Statistiques descriptives

1. a)${\displaystyle \frac{12+15+18+23}{4}}={\displaystyle \frac{68}{4}}=17$. (1)
2. b)On range : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $9$ ; $11$ ; $14$. $N=7$ : la médiane est la valeur de rang $4$, soit $7$. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{35+45}{2}}=40$. (1)
4. d)Pour $y=4x$ ($4>0$) : moyenne $4\times 9=36$, écart type $4\times 2=8$. (1)

Repère — Médiane : on range avant de compter les rangs ; multiplier les valeurs par a > 0 multiplie moyenne et écart type par a.

1. a)Somme : $34+37+41+42+45+48+52+55+61+66=481$ € pour $N=10$ commandes. $\bar{x}={\displaystyle \frac{481}{10}}=48,1$ €. (1)
2. b)La série est rangée et $N=10$ est pair : la médiane est la demi-somme des valeurs de rangs $5$ et $6$. $Me={\displaystyle \frac{45+48}{2}}=46,5$ €. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{N}{4}}=2,5$, arrondi à l’entier supérieur $3$ : $Q_1$ est la valeur de rang $3$, $Q_1=41$ €. ${\displaystyle \frac{3N}{4}}=7,5$, arrondi à $8$ : $Q_3=55$ €. Écart interquartile : $55-41=14$ €. (1)
4. d)Étendue : $66-34=32$ €. Elle ne dépend que des deux valeurs extrêmes : une seule commande inhabituelle suffit à la changer complètement. (1)

Repère — Quartiles : rangs N ÷ 4 et 3N ÷ 4, arrondis à l’entier supérieur quand ils ne sont pas entiers.

1. a)$N=3+7+11+9+6+4=40$ adhérents. $\bar{x}$ $={\displaystyle \frac{0\times 3+1\times 7+2\times 11+3\times 9+4\times 6+5\times 4}{40}}$ $={\displaystyle \frac{100}{40}}$ $=2,5$ séances. (1)
2. b)Écarts à $2,5$ : $-2,5$ ; $-1,5$ ; $-0,5$ ; $0,5$ ; $1,5$ ; $2,5$.
   $V$ $={\displaystyle \frac{3\times 6,25+7\times 2,25+11\times 0,25+9\times 0,25+6\times 2,25+4\times 6,25}{40}}$ $={\displaystyle \frac{18,75+15,75+2,75+2,25+13,5+25}{40}}$ $={\displaystyle \frac{78}{40}}$ $=1,95$.
   $\sigma =\sqrt{1,95}\approx 1,40$ séance. (1)
3. c)La valeur ajoutée, $5$, est supérieure à la moyenne $2,5$ : la moyenne augmente. Nouvelle somme : $100+5=105$ pour $41$ adhérents, donc $\bar{x}={\displaystyle \frac{105}{41}}\approx 2,56$ séances. (1)

Repère — Ajouter une valeur : on repasse par la somme N × moyenne, puis on divise par N + 1.

1. a)Effectifs cumulés croissants : $14$ ; $40$ ; $61$ ; $70$. Fréquences cumulées : ${\displaystyle \frac{14}{70}}=20\%$ ; ${\displaystyle \frac{40}{70}}\approx 57,14\%$ ; ${\displaystyle \frac{61}{70}}\approx 87,14\%$ ; $100\%$. (1)
2. b)On suppose les durées réparties uniformément dans chaque classe : on remplace chacune par le centre de sa classe, $1,5$ ; $4,5$ ; $7,5$ ; $10,5$.
   $\bar{x}$ $\approx {\displaystyle \frac{14\times 1,5+26\times 4,5+21\times 7,5+9\times 10,5}{70}}$ $={\displaystyle \frac{21+117+157,5+94,5}{70}}$ $={\displaystyle \frac{390}{70}}$ $\approx 5,57$ min. (1)
3. c)${\displaystyle \frac{N}{2}}=35$. L’effectif cumulé vaut $14$ à la fin de $[0;3[$ (moins que $35$) et $40$ à la fin de $[3;6[$ (au moins $35$) : la première classe dont le cumul atteint $35$ est $[3;6[$, c’est la classe médiane. (1)
4. d)Il manque $35-14=21$ appels parmi les $26$ de la classe, d’amplitude $3$ min :
   $Me\approx 3+3\times {\displaystyle \frac{21}{26}}$ $=3+{\displaystyle \frac{63}{26}}$ $\approx 5,42$ min. (1)
5. e)$21+9=30$ appels durent au moins $6$ min : ${\displaystyle \frac{30}{70}}\approx 0,429$, soit environ $42,9\%$. (1)

Repère — Classe médiane : la première dont l’effectif cumulé atteint N ÷ 2 ; la médiane s’estime ensuite par proportionnalité dans cette classe.

1. a)Les moyennes sont égales : on compare les dispersions. $5<13$ : les clous de A s’écartent beaucoup moins de $74$ mm, l’atelier A est le plus régulier. (1)
2. b)C’est une translation $y=x+6$. Par linéarité, la moyenne devient $74+6=80$ mm. Chaque écart $(x+6)-(\bar{x}+6)=x-\bar{x}$ est inchangé : l’écart type reste $5$ mm. (1)
3. c)Transformation $y=0,5x$ avec $0,5>0$ : moyenne $0,5\times 74=37$ et écart type $0,5\times 13=6,5$, dans la nouvelle unité. (1)
4. d)L’écart type n’est pas une moyenne des écarts types. Ici les deux moyennes valent $74$ : les écarts de tous les clous se mesurent à $74$, donc la variance de l’ensemble est la moyenne des variances $25$ et $169$ pondérée par les effectifs. Elle est comprise entre $25$ et $169$, et l’écart type entre $5$ et $13$ mm, selon les effectifs. Par exemple, pour des effectifs égaux : $\sqrt{{\displaystyle \frac{25+169}{2}}}=\sqrt{97}\approx 9,85$ mm, et non $9$. (1)

Repère — y = ax + b avec a > 0 : moyenne a × moyenne + b, écart type a × écart type ; une translation ne change pas l’écart type.