Qu'est-ce que la loi des grands nombres en seconde ?

C'est la constatation expérimentale suivante : quand on répète un grand nombre de fois une même expérience aléatoire, la fréquence d'un événement se stabilise autour de sa probabilité p. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence observée est proche de p.

Qu'est-ce que la fluctuation d'échantillonnage ?

C'est le fait que la fréquence observée varie d'un échantillon à l'autre, même quand les échantillons ont la même taille et proviennent de la même expérience. Cette variation diminue quand la taille n des échantillons augmente.

Comment savoir si un échantillon est compatible avec une probabilité p ?

On calcule l'intervalle [p − 1/√n ; p + 1/√n], qui contient la fréquence d'environ 95 % des échantillons de taille n. Si la fréquence observée est dans cet intervalle, l'échantillon est compatible avec p ; sinon, on met en doute la valeur p, avec un risque d'erreur d'environ 5 %.

Comment simuler un échantillon en Python ?

On répète n fois le test random() < p, qui est vrai avec la probabilité p, et on compte les succès dans une variable. La fonction renvoie ensuite le nombre de succès divisé par n, c'est-à-dire la fréquence observée de l'échantillon.

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Échantillonnage et loi des grands nombres

Échantillon, fluctuation d'échantillonnage, fréquence et probabilité, loi des grands nombres (approche expérimentale), simulation en Python, proportion d'échantillons dont la fréquence est proche de p

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en seconde sur « Échantillonnage et loi des grands nombres » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Fréquence et probabilité : la loi des grands nombres, Proportion d'échantillons dont la fréquence est proche de p, Simuler des échantillons en Python. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.

L'essentiel

Échantillon. On répète

n

fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire à deux issues : « succès », de probabilité

p

, ou « échec ». La liste des

n

résultats obtenus est un échantillon de taille $n$ . Prélever au hasard, avec remise,

n

individus dans une population où un caractère a la proportion

p

revient au même.

Fréquence observée.

f = \frac{nombre de succès}{n}

. C'est un nombre de

[0; 1]

qui dépend de l'échantillon obtenu.

Fluctuation d'échantillonnage. D'un échantillon à l'autre, de même taille, la fréquence observée

f

varie : c'est la fluctuation d'échantillonnage. La probabilité

p

, elle, reste fixe.

Loi des grands nombres (approche expérimentale). Quand la taille

n

de l'échantillon devient grande, la fréquence observée

f

se stabilise autour de la probabilité

p

Propriété (constatée par simulation). Pour environ 95 % des échantillons de taille

n

, on a

| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}

, c'est-à-dire

f \in [p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]

Fréquence et probabilité : la loi des grands nombres

On lance une pièce équilibrée ( $p = 0, 5$ pour « pile ») et on calcule la fréquence de pile pour des échantillons de plus en plus grands. Résultats d'une simulation :

Lecture. Pour

n = 10

, la fréquence (0,7) est loin de 0,5 ; pour

n = 20 000

, elle vaut 0,4993, à moins de 0,001 de

p

. Plus l'échantillon est grand, plus la fréquence est stable et proche de

p

Estimer une probabilité inconnue. Quand

p

n'est pas connue (punaise, bouchon, pièce déformée), la loi des grands nombres justifie de prendre comme estimation de

p

la fréquence observée sur un grand échantillon. C'est aussi le principe d'un sondage : la proportion observée dans l'échantillon estime la proportion dans la population.

Astuce. La loi des grands nombres parle de fréquences, pas de nombres de succès : sur 20 000 lancers, obtenir 9 986 piles au lieu de 10 000 fait un écart de 14 piles, mais un écart de fréquence de 0,0007 seulement.

Proportion d'échantillons dont la fréquence est proche de p

On simule un grand nombre d'échantillons de taille $n$ et on compte ceux pour lesquels $| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Quelle que soit la valeur de $p$ , et pour $n$ pas trop petit, on constate que cette proportion est proche de 95 % (souvent un peu plus).

Exemple.

p = 0, 3

n = 400

\frac{1}{\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0, 05

. Environ 95 % des échantillons de taille 400 ont une fréquence dans

[0, 25; 0, 35]

, c'est-à-dire entre 100 et 140 succès.

Largeur de l'intervalle. Elle vaut

\frac{2}{\sqrt{n}}

. Multiplier

n

par 4 la divise par 2 ; multiplier

n

par 100 la divise par 10.

Prise de décision. On suppose que la probabilité vaut

p

et on observe la fréquence

f

d'un échantillon de taille

n

.
• Si

f

n'appartient pas à l'intervalle, on met en doute l'hypothèse, avec un risque d'erreur d'environ 5 %.
• Si

f

appartient à l'intervalle, l'échantillon est compatible avec

p

: on n'a pas de raison de rejeter l'hypothèse, mais ce n'est pas une preuve.

Estimation. Sur 1 444 lancers d'un bouchon, il tombe sur le côté avec la fréquence 0,23. Comme

| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{1 444}} = \frac{1}{38} \approx 0, 026

pour environ 95 % des échantillons,

p

est vraisemblablement dans

[0, 204; 0, 256]

Simuler des échantillons en Python

$r a n d o m ()$ renvoie un réel au hasard dans $[0; 1 [$ . Le test $r a n d o m () < p$ est vrai avec la probabilité $p$ : il simule un succès.

from random import random

def echantillon(n, p):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes / n

Pour étudier la proportion d'échantillons « proches de $p$ », on répète la simulation $N$ fois :

from math import sqrt

def proportion_proches(N, n, p):
    proches = 0
    for k in range(N):
        f = echantillon(n, p)
        if abs(f - p) <= 1 / sqrt(n):
            proches = proches + 1
    return proches / N

Exemple.

p r o p o r t i o n_{p} r o c h e s (1000, 50, 0.25)

renvoie par exemple 0,974 : sur 1 000 échantillons de taille 50, environ 97 % ont une fréquence à moins de

\frac{1}{\sqrt{50}} \approx 0, 141

de 0,25. Une nouvelle exécution donne un résultat voisin, mais pas identique.

Méthodes

Méthode 1 — Calculer une fréquence et un écart

Compter les succès et diviser par la taille $n$ .
Calculer l'écart $| f - p |$ avec la probabilité théorique.

Exemple rédigé. Sur 80 lancers d'une pièce, on obtient 52 piles :

f = \frac{52}{80} = 0, 65

. L'écart avec

p = 0, 5

vaut

| 0, 65 - 0, 5 | = 0, 15

Méthode 2 — Décider si un échantillon est compatible avec p

Calculer $\frac{1}{\sqrt{n}}$ puis l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ .
Calculer la fréquence observée $f$ .
Conclure : $f$ dans l'intervalle → compatible ; $f$ hors de l'intervalle → on met en doute $p$ (risque d'environ 5 %).

Exemple rédigé. On annonce

p = 0, 45

; un échantillon de taille 625 compte 243 succès.

\frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25} = 0, 04

, d'où l'intervalle

[0, 41; 0, 49]

. Or

f = \frac{243}{625} = 0, 3888 < 0, 41

: on met en doute la valeur annoncée, avec un risque d'erreur d'environ 5 %.

Méthode 3 — Trouver la taille minimale d'un échantillon

Écrire la condition $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq e$ .
Elle équivaut à $\sqrt{n} \geq \frac{1}{e}$ , puis à $n \geq \frac{1}{e^{2}}$ (tout est positif).
Prendre le plus petit entier qui convient et le vérifier.

Exemple rédigé. Pour

\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 045

\sqrt{n} \geq \frac{1}{0, 045} \approx 22, 222

, donc

n \geq 493, 8

. Le plus petit entier est

n = 494

Méthode 4 — Traduire l'intervalle en nombres de succès

Multiplier les deux bornes de l'intervalle par $n$ .
Garder les entiers compris entre ces deux nombres.

Exemple rédigé.

p = 0, 125

n = 576

\frac{1}{\sqrt{576}} = \frac{1}{24}

. Bornes en succès :

576 \times 0, 125 - \frac{576}{24} = 72 - 24 = 48

72 + 24 = 96

. Un échantillon est compatible si et seulement s'il compte entre 48 et 96 succès ; avec 39 succès, on met en doute

p

Pièges et erreurs classiques

Fréquence ou probabilité ?

p

est un nombre fixe ;

f

change à chaque échantillon. Écrire «

f = p

» est presque toujours faux.

Pas de compensation. Après une série de piles, pile n'a pas « moins de chances » de sortir : les lancers sont indépendants. La fréquence se rapproche de

p

par dilution des écarts dans un grand nombre de lancers.

Décider n'est pas prouver. Une fréquence hors de l'intervalle ne prouve pas que

p

est faux (risque d'environ 5 %) ; une fréquence dans l'intervalle ne prouve pas que

p

est exact.

1/√n et non 1/n. Doubler

n

ne divise pas la largeur par 2 mais par

\sqrt{2} \approx 1, 41

; pour la diviser par 2, il faut multiplier

n

par 4.

Arrondis et bornes. Près d'une borne, reprendre les valeurs exactes (fractions) avant de conclure. Si une borne sort de

[0; 1]

, on la remplace par 0 ou par 1 : une fréquence n'est jamais négative.

En bref

Échantillon de taille $n$ : $n$ répétitions indépendantes d'une expérience ; fréquence observée $f = \frac{succès}{n}$ .
Fluctuation d'échantillonnage : $f$ varie d'un échantillon à l'autre, $p$ reste fixe.
Loi des grands nombres : quand $n$ grandit, $f$ se stabilise autour de $p$ ; on estime une probabilité inconnue par une fréquence sur un grand échantillon.
Environ 95 % des échantillons de taille $n$ vérifient $| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ .
$f$ hors de $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ : on met en doute $p$ (risque ≈ 5 %) ; $f$ dedans : compatible, sans preuve.
En Python : $r a n d o m () < p$ simule un succès de probabilité $p$ .

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