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Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Probabilités et échantillonnage

Expériences aléatoires, calcul de probabilités et fluctuation d'échantillonnage (programme de 2nde générale)

À propos de cette page
Ce devoir surveillé sur « Probabilités et échantillonnage » en seconde permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de seconde et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Expérience aléatoire, univers et issues, Événements et opérations sur les événements, Loi de probabilité et propriétés, Calcul de probabilités — équiprobabilité et cas général. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde en mathématiques.
Devoir surveillé · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Devoir surveillé · Mathématiques
Probabilités et échantillonnage
Classe de 2ⁿᵈᵉ
Durée : 60 min
Barème : / 20 points
Nom : ……………………………………………
Prénom : ……………………………………………

Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Univers et probabilités de base

/ 4 pts
  1. On tire au hasard une lettre dans le mot STATISTIQUE. Écrire l'univers Ω et calculer la probabilité d'obtenir la lettre T.
  2. Calculer la probabilité de NE PAS obtenir la lettre S.
  3. Calculer la probabilité d'obtenir une voyelle.

Exercice 2 — Probabilités avec tableau

/ 5 pts

On lance simultanément deux dés équilibrés à 4 faces numérotés de 1 à 4. On note le couple (dé 1, dé 2).

  1. Combien y a-t-il d'issues au total ?
  2. Calculer la probabilité que la somme des deux dés soit égale à 5.
  3. Calculer la probabilité que le produit des deux dés soit pair.
  4. Calculer la probabilité que les deux dés donnent le même résultat.

Exercice 3 — Arbre de probabilités

/ 5 pts

Une boîte contient 6 bonbons : 4 à la fraise (F) et 2 au citron (C). On tire successivement 2 bonbons sans remise.

  1. Construire un arbre de probabilités et indiquer les probabilités sur chaque branche.
  2. Calculer P(les deux bonbons sont à la fraise).
  3. Calculer P(les deux bonbons sont au citron).
  4. Calculer P(obtenir un bonbon à la fraise et un au citron, dans n'importe quel ordre).

Exercice 4 — Intervalle de fluctuation

/ 4 pts

Une pièce de monnaie est supposée équilibrée : P(pile) = 0,5. On lance cette pièce n = 400 fois.

  1. Calculer l'intervalle de fluctuation à 95 %.
  2. On observe 220 piles. La fréquence observée est-elle dans l'intervalle ? Conclure.
  3. On observe 180 piles. Peut-on remettre en question l'équilibre de la pièce ? Justifier.

Exercice 5 — Problème de synthèse

/ 2 pts

Une enquête nationale indique que 25 % des lycéens pratiquent un sport collectif (p = 0,25). Dans un lycée, on interroge 64 élèves et on trouve 22 sportifs.

  1. Calculer l'intervalle de fluctuation à 95 % pour n = 64.
  2. Calculer la fréquence observée dans ce lycée.
  3. Peut-on dire que ce lycée est représentatif de la moyenne nationale ? Justifier en une phrase.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie

Exercice 1 — Univers et probabilités de base
Corrigé :
1) Le mot STATISTIQUE contient 11 lettres : S-T-A-T-I-S-T-I-Q-U-E.
Ω = {S, T, A, T, I, S, T, I, Q, U, E} (11 issues, comptées avec répétition).
La lettre T apparaît 3 fois → P(T) = 3/11.
2) La lettre S apparaît 2 fois → P(S) = 2/11. P(non S) = 1 − 2/11 = 9/11.
3) Voyelles dans STATISTIQUE : A, I, I, U, E → 5 voyelles.
P(voyelle) = 5/11.

Exercice 2 — Probabilités avec tableau
Corrigé :
a) 4 × 4 = 16 issues équiprobables.
b) Couples donnant somme 5 : (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) → 4 issues. P(somme = 5) = 4/16 = 1/4.
c) Produit pair ssi au moins un dé est pair. P(deux dés impairs) = P(impair) × P(impair) = 2/4 × 2/4 = 4/16 = 1/4. Donc P(produit pair) = 1 − 1/4 = 3/4.
d) Doubles : (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) → 4 issues. P(double) = 4/16 = 1/4.

Exercice 3 — Arbre de probabilités
Corrigé :
a) Arbre (résumé) :
— F (4/6) → F (3/5) ou C (2/5)
— C (2/6) → F (4/5) ou C (1/5)
b) P(FF) = 4/6 × 3/5 = 12/30 = 2/5.
c) P(CC) = 2/6 × 1/5 = 2/30 = 1/15.
d) P(FC ou CF) = P(FF) + P(CC) + P(FC) + P(CF) − 1 : plus simple, P(FC) = 4/6 × 2/5 = 8/30 et P(CF) = 2/6 × 4/5 = 8/30.
P(FC ou CF) = 8/30 + 8/30 = 16/30 = 8/15.
(Vérification : 2/5 + 1/15 + 8/15 = 6/15 + 1/15 + 8/15 = 15/15 = 1 ✓)

Exercice 4 — Intervalle de fluctuation
Corrigé :
a) p = 0,5 ; n = 400. 1/√400 = 1/20 = 0,05.
I = [0,5 − 0,05 ; 0,5 + 0,05] = [0,45 ; 0,55].
b) f = 220/400 = 0,55. 0,55 ∈ [0,45 ; 0,55] (borne incluse) → oui, compatible avec p = 0,5.
c) f = 180/400 = 0,45. 0,45 ∈ [0,45 ; 0,55] → la fréquence se trouve à la borne inférieure de l'intervalle. On ne peut pas remettre en question l'équilibre de la pièce sur ce seul critère ; la fréquence est juste à la limite de l'intervalle, ce qui reste statistiquement possible.

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) 1/√64 = 1/8 = 0,125.
I = [0,25 − 0,125 ; 0,25 + 0,125] = [0,125 ; 0,375].
b) f = 22/64 = 0,34375 ≈ 0,344.
c) 0,344 ∈ [0,125 ; 0,375] → oui, la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation, donc ce lycée est compatible avec la moyenne nationale de 25 %.

Ce contrôle de mathématiques 2ⁿᵈᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Probabilités et échantillonnage » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.

  • Exercice 1 — Univers et probabilités de base/ 4 pts
  • Exercice 2 — Probabilités avec tableau/ 5 pts
  • Exercice 3 — Arbre de probabilités/ 5 pts
  • Exercice 4 — Intervalle de fluctuation/ 4 pts
  • Exercice 5 — Problème de synthèse/ 2 pts

Notions évaluées

Expérience aléatoire, univers et issues, Événements et opérations sur les événements, Loi de probabilité et propriétés, Calcul de probabilités — équiprobabilité et cas général, Probabilités conditionnelles (introduction), Fréquences et loi des grands nombres.

Pour préparer ce contrôle

  1. Relire le cours.
  2. Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
  3. Se tester avec le QCM (37 questions).
  4. Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

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Questions fréquentes sur ce sujet
Combien de temps dure ce contrôle sur « Probabilités et échantillonnage » ?
60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?
Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de seconde ?
Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Probabilités et échantillonnage » du programme officiel de mathématiques en seconde, soit Expérience aléatoire, univers et issues, Événements et opérations sur les événements, Loi de probabilité et propriétés, Calcul de probabilités — équiprobabilité et cas général.
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