Devoir surveillé : Statistiques, probabilités et échantillonnage

1. a)$\overline{x}={\displaystyle \frac{12+15+9+18+16+14}{6}}={\displaystyle \frac{84}{6}}=14$. (1 pt) (1)
2. b)Série rangée : $9$ ; $12$ ; $14$ ; $15$ ; $16$ ; $18$. L'effectif $6$ est pair : la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs, ${\displaystyle \frac{14+15}{2}}=14,5$. (1 pt) (1)
3. c)$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0,3=0,7$. (1 pt) (1)
4. d)$\sqrt{400}=20$, donc ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{1}{20}}=0,05$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — La médiane se lit sur la série rangée dans l'ordre croissant : prendre les valeurs du milieu dans l'ordre de l'énoncé donne un résultat faux.

1. a)$\overline{x}={\displaystyle \frac{3\times 8+5\times 10+6\times 12+4\times 14+2\times 16}{20}}={\displaystyle \frac{24+50+72+56+32}{20}}={\displaystyle \frac{234}{20}}=11,7$. (1 pt) (1,25)
2. b)Effectifs cumulés croissants : $3$ ; $8$ ; $14$ ; $18$ ; $20$. Médiane : effectif pair, moyenne des 10e et 11e valeurs, qui valent toutes deux $12$ (les rangs 9 à 14 correspondent à la note 12), donc $Me=12$. $Q_1$ : ${\displaystyle \frac{20}{4}}=5$, c'est la 5e valeur, $Q_1=10$. $Q_3$ : ${\displaystyle \frac{3\times 20}{4}}=15$, c'est la 15e valeur (rangs 15 à 18 : note 14), $Q_3=14$. (0,5 pt par indicateur, soit 1,5 pt) (1,25)
3. c)Moyenne des carrés : ${\displaystyle \frac{3\times 8^2+5\times {10}^2+6\times {12}^2+4\times {14}^2+2\times {16}^2}{20}}={\displaystyle \frac{192+500+864+784+512}{20}}={\displaystyle \frac{2852}{20}}=142,6$. Variance : $V=142,6-11,7^2=142,6-136,89=5,71$ (résultat identique à la calculatrice), donc $\sigma =\sqrt{5,71}\approx 2,39$. Écart interquartile : $Q_3-Q_1=14-10=4$. (1 pt pour $\sigma$, 0,5 pt pour l'écart interquartile) (1,25)
4. d)Toutes les notes augmentent de 1 : la moyenne augmente de 1 et devient $12,7$. Les écarts entre les notes ne changent pas : l'écart type reste $\sigma \approx 2,39$ et l'écart interquartile reste $4$ ($Q_1$ et $Q_3$ augmentent tous deux de 1). (1 pt) (1,25)

Méthode — Pour un quartile, on calcule d'abord le rang (${\displaystyle \frac{N}{4}}$ ou ${\displaystyle \frac{3N}{4}}$, arrondi à l'entier supérieur s'il n'est pas entier), puis on le repère dans les effectifs cumulés.

1. a)$P(S)={\displaystyle \frac{100}{200}}=0,5$. (1 pt) (1,2)
2. b)$P(D\cap S)={\displaystyle \frac{72}{200}}=0,36$ : c'est la probabilité que l'élève soit demi-pensionnaire et pratique un sport en club. (1 pt) (1,2)
3. c)Formule : $P(D\cup S)=P(D)+P(S)-P(D\cap S)=0,6+0,5-0,36=0,74$. Comptage : les $120$ demi-pensionnaires et les $28$ externes sportifs, soit $148$ élèves, et ${\displaystyle \frac{148}{200}}=0,74$. (1,5 pt) (1,2)
4. d)On se restreint aux $120$ demi-pensionnaires, dont $72$ sont sportifs : $P_D(S)={\displaystyle \frac{72}{120}}=0,6$. (1 pt) (1,2)
5. e)${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{200}}}\approx 0,0707$. Intervalle : $[0,45-0,0707;0,45+0,0707]=[0,3793;0,5207]$. La fréquence observée $f=0,5$ appartient à cet intervalle : elle est compatible avec $p=0,45$, l'écart s'expliquant par la fluctuation d'échantillonnage. (1,5 pt) (1,2)

Piège — « Et » correspond à l'intersection, « ou » à la réunion : dans $D\cup S$, les élèves à la fois demi-pensionnaires et sportifs ne doivent être comptés qu'une seule fois.

1. a)Arbre : $C$ ($0,4$) puis $F$ ($0,3$) et $\bar{F}$ ($0,7$) ; $\bar{C}$ ($0,6$) puis $F$ ($0,1$) et $\bar{F}$ ($0,9$). $P(C\cap F)=0,4\times 0,3=0,12$. (1 pt) (1)
2. b)On additionne les deux chemins qui mènent à $F$ (probabilités totales) : $P(F)=0,4\times 0,3+0,6\times 0,1=0,12+0,06=0,18$. (1 pt) (1)
3. c)random() renvoie un nombre au hasard dans $[0;1[$ : le test random() < 0.4 est vrai avec la probabilité $0,4$ et simule « le client paie par carte ». Selon le cas, on simule ensuite $F$ avec la probabilité $0,3$ ou $0,1$. La fonction renvoie True si le client simulé possède la carte de fidélité (probabilité $0,18$), False sinon. (1 pt) (1)
4. d)$f={\displaystyle \frac{1812}{10000}}=0,1812$. D'après la loi des grands nombres, quand on répète un grand nombre de fois l'expérience, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité, ici $0,18$. (1 pt) (1)
5. e)$\sqrt{10000}=100$, donc ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}=0,01$ ; l'intervalle est $[0,17;0,19]$ et $0,17\le 0,1812\le 0,19$ : la fréquence appartient bien à l'intervalle. (1 pt) (1)

Astuce — Dans un arbre pondéré, les probabilités issues d'un même nœud ont pour somme 1 : on obtient ainsi immédiatement $0,6$, $0,7$ et $0,9$.

1. a)Incompatibles : $P(A\cap B)=0$, donc $P(A\cup B)=0,45+0,3=0,75$. (0,5 pt) (0,75)
2. b)Nouvelle moyenne : $3\times 12-5=31$ ; nouvel écart type : $3\times 2=6$ (retrancher $5$ ne modifie pas la dispersion). (1 pt) (0,75)
3. c)${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\le 0,04⟺\sqrt{n}\ge {\displaystyle \frac{1}{0,04}}=25⟺n\ge 625$ : le plus petit entier est $n=625$. (1 pt) (0,75)
4. d)Série rangée : $2$ ; $4$ ; $5$ ; $7$ ; $8$ ; $9$ ; $11$. Effectif impair $7$ : la médiane est la 4e valeur, $Me=7$ ; étendue : $11-2=9$. (0,5 pt) (0,75)

Erreur fréquente — Une translation (ajouter ou retrancher un nombre) ne change pas l'écart type ; seule la multiplication par $a$ le multiplie par $|a|$.

1. a)Effectifs cumulés : $24$ ; $72$ ; $128$ ; $148$ ; $160$. Fréquences cumulées : ${\displaystyle \frac{24}{160}}=0,15$ ; ${\displaystyle \frac{72}{160}}=0,45$ ; ${\displaystyle \frac{128}{160}}=0,8$ ; ${\displaystyle \frac{148}{160}}=0,925$ ; $1$. (1 pt) (1)
2. b)Centres des classes : $5$ ; $15$ ; $25$ ; $37,5$ ; $52,5$. $\overline{x}\approx {\displaystyle \frac{24\times 5+48\times 15+56\times 25+20\times 37,5+12\times 52,5}{160}}={\displaystyle \frac{120+720+1400+750+630}{160}}={\displaystyle \frac{3620}{160}}=22,625$, soit environ $22,6$ min. C'est une approximation car on remplace chaque durée par le centre de sa classe. (1 pt) (1)
3. c)La fréquence cumulée passe de $0,45$ à $0,8$ sur $[20;30[$ : c'est la classe médiane. $Me\approx 20+10\times {\displaystyle \frac{0,5-0,45}{0,8-0,45}}=20+{\displaystyle \frac{0,5}{0,35}}\approx 21,43$ min. (1 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{24}{10}}=2,4$ ; ${\displaystyle \frac{48}{10}}=4,8$ ; ${\displaystyle \frac{56}{10}}=5,6$ ; ${\displaystyle \frac{20}{15}}\approx 1,33$ ; ${\displaystyle \frac{12}{15}}=0,8$. Les hauteurs des rectangles sont proportionnelles à ces nombres : le plus haut est celui de $[20;30[$. On remarque que $[30;45[$, d'effectif $20$ proche de celui de $[0;10[$, a un rectangle presque deux fois moins haut, car il est plus large. (1 pt) (1)
5. e)$P(T\ge 30)={\displaystyle \frac{20+12}{160}}={\displaystyle \frac{32}{160}}=0,2$. Les élèves dont le trajet dure au moins 20 min sont $56+20+12=88$, dont $32$ mettent au moins 30 min : la probabilité cherchée est ${\displaystyle \frac{32}{88}}={\displaystyle \frac{4}{11}}\approx 0,364$. (1 pt) (1)

Piège — Avec des classes d'amplitudes différentes, la hauteur d'un rectangle d'histogramme n'est pas l'effectif : c'est l'aire du rectangle qui lui est proportionnelle.

1. a)Arbre : $M_1$ ($0,7$) puis $D$ ($0,02$) et $\bar{D}$ ($0,98$) ; $M_2$ ($0,3$) puis $D$ ($0,05$) et $\bar{D}$ ($0,95$). $P(M_1\cap D)=0,7\times 0,02=0,014$. (1 pt) (1)
2. b)Probabilités totales : $P(D)=P(M_1\cap D)+P(M_2\cap D)=0,014+0,3\times 0,05=0,014+0,015=0,029$. (1 pt) (1)
3. c)$P_D(M_2)={\displaystyle \frac{P(M_2\cap D)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{0,015}{0,029}}={\displaystyle \frac{15}{29}}\approx 0,517$. $M_2$ ne produit que 30 % des pièces mais fournit plus de la moitié des pièces défectueuses, car son taux de défaut est 2,5 fois plus élevé que celui de $M_1$. (1 pt) (1)
4. d)$f={\displaystyle \frac{130}{2500}}=0,052$ ; ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2500}}}={\displaystyle \frac{1}{50}}=0,02$ ; intervalle : $[0,029-0,02;0,029+0,02]=[0,009;0,049]$. Comme $0,052>0,049$, la fréquence est hors de l'intervalle. Or, pour des échantillons de cette taille, environ 95 % au moins ont une fréquence dans l'intervalle : on peut suspecter un dérèglement de la production, avec un faible risque de se tromper. (1 pt) (1)

Méthode — Pour inverser un conditionnement, on écrit $P_D(M_2)={\displaystyle \frac{P(M_2\cap D)}{P(D)}}$ : le numérateur se lit sur une branche de l'arbre, le dénominateur vient des probabilités totales.

1. a)Non. Ajouter $2$ à chaque valeur décale toute la série (la moyenne augmente aussi de $2$) sans modifier les écarts à la moyenne : l'écart type est inchangé. Exemple : les séries $1$ ; $3$ et $3$ ; $5$ ont toutes deux un écart type égal à $1$. (1 pt) (1)
2. b)Oui. $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$ et $P(A\cup B)\le 1$, donc $P(A\cap B)\ge 0,6+0,5-1=0,1>0$ : $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles. (1 pt) (1)
3. c)Non, sur les deux points. Le nombre de piles sur 10 lancers fluctue (on peut obtenir 3, 6, …) ; la loi des grands nombres concerne la fréquence sur un grand nombre de lancers, pas un résultat exact sur 10 lancers. De plus, la pièce n'a pas de mémoire : au lancer suivant, la probabilité d'obtenir face reste $0,5$. (1 pt) (1)
4. d)Non. Contre-exemple : $1$ ; $1$ ; $1$ ; $1$ ; $100$. $Q_1$ est la 2e valeur (${\displaystyle \frac{5}{4}}=1,25$, arrondi à 2) et $Q_3$ la 4e (${\displaystyle \frac{15}{4}}=3,75$, arrondi à 4) : $Q_1=Q_3=1$, alors que $\overline{x}={\displaystyle \frac{104}{5}}=20,8$. Une valeur extrême peut tirer la moyenne hors de $[Q_1;Q_3]$. (1 pt) (1)

Astuce — Pour réfuter une affirmation générale, un seul contre-exemple suffit ; pour la prouver, il faut un argument valable dans tous les cas.

1. a)Les 36 couples $(d_1;d_2)$ sont équiprobables. Somme au moins égale à 10 : $(4;6)$, $(5;5)$, $(6;4)$, $(5;6)$, $(6;5)$, $(6;6)$, soit 6 issues : $p={\displaystyle \frac{6}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$. (1 pt) (1)
2. b)Issues sans aucun 6 : $5\times 5=25$, donc, par l'événement contraire, $P(S)=1-{\displaystyle \frac{25}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}$. Parmi ces 11 issues, les gagnantes sont $(4;6)$, $(6;4)$, $(5;6)$, $(6;5)$, $(6;6)$ : $P_S(G)={\displaystyle \frac{5}{11}}\approx 0,455$. (1 pt) (1)
3. c)randint(1, 6) simule un dé ; partie() renvoie True si la somme des deux dés vaut au moins 10 (partie gagnée), False sinon. frequence(1000) simule 1 000 parties et renvoie la fréquence des parties gagnées, qui devrait être proche de ${\displaystyle \frac{1}{6}}\approx 0,167$. (1 pt) (1)
4. d)$f={\displaystyle \frac{131}{1000}}=0,131$ ; ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}}\approx 0,0316$ ; intervalle $[{\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}};{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1000}}}]\approx [0,1350;0,1983]$ (calcul fait avec les valeurs non arrondies). Comme $0,131<0,1350$, la fréquence est hors de l'intervalle, ce qui n'arrive que pour environ 5 % des échantillons au plus avec des dés équilibrés : le soupçon est fondé, sans être une certitude. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — Les sommes de deux dés ne sont pas équiprobables : on raisonne sur les 36 couples $(d_1;d_2)$, et non sur les 11 sommes possibles de 2 à 12.

1. a)$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0,7+0,5-0,85=0,35$. $A$ est la réunion disjointe de $A\cap B$ et $A\cap \bar{B}$, donc $P(A\cap \bar{B})=0,7-0,35=0,35$. (1 pt) (1)
2. b)L'écart type devient $a\times 3=12$, donc $a=4$ ; la moyenne devient $4\times 8+b=50$, donc $b=18$. (1 pt) (1)
3. c)L'amplitude vaut ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$ : ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}\le 0,05⟺\sqrt{n}\ge 40⟺n\ge 1600$. Le plus petit entier est $n=1600$. (1 pt) (1)

Méthode — Pour imposer une moyenne et un écart type par une transformation affine, on commence par l'écart type, qui ne dépend que de $a$, puis on déduit $b$ de la moyenne.

1. a)$\overline{y}={\displaystyle \frac{(a{x}_1+b)+\dots +(a{x}_N+b)}{N}}={\displaystyle \frac{a(x_1+\dots +x_N)+Nb}{N}}=a\times {\displaystyle \frac{x_1+\dots +x_N}{N}}+b=a\overline{x}+b$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)Moyenne : ${\displaystyle \frac{k\times 1+(N-k)\times 0}{N}}={\displaystyle \frac{k}{N}}=f$. Variance (moyenne des carrés des écarts à la moyenne) : $V={\displaystyle \frac{k(1-f{)}^2+(N-k)(0-f{)}^2}{N}}=f(1-f{)}^2+(1-f)f^2=f(1-f)[(1-f)+f]=f(1-f)$. (1 pt) (0,8)
3. c)${\displaystyle \frac{1}{4}}-{(f-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}-(f^2-f+{\displaystyle \frac{1}{4}})=f-f^2=f(1-f)$. Un carré étant positif, $V=f(1-f)\le {\displaystyle \frac{1}{4}}$, donc $\sigma =\sqrt{V}\le {\displaystyle \frac{1}{2}}$, avec égalité si et seulement si $f={\displaystyle \frac{1}{2}}$, c'est-à-dire autant de succès que d'échecs. (1 pt) (0,8)
4. d)$g_i=5x_i-2(1-x_i)=7x_i-2$ (vérification : $g_i=5$ si $x_i=1$ et $g_i=-2$ si $x_i=0$). Ici $f={\displaystyle \frac{120}{400}}=0,3$. D'après a) et b), $\overline{g}=7\times 0,3-2=0,1$ euro par partie. D'après b) et la propriété admise, ${\sigma }_g=7\sqrt{0,3\times 0,7}=7\sqrt{0,21}\approx 3,21$ euros. (1 pt) (0,8)
5. e)D'après la loi des grands nombres, pour un très grand nombre de parties, la fréquence $f$ des parties gagnées est proche de $p={\displaystyle \frac{2}{7}}$ ; donc $\overline{g}=7f-2$ est proche de $7\times {\displaystyle \frac{2}{7}}-2=0$ : le jeu est équitable à long terme, et le gain moyen de $0,1$ euro observé en d) relève de la fluctuation. (0,5 pt) (0,8)

Astuce — Coder un succès par 1 et un échec par 0 transforme une fréquence en moyenne : tous les outils des statistiques descriptives s'appliquent alors à l'échantillonnage.

1. a)Arbre : $F$ ($0,55$) puis $A$ ($0,3$) et $\bar{A}$ ($0,7$) ; $G$ ($0,45$) puis $A$ et $\bar{A}$ (probabilités à déterminer). $P(F\cap A)=P(F)\times P_F(A)=0,55\times 0,3=0,165$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)Probabilités totales : $P(A)=P(F\cap A)+P(G\cap A)$, donc $P(G\cap A)=0,4-0,165=0,235$. Ainsi $P_G(A)={\displaystyle \frac{P(G\cap A)}{P(G)}}={\displaystyle \frac{0,235}{0,45}}={\displaystyle \frac{47}{90}}\approx 0,522$. (1 pt) (0,8)
3. c)$P_A(F)={\displaystyle \frac{P(F\cap A)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{0,165}{0,4}}=0,4125$. (0,5 pt) (0,8)
4. d)Probabilités totales : $P(A)=P(F)P_F(A)+P(G)P_G(A)$ avec $P(F)+P(G)=1$. On en déduit $P(A)-P_F(A)=P(G)(P_G(A)-P_F(A))$ et $P(A)-P_G(A)=P(F)(P_F(A)-P_G(A))$. Comme $P(F)>0$ et $P(G)>0$, ces deux différences sont de signes contraires (ou nulles) : $P(A)$ est compris entre $P_F(A)$ et $P_G(A)$. Autrement dit, $P(A)$ est une moyenne pondérée des deux probabilités conditionnelles. (1 pt) (0,8)
5. e)$f=0,4$ ; ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1600}}}={\displaystyle \frac{1}{40}}=0,025$ ; intervalle $[0,36-0,025;0,36+0,025]=[0,335;0,385]$. Comme $0,4>0,385$, la fréquence observée est hors de l'intervalle : on peut considérer que ce lycée se distingue de la situation nationale, avec un risque d'erreur d'environ 5 %. (1 pt) (0,8)

Piège — $P_F(A)$ et $P_A(F)$ ne répondent pas à la même question : $0,3$ est la part d'inscrites parmi les filles, $0,4125$ la part de filles parmi les inscrits.

1. a)Centres : $120$ ; $123$ ; $125$ ; $127$ ; $130$. $\overline{x}\approx {\displaystyle \frac{16\times 120+44\times 123+70\times 125+50\times 127+20\times 130}{200}}={\displaystyle \frac{1920+5412+8750+6350+2600}{200}}={\displaystyle \frac{25032}{200}}=125,16$ g. (1 pt) (0,8)
2. b)Valeurs de $d$ : $-5$ ; $-2$ ; $0$ ; $2$ ; $5$. $\overline{d}={\displaystyle \frac{16\times (-5)+44\times (-2)+0+50\times 2+20\times 5}{200}}={\displaystyle \frac{-80-88+100+100}{200}}={\displaystyle \frac{32}{200}}=0,16$ (on retrouve $\overline{x}=125+0,16$). Moyenne des carrés : ${\displaystyle \frac{16\times 25+44\times 4+50\times 4+20\times 25}{200}}={\displaystyle \frac{1276}{200}}=6,38$, donc $V_d=6,38-0,{16}^2=6,3544$. Les $d$ se déduisent des centres par une translation, qui ne modifie pas l'écart type : ${\sigma }_x={\sigma }_d=\sqrt{6,3544}\approx 2,52$ g. L'intérêt : des nombres petits, donc des calculs plus simples et plus sûrs. (1 pt) (0,8)
3. c)Fréquences cumulées croissantes : $0,08$ ; $0,30$ ; $0,65$ ; $0,90$ ; $1$. La fréquence $0,5$ est atteinte dans $[124;126[$. Interpolation : $Me\approx 124+2\times {\displaystyle \frac{0,5-0,30}{0,65-0,30}}=124+{\displaystyle \frac{0,4}{0,35}}\approx 125,14$ g. (0,5 pt) (0,8)
4. d)Pots conformes : $44+70+50=164$, donc $P(C)={\displaystyle \frac{164}{200}}=0,82$. Parmi eux, $70+50=120$ pèsent au moins 124 g : probabilité ${\displaystyle \frac{120}{164}}={\displaystyle \frac{30}{41}}\approx 0,732$. (1 pt) (0,8)
5. e)$y={\displaystyle \frac{x-5}{1000}}=0,001x-0,005$. Moyenne : $\overline{y}=0,001\times 125,16-0,005=0,12016$ kg ; écart type : ${\sigma }_y=0,001\times {\sigma }_x\approx 0,00252$ kg. (0,5 pt) (0,8)

Méthode — Centrer les valeurs autour d'un nombre rond (ici 125) allège le calcul de la variance sans changer l'écart type ; il suffit ensuite d'ajouter 125 à la moyenne obtenue.

1. a)Dans le tableau à double entrée, les 36 couples sont équiprobables. L'événement contraire « aucun 6 » compte $5\times 5=25$ couples, donc $p=1-{\displaystyle \frac{25}{36}}={\displaystyle \frac{11}{36}}\approx 0,3056$. (0,5 pt) (0,833333)
2. b)

   from random import randint
   
   def essai():
       d1 = randint(1, 6)
       d2 = randint(1, 6)
       return d1 == 6 or d2 == 6
   
   def frequence(n):
       s = 0
       for i in range(n):
           if essai():
               s = s + 1
       return s / n

   (0,5 pt par fonction, soit 1 pt) (0,833333)
3. c)

   from math import sqrt
   
   def proportion(N, n):
       p = 11 / 36
       c = 0
       for j in range(N):
           f = frequence(n)
           if abs(f - p) <= 1 / sqrt(n):
               c = c + 1
       return c / N

   (1 pt) (0,833333)
4. d)Sur 1 000 échantillons simulés de 400 lancers, 95,8 % ont une fréquence à moins de ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{400}}}=0,05$ de $p$, c'est-à-dire dans $[0,2556;0,3556]$ environ. C'est conforme au résultat du cours : pour $n$ assez grand, environ 95 % au moins des échantillons vérifient $|f-p|\le {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$. (0,5 pt) (0,833333)
5. e)${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{12}{36}}>p$ : il faut ${\displaystyle \frac{1}{3}}>p+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$, soit ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}<{\displaystyle \frac{12}{36}}-{\displaystyle \frac{11}{36}}={\displaystyle \frac{1}{36}}$, c'est-à-dire $\sqrt{n}>36$, ou encore $n>1296$. Pour $n=1296$, ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est exactement la borne supérieure, donc encore dans l'intervalle fermé : la plus petite taille est $n=1297$. (1 pt) (0,833333)
6. f)$q$ est hors de l'intervalle $⟺|q-p|>{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}⟺\sqrt{n}>{\displaystyle \frac{1}{|q-p|}}⟺n>{\displaystyle \frac{1}{(q-p{)}^2}}$ (tous les nombres sont positifs et la fonction carré est croissante sur $[0;+\infty [$). Contrôle : avec $|q-p|={\displaystyle \frac{1}{36}}$, on retrouve $n>1296$. Si l'écart est divisé par 2, ${\displaystyle \frac{1}{(q-p{)}^2}}$ est multiplié par 4 : il faut environ quatre fois plus d'observations. (1 pt) (0,833333)

Erreur fréquente — Détecter un petit écart coûte cher : la taille d'échantillon nécessaire varie comme l'inverse du carré de l'écart, et non comme l'inverse de l'écart.