haut et en bas de la boîte. Largeur de l'étiquette, en cm :
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  1. 23,2 — π×d=π×7,4≈23,248 cm, soit 23,2 cm au dixième.
  2. 11 — L'étiquette ne peut pas dépasser la hauteur de la boîte : 11 cm.
  3. 24,2 — 23,248+1=24,248 cm, soit 24,2 cm. On arrondit à la fin, pas avant.
  4. 8 — 11−2×1,5=11−3=8 cm.
Problème 6Inès veut fabriquer une boîte en carton en forme de pavé droit de 8 cm de long, 5 cm de large et 3 cm de haut. Elle trace d'abord une bande formée des quatre faces latérales, de 3 cm de haut, puis ajoute le fond et le couvercle, deux rectangles de 8 cm sur 5 cm.
Quelle est la longueur de la bande, en cm ?
Le fond est accroché à une face latérale de 8 cm sur 3 cm. Sur quelle longueur, en cm, ces deux faces se touchent-elles ?
Le couvercle est accroché sur l'autre grand bord de cette même face latérale. Quelle est la hauteur totale du patron, en cm ?
Lors d'un premier essai, Inès avait tracé une bande formée des faces 8×3, 5×3, 8×3 et 3×3. Que se passe-t-il au pliage ?
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  1. 26 — 8+5+8+5=26 cm : c'est le tour du fond.
  2. 8 — Le côté commun doit avoir la même longueur sur les deux faces : 8 cm.
  3. 13 — 5+3+5=13 cm : couvercle, face latérale, fond.
  4. Réponse libre — exemple : La dernière face ne mesure que 3 cm au lieu de 5 cm : la bande fait 24 cm au lieu de 26 cm et ne peut pas faire le tour du fond de 8 cm sur 5 cm. Il manque 2 cm, la boîte ne se ferme pas. — Chaque face latérale doit avoir la longueur du côté du fond sur lequel elle se replie.
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