Échantillonnage et loi des grands nombres

1. a)Population : les habitants de la ville ; caractère : « utiliser le tram chaque semaine » ; taille $n=250$. (1)
2. b)$f=\frac{95}{250}=0,38$. (1)
3. c)Fluctuation d'échantillonnage : la fréquence varie d'un échantillon à l'autre, même de même taille. (1)
4. d)Quand $n$ devient grand, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité $p$. (1)

Repère — La fréquence dépend de l'échantillon, la probabilité (ou la proportion dans la population) n'en dépend pas.

1. a)$\sqrt{484}=22$, donc $\frac{1}{22}\approx 0,0455$. (1)
2. b)$[0,55-\frac{1}{22};0,55+\frac{1}{22}]\approx [0,5045;0,5955]$. (1)
3. c)$0,49<0,5045$ : hors de l'intervalle, on met en doute $p=0,55$ (risque ≈ 5 %). (1)
4. d)$f=\frac{281}{484}\approx 0,5806\in [0,5045;0,5955]$ : compatible avec $p=0,55$ (sans preuve). (1)

Erreur fréquente — Écrire « p est faux » au lieu de « on met en doute p, avec un risque d'erreur d'environ 5 % ».

1. a)$\sqrt{n}\ge \frac{1}{0,03}\approx 33,33$, donc $n\ge 1111,1$ : $n=1112$ (car $\frac{1}{\sqrt{1111}}\approx 0,030001>0,03$). (1)
2. b)$\sqrt{196}=14$ : $\frac{1}{14}\approx 0,0714$. (1)
3. c)$\frac{1}{\sqrt{k^{2}n}}=\frac{1}{k\sqrt{n}}=\frac{1}{k}\times \frac{1}{\sqrt{n}}$ (car $k>0$) : divisé par $k$. (1)
4. d)La largeur est $\frac{2}{\sqrt{n}}$ : doubler $n$ la divise par $\sqrt{2}\approx 1,41$ ; pour la diviser par 2, il faut multiplier $n$ par 4. (1)

À retenir — La précision progresse comme √n : gagner un facteur 2 coûte un échantillon 4 fois plus grand.

1. a)La fréquence des succès dans un échantillon simulé de taille $n$ (le test $random()<p$ est vrai avec probabilité $p$). (1)
2. b)$f(700,0.2)$. (1)
3. c)from math import sqrt ; def dedans(n, p): puis return abs(f(n, p) - p) <= 1 / sqrt(n). (1)
4. d)$\frac{571}{600}\approx 0,952$ : environ 95 % des échantillons ont une fréquence à moins de $\frac{1}{\sqrt{700}}\approx 0,038$ de 0,2, conforme au cours. (1)

Astuce — Le test random() < p est vrai avec la probabilité p : c'est la brique de base de toute simulation d'échantillon.

1. a)$p=\frac{18}{37}\approx 0,4865$. (1)
2. b)$\sqrt{1369}=37$ : $\frac{18}{37}-\frac{1}{37}=\frac{17}{37}$ et $\frac{18}{37}+\frac{1}{37}=\frac{19}{37}$. (1)
3. c)$f=\frac{721}{1369}\approx 0,5267>\frac{19}{37}\approx 0,5135$ : on met en doute l'équilibre de la roulette (risque ≈ 5 %). (1)
4. d)$1369\times \frac{17}{37}=629$ et $1369\times \frac{19}{37}=703$ : compatible si et seulement si $629\le k\le 703$. (1)

Le point clé — Travailler avec des fractions donne des bornes exactes et évite les erreurs d'arrondi près des bornes.