Échantillonnage et loi des grands nombres

Échantillon, fluctuation d'échantillonnage, fréquence et probabilité, loi des grands nombres (approche expérimentale), simulation en Python, proportion d'échantillons dont la fréquence est proche de p

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Échantillonnage et loi des grands nombres » en seconde permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Fréquence et probabilité : la loi des grands nombres, Proportion d'échantillons dont la fréquence est proche de p, Simuler des échantillons en Python. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en seconde.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Le dé du club de jeux est-il truqué ?

Moyen

Dans un club de jeux, on soupçonne qu'un dé à six faces favorise le 6. On le lance 900 fois : le 6 sort 187 fois.

1. Quelle est la probabilité $p$ d'obtenir 6 avec un dé équilibré ?
2. a) Montrer que, pour $n = 900$ , l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ est égal à $[\frac{2}{15}; \frac{1}{5}]$ .
2. b) Calculer la fréquence d'apparition du 6 (arrondie au dix-millième) et conclure.
3. Écrire une fonction Python $s i x (n)$ qui simule $n$ lancers d'un dé équilibré à l'aide de $r a n d i n t$ (module $r a n d o m$ ) et renvoie la fréquence du 6.
4. On exécute $s i x (900)$ un très grand nombre de fois. Quelle proportion approximative des résultats appartient à $[\frac{2}{15}; \frac{1}{5}]$ ? Quel lien avec le risque de la question 2. b) ?
5. Le club change de dé. Sur 900 lancers du nouveau dé, le 6 sort 163 fois. Conclure. Peut-on affirmer que ce dé est équilibré ?

1. Les six faces d'un dé équilibré sont équiprobables : $p = \frac{1}{6}$ .

2. a) $\sqrt{900} = 30$ donc $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30}$ . On réduit au même dénominateur : $\frac{1}{6} = \frac{5}{30}$ .
$\frac{5}{30} - \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}$ et $\frac{5}{30} + \frac{1}{30} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ .
L'intervalle est bien $[\frac{2}{15}; \frac{1}{5}]$ , soit environ $[0, 1333; 0, 2]$ .

2. b) $f = \frac{187}{900} \approx 0, 2078$ . Comme $0, 2078 > 0, 2$ , la fréquence est hors de l'intervalle. On met en doute l'équilibre du dé, avec un risque d'erreur d'environ 5 % : le 6 semble sortir trop souvent.

from random import randint

def six(n):
    nb = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            nb = nb + 1
    return nb / n

$r a n d i n t (1, 6)$ renvoie un entier au hasard entre 1 et 6 ; $n b$ compte les 6 obtenus et la fonction renvoie leur fréquence.

4. D'après la propriété du cours, environ 95 % des résultats sont dans l'intervalle. Autrement dit, un dé parfaitement équilibré donne une fréquence hors de l'intervalle dans environ 5 % des cas : c'est exactement le risque d'accuser à tort un dé équilibré dans la question 2. b).

5. $f = \frac{163}{900} \approx 0, 1811$ et $0, 1333 \leq 0, 1811 \leq 0, 2$ : la série est compatible avec un dé équilibré. Mais on ne peut pas l'affirmer : un dé légèrement déséquilibré pourrait aussi donner cette fréquence. On a seulement « pas de raison de douter ».

Problème 2 — Sondage sur une piste cyclable

Moyen

Une association affirme que 72 % des habitants d'une ville sont favorables à la création d'une piste cyclable. Un journal local interroge au hasard 1 225 habitants ; 830 se déclarent favorables. On assimile ce choix à un tirage avec remise.

1. Préciser la population, l'échantillon et sa taille.
2. Déterminer l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ associé à l'affirmation (bornes au millième).
3. Calculer la fréquence observée et dire si le sondage met en doute l'affirmation.
4. Quel est le risque d'erreur de cette décision ? Expliquer ce qu'il signifie.
5. Proposer, à partir du sondage, un intervalle contenant vraisemblablement la proportion réelle de favorables.
6. Pour son prochain sondage, le journal veut que $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 02$ . Combien de personnes doit-il interroger au minimum ?

1. La population est l'ensemble des habitants de la ville ; l'échantillon est formé des habitants interrogés ; sa taille est $n = 1 225$ .

2. $\sqrt{1 225} = 35$ donc $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{35} \approx 0, 0286$ . Avec $p = 0, 72$ : $0, 72 - \frac{1}{35} \approx 0, 691$ et $0, 72 + \frac{1}{35} \approx 0, 749$ . L'intervalle est $[0, 691; 0, 749]$ .

3. $f = \frac{830}{1 225} \approx 0, 678$ . Comme $0, 678 < 0, 691$ , la fréquence est hors de l'intervalle. Le sondage met en doute l'affirmation de l'association.

4. Le risque d'erreur est d'environ 5 %. Si la proportion réelle était bien 72 %, environ 5 % des sondages de 1 225 personnes donneraient quand même une fréquence hors de l'intervalle : on conclurait alors à tort que l'association se trompe.

5. On utilise la même inégalité $| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ , lue à partir de $f$ : $0, 6776 - \frac{1}{35} \approx 0, 649$ et $0, 6776 + \frac{1}{35} \approx 0, 706$ . La proportion réelle est vraisemblablement dans $[0, 649; 0, 706]$ , qui ne contient pas 0,72 : c'est cohérent avec la question 3.

6. $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 02 ⟺ \sqrt{n} \geq 50 ⟺ n \geq 2 500$ . Il faut interroger au moins 2 500 personnes.

Problème 3 — Étudier la propriété des 95 % par simulation

Difficile

On considère le programme suivant.

from random import random
from math import sqrt

def proportion(N, n, p):
    c = 0
    for j in range(N):
        s = 0
        for i in range(n):
            if random() < p:
                s = s + 1
        if abs(s / n - p) <= 1 / sqrt(n):
            c = c + 1
    return c / N

On l'exécute avec

N = 2 000

p = 0, 4

pour plusieurs tailles

n

$n$	25	81	169	361
Résultat	0,968	0,957 5	0,961	0,953 5

1. Expliquer le rôle des deux boucles et de la variable $c$ .
2. a) Pour $n = 81$ , déterminer l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ (bornes au dix-millième).
2. b) Montrer qu'un échantillon de taille 81 est compté si et seulement si son nombre de succès $s$ vérifie $24 \leq s \leq 41$ .
3. Que constate-t-on dans le tableau ? Quelle propriété du cours est illustrée ?
4. Pour $n = 361$ , combien des 2 000 échantillons simulés ont une fréquence hors de l'intervalle ?
5. Un élève remplace $1 / s q r t (n)$ par $1 / n$ . Pour $n = 361$ , quelles valeurs de $s$ sont alors comptées ? Expliquer pourquoi il obtient un résultat très faible.

1. La boucle intérieure (sur $i$ ) simule un échantillon de taille $n$ : $s$ compte ses succès, chacun obtenu avec la probabilité $p$ . La boucle extérieure (sur $j$ ) répète cela pour $N$ échantillons. La variable $c$ compte les échantillons dont la fréquence $s / n$ est à moins de $\frac{1}{\sqrt{n}}$ de $p$ . La fonction renvoie la proportion de ces échantillons.

2. a) $\sqrt{81} = 9$ , $\frac{1}{9} \approx 0, 1111$ . L'intervalle est $[0, 4 - \frac{1}{9}; 0, 4 + \frac{1}{9}] \approx$ $[0, 2889; 0, 5111]$ .

2. b) L'échantillon est compté si et seulement si $0, 4 - \frac{1}{9} \leq \frac{s}{81} \leq 0, 4 + \frac{1}{9}$ . En multipliant par 81 : $32, 4 - 9 \leq s \leq 32, 4 + 9$ , soit $23, 4 \leq s \leq 41, 4$ . Comme $s$ est entier, cela équivaut à $24 \leq s \leq 41$ .

3. Pour toutes les tailles, la proportion est proche de 0,95, un peu au-dessus. C'est la propriété : pour environ 95 % des échantillons de taille $n$ , $| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Les valeurs varient légèrement car la proportion calculée sur 2 000 échantillons fluctue elle aussi.

4. Proportion hors de l'intervalle : $1 - 0, 9535 = 0, 0465$ . Nombre d'échantillons : $2 000 \times 0, 0465 =$ 93 échantillons.

5. La condition devient $| \frac{s}{361} - 0, 4 | \leq \frac{1}{361}$ , soit, en multipliant par 361 : $| s - 144, 4 | \leq 1$ , c'est-à-dire $143, 4 \leq s \leq 145, 4$ . Seules les valeurs $s = 144$ et $s = 145$ sont comptées. L'écart toléré $\frac{1}{361} \approx 0, 0028$ est beaucoup plus petit que la fluctuation naturelle d'un échantillon de taille 361 (de l'ordre de $\frac{1}{19} \approx 0, 053$ ) : très peu d'échantillons tombent aussi près de $p$ , d'où une proportion très faible (moins de 10 %). L'erreur vient de la confusion entre $\frac{1}{n}$ et $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .

Problème 4 — Contrôle qualité d'une production d'ampoules

Difficile

Une usine annonce que 8 % de ses ampoules sont défectueuses. Chaque semaine, un contrôleur prélève au hasard un lot de 529 ampoules (tirage assimilé à un tirage avec remise) et compte le nombre $k$ d'ampoules défectueuses.

Partie A — 1. Déterminer l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ (bornes au dix-millième).
2. Montrer qu'un lot est compatible avec l'annonce si et seulement si $20 \leq k \leq 65$ .
3. Cette semaine, $k = 61$ . Conclure.
Partie B — 4. Une autre semaine, $k = 12$ . Le directeur se réjouit, mais le contrôleur considère ce lot comme suspect. Justifier son point de vue et proposer deux explications possibles.
Partie C — 5. Écrire une fonction Python $c o n t r o l e (k)$ qui renvoie $" c o n f o r m e "$ si le lot est compatible avec l'annonce et $" a l e r t e "$ sinon.
6. Sur une année de 52 semaines, la production respecte réellement l'annonce. Combien d'alertes peut-on s'attendre à observer environ ? Commenter.

1. $\sqrt{529} = 23$ donc $\frac{1}{\sqrt{529}} = \frac{1}{23} \approx 0, 0435$ . Avec $p = 0, 08$ : $0, 08 - \frac{1}{23} \approx 0, 0365$ et $0, 08 + \frac{1}{23} \approx 0, 1235$ . L'intervalle est $[0, 0365; 0, 1235]$ .

2. Le lot est compatible si et seulement si $0, 08 - \frac{1}{23} \leq \frac{k}{529} \leq 0, 08 + \frac{1}{23}$ . En multipliant par 529 (positif) : $529 \times 0, 08 - \frac{529}{23} \leq k \leq 529 \times 0, 08 + \frac{529}{23}$ , soit $42, 32 - 23 \leq k \leq 42, 32 + 23$ , c'est-à-dire $19, 32 \leq k \leq 65, 32$ . Comme $k$ est entier, c'est équivalent à $20 \leq k \leq 65$ .

3. $20 \leq 61 \leq 65$ (fréquence $\frac{61}{529} \approx 0, 1153$ ) : le lot est compatible avec l'annonce, même s'il est proche de la borne supérieure.

4. $12 < 20$ : la fréquence $\frac{12}{529} \approx 0, 0227$ est hors de l'intervalle, du côté bas. L'hypothèse « $p = 0, 08$ » est donc mise en doute, avec un risque d'environ 5 %, exactement comme pour une fréquence trop grande. Deux explications : soit la production s'est réellement améliorée (la proportion de défauts a baissé, et l'annonce n'est plus à jour) ; soit le contrôle est mal fait (des défauts ne sont pas détectés). Dans les deux cas, il faut enquêter.

def controle(k):
    if 20 <= k <= 65:
        return "conforme"
    else:
        return "alerte"

6. Si la production respecte l'annonce, chaque lot a une fréquence hors de l'intervalle avec une probabilité d'environ 5 %. Sur 52 semaines : $52 \times 0, 05 = 2, 6$ . On peut s'attendre à 2 ou 3 fausses alertes dans l'année. Une alerte isolée ne prouve donc pas un problème ; des alertes répétées, en revanche, doivent alerter réellement.

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