Statistiques descriptives

Vocabulaire. Une série statistique donne les valeurs d’un caractère (une note, une durée, une masse…) relevé sur les $N$ individus d’une population. L’effectif $n_i$ d’une valeur $x_i$ est le nombre d’individus qui prennent cette valeur ; sa fréquence est $f_i={\displaystyle \frac{n_i}{N}}$, un nombre entre $0$ et $1$, souvent écrit en pourcentage. Dans un diagramme circulaire, le secteur de la valeur $x_i$ a pour angle $360\times f_i$ degrés.

Moyenne. Pour des valeurs $x_1,\dots ,x_p$ d’effectifs $n_1,\dots ,n_p$ (avec $N=n_1+\dots +n_p$) : $$\bar{x}={\displaystyle \frac{n_1{x}_1+\dots +n_p{x}_p}{N}}.$$ Avec les fréquences : $\bar{x}=f_1{x}_1+\dots +f_p{x}_p$. C’est la valeur commune qu’aurait chaque individu si le total était partagé équitablement. Avec des coefficients à la place des effectifs, c’est une moyenne pondérée.

Somme des valeurs. Elle vaut toujours $N\times \bar{x}$. Pour réunir deux groupes, on repasse par les sommes : $\bar{x}={\displaystyle \frac{N_A\overline{x_A}+N_B\overline{x_B}}{N_A+N_B}}$, et non la demi-somme des deux moyennes (sauf si $N_A=N_B$).

Linéarité de la moyenne. Si l’on remplace chaque valeur $x$ par $y=ax+b$ ($a$ et $b$ réels), alors $\bar{y}=a\bar{x}+b$.

Ajouter ou retirer une valeur. Si l’on ajoute une valeur $v$ à une série de $N$ valeurs, la nouvelle moyenne vaut ${\displaystyle \frac{N\bar{x}+v}{N+1}}$ : elle augmente si $v>\bar{x}$, diminue si $v<\bar{x}$ et ne change pas si $v=\bar{x}$. Si l’on retire $v$, elle vaut ${\displaystyle \frac{N\bar{x}-v}{N-1}}$.

Toujours ranger d’abord la série dans l’ordre croissant, en répétant les valeurs égales.

Médiane $Me$. Elle partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
• $N$ impair : $Me$ est la valeur de rang ${\displaystyle \frac{N+1}{2}}$.
• $N$ pair : $Me$ est la demi-somme des valeurs de rangs ${\displaystyle \frac{N}{2}}$ et ${\displaystyle \frac{N}{2}}+1$.

Quartiles. $Q_1$ est la plus petite valeur de la série telle qu’au moins $25\%$ des valeurs lui soient inférieures ou égales : son rang est ${\displaystyle \frac{N}{4}}$, arrondi à l’entier supérieur s’il n’est pas entier. $Q_3$ : même règle avec $75\%$, rang ${\displaystyle \frac{3N}{4}}$. $Q_1$ et $Q_3$ sont toujours des valeurs de la série.

Tableau d’effectifs. On calcule les effectifs cumulés croissants pour repérer à quelle valeur correspond chaque rang.

Dispersion autour de la médiane. Étendue $=$ maximum $-$ minimum ; écart interquartile $=Q_3-Q_1$ : l’étalement des $50\%$ de valeurs centrales. Le diagramme en boîte résume la série par minimum, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, maximum.

Ajouter ou retirer une valeur. La médiane ne dépend que des rangs : ajouter ou retirer une valeur ne la déplace que d’un cran (elle reste entre les valeurs voisines du milieu de la série rangée), quelle que soit la taille de cette valeur. La moyenne, elle, peut changer beaucoup.

Variance. C’est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : $$V={\displaystyle \frac{n_1(x_1-\bar{x}{)}^2+\dots +n_p(x_p-\bar{x}{)}^2}{N}}.$$

Écart type. $\sigma =\sqrt{V}$. Il s’exprime dans la même unité que les données (la variance, en unité au carré, ne s’interprète pas directement). Il mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne : plus $\sigma$ est petit, plus la série est régulière. $\sigma ⩾0$, et $\sigma =0$ seulement si toutes les valeurs sont égales.

Ordre des calculs. D’abord $\bar{x}$, puis chaque écart $x_i-\bar{x}$, son carré multiplié par l’effectif, la somme, la division par $N$, enfin la racine carrée. À la calculatrice (mode statistiques), l’écart type est noté $\sigma$ ou $\sigma x$.

Changement de valeurs ($a>0$). Si $y=x+b$ : les écarts à la moyenne ne changent pas, donc ${\sigma }_y={\sigma }_x$. Si $y=ax$ : chaque écart est multiplié par $a$, donc ${\sigma }_y=a{\sigma }_x$. Plus généralement, si $y=ax+b$, alors ${\sigma }_y=a{\sigma }_x$ (et $\bar{y}=a\bar{x}+b$). La médiane suit la même transformation : $M{e}_y=aM{e}_x+b$, car l’ordre des valeurs est conservé ($a>0$).

En Python. Ces deux fonctions renvoient la moyenne et l’écart type des nombres de L. La boucle for x in L prend les valeurs une à une ; len(L) est le nombre de valeurs ; ** 0.5 calcule une racine carrée ; le return est aligné sur le for : il s’exécute après la boucle.

def moyenne(L):
    s = 0
    for x in L:
        s = s + x
    return s / len(L)

def ecart_type(L):
    m = moyenne(L)
    s = 0
    for x in L:
        s = s + (x - m) ** 2
    return (s / len(L)) ** 0.5

Deux couples d’indicateurs. On décrit une série par un indicateur de position et un indicateur de dispersion qui vont ensemble :
• moyenne et écart type : ils utilisent toutes les valeurs, mais sont sensibles aux valeurs extrêmes ;
• médiane et écart interquartile : ils ne dépendent que des rangs et résistent aux valeurs extrêmes.

Comparer deux séries. 1. Comparer les positions (moyennes ou médianes). 2. Comparer les dispersions (écarts types ou écarts interquartiles) : la série la moins dispersée est la plus régulière, la plus homogène. 3. Si une valeur extrême fausse la moyenne, argumenter avec le couple médiane / écart interquartile. 4. Conclure par une phrase qui répond à la question posée.

Diagrammes en boîte. Sur un même axe, on compare d’un coup d’œil les médianes (traits épais), les largeurs de boîtes (écarts interquartiles) et les étendues (moustaches).

Regroupement en classes. Quand le caractère est continu (durée, taille, masse), on regroupe les valeurs en classes $[a;b[$ de même amplitude $b-a$. On ne connaît plus chaque valeur, seulement l’effectif de chaque classe. Le centre de la classe est ${\displaystyle \frac{a+b}{2}}$.

Histogramme. Chaque classe est représentée par un rectangle posé sur l’intervalle $[a;b[$ ; les rectangles sont jointifs. L’aire de chaque rectangle est proportionnelle à l’effectif ; comme les classes ont la même amplitude, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs.

Moyenne à partir des moyennes des classes. Si l’on connaît, pour chaque classe, son effectif $n_i$ et la moyenne $m_i$ de ses valeurs, la moyenne de la série est la moyenne pondérée : $\bar{x}={\displaystyle \frac{n_1{m}_1+\dots +n_p{m}_p}{N}}$. C’est la valeur exacte.

Cas d’une répartition uniforme. Si l’on suppose les valeurs réparties uniformément dans chaque classe, la moyenne de chaque classe est son centre $c_i$, et $\bar{x}\approx {\displaystyle \frac{n_1{c}_1+\dots +n_p{c}_p}{N}}$. C’est une estimation : on écrit « $\approx$ ».

Effectifs cumulés croissants. L’effectif cumulé croissant d’une classe $[a;b[$ est le nombre de valeurs strictement inférieures à $b$ : on additionne les effectifs de proche en proche. Divisés par $N$, ils donnent les fréquences cumulées croissantes (la dernière vaut $100\%$).

Polygone des fréquences cumulées croissantes. On place le point (borne inférieure de la première classe ; $0$), puis, pour chaque classe, le point (borne supérieure ; fréquence cumulée), et on relie les points par des segments.

Classe médiane. C’est la classe qui contient la médiane : la première classe dont l’effectif cumulé croissant atteint ou dépasse ${\displaystyle \frac{N}{2}}$ (sa fréquence cumulée atteint $50\%$).

Estimer la médiane (valeurs réparties uniformément dans la classe médiane $[a;b[$). Si $C$ est l’effectif cumulé avant cette classe et $n$ son effectif : $$Me\approx a+(b-a)\times {\displaystyle \frac{\frac{N}{2}-C}{n}}.$$ Graphiquement, c’est l’abscisse du point du polygone d’ordonnée $50\%$.