Échantillonnage et loi des grands nombres

Échantillon, fluctuation d'échantillonnage, fréquence et probabilité, loi des grands nombres (approche expérimentale), simulation en Python, proportion d'échantillons dont la fréquence est proche de p

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Échantillonnage et loi des grands nombres » en seconde permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de seconde et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, Fréquence et probabilité : la loi des grands nombres, Proportion d'échantillons dont la fréquence est proche de p, Simuler des échantillons en Python. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en seconde.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Vocabulaire et fréquence observée

Facile

Dans un lycée de 1 150 élèves, on interroge 90 élèves choisis au hasard (choix assimilé à un tirage avec remise) : 27 déclarent venir au lycée à pied.

a) Préciser la population, le caractère étudié et la taille de l'échantillon.
b) Calculer la fréquence observée $f$ du caractère dans cet échantillon.
c) Un autre échantillon de 90 élèves du même lycée compte 33 élèves venant à pied. Calculer sa fréquence, arrondie au millième, et nommer le phénomène observé.

a) La population est l'ensemble des 1 150 élèves du lycée. Le caractère étudié est « venir au lycée à pied ». L'échantillon est formé des élèves interrogés : sa taille est $n = 90$ .

b) $f = \frac{27}{90} = 0, 3$ . 30 % des élèves de l'échantillon viennent à pied.

c) $f^{'} = \frac{33}{90} \approx 0, 367$ . Deux échantillons de même taille, issus de la même population, donnent des fréquences différentes : c'est la fluctuation d'échantillonnage. Aucun des deux résultats n'est « faux » : chacun dépend du hasard du choix des élèves.

Exercice 2 — Calculer l'intervalle p ± 1/√n

Facile

Une expérience aléatoire a une probabilité de succès $p = 0, 7$ .

a) Pour $n = 100$ , calculer $\frac{1}{\sqrt{n}}$ puis l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ .
b) Même question pour $n = 1 600$ .
c) Même question pour $n = 10 000$ .
d) Par combien la largeur de l'intervalle a-t-elle été divisée entre a) et b) ? Justifier par un calcul.

a) $\sqrt{100} = 10$ donc $\frac{1}{\sqrt{100}} = 0, 1$ . L'intervalle est $[0, 7 - 0, 1; 0, 7 + 0, 1]$ , soit $[0, 6; 0, 8]$ .

b) $\sqrt{1 600} = 40$ donc $\frac{1}{40} = 0, 025$ . L'intervalle est $[0, 675; 0, 725]$ .

c) $\sqrt{10 000} = 100$ donc $\frac{1}{100} = 0, 01$ . L'intervalle est $[0, 69; 0, 71]$ .

d) Les largeurs valent $0, 8 - 0, 6 = 0, 2$ et $0, 725 - 0, 675 = 0, 05$ ; or $\frac{0, 2}{0, 05} = 4$ . La largeur a été divisée par 4. C'est cohérent : $n$ a été multiplié par 16 et $\sqrt{16} = 4$ , donc $\frac{1}{\sqrt{n}}$ a été divisé par 4.

Exercice 3 — Lire une simulation

Facile

Une roue de loterie est partagée en 8 secteurs de même taille, dont 3 rouges. On simule $n$ lancers de la roue et on relève la fréquence $f$ des secteurs rouges.

$n$	40	300	3 000	30 000
$f$	0,45	0,39	0,379	0,374 4

a) Calculer la probabilité $p$ d'obtenir un secteur rouge, sous forme décimale.
b) Calculer l'écart $| f - p |$ pour chaque valeur de $n$ .
c) Quelle propriété du cours ces résultats illustrent-ils ?
d) Un joueur a vu le rouge sortir souvent et affirme : « le rouge a maintenant moins de chances de sortir ». Expliquer son erreur.

a) Les 8 secteurs sont équiprobables et 3 sont rouges : $p = \frac{3}{8} = 0, 375$ .

b) $| 0, 45 - 0, 375 | = 0, 075$ ; $| 0, 39 - 0, 375 | = 0, 015$ ; $| 0, 379 - 0, 375 | = 0, 004$ ; $| 0, 3744 - 0, 375 | = 0, 0006$ . Les écarts diminuent quand $n$ augmente.

c) C'est la loi des grands nombres : quand la taille de l'échantillon augmente, la fréquence observée se stabilise autour de la probabilité $p = 0, 375$ .

d) Les lancers sont indépendants : la roue n'a pas de mémoire. À chaque lancer, la probabilité d'obtenir rouge reste 0,375. La loi des grands nombres ne fonctionne pas par compensation des résultats passés : les écarts deviennent négligeables parce qu'ils sont « dilués » dans un très grand nombre de lancers.

Exercice 4 — Des graines qui germent

Moyen

Un semencier affirme que 85 % de ses graines de tomate germent. On sème 225 graines prises au hasard dans sa production (choix assimilé à un tirage avec remise).

a) Donner la valeur exacte de $\frac{1}{\sqrt{225}}$ , puis son arrondi au dix-millième.
b) Déterminer l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ associé à l'affirmation, bornes arrondies au millième.
c) Dans un lot A de 225 graines, 181 germent. L'affirmation est-elle mise en doute ?
d) Dans un lot B de 225 graines, 168 germent. Même question.

a) $\sqrt{225} = 15$ donc $\frac{1}{\sqrt{225}} = \frac{1}{15} \approx 0, 0667$ .

b) Avec $p = 0, 85$ : $0, 85 - \frac{1}{15} \approx 0, 783$ et $0, 85 + \frac{1}{15} \approx 0, 917$ . L'intervalle est $[0, 783; 0, 917]$ .

c) $f_{A} = \frac{181}{225} \approx 0, 804$ . Comme $0, 783 \leq 0, 804 \leq 0, 917$ , la fréquence est dans l'intervalle : le lot A est compatible avec l'affirmation, qui n'est pas mise en doute.

d) $f_{B} = \frac{168}{225} \approx 0, 747$ . Or $0, 747 < 0, 783$ : la fréquence est hors de l'intervalle. On met en doute l'affirmation du semencier, avec un risque d'erreur d'environ 5 %.

Exercice 5 — Choisir la taille de l'échantillon

Moyen

a) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 008$ .
b) Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 015$ .
c) Montrer que si l'on multiplie $n$ par 9, alors $\frac{1}{\sqrt{n}}$ est divisé par 3.
d) Un élève affirme : « pour diviser par 2 la largeur de l'intervalle, il suffit de doubler la taille de l'échantillon ». Expliquer son erreur.

a) Tous les nombres sont positifs. $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 008 ⟺ \sqrt{n} \geq \frac{1}{0, 008} = 125$ (la fonction inverse est décroissante sur $] 0; + \infty [$ ) $⟺ n \geq 125^{2} = 15 625$ (la fonction carré est croissante sur $[0; + \infty [$ ). Le plus petit entier est $n = 15 625$ .

b) De même, $\sqrt{n} \geq \frac{1}{0, 015} = 66, 66 \dots$ , donc $n \geq {(\frac{1}{0, 015})}^{2} = 4 444, 4 \dots$ Comme $n$ est entier, $n = 4 445$ . Vérification : $\frac{1}{\sqrt{4 444}} \approx 0, 015 001 > 0, 015$ et $\frac{1}{\sqrt{4 445}} \approx 0, 014 999 \leq 0, 015$ .

c) $\frac{1}{\sqrt{9 n}} = \frac{1}{\sqrt{9} \times \sqrt{n}} = \frac{1}{3 \sqrt{n}} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{\sqrt{n}}$ . La quantité $\frac{1}{\sqrt{n}}$ est bien divisée par 3.

d) La largeur vaut $\frac{2}{\sqrt{n}}$ . En doublant $n$ , on obtient $\frac{2}{\sqrt{2 n}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{2}{\sqrt{n}}$ : la largeur n'est divisée que par $\sqrt{2} \approx 1, 41$ . Pour la diviser par 2, il faut multiplier $n$ par 4, car $\sqrt{4} = 2$ .

Exercice 6 — Simulation en Python

Moyen

On considère la fonction suivante.

from random import random

def freq(n, p):
    s = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            s = s + 1
    return s / n

a) Que représente la variable $s$ ? Que renvoie $f r e q (n, p)$ ?
b) Écrire l'appel qui simule 500 lancers d'une pièce équilibrée et renvoie la fréquence de pile.
c) Écrire une fonction $n b_{p} r o c h e s (N, n, p)$ qui simule $N$ échantillons de taille $n$ et renvoie le nombre d'entre eux dont la fréquence $f$ vérifie $| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ .
d) L'appel $n b_{p} r o c h e s (240, 64, 0.5)$ renvoie 229. Interpréter ce résultat.

a) $r a n d o m ()$ renvoie un réel de $[0; 1 [$ , et le test $r a n d o m () < p$ est vrai avec la probabilité $p$ : il simule un succès. La variable $s$ compte les succès au cours des $n$ répétitions. La fonction renvoie $s / n$ , c'est-à-dire la fréquence observée des succès dans un échantillon de taille $n$ .

b) Pour une pièce équilibrée, $p = 0, 5$ : $f r e q (500, 0.5)$ .

from math import sqrt

def nb_proches(N, n, p):
    compteur = 0
    for k in range(N):
        f = freq(n, p)
        if abs(f - p) <= 1 / sqrt(n):
            compteur = compteur + 1
    return compteur

La boucle simule les $N$ échantillons ; le compteur augmente de 1 chaque fois que l'écart est au plus $\frac{1}{\sqrt{n}}$ .

d) Ici $\frac{1}{\sqrt{64}} = 0, 125$ : on compte les échantillons de taille 64 dont la fréquence est dans $[0, 375; 0, 625]$ . On trouve $\frac{229}{240} \approx 0, 954$ : environ 95,4 % des échantillons simulés sont proches de $p$ , ce qui est conforme à la propriété des « environ 95 % ».

Exercice 7 — Dix échantillons d'une urne

Moyen

Une urne contient des boules dont 35 % sont rouges. On forme 10 échantillons de 144 tirages avec remise et on relève, pour chacun, le nombre $k$ de boules rouges : 49 ; 57 ; 44 ; 51 ; 62 ; 38 ; 50 ; 55 ; 47 ; 53.

a) Déterminer l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ (bornes arrondies au dix-millième).
b) Montrer qu'un échantillon a une fréquence dans cet intervalle si et seulement si $39 \leq k \leq 62$ .
c) Combien d'échantillons ont une fréquence dans l'intervalle ? Quelle proportion cela représente-t-il ?
d) Un élève en déduit : « la propriété des 95 % est fausse ». Qu'en penser ?

a) $\sqrt{144} = 12$ donc $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{12} \approx 0, 0833$ . L'intervalle est $[0, 35 - \frac{1}{12}; 0, 35 + \frac{1}{12}] \approx$ $[0, 2667; 0, 4333]$ .

b) La fréquence vaut $f = \frac{k}{144}$ . En multipliant par 144 (positif) : $0, 35 - \frac{1}{12} \leq \frac{k}{144} \leq 0, 35 + \frac{1}{12} ⟺ 50, 4 - 12 \leq k \leq 50, 4 + 12 ⟺ 38, 4 \leq k \leq 62, 4$ . Comme $k$ est entier, cela équivaut à $39 \leq k \leq 62$ .

c) Seul l'échantillon avec $k = 38$ est hors de l'intervalle ( $38 < 38, 4$ ) ; celui avec $k = 62$ est dedans. 9 échantillons sur 10, soit 90 %, ont une fréquence dans l'intervalle.

d) La propriété dit qu'environ 95 % des échantillons conviennent lorsqu'on en observe un grand nombre. Avec seulement 10 échantillons, la proportion observée fluctue elle aussi : obtenir 9 sur 10 est tout à fait normal. Cette observation ne contredit pas la propriété.

Exercice 8 — Quand p est petit

Difficile

Un fabricant de puces électroniques annonce 3 % de puces défectueuses. Un client contrôle 256 puces prélevées au hasard (tirage assimilé à un tirage avec remise).

a) Calculer $\frac{1}{\sqrt{256}}$ et l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ .
b) Expliquer pourquoi on peut, en pratique, remplacer cet intervalle par $[0; 0, 0925]$ .
c) Le client trouve 27 puces défectueuses. Que peut-il conclure ?
d) Combien de puces défectueuses le client peut-il trouver, au maximum, sans mettre en doute l'annonce ?

a) $\sqrt{256} = 16$ donc $\frac{1}{\sqrt{256}} = \frac{1}{16} = 0, 0625$ . Avec $p = 0, 03$ : $0, 03 - 0, 0625 = - 0, 0325$ et $0, 03 + 0, 0625 = 0, 0925$ . L'intervalle est $[- 0, 0325; 0, 0925]$ .

b) Une fréquence est toujours comprise entre 0 et 1 : aucune fréquence n'est négative. La partie $[- 0, 0325; 0 [$ ne contient donc aucune fréquence possible, et seules les fréquences de $[0; 0, 0925]$ sont concernées.

c) $f = \frac{27}{256} \approx 0, 1055 > 0, 0925$ : la fréquence est hors de l'intervalle. Le client peut mettre en doute l'annonce du fabricant, avec un risque d'erreur d'environ 5 %.

d) Il faut $\frac{k}{256} \leq 0, 0925$ , soit $k \leq 256 \times 0, 0925 = 23, 68$ . Comme $k$ est entier, le client peut trouver au plus 23 puces défectueuses sans mettre en doute l'annonce.

Exercice 9 — Deux sondages, un paradoxe apparent

Difficile

On teste l'hypothèse « la moitié des habitants d'une région est favorable à un projet », soit $p = 0, 5$ . Le sondage A interroge 324 personnes et obtient une fréquence de favorables $f_{A} = 0, 54$ . Le sondage B interroge 1 296 personnes et obtient $f_{B} = 0, 535$ .

a) Pour le sondage A, déterminer l'intervalle $[p - \frac{1}{\sqrt{n}}; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ et conclure.
b) Même question pour le sondage B.
c) La fréquence du sondage A est plus éloignée de 0,5 que celle du sondage B ; pourtant c'est B qui conduit à douter de l'hypothèse. Expliquer.
d) Après le sondage B, un journaliste écrit : « il est prouvé que plus de la moitié des habitants sont favorables ». Critiquer cette phrase.

a) $\sqrt{324} = 18$ , $\frac{1}{18} \approx 0, 0556$ . L'intervalle est $\approx [0, 4444; 0, 5556]$ . Comme $0, 54$ y appartient, le sondage A est compatible avec $p = 0, 5$ .

b) $\sqrt{1 296} = 36$ , $\frac{1}{36} \approx 0, 0278$ . L'intervalle est $\approx [0, 4722; 0, 5278]$ . Or $0, 535 > 0, 5278$ : le sondage B conduit à mettre en doute $p = 0, 5$ (risque d'environ 5 %).

c) Ce qui compte n'est pas l'écart seul, mais l'écart comparé à $\frac{1}{\sqrt{n}}$ . Pour A : $0, 04 \leq \frac{1}{18} \approx 0, 056$ . Pour B : $0, 035 > \frac{1}{36} \approx 0, 028$ . Un échantillon plus grand fluctue moins : l'intervalle est plus étroit, donc un écart plus petit suffit à devenir significatif.

d) Deux erreurs. D'abord, la décision comporte un risque d'environ 5 % : ce n'est pas une preuve. Ensuite, le test met seulement en doute la valeur 0,5. En estimant $p$ à partir de B, on obtient $[0, 535 - \frac{1}{36}; 0, 535 + \frac{1}{36}] \approx [0, 507; 0, 563]$ : il est vraisemblable, mais pas certain, que la proportion dépasse la moitié.

Exercice 10 — Estimer la probabilité d'une punaise

Difficile

Pour estimer la probabilité $p$ qu'une punaise lancée retombe pointe en haut, on effectue 3 600 lancers : elle retombe pointe en haut 2 196 fois.

a) Calculer la fréquence observée $f$ .
b) Justifier que $p$ appartient à l'intervalle $[f - \frac{1}{\sqrt{n}}; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ pour environ 95 % des échantillons, puis donner cet intervalle (bornes au millième).
c) Un camarade affirme que $p = 0, 6$ . Ce résultat le contredit-il ?
d) Combien de lancers faudrait-il au minimum pour que $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 005$ ?

a) $f = \frac{2 196}{3 600} = 0, 61$ .

b) Pour environ 95 % des échantillons, $| f - p | \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Or $| f - p | = | p - f |$ : la distance de $p$ à $f$ est donc au plus $\frac{1}{\sqrt{n}}$ , c'est-à-dire $f - \frac{1}{\sqrt{n}} \leq p \leq f + \frac{1}{\sqrt{n}}$ . Ici $\frac{1}{\sqrt{3 600}} = \frac{1}{60} \approx 0, 0167$ , d'où $p \in [0, 593; 0, 627]$ (avec un risque d'erreur d'environ 5 %).

c) $0, 6$ appartient à cet intervalle (l'écart $| 0, 61 - 0, 6 | = 0, 01$ est inférieur à $\frac{1}{60}$ ). Le résultat ne contredit pas le camarade ; il ne prouve pas non plus que $p = 0, 6$ exactement : d'autres valeurs, comme 0,62, sont tout aussi compatibles.

d) $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0, 005 ⟺ \sqrt{n} \geq 200 ⟺ n \geq 40 000$ . Il faudrait au moins 40 000 lancers.

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