Statistiques descriptives

Moyenne et linéarité, ajout ou retrait d’une valeur, médiane et quartiles, écart type, comparaison de séries ; séries regroupées en classes : histogramme, moyenne, fréquences cumulées et classe médiane.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés de statistiques : une fuite d’eau qui fausse la moyenne, deux équipes de lanceurs de poids à départager, le contrôle de sachets de café regroupés en classes, les primes et augmentations des salaires d’une PME, et un programme Python qui calcule une moyenne et un écart type.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère comment les données sont présentées : liste, tableau d’effectifs, indicateurs déjà calculés, classes.
Je choisis l’indicateur adapté à la question : moyenne et somme pour un total ou un partage, médiane pour une valeur « habituelle », écart type ou écart interquartile pour la régularité, maximum pour une meilleure performance.
Je calcule en justifiant : rangs, sommes, étapes de la variance, effectifs cumulés ; j’écris « ≈ » pour une estimation.
J’utilise la linéarité quand toutes les valeurs subissent la même transformation (prime, pourcentage, changement d’unité) : inutile de reprendre la liste.
Je conclus par une phrase qui répond à la question, avec l’unité et le contexte.

Problème 1 · Une fuite d’eau dans un relevé★★★Facile

Un foyer relève sa consommation d’eau, en litres, pendant dix jours :

133

;

150

;

155

;

158

;

160

;

163

;

165

;

171

;

176

;

369

. Le dernier jour, une fuite a été découverte puis réparée.

1. Consommation moyenne sur les dix jours : L
Somme : $133 + 150 + 155 + 158 + 160 + 163 + 165 + 171 + 176 + 369 = 1 800$ L. $\overset{―}{x} = \frac{1 800}{10} = 180$ L.
2. Consommation médiane sur les dix jours : L
La série est rangée, $N = 10$ : $M e = \frac{160 + 163}{2} = 161, 5$ L.
3. On retire le jour de la fuite. Nouvelle moyenne : L
On retire une valeur de la somme : $\frac{1 800 - 369}{9} = \frac{1 431}{9} = 159$ L. Retirer une valeur supérieure à la moyenne fait baisser la moyenne, ici de $21$ L.
4. Justifier quel indicateur, calculé sur les dix jours, décrivait le mieux la consommation habituelle. Médiane des neuf jours sans fuite : L
Rédaction attendue. Sans le jour de fuite, $N = 9$ : la médiane est la valeur de rang $5$ , soit $160$ L. Sur les dix jours, la moyenne ( $180$ L) est tirée vers le haut par la seule valeur $369$ : elle dépasse neuf relevés sur dix. La médiane ( $161, 5$ L), qui ne dépend que des rangs, reste proche de la consommation habituelle : c’est elle qui la décrivait le mieux.
5. Le foyer installe des économiseurs qui réduisent chaque consommation journalière de $15 %$ . En partant des neuf jours sans fuite, nouvelle consommation moyenne : L
Chaque valeur $x$ devient $0, 85 x$ . Par linéarité de la moyenne : $0, 85 \times 159 = 135, 15$ L.

Problème 2 · Deux équipes de lanceurs de poids★★★Moyen

Un club compare deux équipes de sept lanceurs de poids. Meilleures performances de la saison, en mètres.
Équipe A :

12, 4

;

13, 1

;

13, 6

;

14, 2

;

14, 7

;

15, 0

;

15, 7

.
Équipe B :

13, 5

;

13, 8

;

14, 0

;

14, 1

;

14, 2

;

14, 4

;

14, 7

1. Montrer que les deux équipes ont la même performance moyenne : m
Rédaction attendue. Équipe A : $12, 4 + 13, 1 + 13, 6 + 14, 2 + 14, 7 + 15, 0 + 15, 7 = 98, 7$ , donc $\overset{―}{x_{A}} = \frac{98, 7}{7} = 14, 1$ m. Équipe B : $13, 5 + 13, 8 + 14, 0 + 14, 1 + 14, 2 + 14, 4 + 14, 7 = 98, 7$ , donc $\overset{―}{x_{B}} = 14, 1$ m. Même somme et même effectif : même moyenne.
2. Médiane de l’équipe A : m
Série rangée, $N = 7$ : valeur de rang $4$ , $M e_{A} = 14, 2$ m (et $M e_{B} = 14, 1$ m).
3. Écart type de l’équipe A, au centième : m
Écarts à $14, 1$ : $- 1, 7$ ; $- 1$ ; $- 0, 5$ ; $0, 1$ ; $0, 6$ ; $0, 9$ ; $1, 6$ . $V_{A}$ $= \frac{2, 89 + 1 + 0, 25 + 0, 01 + 0, 36 + 0, 81 + 2, 56}{7}$ $= \frac{7, 88}{7}$ , donc $σ_{A} = \sqrt{\frac{7, 88}{7}} \approx 1, 06$ m.
4. Écart type de l’équipe B, au centième : m. Interpréter la comparaison des deux écarts types.
Rédaction attendue. Écarts à $14, 1$ : $- 0, 6$ ; $- 0, 3$ ; $- 0, 1$ ; $0$ ; $0, 1$ ; $0, 3$ ; $0, 6$ . $V_{B}$ $= \frac{0, 36 + 0, 09 + 0, 01 + 0 + 0, 01 + 0, 09 + 0, 36}{7}$ $= \frac{0, 92}{7}$ , donc $σ_{B} \approx 0, 36$ m. Même niveau moyen, mais $σ_{B}$ est environ trois fois plus petit que $σ_{A}$ : les performances de B sont beaucoup plus resserrées autour de $14, 1$ m, l’équipe B est la plus homogène.
5. Le club envoie un seul lanceur à une compétition où seule la meilleure performance compte. Expliquer pourquoi l’écart type ne suffit pas, et donner la meilleure performance disponible : m
Rédaction attendue. L’écart type mesure la dispersion de toute l’équipe, pas la valeur de son meilleur élément. Ici, c’est le maximum qu’il faut comparer : $15, 7$ m pour A contre $14, 7$ m pour B. Le club envoie le meilleur lanceur de A, alors que cette équipe est la moins régulière : l’indicateur se choisit selon la question posée.

Problème 3 · Contrôle des sachets de café★★★Moyen

Un atelier remplit des sachets de café annoncés à

250

g. On pèse

80

sachets. Masses en grammes :

[246; 248 [

4

;

[248; 250 [

13

;

[250; 252 [

28

;

[252; 254 [

22

;

[254; 256 [

13

. La norme impose qu’au moins

90 %

des sachets pèsent au moins

248

1. Fréquence cumulée croissante de la classe $[250; 252 [$ : %
Effectifs cumulés croissants : $4$ ; $17$ ; $45$ ; $67$ ; $80$ . Pour $[250; 252 [$ : $\frac{45}{80} = 0, 5625$ , soit $56, 25 %$ . (Fréquences cumulées : $5 %$ ; $21, 25 %$ ; $56, 25 %$ ; $83, 75 %$ ; $100 %$ .)
2. Masse moyenne estimée, au dixième : g
Centres : $247$ ; $249$ ; $251$ ; $253$ ; $255$ . $\overset{―}{x}$ $\approx \frac{988 + 3 237 + 7 028 + 5 566 + 3 315}{80}$ $= \frac{20 134}{80}$ $= 251, 675$ , soit environ $251, 7$ g : c’est une estimation, l’atelier remplit un peu plus que les $250$ g annoncés.
3. Justifier la classe médiane, puis estimer la médiane au centième : g
Rédaction attendue. $\frac{N}{2} = 40$ . Le cumul vaut $17$ à la borne $250$ (moins que $40$ ) et $45$ à la borne $252$ : la classe médiane est $[250; 252 [$ . En supposant les $28$ sachets de cette classe répartis uniformément : $M e \approx 250 + 2 \times \frac{40 - 17}{28}$ $= 250 + \frac{23}{14}$ $\approx 251, 64$ g, très proche de la moyenne estimée : la répartition est presque symétrique.
4. Pourcentage de sachets pesant au moins $252$ g : %
$22 + 13 = 35$ sachets, et $\frac{35}{80} = 0, 4375$ , soit $43, 75 %$ .
5. L’atelier respecte-t-il la norme ? Justifier. Pourcentage de sachets d’au moins $248$ g : %
Rédaction attendue. Tous les sachets sauf ceux de $[246; 248 [$ pèsent au moins $248$ g : $80 - 4 = 76$ sachets, et $\frac{76}{80} = 0, 95$ , soit $95 %$ . Comme $95 % ⩾ 90 %$ , l’atelier respecte la norme, avec une marge faible : $4$ sachets de plus sous $248$ g la ramèneraient à $90 %$ .

Problème 4 · Primes et augmentations dans une PME★★★Difficile

Une PME emploie

20

salariés. Salaire mensuel net moyen :

2 150

€ ; salaire médian :

2 080

€ ; écart type :

320

€.

1. Montrer que la masse salariale mensuelle vaut €
Rédaction attendue. La moyenne est la somme $S$ des salaires divisée par l’effectif : $\overset{―}{x} = \frac{S}{N}$ , donc $S = N \times \overset{―}{x} = 20 \times 2 150 = 43 000$ €.
2. Chaque salarié reçoit une prime mensuelle de $60$ €. Nouvelle moyenne : €
Chaque salaire $x$ devient $x + 60$ : par linéarité, $\overset{―}{y} = 2 150 + 60 = 2 210$ €.
3. Justifier les nouveaux médiane et écart type après cette prime. Nouvelle médiane : €
Rédaction attendue. L’ordre des salaires ne change pas et chaque salaire augmente de $60$ € : la valeur centrale aussi, $M e = 2 080 + 60 = 2 140$ €. Chaque écart à la moyenne devient $(x + 60) - (\overset{―}{x} + 60) = x - \overset{―}{x}$ : les écarts sont inchangés, donc l’écart type reste $320$ €. Une prime identique pour tous ne réduit pas les inégalités de salaires.
4. Au lieu de la prime, tous les salaires augmentent de $2 %$ . Nouvel écart type : €
Augmenter de $2 %$ , c’est multiplier par $1, 02 > 0$ : $\overset{―}{y} = 1, 02 \times 2 150 = 2 193$ € et $σ_{y} = 1, 02 \times 320 = 326, 40$ €. L’augmentation en pourcentage creuse les écarts en euros.
5. Avec les données de départ, on remplace un salarié payé $2 000$ € par un salarié payé $2 600$ €. Nouveau salaire moyen : €
Nouvelle somme : $43 000 - 2 000 + 2 600 = 43 600$ € pour $20$ salariés. $\frac{43 600}{20} = 2 180$ € : un seul salaire modifié fait monter la moyenne de $30$ €.
6. Avec les données de départ, prime uniforme qui porterait le salaire moyen à $2 200$ € : €
Avec une prime $p$ , la moyenne devient $2 150 + p$ . $2 150 + p = 2 200$ donne $p = 50$ €, soit un coût de $20 \times 50 = 1 000$ € par mois.

Problème 5 · Lire un programme Python de statistiques★★★Difficile

Une station météo enregistre les températures minimales, en °C, de six nuits. On utilise les fonctions du cours :

def moyenne(L):
    s = 0
    for x in L:
        s = s + x
    return s / len(L)

def ecart_type(L):
    m = moyenne(L)
    s = 0
    for x in L:
        s = s + (x - m) ** 2
    return (s / len(L)) ** 0.5

releves = [6.5, 7.2, 8.8,
           9.1, 10.4, 11.0]

(En Python, les décimaux s’écrivent avec un point.)

1. Valeur renvoyée par moyenne(releves), au centième :
La boucle additionne les six valeurs : $6, 5 + 7, 2 + 8, 8 + 9, 1 + 10, 4 + 11 = 53$ , puis la fonction divise par len(releves) $= 6$ : $\frac{53}{6} \approx 8, 83$ °C.
2. Valeur renvoyée par ecart_type(releves), au centième :
La variable s accumule les carrés des écarts à $m = \frac{53}{6}$ : leur somme vaut $\frac{46}{3} \approx 15, 33$ . La variance vaut $\frac{46}{3} \div 6 = \frac{23}{9} \approx 2, 56$ et la fonction renvoie sa racine carrée, $\sqrt{\frac{23}{9}} \approx 1, 60$ °C.
3. Démontrer que, si toutes les valeurs d’une liste sont égales à un même nombre $c$ , la fonction ecart_type renvoie
Rédaction attendue. Si la liste contient $n$ valeurs égales à $c$ , la boucle de moyenne donne $s = n c$ , et la fonction renvoie $\frac{n c}{n} = c$ . Dans ecart_type, chaque écart vaut $x - m = c - c = 0$ : la variable s reste égale à $0$ , et la fonction renvoie $(0 / n)^{0, 5} = 0$ . Une série constante a un écart type nul.
4. Un élève décale l’instruction return s / len(L) de moyenne à l’intérieur de la boucle for. Valeur alors renvoyée par moyenne(releves), au centième :
return arrête la fonction dès le premier passage dans la boucle : s ne contient que la première valeur, $6, 5$ . La fonction renvoie $\frac{6, 5}{6} \approx 1, 08$ , absurde pour des températures entre $6, 5$ et $11$ °C. Le return doit être aligné sur le for.

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