Comment calculer la médiane d'une série statistique ?

On ordonne les valeurs par ordre croissant. Si l'effectif total n est impair, la médiane est la valeur du milieu (rang (n+1)/2). Si n est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales (rang n/2 et n/2+1).

Quelle est la différence entre variance et écart-type ?

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne. L'écart-type est la racine carrée de la variance ; il a la même unité que les données et est plus facile à interpréter.

À quoi servent les quartiles Q1 et Q3 ?

Q1 est la valeur en dessous de laquelle se trouve 25 % des données (premier quart), Q3 en dessous de laquelle se trouvent 75 % des données. Ils permettent de calculer l'intervalle interquartile Q3 − Q1.

Quand utiliser un histogramme plutôt qu'un diagramme en bâtons ?

On utilise un histogramme pour des données continues regroupées en classes (aires proportionnelles aux effectifs). Le diagramme en bâtons est réservé aux données discrètes (valeurs isolées).

Lycée · 2ⁿᵈᵉ · Mathématiques

Statistiques descriptives

Analyser et représenter des données : indicateurs de position, de dispersion et représentations graphiques (programme de 2nde générale)

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en seconde sur « Statistiques descriptives » suit le programme officiel de mathématiques de seconde. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Population, individu et caractère, Effectifs, fréquences et représentations graphiques, Indicateurs de position : moyenne et médiane, Quartiles et boîte à moustaches. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de seconde à réussir en mathématiques.

Population, individu et caractère

En statistiques, on étudie un caractère (ou variable statistique) sur une population. Chaque élément de cette population est appelé individu.

Définitions.
• La population est l'ensemble de tous les individus étudiés.
• Un individu est un élément de la population.
• Le caractère est la propriété que l'on observe sur chaque individu.
• L'effectif total noté N est le nombre total d'individus.

Un caractère peut être :

Qualitatif : les valeurs sont des catégories (ex. : couleur des yeux, genre musical préféré).
Quantitatif discret : les valeurs sont des nombres entiers ou isolés (ex. : nombre de frères et sœurs, note sur 20).
Quantitatif continu : les valeurs peuvent prendre toute valeur dans un intervalle (ex. : taille en cm, masse en kg).

Exemple. Dans une classe de 30 élèves, on relève la taille de chacun. La population est la classe (30 individus), le caractère est la taille (quantitatif continu), et N = 30.

Effectifs, fréquences et représentations graphiques

On organise les données dans un tableau statistique. Pour chaque valeur x_i, on note n_i l'effectif (nombre d'individus ayant cette valeur) et f_i la fréquence relative.

Fréquence relative. $f_{i} = n_{i} / N$ (souvent exprimée en pourcentage). La somme des effectifs vaut N, la somme des fréquences vaut 1 (ou 100 %).

Type de caractère	Représentation graphique
Qualitatif	Diagramme circulaire (camembert) ou diagramme en barres
Quantitatif discret	Diagramme en bâtons (hauteur = effectif ou fréquence)
Quantitatif continu (classes)	Histogramme (aire ∝ effectif)

Astuce. Dans un histogramme à classes de largeur égale, la hauteur des rectangles est proportionnelle aux effectifs. Si les classes ont des largeurs différentes, la hauteur est la densité = effectif ÷ largeur de classe.

Exemple. Notes obtenues par 25 élèves :

Note	Effectif n_i	Fréquence f_i (%)
8	3	12
10	7	28
12	9	36
14	4	16
16	2	8
Total	25	100

Indicateurs de position : moyenne et médiane

Moyenne. La moyenne d'une série est notée x̄ (lire « x barre »). Si les valeurs sont x₁, x₂, …, x_p avec les effectifs n₁, n₂, …, n_p :
$x̄ = (n_{1}\cdot x_{1} + n_{2}\cdot x_{2} + … + n_{p}\cdot x_{p}) / N$

Médiane. On ordonne les valeurs par ordre croissant. La médiane M est la valeur qui partage la série en deux groupes d'effectifs égaux :
• Si N est impair : M est la valeur de rang (N+1)/2.
• Si N est pair : M est la moyenne des valeurs de rang N/2 et N/2+1.

Astuce. La médiane est souvent préférable à la moyenne pour décrire une série avec des valeurs extrêmes (« valeurs aberrantes »), car elle en est peu affectée.

Exemple. Série : 5, 7, 9, 9, 10, 12, 15 (N = 7).
Moyenne : x̄ = (5+7+9+9+10+12+15)/7 = 67/7 ≈ 9,57.
Médiane : rang (7+1)/2 = rang 4 → M = 9.

Attention ! Pour calculer la médiane, il faut d'abord trier les données par ordre croissant. Ne jamais oublier ce tri préalable.

Quartiles et boîte à moustaches

Quartiles.
• Le premier quartile Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
• Le troisième quartile Q₃ est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
• La médiane M est le deuxième quartile Q₂.

On utilise le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) pour visualiser la distribution d'une série. Il représente :

le minimum et le maximum (extrémités des moustaches),
Q₁ et Q₃ (côtés de la boîte),
la médiane M (trait vertical à l'intérieur de la boîte).

Intervalle interquartile. L'intervalle interquartile est [Q₁ ; Q₃]. Il contient 50 % des données centrales. Sa longueur est Q₃ − Q₁.

Exemple. Série (triée, N = 12) : 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 16, 18.
• Médiane M = moyenne des valeurs de rang 6 et 7 = (9+10)/2 = 9,5.
• Q₁ : on cherche dans les 6 premières valeurs : médiane = (6+7)/2 = 6,5.
• Q₃ : on cherche dans les 6 dernières valeurs : médiane = (13+14)/2 = 13,5.
• Intervalle interquartile : [6,5 ; 13,5], longueur = 7.

Astuce. La boîte à moustaches permet de visualiser rapidement si la distribution est symétrique ou asymétrique, et de détecter des valeurs inhabituelles.

Indicateurs de dispersion : étendue, variance et écart-type

Les indicateurs de dispersion mesurent comment les données sont « écartées » autour d'une valeur centrale.

Étendue. L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : $e = x_{max} - x_{min}$. Elle est simple mais très sensible aux valeurs extrêmes.

Variance et écart-type. Si la série a pour valeurs x₁, …, x_p d'effectifs n₁, …, n_p et de moyenne x̄ :
$V = (n_{1}(x_{1}-x̄)^{2} + … + n_{p}(x_{p}-x̄)^{2}) / N$
L'écart-type est $σ = \sqrtV$. Il a la même unité que les données.

Attention ! Une petite valeur de σ indique des données regroupées près de la moyenne ; une grande valeur indique des données très dispersées. L'écart-type est toujours positif ou nul (σ = 0 ssi toutes les valeurs sont identiques).

Exemple. Série : 2, 4, 4, 6, 8, 10 (N = 6).
x̄ = (2+4+4+6+8+10)/6 = 34/6 ≈ 5,67.
V = [(2−5,67)²+(4−5,67)²+(4−5,67)²+(6−5,67)²+(8−5,67)²+(10−5,67)²]/6
= [13,45+2,79+2,79+0,11+5,43+18,75]/6 = 43,32/6 ≈ 7,22.
σ ≈ √7,22 ≈ 2,69.

Astuce – formule alternative. $V = (Σ n_{i}\cdot x_{i}^{2}) / N - x̄^{2}$. Cette formule évite de calculer chaque (x_i−x̄)² séparément et est souvent plus rapide à la calculatrice.

Séries groupées en classes

Lorsque les données sont continues ou nombreuses, on les regroupe en classes [a ; b[. On choisit en général des classes de même amplitude.

Centre de classe. Pour une classe [a ; b[, le centre est c = (a+b)/2. On utilise le centre de classe comme valeur représentative de la classe pour calculer la moyenne et l'écart-type.

La fréquence cumulée croissante (FCC) d'une classe est la somme des fréquences de toutes les classes jusqu'à cette classe incluse. Elle permet de lire graphiquement la médiane et les quartiles sur la courbe des fréquences cumulées (ogive).

Exemple. Masses (en kg) de 40 élèves :

Classe [a ; b[	Effectif	Centre c	FCC (%)
[45 ; 50[	5	47,5	12,5
[50 ; 55[	12	52,5	42,5
[55 ; 60[	14	57,5	77,5
[60 ; 65[	7	62,5	95,0
[65 ; 70[	2	67,5	100,0

Moyenne ≈ (5×47,5 + 12×52,5 + 14×57,5 + 7×62,5 + 2×67,5)/40 = 2237,5/40 ≈ 55,9 kg.
La médiane se lit sur l'ogive au niveau de 50 % (elle est dans la classe [55 ; 60[).

Astuce. Pour lire les quartiles sur l'ogive : Q₁ correspond à 25 % des FCC, M à 50 %, Q₃ à 75 %.

Comparaison de deux séries statistiques

Comparer deux séries statistiques nécessite de comparer à la fois leurs indicateurs de position (moyenne, médiane) et de dispersion (étendue, écart-type, intervalle interquartile).

Méthode de comparaison.
1. Calculer x̄, M, Q₁, Q₃, σ pour chaque série.
2. Comparer les moyennes (ou médianes) : laquelle est la plus élevée ?
3. Comparer les écarts-types (ou intervalles interquartiles) : laquelle est la plus dispersée ?
4. Conclure en répondant précisément à la question posée.

Exemple. Deux classes passent le même test (/20) :
Classe A : x̄_A = 12,5 ; σ_A = 3,2.
Classe B : x̄_B = 12,5 ; σ_B = 1,4.
Conclusion : Les deux classes ont la même moyenne, mais la classe B est plus homogène (écart-type plus faible).

Attention ! Une comparaison incomplète (ne portant que sur la moyenne) peut être trompeuse. Il faut toujours associer un indicateur de position à un indicateur de dispersion.

Astuce. Les boîtes à moustaches côte à côte sont l'outil idéal pour comparer visuellement deux séries : on voit immédiatement la position et la dispersion de chacune.

À retenir — Statistiques descriptives

Effectif n_i : nombre d'individus pour la valeur x_i ; fréquence f_i = n_i/N.
Moyenne : x̄ = (Σ n_i·x_i)/N ; médiane M : valeur centrale (50 % des données en dessous).
Quartiles : Q₁ (25 %) et Q₃ (75 %) encadrent 50 % des données.
Étendue = x_max − x_min ; variance V = (Σ n_i(x_i−x̄)²)/N ; écart-type σ = √V.
Classes : on utilise le centre de classe pour calculer moyenne et écart-type.
Toujours associer un indicateur de position ET un indicateur de dispersion pour comparer deux séries.

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