Probabilités conditionnelles et arbres

1. a)$P(\bar{A})=1-0,37=0,63$. (1)
2. b)$13$ feutres ne sont pas noirs sur $20$ : ${\displaystyle \frac{13}{20}}=0,65$. (1)
3. c)On se restreint aux $32$ femmes : $P_F(G)={\displaystyle \frac{8}{32}}=0,25$. (1)
4. d)$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0,6\times 0,5=0,3$. (1)

Repère — Contraire : 1 − P. « Parmi les … » : on divise par l’effectif du groupe. Chemin : on multiplie.

1. a)Choix au hasard : équiprobabilité. $P(E)={\displaystyle \frac{160}{400}}=0,4$. (1)
2. b)$88$ repas sont servis en terrasse avec le menu du jour : $P(E\cap C)={\displaystyle \frac{88}{400}}=0,22$. (1)
3. c)On se restreint aux $160$ repas en terrasse : $P_E(C)={\displaystyle \frac{88}{160}}=0,55$. $55\%$ des repas servis en terrasse sont des menus du jour. (1)
4. d)On se restreint aux $148$ menus du jour : $P_C(E)={\displaystyle \frac{88}{148}}={\displaystyle \frac{22}{37}}\approx 0,595$. Même numérateur $88$, mais on divise par l’effectif de la condition : $148$ menus du jour au lieu de $160$ repas en terrasse. (1)

Repère — La condition donne le dénominateur : ligne pour P sachant E, colonne pour P sachant C.

1. a)Premier niveau : $P(S)=0,6$ et $P(\bar{S})=0,4$. Depuis $S$ : $P_S(G)=0,75$ et $P_S(\bar{G})=0,25$. Depuis $\bar{S}$ : $P_{\bar{S}}(G)=0,5$ et $P_{\bar{S}}(\bar{G})=0,5$. Chaque nœud a des branches de somme $1$. (1)
2. b)Règle du chemin : $P(S\cap G)=P(S)\times P_S(G)=0,6\times 0,75=0,45$. (1)
3. c)Sur $1000$ points : $600$ premières balles réussies, dont $600\times 0,75=450$ points gagnés ; $400$ premières balles manquées, dont $400\times 0,5=200$ points gagnés. Points gagnés : $450+200=650$, donc $P(G)={\displaystyle \frac{650}{1000}}=0,65$. (1)
4. d)$P_G(S)={\displaystyle \frac{450}{650}}={\displaystyle \frac{9}{13}}\approx 0,692$. Parmi les points gagnés, environ $69\%$ ont commencé par une première balle réussie. (1)

Repère — L’arbre donne P sachant S ; pour P sachant G, on passe au tableau sur 1 000 points.

1. a)$P(I)=0,005$ ; « parmi les infectés, $98\%$ » : $P_I(S)=0,98$ ; « parmi les sains, $2\%$ » : $P_{\bar{I}}(S)=0,02$. (1)
2. b)$100000\times 0,005=500$ fichiers infectés, dont $500\times 0,98=490$ signalés et $10$ non signalés. $99500$ fichiers sains, dont $99500\times 0,02=1990$ signalés et $97510$ non signalés. Totaux : $2480$ signalés et $97520$ non signalés. (1)
3. c)$P(S)={\displaystyle \frac{490+1990}{100000}}={\displaystyle \frac{2480}{100000}}=0,0248$. (1)
4. d)$P_S(I)={\displaystyle \frac{490}{2480}}={\displaystyle \frac{49}{248}}\approx 0,198$. (1)
5. e)Le nombre $0,98$ est $P_I(S)$ : la proportion de fichiers infectés que le logiciel signale (sa sensibilité). Le vendeur l’interprète comme $P_S(I)$, la proportion de fichiers infectés parmi les fichiers signalés, qui vaut environ $0,198$. Les fichiers infectés étant rares, les $2\%$ de fausses alertes portent sur presque tous les fichiers : environ $4$ alertes sur $5$ sont fausses ($1990$ sur $2480$). (1)

Repère — Sensibilité ≠ probabilité d’être infecté sachant signalé : un événement rare fait exploser la part des faux positifs.

1. a)Premier tirage : $P(R_1)={\displaystyle \frac{6}{9}}$, $P(\overline{R_1})={\displaystyle \frac{3}{9}}$. Après une rouge, il reste $5$ rouges et $3$ jaunes : $P_{R_1}(R_2)={\displaystyle \frac{5}{8}}$, $P_{R_1}(\overline{R_2})={\displaystyle \frac{3}{8}}$. Après une jaune, il reste $6$ rouges et $2$ jaunes : $P_{\overline{R_1}}(R_2)={\displaystyle \frac{6}{8}}$, $P_{\overline{R_1}}(\overline{R_2})={\displaystyle \frac{2}{8}}$. $P(R_1\cap R_2)={\displaystyle \frac{6}{9}}\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{30}{72}}={\displaystyle \frac{5}{12}}$. (1)
2. b)Deux jaunes : ${\displaystyle \frac{3}{9}}\times {\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{6}{72}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$. Les issues « deux rouges » et « deux jaunes » sont distinctes : ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{6}{12}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1)
3. c)Le contraire de « au moins une bille jaune » est « aucune bille jaune », c’est-à-dire deux billes rouges, $R_1\cap R_2$. Donc la probabilité cherchée vaut $1-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$. (1)

Repère — Sans remise, le second niveau de l’arbre dépend du premier tirage ; « au moins un » se traite par le contraire.