À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Représenter l'espace : perspective cavalière et patrons » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Les solides usuels : faces, arêtes, sommets, Le prisme droit et le cylindre, Les règles de la perspective cavalière, Dessiner un solide en perspective cavalière. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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Les solides usuels : faces, arêtes, sommets
Un solide est un objet de l'espace : il a une longueur, une largeur et une hauteur. Le cube, le pavé droit et le prisme droit sont limités uniquement par des polygones plats ; le cylindre possède en plus une surface courbe.
Vocabulaire.
• Une face est une surface plane qui limite le solide.
• Une arête est un segment où se rejoignent deux faces.
• Un sommet est une extrémité d'arête : plusieurs arêtes s'y rencontrent (trois pour un cube ou un pavé droit).
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|
| Cube | 6 carrés identiques | 12, toutes de même longueur | 8 |
| Pavé droit | 6 rectangles, identiques deux à deux (faces opposées) | 12, par groupes de 4 de même longueur | 8 |
Exemple. Une brique est un pavé droit de cm de long, cm de large et cm de haut : 4 arêtes mesurent cm, 4 mesurent cm et 4 mesurent cm.
Attention ! Un cube est un pavé droit particulier : ses trois dimensions sont égales. L'inverse est faux : un pavé droit n'est pas toujours un cube.
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Le prisme droit et le cylindre
Un prisme droit est formé de deux bases reliées par des faces latérales.
Définition. Les deux bases d'un prisme droit sont des polygones superposables situés dans des plans parallèles. Les faces latérales sont des rectangles perpendiculaires aux bases. Les arêtes latérales ont toutes la même longueur : c'est la hauteur du prisme.
On nomme un prisme d'après sa base : prisme droit à base triangulaire, à base pentagonale… Le pavé droit est un prisme droit à base rectangulaire.
| Base du prisme droit | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|
| Triangle (3 côtés) | 5 | 9 | 6 |
| Hexagone (6 côtés) | 8 | 18 | 12 |
Astuce. Si la base a côtés : faces latérales et 2 bases, soit faces ; arêtes sur chaque base et arêtes latérales, soit arêtes ; sommets sur chaque base, soit sommets.
Définition. Un cylindre (de révolution) a deux bases qui sont des disques de même rayon, situés dans des plans parallèles, et une surface latérale courbe. Sa hauteur est la distance entre les deux bases.
Attention ! Le cylindre n'a aucun sommet et aucune arête rectiligne : ses bords sont des cercles. Ses bases sont des disques (surfaces pleines) ; le cercle n'en est que le contour.
Exemple. Une boîte de conserve est un cylindre. Une tente canadienne (deux pans de toit, un tapis de sol, deux triangles aux extrémités) est un prisme droit à base triangulaire.
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Les règles de la perspective cavalière
Une feuille est plane : pour y représenter un solide, on utilise une convention de dessin, la perspective cavalière. Le dessin ne montre pas exactement ce que voit l'œil, mais il permet de reconnaître le solide et de retrouver ses dimensions.
Règles de la perspective cavalière.
• Les faces placées de face (face avant et face arrière) sont dessinées en vraie grandeur : longueurs et angles conservés.
• Les arêtes perpendiculaires à la face avant, appelées fuyantes, sont tracées en oblique, toutes avec le même angle (souvent 30° ou 45°) ; leur longueur est multipliée par un coefficient de réduction (souvent ).
• Deux arêtes parallèles dans la réalité restent parallèles sur le dessin, et deux arêtes parallèles de même longueur y ont la même longueur.
• Les arêtes cachées sont tracées en pointillés.
Exemple. Cube de cm d'arête, angle de 45°, coefficient : la face avant est un carré de cm de côté ; chaque fuyante mesure cm sur le dessin.
Attention ! Seules les faces placées de face gardent leur forme. Sur le dessin d'un cube, la face du dessus devient un parallélogramme : ses angles droits ne sont plus droits. Pour retrouver une longueur réelle à partir d'une fuyante, il faut diviser par le coefficient.
Astuce. Sur papier quadrillé, suivre les diagonales des carreaux donne directement des fuyantes à 45°, toutes parallèles entre elles.
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Dessiner un solide en perspective cavalière
Pour un pavé droit, on suit toujours les mêmes étapes.
Exemple. Pavé droit de cm de long, cm de haut et cm de profondeur, angle de 30°, coefficient : la face avant est un rectangle de cm sur cm ; les fuyantes mesurent cm. Avec des fuyantes dirigées vers le haut à droite, le sommet caché est en bas à gauche, à l'arrière : le dessin compte 9 arêtes en trait plein et 3 en pointillés.
Prisme droit et cylindre. Pour un prisme droit, on place une base de face : elle est dessinée en vraie grandeur et les arêtes latérales deviennent les fuyantes. Pour un cylindre posé sur une base, les deux disques apparaissent comme des ovales (des ellipses) reliés par deux segments verticaux ; la moitié arrière de l'ovale du bas est en pointillés.
Attention ! Plusieurs dessins corrects existent pour un même solide : tout dépend de la face choisie comme face avant et du sens des fuyantes. En revanche, sur un même dessin, toutes les fuyantes ont la même direction et le même coefficient.
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Patrons du cube et du pavé droit
Définition. Un patron d'un solide est une figure plane d'un seul morceau qui, par pliage, permet de fabriquer le solide, sans que deux faces se superposent et sans laisser de trou.
Cube. Un patron de cube est formé de 6 carrés identiques. Il existe 11 patrons différents du cube ; le plus connu est la « croix » :
Au pliage, la rangée 1-2-3-4 fait le tour du cube : 1 et 3 sont opposées, 2 et 4 aussi. La face 5 devient le dessus, la face 6 le dessous : elles sont opposées.
Pavé droit. Un patron de pavé droit est formé de 6 rectangles, identiques deux à deux. Voici un patron d'un pavé de cm de long, cm de large et cm de haut (dimensions en cm) :
| dessus 4 × 3 | | |
| côté 3 × 2 | avant 4 × 2 | côté 3 × 2 | arrière 4 × 2 |
| dessous 4 × 3 | | |
Astuce. Deux côtés qui se rejoignent au pliage doivent avoir la même longueur. Ici, la bande du milieu mesure cm : c'est exactement le tour du rectangle de cm sur cm qui sert de dessous.
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Patrons du prisme droit et du cylindre
Prisme droit. Mises côte à côte, les faces latérales forment un grand rectangle : sa longueur est le périmètre de la base, sa largeur est la hauteur du prisme. Les deux bases sont accrochées de part et d'autre de ce rectangle, l'une en haut, l'autre en bas.
Exemple. Prisme droit de hauteur cm dont la base est un triangle de côtés cm, cm et cm : grand rectangle de cm sur cm, formé de trois rectangles de , et ; un triangle est accroché en haut de l'un d'eux, l'autre en bas.
Attention ! Un triangle accroché sur un bord de cm doit l'être par son côté de cm : chaque côté de la base se colle sur un bord de même longueur.
Cylindre. Le patron est formé d'un rectangle et de deux disques de même rayon . En s'enroulant, la longueur du rectangle fait exactement le tour d'une base.
Règle. Longueur du rectangle = périmètre du disque de base = (ou avec le diamètre).
Largeur du rectangle = hauteur du cylindre.
Chaque disque touche une longueur du rectangle : l'un en haut, l'autre en bas.
Exemple. Cylindre de rayon cm et de hauteur cm : longueur du rectangle cm, soit environ cm ; largeur cm ; deux disques de rayon cm.
Erreur fréquente. Utiliser le diamètre à la place du rayon dans donne un rectangle deux fois trop long : le patron ne se referme pas.
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Reconnaître et compléter un patron
Avant de découper, on vérifie qu'une figure est bien un patron du solide voulu.
Faces opposées d'un cube. Sur un patron, deux carrés séparés par un seul carré dans une même rangée seront opposés après pliage. Deux faces opposées ne se touchent jamais.
Exemple. Quand un patron de cube contient une rangée de 4 carrés, cette rangée forme le tour du cube. Les deux carrés restants ferment les deux ouvertures : il en faut un d'un côté de la rangée et un de l'autre côté.
Attention ! Un assemblage de 6 carrés n'est pas un patron de cube s'il contient un bloc de 2 × 2 carrés, s'il aligne 5 carrés ou plus, ou si deux carrés viennent fermer la même face.
Astuce. Pour compléter un patron, cherche d'abord quelle face manque (le dessus ? un côté ?), puis accroche-la sur un bord de même longueur, là où il reste une ouverture.
En bref
- Cube et pavé droit : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets.
- Prisme droit dont la base a côtés : faces, arêtes, sommets ; les faces latérales sont des rectangles.
- Cylindre : deux disques de même rayon et une surface courbe, aucun sommet.
- Perspective cavalière : faces de face en vraie grandeur, fuyantes parallèles réduites par un coefficient, arêtes cachées en pointillés.
- Patron : figure d'un seul morceau qui se plie sans superposition ; les côtés collés ont la même longueur.
- Cube : 11 patrons ; deux carrés séparés par un seul carré dans une rangée sont opposés.
- Prisme : longueur du rectangle latéral = périmètre de la base. Cylindre : longueur du rectangle = .