Échantillonnage et loi des grands nombres

Un échantillon de taille $n$ est :

• A. l'ensemble de toute la population étudiée
• B. $n$ résultats d'une expérience répétée
• C. la probabilité d'un événement donné
• D. un intervalle centré sur la probabilité

La fluctuation d'échantillonnage désigne :

• A. une erreur de calcul faite par l'élève
• B. la valeur exacte de la probabilité p
• C. le nombre total d'issues possibles
• D. la variation de f entre échantillons

D'après la loi des grands nombres, quand $n$ devient grand, la fréquence observée :

• A. se rapproche de p
• B. devient égale à p
• C. s'éloigne peu à peu de p
• D. finit par valoir 0

Pour $n=49$, le nombre ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ vaut :

• A. 1/49 ≈ 0,020
• B. √49 = 7
• C. 1/7 ≈ 0,143
• D. 49/100 = 0,49

En Python, après from random import random, l'appel $random()$ renvoie :

• A. un entier de 1 à 6
• B. toujours 0 ou 1
• C. un réel de [0 ; 1[
• D. un réel de [0 ; 100]

Sur 50 lancers d'une pièce, on obtient 21 fois pile. La fréquence de pile est :

• A. 0,42
• B. 21
• C. 0,021
• D. 0,5

Pour environ 95 % des échantillons de taille $n$, l'écart $|f-p|$ est :

• A. strictement supérieur à ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$
• B. égal à ${\displaystyle \frac{1}{n}}$
• C. inférieur à ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}$
• D. au plus égal à ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$

Quand on augmente la taille $n$ des échantillons, la fluctuation d'échantillonnage :

• A. augmente
• B. diminue
• C. reste identique
• D. disparaît totalement

Pour $p=0,65$ et $n=1024$, l'intervalle $[p-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};p+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}]$ est :

• A. [0,587 5 ; 0,712 5]
• B. [0,649 ; 0,651]
• C. [0,618 75 ; 0,681 25]
• D. [0,634 375 ; 0,665 625]

Sur 360 naissances dans une maternité, on compte 193 garçons. La fréquence des garçons, arrondie au centième, est :

• A. 0,54
• B. 0,193
• C. 0,46
• D. 1,93

Le plus petit entier $n$ tel que ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\le 0,035$ est :

• A. 29
• B. 816
• C. 1 000
• D. 817

Avec $p=0,5$ et $n=289$, un échantillon de fréquence 0,56 est-il compatible avec $p$ ?

• A. Oui, car 0,56 ≥ 0,441 2
• B. Non, car 0,56 > 0,558 8
• C. Oui, car 0,56 − 0,5 < 0,1
• D. Non, car 0,56 ≠ 0,5

Le programme c = 0, puis 200 fois if random() < 0.3: c = c + 1, puis print(c / 200) affiche :

• A. une fréquence proche de 0,3
• B. exactement 0,3 à chaque fois
• C. le nombre de succès, 60
• D. un entier compris entre 0 et 200

Pour que ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$ soit divisé par 5, il faut multiplier $n$ par :

• A. 5
• B. 10
• C. 25
• D. 2,5

Une urne contient 9 boules rouges sur 25. Sur 75 tirages avec remise, on obtient 33 rouges. L'écart $|f-p|$ vaut :

• A. 0,44
• B. 0,08
• C. 0,36
• D. 0,8

On simule 800 échantillons de taille $n$. Environ combien auront une fréquence dans $[p-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};p+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}]$ ?

• A. exactement 800
• B. environ 400
• C. environ 40
• D. environ 760

Pour $p=0,05$ et $n=36$, que dire de l'intervalle $[p-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};p+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}]$ ?

• A. Il ne contient aucune fréquence
• B. Il est égal à [0 ; 1] tout entier
• C. Il ne contient pas la valeur 0
• D. Sa borne inférieure est négative

Une pièce équilibrée vient de donner 8 piles de suite. Au lancer suivant, la probabilité d'obtenir pile est :

• A. moins de 0,5
• B. 0,5
• C. plus de 0,5
• D. 1/9

La loi des grands nombres permet d'affirmer que :

• A. f est égal à p dès que n ≥ 1 000
• B. l'écart entre f et p est toujours ≤ 0,05
• C. f se stabilise près de p si n grandit
• D. le nombre de succès est égal à n × p

Un échantillon a une fréquence hors de $[p-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};p+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}]$. On peut en conclure :

• A. qu'on peut douter de la valeur de p
• B. que p est faux, de façon certaine
• C. que l'échantillon a été mal compté
• D. que ce cas est strictement impossible

On suppose $p=0,5$. Échantillon 1 : $n=121$, $f=0,57$. Échantillon 2 : $n=3025$, $f=0,53$. Alors :

• A. les deux sont compatibles avec p
• B. seul le premier est compatible
• C. seul le second est compatible
• D. aucun n'est compatible

Tripler la taille de l'échantillon divise la largeur de l'intervalle par :

• A. 3
• B. 9
• C. 1,5
• D. √3

Un élève simule 20 échantillons ; 17 seulement ont une fréquence dans l'intervalle (85 %). Que penser ?

• A. C'est possible : 20 échantillons, c'est peu
• B. La propriété des 95 % est donc fausse
• C. Son programme contient forcément une grave erreur
• D. Il aurait dû obtenir exactement 19 échantillons

Sur 2 025 personnes interrogées, 891 sont favorables à un projet ($f=0,44$). Une fourchette vraisemblable pour la proportion réelle $p$ est :

• A. [0,43 ; 0,45]
• B. [0,395 6 ; 0,484 4]
• C. [0,418 ; 0,462]
• D. [0,44 ; 0,462]