Probabilités conditionnelles et arbres

Modèle probabiliste et équiprobabilité, probabilité conditionnelle dans un tableau croisé, arbres pondérés, passage d’un arbre à un tableau, probabilité de B sachant A ou de A sachant B, tests de dépistage et faux positifs.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 2nde sur les probabilités suit cinq parties : le modèle probabiliste et la formule Card(A) / Card(Ω), la probabilité conditionnelle lue dans un tableau croisé (un parc accrobranche), les arbres pondérés avec un tirage sans remise de chocolats, le passage d’un arbre à un tableau sur 1 000 cavaliers d’un centre équestre, puis les tests de dépistage et leurs faux positifs.

Modèle probabiliste et équiprobabilité

Ce qu’il faut savoir

Vocabulaire. Une expérience est aléatoire quand on connaît ses résultats possibles, les issues, sans pouvoir prévoir lequel se produira. L’ensemble des issues est l’univers, noté $Ω$ . Un événement est une partie de $Ω$ : il est réalisé si l’issue obtenue lui appartient. $\emptyset$ est l’événement impossible, $Ω$ l’événement certain.

Événements construits. $\overset{―}{A}$ (« non $A$ », l’événement contraire) : les issues de $Ω$ qui ne sont pas dans $A$ . $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») : les issues communes à $A$ et à $B$ . $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») : les issues de $A$ , de $B$ ou des deux (le « ou » est inclusif). $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ .

Loi de probabilité. On associe à chaque issue un nombre compris entre $0$ et $1$ , la somme de ces nombres valant $1$ . Ce choix est une hypothèse du modèle : il ne se démontre pas. Il vient d’une symétrie (dé « équilibré », choix « au hasard ») ou de fréquences observées sur un grand nombre d’essais. On distingue le modèle, abstrait, et la situation réelle.

Règles de calcul. $P (A)$ est la somme des probabilités des issues qui composent $A$ . Toujours : $0 ⩽ P (A) ⩽ 1$ , $P (\emptyset) = 0$ , $P (Ω) = 1$ et $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A) .$

Équiprobabilité. Si toutes les issues ont la même probabilité, $P (A) = \frac{C a r d (A)}{C a r d (Ω)},$ où $C a r d (A)$ , le cardinal de $A$ , est le nombre d’éléments de $A$ .

Exemples

Avec l’équiprobabilité. On lance un dé équilibré à $20$ faces numérotées de $1$ à $20$ : $Ω = {1; 2; \dots; 20}$ , $C a r d (Ω) = 20$ , et le dé étant équilibré, les issues sont équiprobables.

• $A$ : « obtenir un multiple de $3$ » : $A = {3; 6; 9; 12; 15; 18}$ , donc $P (A) = \frac{6}{20} = 0, 3$ et $P (\overset{―}{A}) = 1 - 0, 3 = 0, 7$ .

• $B$ : « obtenir au moins $15$ » : $B = {15; 16; 17; 18; 19; 20}$ , $C a r d (B) = 6$ .

• $A \cap B = {15; 18}$ , donc $P (A \cap B) = \frac{2}{20} = 0, 1$ .

• $A \cup B = {3; 6; 9; 12; 15; 16; 17; 18; 19; 20}$ : $15$ et $18$ ne sont comptés qu’une fois, $C a r d (A \cup B) = 10$ et $P (A \cup B) = \frac{10}{20} = 0, 5$ .

Sans équiprobabilité. Une application choisit le style du morceau suivant : pop avec la probabilité $0, 45$ , rap $0, 3$ , jazz $0, 1$ , classique $p$ . La somme vaut $1$ : $p = 1 - (0, 45 + 0, 3 + 0, 1) = 0, 15$ . « Pas de pop » est le contraire de « pop » : $1 - 0, 45 = 0, 55$ . « Rap ou jazz » : $0, 3 + 0, 1 = 0, 4$ .

Réflexe — Avant d’écrire $\frac{C a r d (A)}{C a r d (Ω)}$ , je vérifie que les issues sont équiprobables (« au hasard », « équilibré ») ; sinon, j’additionne les probabilités des issues. Pour « au moins un » ou « aucun », je passe par l’événement contraire.

Attention — Dans $A \cup B$ , une issue commune à $A$ et à $B$ ne se compte qu’une fois : ici $C a r d (A \cup B) = 10$ , pas $6 + 6 = 12$ . Une probabilité négative ou supérieure à $1$ signale une erreur. Et le contraire de « au moins un » est « aucun », pas « au plus un ». Deux événements contraires sont incompatibles, mais deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires : sur le dé à $20$ faces, « obtenir $1$ » et « obtenir $2$ » sont incompatibles, et l’on peut obtenir $7$ .

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Probabilité conditionnelle et tableau croisé

Ce qu’il faut savoir

Tirage au hasard dans une population. On choisit un individu au hasard : c’est une situation d’équiprobabilité. La probabilité d’un événement est la proportion d’individus concernés : $P (A) = \frac{C a r d (A)}{C a r d (Ω)}$ (effectif de $A$ divisé par l’effectif total).

Définition. Soit $A$ un événement tel que $P (A) \neq 0$ . La probabilité de $B$ sachant $A$ est $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)} .$ C’est la probabilité que $B$ se réalise quand on sait que $A$ est réalisé : on se restreint aux issues de $A$ .

Dans un tableau croisé d’effectifs : $P_{A} (B) = \frac{C a r d (A \cap B)}{C a r d (A)}$ . On divise par le total de la ligne (ou de la colonne) de $A$ , pas par le total général.

Contraire. $0 ⩽ P_{A} (B) ⩽ 1$ et $P_{A} (\overset{―}{B}) = 1 - P_{A} (B)$ .

Langue naturelle et symboles. « parmi les $A$ », « sachant $A$ », « chez les $A$ », « si $A$ » : $A$ est la condition, écrite en indice. « à la fois $A$ et $B$ » : c’est l’intersection $A \cap B$ , sans condition.

Exemples

Lire un tableau croisé. Un parc accrobranche a accueilli $400$ grimpeurs un samedi. On note $H$ : « le grimpeur est un adulte » (les autres sont des enfants) et $L$ : « sa place a été réservée en ligne ». On choisit un grimpeur au hasard.

	$L$	$\overset{―}{L}$	Total
Adulte $H$	$200$	$50$	$250$
Enfant $\overset{―}{H}$	$60$	$90$	$150$
Total	$260$	$140$	$400$

• $P (H) = \frac{250}{400} = 0, 625$ : un total de ligne divisé par le total général.

• $P (H \cap L) = \frac{200}{400} = 0, 5$ : une case intérieure divisée par le total général.

• $P_{H} (L) = \frac{200}{250} = 0, 8$ : $80 %$ des adultes avaient réservé en ligne (on se restreint à la ligne $H$ ).

• $P_{L} (H) = \frac{200}{260} = \frac{10}{13} \approx 0, 769$ : environ $77 %$ des grimpeurs qui avaient réservé en ligne sont des adultes (on se restreint à la colonne $L$ ).

• $P_{\overset{―}{H}} (\overset{―}{L}) = \frac{90}{150} = 0, 6$ : parmi les enfants, $60 %$ n’avaient pas réservé en ligne.

Avec la formule. On sait que $P (E) = 0, 64$ et $P (E \cap F) = 0, 48$ . Alors $P_{E} (F) = \frac{0, 48}{0, 64} = 0, 75$ et $P_{E} (\overset{―}{F}) = 1 - 0, 75 = 0, 25$ .

Réflexe — Je me demande « parmi qui ? ». Ce groupe est la condition : je l’écris en indice et je divise par son effectif (ou sa probabilité). S’il n’y a pas de « parmi », je divise par le total général.

Attention — $P (H \cap L)$ et $P_{H} (L)$ ont le même numérateur ( $200$ ) mais pas le même dénominateur ( $400$ ou $250$ ) : ce sont deux nombres différents. Et $P_{A} (B)$ n’a de sens que si $P (A) \neq 0$ .

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Arbres pondérés

Ce qu’il faut savoir

Construction. Pour une situation en deux étapes : au premier niveau, $A$ et $\overset{―}{A}$ avec $P (A)$ et $P (\overset{―}{A})$ ; au second niveau, depuis chaque nœud, $B$ et $\overset{―}{B}$ avec les probabilités conditionnelles : $P_{A} (B)$ et $P_{A} (\overset{―}{B})$ après $A$ , $P_{\overset{―}{A}} (B)$ et $P_{\overset{―}{A}} (\overset{―}{B})$ après $\overset{―}{A}$ .

Règle du nœud. La somme des probabilités des branches qui partent d’un même nœud vaut $1$ .

Règle du chemin. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités de ses branches : $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B) .$ C’est la définition $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ , multipliée par $P (A)$ .

Les bouts de chemins. Les quatre chemins mènent à $A \cap B$ , $A \cap \overset{―}{B}$ , $\overset{―}{A} \cap B$ et $\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}$ : ce sont toutes les issues possibles, et leurs probabilités ont pour somme $1$ .

Retrouver une branche. Si l’on connaît $P (A)$ et $P (A \cap B)$ , alors $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ .

Exemples

Construire et lire un arbre. Dans un garage, $40 %$ des voitures révisées sont électriques ( $E$ ). Il faut changer les pneus ( $N$ ) de $15 %$ des voitures électriques et de $30 %$ des autres. On choisit une voiture révisée au hasard.

« $40 %$ des voitures » : $P (E) = 0, 4$ , donc $P (\overset{―}{E}) = 0, 6$ . « parmi les électriques, $15 %$ » : $P_{E} (N) = 0, 15$ , donc $P_{E} (\overset{―}{N}) = 0, 85$ . « parmi les autres, $30 %$ » : $P_{\overset{―}{E}} (N) = 0, 3$ , donc $P_{\overset{―}{E}} (\overset{―}{N}) = 0, 7$ .

$P (E \cap N) = 0, 4 \times 0, 15 = 0, 06$ : $6 %$ des voitures sont électriques et ont besoin de pneus neufs. Contrôle : $0, 06 + 0, 34 + 0, 18 + 0, 42 = 1$ .

Deux tirages sans remise. Une boîte contient $12$ chocolats : $7$ noirs et $5$ au lait. Inès en mange un au hasard, puis un second. $N_{1}$ : « le premier est noir », $N_{2}$ : « le second est noir ». $P (N_{1}) = \frac{7}{12}$ . Si le premier est noir, il reste $6$ noirs sur $11$ : $P_{N_{1}} (N_{2}) = \frac{6}{11}$ . Donc $P (N_{1} \cap N_{2}) = \frac{7}{12} \times \frac{6}{11} = \frac{42}{132} = \frac{7}{22}$ .

Si le premier est au lait, il reste $7$ noirs sur $11$ : $P (\overset{―}{N_{1}} \cap N_{2}) = \frac{5}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{35}{132}$ .

Réflexe — Je place au premier niveau l’événement dont je connais la probabilité « seule » ; chaque « parmi les … » devient une branche du second niveau partant de ce groupe. Je complète chaque nœud à $1$ , puis je multiplie le long du chemin.

Attention — Les nombres du second niveau sont des probabilités conditionnelles : $0, 15$ sur la branche de $E$ vers $N$ est $P_{E} (N)$ , ni $P (N)$ ni $P (E \cap N)$ . Sans remise, la composition de la boîte change après le premier tirage.

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Passer d’un arbre à un tableau (et retour)

Ce qu’il faut savoir

De l’arbre au tableau. On imagine un effectif total $N$ (souvent $1 000$ ou $10 000$ , choisi pour obtenir des nombres entiers). Effectif de $A$ : $N \times P (A)$ . Effectif de $A \cap B$ : effectif de $A$ $\times P_{A} (B)$ , c’est-à-dire $N \times$ la probabilité du chemin. On complète par différence et on vérifie les totaux.

Du tableau à l’arbre. $P (A) = \frac{C a r d (A)}{N}$ et $P_{A} (B) = \frac{C a r d (A \cap B)}{C a r d (A)}$ : chaque branche du second niveau se lit dans une ligne du tableau.

Probabilité de $B$ . Dans le tableau, l’effectif de $B$ est le total de sa colonne : $C a r d (B) = C a r d (A \cap B) + C a r d (\overset{―}{A} \cap B)$ . Autrement dit, $B$ est formé des issues $A \cap B$ et $\overset{―}{A} \cap B$ : on additionne leurs probabilités.

Dans l’autre sens. Une fois $C a r d (B)$ connu, $P_{B} (A) = \frac{C a r d (A \cap B)}{C a r d (B)}$ : c’est une probabilité qui ne se lit pas sur l’arbre de départ.

Exemples

De l’arbre au tableau. Dans un centre équestre, $30 %$ des cavaliers sont débutants ( $D$ ). $80 %$ des débutants prennent un cours collectif ( $C$ ), contre $10 %$ des autres cavaliers. On choisit un cavalier au hasard.

Sur $1 000$ cavaliers : $1 000 \times 0, 3 = 300$ débutants, dont $300 \times 0, 8 = 240$ prennent un cours ; $700$ autres, dont $700 \times 0, 1 = 70$ prennent un cours. On complète par différence :

	$C$	$\overset{―}{C}$	Total
$D$	$240$	$60$	$300$
$\overset{―}{D}$	$70$	$630$	$700$
Total	$310$	$690$	$1 000$

$P (C) = \frac{310}{1 000} = 0, 31$ . Un cavalier prend un cours collectif : la probabilité qu’il soit débutant est $P_{C} (D) = \frac{240}{310} = \frac{24}{31} \approx 0, 774$ . Les débutants ne sont que $30 %$ des cavaliers, mais environ $77 %$ des élèves des cours collectifs.

Du tableau à l’arbre « inversé ». Avec le même tableau, on peut placer $C$ au premier niveau : $P (C) = 0, 31$ , $P (\overset{―}{C}) = 0, 69$ ; puis $P_{C} (D) = \frac{24}{31}$ et $P_{C} (\overset{―}{D}) = \frac{70}{310} = \frac{7}{31}$ ; $P_{\overset{―}{C}} (D) = \frac{60}{690} = \frac{2}{23}$ et $P_{\overset{―}{C}} (\overset{―}{D}) = \frac{630}{690} = \frac{21}{23}$ .

Réflexe — Quand la question demande une probabilité « dans l’autre sens » que l’arbre, je construis le tableau sur $1 000$ (ou $10 000$ ) individus : chaque case vaut l’effectif total multiplié par la probabilité du chemin. Puis je divise la case par le total de la condition. C’est la méthode du tableau à partir de pourcentages du chapitre Croisement de deux variables qualitatives, lue en probabilités.

Attention — $P (C)$ ne se lit sur aucune branche : il faut additionner les deux cases de la colonne $C$ . Si une probabilité de départ est petite (par exemple $0, 5 %$ ), $1 000$ ne suffit pas : on prend $10 000$ ou $100 000$ pour garder des effectifs entiers.

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Probabilité de B sachant A ou de A sachant B ? Tests et faux positifs

Ce qu’il faut savoir

Deux probabilités différentes. $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ et $P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$ ont le même numérateur mais pas le même dénominateur : en général, $P_{A} (B) \neq P_{B} (A)$ . Les confondre, c’est inverser le conditionnement.

Test diagnostique. On note $M$ : « la personne est malade » et $T$ : « le test est positif ».

• Vrai positif : malade et positif ( $M \cap T$ ). Faux positif : sain mais positif ( $\overset{―}{M} \cap T$ ).

• Faux négatif : malade mais négatif ( $M \cap \overset{―}{T}$ ). Vrai négatif : sain et négatif ( $\overset{―}{M} \cap \overset{―}{T}$ ).

• Sensibilité : $P_{M} (T)$ , la proportion de malades que le test détecte. Spécificité : $P_{\overset{―}{M}} (\overset{―}{T})$ , la proportion de personnes saines dont le test est négatif. Ce sont les qualités du test, mesurées par le fabricant.

La question du patient est « je suis positif : quelle est la probabilité que je sois malade ? », c’est-à-dire $P_{T} (M)$ . Elle dépend aussi de la proportion de malades $P (M)$ : quand la maladie est rare, les faux positifs peuvent être plus nombreux que les vrais positifs.

Exemples

Un test et ses faux positifs. Une infection touche $5 %$ d’une population. Un test a une sensibilité de $92 %$ et une spécificité de $85 %$ . On choisit une personne au hasard. Données : $P (M) = 0, 05$ , $P_{M} (T) = 0, 92$ , $P_{\overset{―}{M}} (\overset{―}{T}) = 0, 85$ , donc $P_{\overset{―}{M}} (T) = 0, 15$ .

Sur $10 000$ personnes : $500$ malades, dont $500 \times 0, 92 = 460$ positifs ; $9 500$ personnes saines, dont $9 500 \times 0, 15 = 1 425$ positives (les faux positifs).

	Positifs $T$	Négatifs $\overset{―}{T}$	Total
Malades $M$	$460$	$40$	$500$
Sains $\overset{―}{M}$	$1 425$	$8 075$	$9 500$
Total	$1 885$	$8 115$	$10 000$

$P_{T} (M) = \frac{460}{1 885} = \frac{92}{377} \approx 0, 244$ . Une personne positive n’a qu’environ $24 %$ de risque d’être malade : environ $3$ positifs sur $4$ sont des faux positifs. Le test reste utile : $P_{\overset{―}{T}} (\overset{―}{M}) = \frac{8 075}{8 115} \approx 0, 995$ , un résultat négatif est très rassurant.

Hors médecine. On choisit un élève du lycée au hasard ( $C$ : « il chante dans la chorale », $F$ : « c’est une fille »). « $90 %$ des choristes sont des filles » donne $P_{C} (F) = 0, 9$ , ce qui ne dit rien de $P_{F} (C)$ , la proportion de filles du lycée qui chantent dans la chorale.

Réflexe — Je repère la condition dans la phrase : « parmi les malades » donne l’indice $M$ , « parmi les positifs » donne l’indice $T$ . Pour répondre à la question du patient, je construis le tableau sur $10 000$ personnes et je divise les vrais positifs par le total des positifs.

Attention — « Le test est fiable à $92 %$ » donne $P_{M} (T) = 0, 92$ , pas $P_{T} (M)$ . Un test très sensible peut donner une majorité de faux positifs si la maladie est rare.

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Pour aller plus loin

Fréquences conditionnelles en statistique. Le même calcul « case ÷ total de la ligne ou de la colonne » sert à décrire une population sans tirage au sort : tableau croisé d’effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, filtres ET, OU, NON, dans le chapitre Croisement de deux variables qualitatives.

D’où viennent les probabilités d’un modèle ? Quand on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence observée est proche de la probabilité : c’est la loi des grands nombres, observée par simulation en Python dans le chapitre Loi des grands nombres et simulation.

Ensembles et logique. Intersection, réunion, complémentaire et produit cartésien sont travaillés dans le chapitre Ensembles de nombres et intervalles ; « et », « ou » et la négation dans Logique et raisonnements.

Se verra en 1re. Additionner les chemins d’un arbre qui mènent à $B$ deviendra une formule générale, la formule des probabilités totales, avec une partition de l’univers en plusieurs cas : en 2nde, elle n’est pas exigée : on additionne les cases d’une colonne du tableau, ou les chemins de l’arbre qui mènent à $B$ . En 1re aussi : l’indépendance de deux événements ( $P_{A} (B) = P (B)$ ).

Un peu d’histoire. Le calcul des probabilités est né au XVII^e siècle d’échanges de lettres entre Pascal et Fermat sur des jeux de hasard ; l’« inversion » d’une probabilité conditionnelle apparaît chez Bayes au XVIII^e siècle, et Laplace en fait une théorie.

À retenir

La loi de probabilité est une hypothèse du modèle ; en cas d’équiprobabilité, $P (A) = \frac{C a r d (A)}{C a r d (Ω)}$ , et toujours $P (\overset{―}{A}) = 1 - P (A)$ .
Si $P (A) \neq 0$ : $P_{A} (B) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}$ ; dans un tableau, on divise par l’effectif de la condition $A$ , pas par le total général.
Arbre pondéré : branches d’un même nœud de somme $1$ ; second niveau = probabilités conditionnelles ; chemin = produit, $P (A \cap B) = P (A) \times P_{A} (B)$ .
Pour une probabilité « dans l’autre sens », tableau sur $1 000$ ou $10 000$ individus : $P_{B} (A) = \frac{C a r d (A \cap B)}{C a r d (B)}$ .
En général $P_{A} (B) \neq P_{B} (A)$ : sensibilité $P_{M} (T)$ et spécificité $P_{\overset{―}{M}} (\overset{―}{T})$ ne disent pas $P_{T} (M)$ , qui chute quand la maladie est rare (faux positifs).

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité en situation d’équiprobabilité ?

Si toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, choix au hasard), la probabilité d’un événement A est son nombre d’issues divisé par le nombre total d’issues : P(A) = Card(A) / Card(Ω). Sinon, on additionne les probabilités des issues de A. La loi de probabilité est une hypothèse du modèle : elle ne se démontre pas.

Comment calculer une probabilité conditionnelle dans un tableau croisé ?

On repère la condition (« parmi les … », « sachant que … ») et on divise l’effectif de la case par le total de la ligne ou de la colonne de cette condition, pas par le total général. La formule générale est P sachant A de B = P(A ∩ B) / P(A), avec P(A) non nulle.

Comment construire un arbre pondéré ?

Au premier niveau, on place A et son contraire avec leurs probabilités. Au second niveau, depuis chaque nœud, on place les probabilités conditionnelles : « parmi les A » donne une branche partant de A. Les branches d’un même nœud ont pour somme 1 et la probabilité d’un chemin est le produit de ses branches.

Comment calculer une probabilité dans l’autre sens de l’arbre ?

On construit un tableau d’effectifs sur 1 000 ou 10 000 individus : chaque case vaut l’effectif total multiplié par la probabilité du chemin. L’effectif de B est le total de sa colonne, et la probabilité de A sachant B est l’effectif de A ∩ B divisé par celui de B.

Qu’est-ce qu’un faux positif ?

C’est une personne saine dont le test est positif. La sensibilité d’un test est la proportion de malades détectés, la spécificité la proportion de personnes saines dont le test est négatif. Quand une maladie est rare, la probabilité d’être malade sachant que le test est positif peut être faible : les faux positifs sont alors plus nombreux que les vrais positifs.

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