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Mathématiques 2ⁿᵈᵉ

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Probabilités conditionnelles et arbres

Modèle probabiliste et équiprobabilité, probabilité conditionnelle dans un tableau croisé, arbres pondérés, passage d’un arbre à un tableau, probabilité de B sachant A ou de A sachant B, tests de dépistage et faux positifs.

À propos de cette page
Un QCM de probabilités en trois niveaux de douze questions : vocabulaire, contraire, équiprobabilité et lecture d’un arbre, puis calculs de probabilités conditionnelles et de chemins, enfin les pièges de l’inversion du conditionnement et des faux positifs. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. On lance un dé équilibré à 10 faces numérotées de 1 à 10. Le cardinal de l’univers vaut :

    • A. 10
    • B. 9
    • C. 1/10
    • D. 11
    Réponse

    A. 10 — Ω = {1 ; 2 ; … ; 10} contient 10 issues : Card(Ω) = 10. Le nombre 1/10 est la probabilité de chaque issue.

  2. Si P(A) = 0,42, alors P(Ā) vaut :

    • A. 0,42
    • B. 0,58
    • C. 1,42
    • D. 0,48
    Réponse

    B. 0,58 — P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0,42 = 0,58.

  3. Parmi ces nombres, lequel peut être une probabilité ?

    • A. 1,2
    • B. −0,3
    • C. 0,85
    • D. 120 %
    Réponse

    C. 0,85 — Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : seul 0,85 convient.

  4. Deux événements incompatibles sont deux événements :

    • A. contraires l’un de l’autre
    • B. de même probabilité
    • C. dont la réunion est l’univers
    • D. sans aucune issue commune
    Réponse

    D. sans aucune issue commune — Incompatibles signifie que leur intersection est vide : aucune issue commune. Ils ne sont pas forcément contraires : sur un dé, « obtenir 1 » et « obtenir 2 » sont incompatibles, mais on peut obtenir 3.

  5. En situation d’équiprobabilité, P(A) est égale à :

    • A. Card(Ω) ÷ Card(A)
    • B. Card(A) ÷ Card(Ω)
    • C. Card(A) × Card(Ω)
    • D. 1 − Card(A)
    Réponse

    B. Card(A) ÷ Card(Ω) — On divise le nombre d’issues de A par le nombre d’issues de l’univers : le résultat est entre 0 et 1.

  6. La notation PA(B) se lit :

    • A. probabilité de B sachant A
    • B. probabilité de A sachant B
    • C. probabilité de A et de B
    • D. probabilité de A ou de B
    Réponse

    A. probabilité de B sachant A — L’événement en indice est celui que l’on sait réalisé : PA(B) est la probabilité de B sachant A.

  7. Sur un arbre pondéré, la somme des probabilités des branches qui partent d’un même nœud vaut :

    • A. 0
    • B. le nombre de branches
    • C. la probabilité du nœud
    • D. 1
    Réponse

    D. 1 — Les branches issues d’un nœud décrivent tous les cas possibles à cette étape : leur somme vaut 1.

  8. Sur 250 clients d’une boutique, 60 ont payé par chèque. On choisit un client au hasard. La probabilité qu’il ait payé par chèque est :

    • A. 0,6
    • B. 0,4
    • C. 0,24
    • D. 0,25
    Réponse

    C. 0,24 — Équiprobabilité : 60 ÷ 250 = 0,24.

  9. La probabilité d’un chemin d’un arbre pondéré s’obtient :

    • A. en additionnant les probabilités de ses branches
    • B. en prenant la probabilité de sa dernière branche
    • C. en divisant sa dernière branche par la première
    • D. en multipliant les probabilités de ses branches
    Réponse

    D. en multipliant les probabilités de ses branches — Règle du chemin : P(A ∩ B) = P(A) × PA(B), produit des branches.

  10. Dans un test de dépistage, un faux positif est une personne :

    • A. malade dont le test est positif
    • B. saine dont le test est positif
    • C. malade dont le test est négatif
    • D. saine dont le test est négatif
    Réponse

    B. saine dont le test est positif — « Faux positif » : le test dit « positif » à tort, la personne n’est pas malade.

  11. P(A) = 0,5 et PA(B) = 0,4. Alors P(A ∩ B) vaut :

    • A. 0,9
    • B. 0,8
    • C. 0,2
    • D. 0,1
    Réponse

    C. 0,2 — P(A ∩ B) = P(A) × PA(B) = 0,5 × 0,4 = 0,2.

  12. M : « être malade », T : « avoir un test positif ». La sensibilité du test est :

    • A. PM(T)
    • B. PT(M)
    • C. P(M ∩ T)
    • D. PM̄(T̄)
    Réponse

    A. PM(T) — La sensibilité est la proportion de malades détectés : PM(T). PM̄(T̄) est la spécificité.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. On choisit au hasard un nombre entier entre 1 et 30. La probabilité qu’il soit un multiple de 7 est :

    • A. 7/30
    • B. 2/15
    • C. 1/7
    • D. 4/7
    Réponse

    B. 2/15 — Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, soit 4 issues sur 30 : 4/30 = 2/15.

  2. Une urne contient 3 boules blanches, 5 noires et 4 grises. On en prend une au hasard. La probabilité qu’elle ne soit pas noire est :

    • A. 5/12
    • B. 5/7
    • C. 1/3
    • D. 7/12
    Réponse

    D. 7/12 — 7 boules ne sont pas noires sur 12 : 7/12, ou bien 1 − 5/12.

  3. P(A) = 0,45 et P(A ∩ B) = 0,18. Alors PA(B) vaut :

    • A. 0,4
    • B. 0,081
    • C. 0,63
    • D. 0,27
    Réponse

    A. 0,4 — PA(B) = 0,18 ÷ 0,45 = 0,4. Le nombre 0,081 est le produit, sans rapport ici.

  4. Un club de natation a 500 membres : 200 nagent en compétition, dont 50 ont moins de 12 ans. La probabilité qu’un nageur de compétition ait moins de 12 ans est :

    • A. 0,1
    • B. 0,4
    • C. 0,25
    • D. 0,5
    Réponse

    C. 0,25 — On se restreint aux 200 nageurs de compétition : 50 ÷ 200 = 0,25. Le nombre 0,1 = 50 ÷ 500 est la probabilité de l’intersection.

  5. PA(B) = 0,35. Alors PA(B̄) vaut :

    • A. 0,35
    • B. 0,65
    • C. 1,35
    • D. on ne peut pas savoir
    Réponse

    B. 0,65 — Sachant A, B et B̄ sont contraires : 1 − 0,35 = 0,65.

  6. Sur un arbre : P(A) = 0,2, PA(B) = 0,7 et PĀ(B) = 0,4. Alors P(Ā ∩ B) vaut :

    • A. 0,08
    • B. 0,4
    • C. 0,46
    • D. 0,32
    Réponse

    D. 0,32 — P(Ā) = 0,8, donc P(Ā ∩ B) = 0,8 × 0,4 = 0,32. Le nombre 0,46 est P(B) : 0,14 + 0,32.

  7. On tire successivement et sans remise deux cartes dans un paquet de 8 cartes qui contient 3 as. La probabilité de tirer deux as est :

    • A. 3/28
    • B. 9/64
    • C. 3/32
    • D. 1/4
    Réponse

    A. 3/28 — 3/8 × 2/7 = 6/56 = 3/28. Le nombre 9/64 correspondrait à un tirage avec remise.

  8. P(A ∩ B) = 0,12 et P(B) = 0,48. Alors PB(A) vaut :

    • A. 0,0576
    • B. 0,36
    • C. 0,25
    • D. 0,6
    Réponse

    C. 0,25 — PB(A) = 0,12 ÷ 0,48 = 0,25.

  9. On construit un tableau sur 1 000 individus avec P(A) = 0,4 et PA(B) = 0,6. L’effectif de A ∩ B est :

    • A. 400
    • B. 240
    • C. 600
    • D. 160
    Réponse

    B. 240 — Effectif de A : 1 000 × 0,4 = 400 ; effectif de A ∩ B : 400 × 0,6 = 240. Le nombre 160 est l’effectif de A ∩ B̄.

  10. Dans un tableau sur 1 000 individus, l’effectif de B vaut 250 et celui de A ∩ B vaut 75. Alors PB(A) vaut :

    • A. 0,075
    • B. 0,25
    • C. 0,75
    • D. 0,3
    Réponse

    D. 0,3 — On se restreint à la colonne B : 75 ÷ 250 = 0,3. Le nombre 0,075 est P(A ∩ B).

  11. On lance deux fois un dé équilibré à 4 faces numérotées de 1 à 4. La probabilité d’obtenir deux fois le même nombre est :

    • A. 1/4
    • B. 1/16
    • C. 1/2
    • D. 1/8
    Réponse

    A. 1/4 — 16 couples équiprobables, dont 4 de la forme (k ; k) : 4/16 = 1/4. Le nombre 1/16 est la probabilité d’un seul couple, par exemple (2 ; 2).

  12. Un test a une sensibilité de 0,9. On le fait passer à 200 malades. On s’attend à trouver environ :

    • A. 20 faux positifs
    • B. 180 faux négatifs
    • C. 180 vrais positifs
    • D. 20 vrais négatifs
    Réponse

    C. 180 vrais positifs — 200 × 0,9 = 180 malades positifs : ce sont des vrais positifs. Les 20 autres sont des faux négatifs.

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Dans un club, 70 % des joueurs de handball sont des garçons. Quelle affirmation est alors certaine ?

    • A. 30 % des joueurs de handball sont des filles
    • B. 70 % des garçons du club jouent au handball
    • C. 30 % des filles du club jouent au handball
    • D. 70 % des membres du club sont des garçons
    Réponse

    A. 30 % des joueurs de handball sont des filles — On connaît la probabilité « garçon sachant handball » : son contraire dans le même groupe donne 30 % de filles parmi les joueurs. Rien sur les autres membres.

  2. La phrase « 90 % des malades ont un test positif » donne :

    • A. PT(M) = 0,9
    • B. P(M ∩ T) = 0,9
    • C. PM(T) = 0,9
    • D. P(T) = 0,9
    Réponse

    C. PM(T) = 0,9 — « Parmi les malades » : la condition est M, en indice. PT(M) répondrait à une autre question.

  3. Une maladie est rare. Un test très sensible donne quelques faux positifs chez les personnes saines. Parmi les personnes positives :

    • A. presque toutes sont malades
    • B. les faux positifs peuvent être majoritaires
    • C. la part de malades égale la sensibilité
    • D. il ne peut y avoir aucun faux positif
    Réponse

    B. les faux positifs peuvent être majoritaires — Un petit pourcentage de faux positifs porte sur la très grande majorité des personnes, qui sont saines : ils peuvent dépasser les vrais positifs.

  4. Sur un arbre (premier niveau A, Ā), la branche qui va de A vers B porte 0,3. Ce nombre est :

    • A. P(B)
    • B. P(A ∩ B)
    • C. PB(A)
    • D. PA(B)
    Réponse

    D. PA(B) — Au second niveau, on lit des probabilités conditionnelles : la branche partant de A donne PA(B).

  5. Sur 10 000 personnes, 100 sont malades. Le test est positif pour 99 malades et pour 198 personnes saines. La probabilité qu’une personne positive soit malade vaut :

    • A. 1/3
    • B. 0,99
    • C. 0,01
    • D. 2/3
    Réponse

    A. 1/3 — Il y a 99 + 198 = 297 positifs, dont 99 malades : 99 ÷ 297 = 1/3. Le nombre 0,99 est la sensibilité.

  6. On lance deux dés équilibrés à six faces. Un élève affirme que les sommes 2, 3, …, 12 sont équiprobables. En réalité, la probabilité d’obtenir une somme égale à 2 vaut :

    • A. 1/11
    • B. 1/12
    • C. 1/6
    • D. 1/36
    Réponse

    D. 1/36 — Les 36 couples sont équiprobables ; seule (1 ; 1) donne 2 : 1/36. L’élève prend les 11 sommes pour des issues équiprobables.

  7. P(A) = 0,6 et P(A ∩ B) = 0,15. Alors PA(B̄) vaut :

    • A. 0,45
    • B. 0,75
    • C. 0,25
    • D. 0,85
    Réponse

    B. 0,75 — PA(B) = 0,15 ÷ 0,6 = 0,25, donc PA(B̄) = 0,75. Le nombre 0,45 est P(A ∩ B̄).

  8. On suppose P(A ∩ B) ≠ 0. On a PA(B) = PB(A) exactement lorsque :

    • A. P(A) = 2 × P(B)
    • B. P(A ∩ B) = 0,5
    • C. P(A) = P(B)
    • D. P(A) + P(B) = 1
    Réponse

    C. P(A) = P(B) — Même numérateur P(A ∩ B) ≠ 0 : les deux quotients sont égaux exactement quand les dénominateurs P(A) et P(B) le sont.

  9. Une urne contient 5 boules rouges et 7 bleues. On tire deux boules successivement, sans remise. R₁ : « la première est rouge », R₂ : « la seconde est rouge ». PR₁(R₂) vaut :

    • A. 5/12
    • B. 5/33
    • C. 5/11
    • D. 4/11
    Réponse

    D. 4/11 — Après une rouge, il reste 4 rouges sur 11 boules : 4/11. Le nombre 5/33 est P(R₁ ∩ R₂) = 5/12 × 4/11.

  10. L’événement contraire de « au moins un des deux tests est positif » est :

    • A. aucun des deux tests n’est positif
    • B. au plus un test est positif
    • C. les deux tests sont positifs
    • D. exactement un test est négatif
    Réponse

    A. aucun des deux tests n’est positif — Le contraire de « au moins un » est « aucun ».

  11. Un test a une spécificité de 0,95. Cela signifie que :

    • A. 95 % des personnes négatives sont saines
    • B. 95 % des malades ont un test positif
    • C. 95 % des personnes saines ont un test négatif
    • D. le test se trompe dans 5 % des cas
    Réponse

    C. 95 % des personnes saines ont un test négatif — La spécificité est PM̄(T̄) : la condition est « sain ». « Négatif donc sain » serait PT̄(M̄), une autre probabilité.

  12. P(A) = 0,004 et PA(B) = 0,9. Parmi ces effectifs totaux, le plus petit qui donne des effectifs entiers pour A et pour A ∩ B est :

    • A. 1 000
    • B. 10 000
    • C. 100
    • D. 250
    Réponse

    B. 10 000 — Avec 10 000 : A compte 40 individus et A ∩ B en compte 36. Avec 1 000 : 4 et 3,6, qui n’est pas entier.

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