Probabilités conditionnelles et arbres

Une urne contient $25$ boules indiscernables au toucher, numérotées de $1$ à $25$. On tire une boule au hasard. $A$ : « le numéro est un multiple de $4$ », $B$ : « le numéro est un nombre premier ». Donne un nombre décimal ou une fraction irréductible (exemple : 3/8).

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Omega )=$
   L’univers est $\Omega =\{1;2;\dots ;25\}$ : $25$ issues, équiprobables car le tirage se fait au hasard parmi des boules indiscernables.
2. $P(A)=$
   $A=\{4;8;12;16;20;24\}$, $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A)=6$, donc $P(A)={\displaystyle \frac{6}{25}}=0,24$.
3. $P(\bar{B})=$
   $B=\{2;3;5;7;11;13;17;19;23\}$, $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(B)=9$, donc $P(B)={\displaystyle \frac{9}{25}}=0,36$ et $P(\bar{B})=1-0,36=0,64$.
4. Justifier que $A$ et $B$ sont incompatibles, puis donner $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=$
   Rédaction attendue. Un multiple de $4$ est divisible par $2$ et supérieur ou égal à $4$ : il a au moins trois diviseurs ($1$, $2$ et lui-même), il n’est donc pas premier. Aucune issue n’est à la fois dans $A$ et dans $B$ : $A\cap B=\varnothing$, les événements sont incompatibles. Aucune issue n’est comptée deux fois : $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(A\cup B)=6+9=15$.

Un fabricant de céréales glisse dans chaque boîte une figurine : un lion avec la probabilité $0,38$, un tigre avec la probabilité $0,27$, un ours avec la probabilité $0,2$, sinon un panda. On achète une boîte au hasard.

1. Probabilité d’obtenir un panda :
   La somme des probabilités des issues vaut $1$ : $1-(0,38+0,27+0,2)=1-0,85=0,15$.
2. Probabilité de ne pas obtenir de lion :
   « Pas de lion » est le contraire de « lion » : $1-0,38=0,62$.
3. Probabilité d’obtenir un tigre ou un panda :
   L’événement est formé de deux issues : $0,27+0,15=0,42$.

Pour ouvrir un cadenas, on tape au hasard un code de deux chiffres, chacun choisi parmi $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ (le même chiffre peut revenir). Une issue est un couple, par exemple $(2;5)$. $A$ : « les deux chiffres sont égaux », $B$ : « la somme des deux chiffres vaut $6$ ». Donne un nombre décimal ou une fraction irréductible (exemple : 3/8).

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\Omega )=$
   $5$ choix pour le premier chiffre et $5$ pour le second : $5\times 5=25$ couples, équiprobables puisque le code est tapé au hasard.
2. $P(A\cap B)=$
   $A=\{(1;1),(2;2),(3;3),(4;4),(5;5)\}$ et $B=\{(1;5),(2;4),(3;3),(4;2),(5;1)\}$. Une seule issue commune : $A\cap B=\{(3;3)\}$, donc $P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{25}}=0,04$.
3. $P(A\cup B)=$
   En comptant $(3;3)$ une seule fois : $5+5-1=9$ issues, donc $P(A\cup B)={\displaystyle \frac{9}{25}}=0,36$.
4. Justifier, à l’aide de l’événement contraire, la probabilité que le code contienne au moins un chiffre pair :
   Rédaction attendue. Le contraire de « au moins un chiffre pair » est « aucun chiffre pair » : les deux chiffres sont pris parmi $1$, $3$, $5$, ce qui donne $3\times 3=9$ couples. Donc la probabilité cherchée vaut $1-{\displaystyle \frac{9}{25}}={\displaystyle \frac{16}{25}}=0,64$.

On lance deux pièces de monnaie équilibrées et on compte le nombre de « pile ». Un élève affirme : « On obtient $0$, $1$ ou $2$ pile : chaque cas a la probabilité ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. » Donne un nombre décimal ou une fraction irréductible (exemple : 3/8).

1. En distinguant les deux pièces, nombre d’issues équiprobables :
   Les issues sont les couples (pièce 1 ; pièce 2) : PP, PF, FP, FF. Les pièces étant équilibrées, ces $4$ issues sont équiprobables.
2. Probabilité d’obtenir exactement un pile :
   « Exactement un pile » est formé de deux issues, PF et FP : ${\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$.
3. Justifier que le modèle de l’élève est faux. Probabilité d’obtenir deux pile :
   Rédaction attendue. Les trois résultats « $0$, $1$, $2$ pile » ne sont pas des issues équiprobables : « $2$ pile » ne correspond qu’à l’issue PP, alors que « $1$ pile » en regroupe deux. La probabilité de deux pile vaut ${\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$, et non ${\displaystyle \frac{1}{3}}$. Choisir une loi est une hypothèse : il faut l’appliquer aux issues symétriques (les couples), pas aux résultats regroupés.

Un atelier a réparé $300$ vélos ce trimestre : des vélos de route et des VTT, réparés en moins de $48$ heures ou non. On choisit un vélo réparé au hasard.

1. $P(\bar{D})=$
   Il y a $120$ VTT sur $300$ vélos : $P(\bar{D})={\displaystyle \frac{120}{300}}=0,4$.
2. $P(\bar{D}\cap A)=$
   $66$ vélos sont à la fois des VTT et réparés en moins de $48$ h. On divise par le total général : ${\displaystyle \frac{66}{300}}=0,22$.
3. $P_{\bar{D}}(A)=$
   On se restreint aux $120$ VTT : $P_{\bar{D}}(A)={\displaystyle \frac{66}{120}}=0,55$. $55\%$ des VTT ont été réparés en moins de $48$ h.
4. $P_A(\bar{D})\approx$
   On se restreint aux $201$ vélos réparés en moins de $48$ h : $P_A(\bar{D})={\displaystyle \frac{66}{201}}={\displaystyle \frac{22}{67}}\approx 0,328$. Même numérateur qu’à la question précédente, autre dénominateur.

$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A)=0,8$, $P(B)=0,5$ et $P(A\cap B)=0,36$. Donne des nombres décimaux.

1. $P_A(B)=$
   $P(A)\ne 0$ : $P_A(B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}}={\displaystyle \frac{0,36}{0,8}}=0,45$.
2. $P_B(A)=$
   $P_B(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{0,36}{0,5}}=0,72$.
3. $P_A(\bar{B})=$
   Sachant $A$, $B$ et $\bar{B}$ sont contraires, donc $P_A(\bar{B})=1-P_A(B)$. On le retrouve par le quotient : $P(A\cap \bar{B})=0,8-0,36=0,44$ et $P_A(\bar{B})={\displaystyle \frac{0,44}{0,8}}=0,55$.

Un musée a reçu $500$ visiteurs un dimanche. $60\%$ ont acheté leur billet en ligne ($O$), les autres sur place. $30\%$ des visiteurs qui ont acheté sur place ont pris une visite guidée ($G$). Au total, $95$ visiteurs ont pris une visite guidée. On choisit un visiteur au hasard.

1. Nombre de visiteurs qui ont acheté en ligne et pris une visite guidée :
   En ligne : $500\times 0,6=300$ ; sur place : $200$, dont $200\times 0,3=60$ visites guidées. Donc $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(O\cap G)=95-60=35$.
2. $P_O(G)\approx$ (arrondi au millième)
   On se restreint aux $300$ acheteurs en ligne : $P_O(G)={\displaystyle \frac{35}{300}}={\displaystyle \frac{7}{60}}\approx 0,117$.
3. Un guide affirme : « La plupart de mes visiteurs ont acheté leur billet sur place. » Justifier qu’il a raison, alors que seuls $40\%$ des visiteurs achètent sur place. $P_G(\bar{O})\approx$ (arrondi au millième)
   Rédaction attendue. Le guide parle de ses visiteurs : la condition est $G$. Parmi les $95$ visiteurs guidés, $60$ ont acheté sur place : $P_G(\bar{O})={\displaystyle \frac{60}{95}}={\displaystyle \frac{12}{19}}\approx 0,632>0,5$. Il a donc raison : la proportion d’acheteurs sur place est de $40\%$ dans l’ensemble, mais d’environ $63\%$ parmi les visiteurs guidés.

Une entreprise compte $800$ salariés. $R$ : « le salarié a plus de $10$ ans d’ancienneté », $C$ : « il a suivi une formation cette année ». On sait que $320$ salariés ont plus de $10$ ans d’ancienneté, que $37,5\%$ d’entre eux ont suivi une formation et que $160$ salariés au total ont suivi une formation. On choisit un salarié au hasard.

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(R\cap C)=$
   « $37,5\%$ d’entre eux » porte sur les $320$ salariés de $R$ : $P_R(C)=0,375$ et $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(R\cap C)=320\times 0,375=120$.
2. $P_C(R)=$
   On se restreint aux $160$ salariés formés : $P_C(R)={\displaystyle \frac{120}{160}}=0,75$.
3. $P_{\bar{R}}(C)=$ (fraction irréductible)
   $\bar{R}$ compte $800-320=480$ salariés, dont $160-120=40$ formés : $P_{\bar{R}}(C)={\displaystyle \frac{40}{480}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$.
4. Le directeur affirme : « Nos salariés les plus anciens se forment presque tous. » Justifier qu’il se trompe en écrivant la bonne probabilité conditionnelle. Pourcentage de salariés de plus de $10$ ans d’ancienneté sans formation cette année : %
   Rédaction attendue. La phrase porte sur les salariés anciens : la condition est $R$, il faut regarder $P_R(C)=0,375$. Donc $P_R(\bar{C})=1-0,375=0,625$ : $62,5\%$ d’entre eux n’ont pas suivi de formation, la majorité. Le directeur confond avec $P_C(R)=0,75$ : ce sont les salariés formés qui, pour la plupart, sont anciens.

Lors d’une course d’orientation, $70\%$ des inscrits choisissent le circuit facile ($C$), les autres le circuit difficile. $95\%$ des inscrits du circuit facile trouvent toutes les balises ($F$), contre $80\%$ de ceux du circuit difficile. On choisit un inscrit au hasard. Donne des nombres décimaux.

1. $P(\bar{C})=$
   Premier niveau : $P(\bar{C})=1-0,7=0,3$.
2. $P_{\bar{C}}(\bar{F})=$
   « $80\%$ de ceux du circuit difficile » : $P_{\bar{C}}(F)=0,8$. Nœud $\bar{C}$ : $P_{\bar{C}}(\bar{F})=1-0,8=0,2$.
3. $P(C\cap F)=$
   Chemin $C$ puis $F$ : $P(C\cap F)=0,7\times 0,95=0,665$.
4. $P(\bar{C}\cap \bar{F})=$
   Chemin $\bar{C}$ puis $\bar{F}$ : $0,3\times 0,2=0,06$.

On donne l’arbre pondéré ci-dessous, dont certaines branches sont à compléter.Donne des nombres décimaux.

1. $P(A\cap B)=$
   $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0,55\times 0,6=0,33$.
2. $P(A\cap \bar{B})=$
   Nœud $A$ : $P_A(\bar{B})=1-0,6=0,4$, donc $P(A\cap \bar{B})=0,55\times 0,4=0,22$.
3. $P(\bar{A}\cap \bar{B})=$
   $P(\bar{A})=1-0,55=0,45$ et $P_{\bar{A}}(\bar{B})=1-0,2=0,8$ : $0,45\times 0,8=0,36$. Contrôle : $P(\bar{A}\cap B)=0,45\times 0,2=0,09$ et $0,33+0,22+0,09+0,36=1$.

Un tiroir contient $9$ chaussettes : $5$ noires et $4$ grises. On en prend une au hasard, on la garde, puis on en prend une seconde au hasard. $N_1$ : « la première est noire », $N_2$ : « la seconde est noire ». Donne un nombre décimal ou une fraction irréductible (exemple : 3/8).

1. $P_{N_1}(N_2)=$
   Si la première est noire, il reste $8$ chaussettes dont $4$ noires : $P_{N_1}(N_2)={\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. $P(N_1\cap N_2)=$
   $P(N_1\cap N_2)={\displaystyle \frac{5}{9}}\times {\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{20}{72}}={\displaystyle \frac{5}{18}}$.
3. Probabilité de prendre deux chaussettes grises :
   Si la première est grise, il reste $3$ grises sur $8$ : ${\displaystyle \frac{4}{9}}\times {\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{12}{72}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$.
4. Justifier, avec l’arbre, la probabilité d’obtenir deux chaussettes de couleurs différentes :
   Rédaction attendue. Deux chemins donnent des couleurs différentes. Noire puis grise : ${\displaystyle \frac{5}{9}}\times {\displaystyle \frac{4}{8}}={\displaystyle \frac{20}{72}}$. Grise puis noire : ${\displaystyle \frac{4}{9}}\times {\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{20}{72}}$. Ces deux issues sont distinctes, on additionne : ${\displaystyle \frac{20}{72}}+{\displaystyle \frac{20}{72}}={\displaystyle \frac{40}{72}}={\displaystyle \frac{5}{9}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{5}{18}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{5}{18}}+{\displaystyle \frac{3}{18}}+{\displaystyle \frac{10}{18}}=1$.

$A$ et $B$ sont deux événements tels que $P(A)=0,4$, $P(A\cap B)=0,1$ et $P(\bar{A}\cap B)=0,48$. On veut reconstituer l’arbre pondéré (premier niveau $A$, $\bar{A}$). Donne des nombres décimaux.

1. $P_A(B)=$
   Règle du chemin : $P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$, donc $P_A(B)={\displaystyle \frac{0,1}{0,4}}=0,25$.
2. $P_{\bar{A}}(B)=$
   $P(\bar{A})=1-0,4=0,6$ et $P_{\bar{A}}(B)={\displaystyle \frac{0,48}{0,6}}=0,8$.
3. Calculer $P(A\cap \bar{B})$ puis $P(\bar{A}\cap \bar{B})$, et vérifier que la somme des quatre chemins vaut $1$. $P(A\cap \bar{B})=$
   Rédaction attendue. Nœud $A$ : $P_A(\bar{B})=1-0,25=0,75$, donc $P(A\cap \bar{B})=0,4\times 0,75=0,3$. Nœud $\bar{A}$ : $P_{\bar{A}}(\bar{B})=1-0,8=0,2$, donc $P(\bar{A}\cap \bar{B})=0,6\times 0,2=0,12$. Somme des quatre chemins : $0,1+0,3+0,48+0,12=1$.

Dans une ville, $40\%$ des habitants ont un chien ($C$). $30\%$ des propriétaires de chien font du jogging ($J$), contre $10\%$ des autres habitants. On raisonne sur $1000$ habitants, puis on choisit un habitant au hasard. Donne un nombre décimal ou une fraction irréductible (exemple : 3/8).

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(C\cap J)=$
   $1000\times 0,4=400$ propriétaires de chien, dont $400\times 0,3=120$ joggeurs.
2. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(J)=$
   Autres habitants : $600$, dont $600\times 0,1=60$ joggeurs. Colonne $J$ : $120+60=180$.
3. $P(J)=$
   $P(J)={\displaystyle \frac{180}{1000}}=0,18$.
4. $P_J(C)=$
   On se restreint aux $180$ joggeurs : $P_J(C)={\displaystyle \frac{120}{180}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Un service de location possède $200$ trottinettes. On en choisit une au hasard.

1. Premier niveau de l’arbre : $P(E)=$
   $P(E)={\displaystyle \frac{120}{200}}=0,6$.
2. Branche de $E$ vers $K$ : $P_E(K)=$
   On lit la ligne $E$ : $P_E(K)={\displaystyle \frac{18}{120}}=0,15$.
3. Branche de $\bar{E}$ vers $K$ : $P_{\bar{E}}(K)=$
   Ligne $\bar{E}$ : $P_{\bar{E}}(K)={\displaystyle \frac{4}{80}}=0,05$.
4. Une trottinette est en panne. Probabilité qu’elle soit électrique :
   On lit la colonne $K$ : $P_K(E)={\displaystyle \frac{18}{22}}={\displaystyle \frac{9}{11}}$. Cette probabilité ne figure pas sur l’arbre de premier niveau $E$.

Chez un fleuriste, $55\%$ des bouquets vendus sont des bouquets de roses ($R$). $12\%$ des bouquets de roses et $4\%$ des autres bouquets sont commandés en ligne ($W$). On raisonne sur $1000$ bouquets, puis on choisit un bouquet au hasard.

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(R\cap W)=$
   $1000\times 0,55=550$ bouquets de roses, dont $550\times 0,12=66$ commandés en ligne.
2. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\bar{R}\cap W)=$
   $450$ autres bouquets, dont $450\times 0,04=18$ commandés en ligne.
3. $P(W)=$
   Colonne $W$ : $66+18=84$ bouquets, donc $P(W)={\displaystyle \frac{84}{1000}}=0,084$.
4. Justifier, à l’aide du tableau, la probabilité qu’un bouquet commandé en ligne soit un bouquet de roses (arrondie au millième) :
   Rédaction attendue. La condition est « commandé en ligne » : on se restreint à la colonne $W$, qui compte $84$ bouquets, dont $66$ de roses. $P_W(R)={\displaystyle \frac{66}{84}}={\displaystyle \frac{11}{14}}\approx 0,786$. Environ $79\%$ des commandes en ligne sont des roses, alors que les roses font $55\%$ des ventes.

Une enquête porte sur les vacances d’été. $35\%$ des familles sont parties à la mer ($M$), les autres ailleurs. $60\%$ des familles parties à la mer ont loué un logement ($L$). Au total, $45\%$ des familles ont loué un logement. On raisonne sur $1000$ familles, puis on choisit une famille au hasard.

1. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(M\cap L)=$
   $1000\times 0,35=350$ familles à la mer, dont $350\times 0,6=210$ ont loué.
2. $\mathrm{C}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}(\bar{M}\cap L)=$
   La colonne $L$ compte $1000\times 0,45=450$ familles : $450-210=240$.
3. $P_{\bar{M}}(L)\approx$ (arrondi au millième)
   $\bar{M}$ compte $650$ familles : $P_{\bar{M}}(L)={\displaystyle \frac{240}{650}}={\displaystyle \frac{24}{65}}\approx 0,369$. C’est la branche de l’arbre que l’énoncé ne donnait pas.
4. Justifier que, parmi les familles qui ont loué un logement, moins de la moitié sont parties à la mer. $P_L(M)=$ (fraction irréductible)
   Rédaction attendue. La condition est $L$ : on se restreint aux $450$ familles qui ont loué, dont $210$ sont parties à la mer. $P_L(M)={\displaystyle \frac{210}{450}}={\displaystyle \frac{7}{15}}\approx 0,467<0,5$. Pourtant $P_M(L)=0,6$ : ces deux probabilités ne répondent pas à la même question.

Un contrôle antidopage est positif pour $90\%$ des athlètes dopés et négatif pour $98\%$ des athlètes non dopés. On note $D$ : « l’athlète est dopé » et $T$ : « le contrôle est positif ». Réponds par un mot ou un nombre.

1. Un athlète non dopé dont le contrôle est positif est un positif.
   Il n’est pas dopé mais le test le désigne : c’est un faux positif ($\bar{D}\cap T$).
2. Spécificité du test, en pourcentage : %
   La spécificité est $P_{\bar{D}}(\bar{T})$, la proportion de non-dopés dont le contrôle est négatif : $98\%$.
3. Pourcentage de faux positifs parmi les athlètes non dopés : %
   $P_{\bar{D}}(T)=1-0,98=0,02$, soit $2\%$.
4. Pourcentage d’athlètes dopés dont le contrôle est négatif (faux négatifs) : %
   La sensibilité est $P_D(T)=0,9$, donc $P_D(\bar{T})=1-0,9=0,1$ : $10\%$ de faux négatifs parmi les dopés.

Une étude porte sur $2000$ cyclistes d’une ville pendant un an. On choisit un cycliste au hasard.

1. $P_B(\bar{K})=$
   Parmi les $40$ blessés, $28$ roulaient sans casque : $P_B(\bar{K})={\displaystyle \frac{28}{40}}=0,7$.
2. $P_{\bar{K}}(B)=$
   Parmi les $800$ cyclistes sans casque, $28$ ont été blessés : ${\displaystyle \frac{28}{800}}=0,035$.
3. $P_K(B)=$
   ${\displaystyle \frac{12}{1200}}=0,01$.
4. Un article titre : « Rouler sans casque : $70\%$ de risque d’être blessé. » Justifier qu’il inverse le conditionnement, puis donner le rapport ${\displaystyle \frac{P_{\bar{K}}(B)}{P_K(B)}}=$
   Rédaction attendue. Le nombre $0,7$ est $P_B(\bar{K})$ : la proportion de cyclistes sans casque parmi les blessés. Le risque d’être blessé quand on roule sans casque est $P_{\bar{K}}(B)=0,035$, soit $3,5\%$. Le titre confond les deux. En revanche, ${\displaystyle \frac{0,035}{0,01}}=3,5$ : dans cette étude, le risque est $3,5$ fois plus élevé sans casque.

Une maladie touche $4\%$ des oliviers d’une région. Un test sur feuille est positif ($T$) pour $95\%$ des oliviers malades ($M$) et pour $8\%$ des oliviers sains. On raisonne sur $10000$ oliviers, puis on choisit un olivier au hasard.

1. Nombre de vrais positifs :
   $10000\times 0,04=400$ oliviers malades, dont $400\times 0,95=380$ positifs.
2. Nombre de faux positifs :
   $9600$ oliviers sains, dont $9600\times 0,08=768$ positifs.
3. $P(T)=$
   $380+768=1148$ positifs : $P(T)={\displaystyle \frac{1148}{10000}}=0,1148$.
4. Justifier que la plupart des oliviers positifs sont sains. $P_T(M)\approx$ (arrondi au millième)
   Rédaction attendue. On se restreint aux $1148$ oliviers positifs, dont $380$ sont malades : $P_T(M)={\displaystyle \frac{380}{1148}}={\displaystyle \frac{95}{287}}\approx 0,331$. Donc $P_T(\bar{M})\approx 0,669>0,5$ : environ deux positifs sur trois sont des faux positifs. La maladie est rare, et les $8\%$ de faux positifs portent sur $96\%$ des arbres.

Un test rapide d’angine bactérienne a une sensibilité de $90\%$ et une spécificité de $95\%$. Un médecin l’utilise chez des patients qui ont mal à la gorge : $30\%$ d’entre eux ont une angine bactérienne ($M$). Une campagne propose aussi le test à toute la population, où $1\%$ des personnes ont une angine bactérienne.

1. Chez les patients du médecin (tableau sur $1000$ patients), $P_T(M)\approx$ (arrondi au millième)
   $300$ malades, dont $300\times 0,9=270$ positifs ; $700$ non malades, dont $700\times 0,05=35$ positifs. $P_T(M)={\displaystyle \frac{270}{305}}={\displaystyle \frac{54}{61}}\approx 0,885$.
2. Dans la population (tableau sur $10000$ personnes), nombre de faux positifs :
   $100$ malades et $9900$ personnes non malades, dont $9900\times 0,05=495$ positives : ce sont les faux positifs.
3. Justifier que le même test est bien moins utile dans la population générale. Dans la population, $P_T(M)\approx$ (arrondi au millième)
   Rédaction attendue. Dans la population : $100\times 0,9=90$ vrais positifs et $495$ faux positifs, soit $585$ positifs. $P_T(M)={\displaystyle \frac{90}{585}}={\displaystyle \frac{2}{13}}\approx 0,154$. Le test est le même (sensibilité et spécificité inchangées), mais la maladie est $30$ fois plus rare : les faux positifs l’emportent. Chez les patients qui ont des symptômes, un positif est malade dans environ $89\%$ des cas ; dans la population générale, dans environ $15\%$ des cas seulement.