Devoir surveillé : Fonction exponentielle et trigonométrie

1. a)$e^3\times e^{-7}=e^{3-7}=e^{-4}$, puis ${\displaystyle \frac{e^{-4}}{e^{-2}}}=e^{-4-(-2)}=e^{-2}$. (1 pt) (1)
2. b)$e^{2x}\times e^{1-x}=e^{2x+1-x}=e^{x+1}$. (1 pt) (1)
3. c)${180}^{\circ }$ correspondent à $\pi$ rad, donc ${195}^{\circ }$ correspondent à ${\displaystyle \frac{195}{180}}\pi ={\displaystyle \frac{13\pi }{12}}$ rad (on simplifie par $15$). (1 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ rad correspond à ${\displaystyle \frac{180}{12}}={15}^{\circ }$, donc ${\displaystyle \frac{7\pi }{12}}$ rad correspond à $7\times 15={105}^{\circ }$. (1 pt) (1)
5. e)${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{4}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. Les images de $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses : $\cos (-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})=\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ et $\sin (-{\displaystyle \frac{3\pi }{4}})=-\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{4}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — Pour convertir sans calculatrice, on passe par l'unité ${\displaystyle \frac{\pi }{12}}$ rad $={15}^{\circ }$ : la plupart des angles du cours en sont des multiples.

1. a)$e^a=e^b⟺a=b$ : $3x+1=x-5⟺2x=-6⟺x=-3$. $\mathcal{S}=\{-3\}$. (1 pt) (0,833333)
2. b)$x^2-3=2x⟺x^2-2x-3=0$ ; $\Delta =4+12=16$, d'où $x={\displaystyle \frac{2-4}{2}}=-1$ ou $x={\displaystyle \frac{2+4}{2}}=3$. $\mathcal{S}=\{-1;3\}$. (1 pt) (0,833333)
3. c)$1=e^0$ et $\exp$ est strictement croissante : $e^{2-5x}>e^0⟺2-5x>0⟺x<{\displaystyle \frac{2}{5}}$. $\mathcal{S}=]-\infty ;{\displaystyle \frac{2}{5}}[$. (1 pt) (0,833333)
4. d)$\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc l'équation s'écrit $e^{4x}=e^{\frac{1}{2}}⟺4x={\displaystyle \frac{1}{2}}⟺x={\displaystyle \frac{1}{8}}$. $\mathcal{S}=\left\{{\displaystyle \frac{1}{8}}\right\}$. (0,5 pt) (0,833333)
5. e)$3e^{-x}+7=4⟺3e^{-x}=-3⟺e^{-x}=-1$ ; or $e^{-x}>0$ pour tout réel $x$ : $\mathcal{S}=\varnothing$. (0,5 pt) (0,833333)
6. f)$e^{-x}>0$ pour tout $x$, donc $(x-3)e^{-x}$ a le signe de $x-3$ : négatif sur $]-\infty ;3[$, nul en $3$, positif sur $]3;+\infty [$. (1 pt) (0,833333)

Piège — Avant de résoudre, on isole l'exponentielle et on regarde le signe : une égalité du type $e^{-x}=-1$ n'a aucune solution, inutile de chercher plus loin.

1. a)$-{\displaystyle \frac{13\pi }{4}}+4\pi =-{\displaystyle \frac{13\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{16\pi }{4}}={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$ ; on a ajouté deux tours et ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\in ]-\pi ;\pi ]$ : la mesure principale est ${\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$. (1 pt) (1)
2. b)$\cos (-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})=\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$ et $\sin (-{\displaystyle \frac{5\pi }{6}})=-\sin {\displaystyle \frac{5\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ : le point a pour coordonnées $(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}};-{\displaystyle \frac{1}{2}})$. (1 pt) (1)
3. c)La longueur d'arc vaut rayon $\times$ angle en radians : $\ell =6\times {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=2\pi$ cm, soit environ $2\times 3,14=6,28$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ donne ${\sin }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{1}{9}}={\displaystyle \frac{8}{9}}$, donc $\sin x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ ou $\sin x=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ (car $\sqrt{{\displaystyle \frac{8}{9}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{8}}{3}}={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$). Comme $x\in [-{\displaystyle \frac{\pi }{2}};0]$, $\sin x⩽0$ : $\sin x=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$. (1 pt) (1)
5. e)$\cos (-x)=\cos x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; $\sin (\pi -x)=\sin x=-{\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$ ; $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=-\sin x={\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}}$. (1 pt : 0,5 pour deux résultats justes) (1)

Erreur fréquente — Avec ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$, on obtient deux valeurs possibles pour $\sin x$ : c'est l'intervalle de $x$ qui fixe le signe, à ne jamais oublier.

1. a)Dérivée d'un produit $uv$ avec $u(x)=3x-4$, $u\prime (x)=3$, $v(x)=e^x$, $v\prime (x)=e^x$ : $f\prime (x)=3e^x+(3x-4)e^x=(3x-1)e^x$. (1 pt) (1)
2. b)$e^x>0$, donc $f\prime (x)$ a le signe de $3x-1$ : négatif sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{3}}[$, nul en ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, positif sur $]{\displaystyle \frac{1}{3}};+\infty [$. $f$ est décroissante sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{1}{3}}]$ et croissante sur $[{\displaystyle \frac{1}{3}};+\infty [$. Tableau : $x$ : $-\infty$ | ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ | $+\infty$ ; signe de $f\prime (x)$ : $-$ | $0$ | $+$ ; variations de $f$ : décroissante, puis $-3e^{\frac{1}{3}}$, puis croissante. Minimum : $f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=(1-4)e^{\frac{1}{3}}=-3e^{\frac{1}{3}}$. (0,5 pt signe + 0,5 pt tableau + 0,5 pt minimum) (1)
3. c)$f(0)=(0-4)e^0=-4$ et $f\prime (0)=(0-1)e^0=-1$ : $T:y=f\prime (0)(x-0)+f(0)$, soit $y=-x-4$. (1 pt) (1)
4. d)$y=0⟺x=-4$ : $A(-4;0)$ ; $x=0$ donne $y=-4$ : $B(0;-4)$. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ avec $OA=OB=4$ : il est isocèle, ses angles aigus valent ${45}^{\circ }$, donc $OAB={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ rad. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
5. e)Longueur d'arc $=$ rayon $\times$ angle en radians $=4\times {\displaystyle \frac{\pi }{4}}=\pi$. (0,5 pt) (1)

Astuce — Un triangle rectangle isocèle donne immédiatement un angle de ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ : repérer $OA=OB$ évite tout calcul de trigonométrie.

1. a)${\left(e^x\right)}^3=e^{3x}$, donc ${\displaystyle \frac{e^{3x}}{e^{x+2}}}=e^{3x-x-2}=e^{2x-2}$. (0,5 pt) (0,6)
2. b)$-{\displaystyle \frac{35\pi }{6}}+6\pi ={\displaystyle \frac{-35\pi +36\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ (on a ajouté trois tours), qui est dans $]-\pi ;\pi ]$ : mesure principale ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. (0,5 pt) (0,6)
3. c)$\sin {\displaystyle \frac{7\pi }{6}}=\sin (\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}=\cos (2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ : la somme vaut $0$. (0,5 pt) (0,6)
4. d)La dérivée de $t\mapsto e^{at}$ est $t\mapsto a{e}^{at}$ : $g\prime (t)=4\times (-0,5)e^{-0,5t}=-2e^{-0,5t}$. (0,5 pt) (0,6)
5. e)${225}^{\circ }={\displaystyle \frac{225}{180}}\pi ={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$ rad (on simplifie par $45$) ; $\ell =12\times {\displaystyle \frac{5\pi }{4}}=15\pi$ cm, soit environ $15\times 3,14=47,1$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (0,6)

Méthode — Pour une mesure principale, on ajoute ou retire des multiples de $2\pi$ écrits avec le même dénominateur : $6\pi ={\displaystyle \frac{36\pi }{6}}$.

1. a)Vrai : ${\left(e^x\right)}^2=e^x\times e^x=e^{x+x}=e^{2x}$. (0,5 pt) (0,666667)
2. b)Faux : pour $x=-1$, $e^{-x}=e^1=e>1$. Un contre-exemple suffit. (0,5 pt) (0,666667)
3. c)Faux : ${\displaystyle \frac{11\pi }{6}}=2\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$, donc $\cos {\displaystyle \frac{11\pi }{6}}=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{6}})=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$, alors que $-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. (0,5 pt) (0,666667)
4. d)Vrai : $\sin (\pi -x)=\sin x$ et $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+x)=-\sin x$, donc la somme vaut $\sin x-\sin x=0$. (0,5 pt) (0,666667)
5. e)Faux : $e>2$, donc ${\displaystyle \frac{e}{2}}>1$, or un cosinus est toujours compris entre $-1$ et $1$. (1 pt) (0,666667)
6. f)Vrai : ${\cos }^{2}x⩽1$ ; et $x^2⩾0$ avec $\exp$ croissante donne $e^{x^2}⩾e^0=1$. Donc ${\cos }^{2}x⩽1⩽e^{x^2}$. (1 pt) (0,666667)

Piège — Une affirmation « pour tout $x$ » se réfute avec un seul contre-exemple, mais se démontre seulement par un raisonnement général : quelques essais ne prouvent rien.

1. a)Produit avec $u(x)=x^2-x-1$, $u\prime (x)=2x-1$, $v(x)=e^{-x}$, $v\prime (x)=-e^{-x}$ (dérivée de $e^{at}$ avec $a=-1$) : $f\prime (x)=(2x-1)e^{-x}-(x^2-x-1)e^{-x}=(-x^2+3x)e^{-x}=x(3-x)e^{-x}$. (1 pt) (1)
2. b)$e^{-x}>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $x(3-x)$, trinôme de racines $0$ et $3$, négatif à l'extérieur des racines. $f$ décroît sur $]-\infty ;0]$, croît sur $[0;3]$, décroît sur $[3;+\infty [$. $f(0)=-1$ (minimum local) et $f(3)=(9-3-1)e^{-3}=5e^{-3}$ (maximum local). Tableau : $x$ : $-\infty$ | $0$ | $3$ | $+\infty$ ; signe de $f\prime (x)$ : $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ ; variations de $f$ : décroissante jusqu'à $-1$, croissante jusqu'à $5e^{-3}$, puis décroissante. (0,5 pt signe + 0,5 pt tableau complet avec $f(0)=-1$ et $f(3)=5e^{-3}$) (1)
3. c)$f(1)=-e^{-1}$ et $f\prime (1)=1\times 2\times e^{-1}=2e^{-1}$ : $y=2e^{-1}(x-1)-e^{-1}$, soit $y={\displaystyle \frac{2x-3}{e}}$. (1 pt) (1)
4. d)$f\prime (\cos t)=\cos t(3-\cos t)e^{-\cos t}$ ; l'exponentielle est non nulle et $3-\cos t⩾2>0$ car $\cos t⩽1$. Donc $f\prime (\cos t)=0⟺\cos t=0⟺t=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ou $t={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ dans $]-\pi ;\pi ]$. (1 pt) (1)
5. e)$X=\sin t$ appartient à $[-1;1]$. D'après b), $f$ décroît sur $[-1;0]$ et croît sur $[0;1]$ : sur $[-1;1]$ son minimum est $f(0)=-1$, atteint seulement en $0$. Donc $f(\sin t)⩾-1$, avec égalité si et seulement si $\sin t=0$, soit $t=0$ ou $t=\pi$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — Pour étudier $f(\sin t)$ ou $f\prime (\cos t)$, on pose $X=\sin t$ ou $X=\cos t$ et on n'oublie pas que $X$ reste dans $[-1;1]$ : c'est souvent ce qui élimine une solution.

1. a)$A\prime (t)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times (-0,1)e^{-0,1t}=-{\displaystyle \frac{\pi }{30}}{e}^{-0,1t}<0$ : $A$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty [$, l'amplitude diminue. (1 pt) (1)
2. b)$A(0)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. Arc : $\ell =90\times {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=30\pi$ cm ($\approx 94,2$ cm). Hauteur : en notant $O$ le point d'attache, la masse est à $90\cos {\displaystyle \frac{\pi }{3}}=45$ cm sous $O$ (triangle rectangle), contre $90$ cm en position basse : elle est remontée de $90-45=45$ cm. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$A(t+2)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{e}^{-0,1t-0,2}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{e}^{-0,1t}\times e^{-0,2}=e^{-0,2}A(t)$. Toutes les $2$ secondes, l'amplitude est multipliée par environ $0,82$ : elle baisse d'environ $18\%$, comme pour une évolution à taux constant. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$A(t)<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}⟺e^{-0,1t}<{\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$. $A(6)={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{e}^{-0,6}\approx {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times 0,549>{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ et $A(8)\approx {\displaystyle \frac{\pi }{3}}\times 0,449<{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. $A$ étant décroissante, l'amplitude passe sous ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ entre $6$ et $8$ s, et y reste. (1 pt) (1)
5. e)$h=90-90\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=90-90\times {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=90-45\sqrt{3}$ cm $\approx 90-77,94=12,06$, soit environ $12,1$ cm. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — La hauteur de remontée n'est pas $90\cos \theta$ mais $90-90\cos \theta$ : on mesure à partir de la position la plus basse, pas depuis le point d'attache.

1. a)$e^{2\sin x}=e^1⟺2\sin x=1⟺\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Sur le cercle, deux points ont pour ordonnée ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ : $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ ou $x=\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$. (1 pt) (0,75)
2. b)$e^{\cos x}\times e^{\cos x}=e^{2\cos x}$ et $1=e^0$ : $2\cos x=0⟺\cos x=0⟺x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ ou $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$. (0,5 pt) (0,75)
3. c)${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\displaystyle \frac{4}{25}}={\displaystyle \frac{21}{25}}$ ; sur $\left]{\displaystyle \frac{\pi }{2}};\pi \right[$, $\cos x<0$, donc $\cos x=-\sqrt{{\displaystyle \frac{21}{25}}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}}$. (1 pt) (0,75)
4. d)$\cos (\pi +x)=-\cos x$, $\sin (\pi -x)=\sin x$, $\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-x)=\sin x$ : $B=-\cos x+2\sin x={\displaystyle \frac{\sqrt{21}}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{5}}={\displaystyle \frac{\sqrt{21}+4}{5}}$. (0,5 pt) (0,75)

Astuce — Sur le cercle, chaque valeur de sinus (hors $\pm 1$) correspond à deux points symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : $x$ et $\pi -x$.

1. a)$e^{2x}-1={\left(e^x\right)}^2-1=(e^x-1)(e^x+1)$ ; pour $x\ne 0$, $e^x\ne 1$, on simplifie : le quotient vaut $e^x+1$. (0,5 pt) (0,75)
2. b)Avec $X=e^x>0$ : $X^2+3X-4=(X-1)(X+4)$. Comme $X+4>0$, l'inéquation équivaut à $X-1⩽0$, soit $e^x⩽e^0$, donc $x⩽0$ ($\exp$ strictement croissante). $\mathcal{S}=]-\infty ;0]$. (1 pt) (0,75)
3. c)${\displaystyle \frac{2027\pi }{3}}={\displaystyle \frac{2028\pi -\pi }{3}}=676\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, et $676\pi =338\times 2\pi$ est un nombre entier de tours : mesure principale $-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$. (0,5 pt) (0,75)
4. d)$\cos (\pi -x)=-\cos x$ donne $\cos {\displaystyle \frac{6\pi }{7}}=-\cos {\displaystyle \frac{\pi }{7}}$, $\cos {\displaystyle \frac{5\pi }{7}}=-\cos {\displaystyle \frac{2\pi }{7}}$, $\cos {\displaystyle \frac{4\pi }{7}}=-\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{7}}$ : les termes s'annulent deux à deux, $S=0$. (1 pt) (0,75)

Astuce — Une somme de cosinus d'angles « symétriques » autour de ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ se simplifie par $\cos (\pi -x)=-\cos x$ : chercher les paires avant de calculer.

1. a)La dérivée de $x\mapsto e^{-x}$ est $x\mapsto -e^{-x}$ ($e^{at}$ avec $a=-1$). Produit : $q\prime (x)=f\prime (x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=f(x)e^{-x}-f(x)e^{-x}=0$. $q$ est donc constante sur $ℝ$, égale à $q(0)=f(0)e^0=1$. Ainsi $f(x)e^{-x}=1$, et comme $e^x\times e^{-x}=1$, $f(x)={\displaystyle \frac{1}{e^{-x}}}=e^x$ pour tout réel $x$ : $f=\exp$. (0,5 pt + 0,5 pt + 0,5 pt) (1,33333)
2. b)$t\mapsto e^{at}$ convient : sa dérivée est $t\mapsto a{e}^{at}$ et $e^0=1$. Réciproquement, soit $f$ une telle fonction et $q(t)=f(t)e^{-at}$. Avec ${\left(e^{-at}\right)}^{\prime }=-a{e}^{-at}$ : $q\prime (t)=af(t)e^{-at}-af(t)e^{-at}=0$, donc $q$ est constante, égale à $q(0)=1$, et $f(t)={\displaystyle \frac{1}{e^{-at}}}=e^{at}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1,33333)
3. c)$OM=OM\prime =1$ (rayons) et $\widehat{MOM\prime }={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ : le triangle est isocèle en $O$, ses angles à la base valent ${\displaystyle \frac{1}{2}}(\pi -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$, il est équilatéral et $MM\prime =1$. $M\left(\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}};\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}\right)$ et $M\prime (\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}};-\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}})$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, avec $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}>0$ : $MM\prime =2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=1$, d'où $\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Puis ${\cos }^2{\displaystyle \frac{\pi }{6}}=1-{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ et l'abscisse de $M$ est positive : $\cos {\displaystyle \frac{\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$. (0,5 pt + 0,5 pt + 0,5 pt) (1,33333)

Méthode — Pour montrer qu'une fonction est constante, on prouve que sa dérivée est nulle sur un intervalle, puis on calcule sa valeur en un point bien choisi, souvent $0$.

1. a)Soit $k(x)=e^x-1-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ sur $[0;+\infty [$. $k\prime (x)=e^x-1-x⩾0$ d'après l'inégalité admise : $k$ est croissante sur $[0;+\infty [$. Donc, pour $x⩾0$, $k(x)⩾k(0)=1-1-0-0=0$, c'est-à-dire $e^x⩾1+x+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$. (1 pt) (0,833333)
2. b)$x={\displaystyle \frac{1}{n}}$ : $e^{\frac{1}{n}}⩾1+{\displaystyle \frac{1}{n}}>0$ ; deux nombres positifs rangés dans le même ordre que leurs puissances $n$-ièmes, et ${\left(e^{\frac{1}{n}}\right)}^n=e$, donc $e⩾{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$. $x=-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ : $e^{-\frac{1}{n+1}}⩾1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\displaystyle \frac{n}{n+1}}>0$ ; en passant aux inverses (positifs) : $e^{\frac{1}{n+1}}⩽{\displaystyle \frac{n+1}{n}}=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, puis à la puissance $n+1$ : $e⩽{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n+1}$. (0,5 pt + 1 pt) (0,833333)
3. c)${\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^5={\displaystyle \frac{7776}{3125}}=2,48832>2,48$ et ${\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^6={\displaystyle \frac{46656}{15625}}<3$ car $3\times 15625=46875>46656$. Donc $2,48<e<3$. (0,5 pt) (0,833333)
4. d)Hexagone circonscrit : avec $I$ le point de contact d'un côté et $P$ un sommet voisin, $OIP$ est rectangle en $I$, $OI=1$ (rayon) et $IOP={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{2\pi }{6}}={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$. Dans ce triangle rectangle, ${\displaystyle \frac{IP}{OI}}={\displaystyle \frac{\sin (\pi /6)}{\cos (\pi /6)}}$, donc $IP={\displaystyle \frac{1/2}{\sqrt{3}/2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}}$. Côté $2IP={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}$, périmètre $6\times {\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}}=4\sqrt{3}$ : $2\pi <4\sqrt{3}$, soit $\pi <2\sqrt{3}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (0,833333)
5. e)$e<3<\pi$ d'après c) et l'énoncé de d). $\exp$ étant strictement croissante, $\pi >3$ donne $e^{\pi }>e^3\approx 20,09>20$. (0,5 pt) (0,833333)
6. f)Chaque côté $[A_k{A}_{k+1}]$ est vu de $O$ sous l'angle ${\displaystyle \frac{2\pi }{n}}$ ; avec $I$ milieu du côté, $OI{A}_k$ est rectangle en $I$, $O{A}_k=1$ et $\widehat{IO{A}_k}={\displaystyle \frac{\pi }{n}}$, donc $I{A}_k=\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}$. Côté $2\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}$, périmètre $2n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}<2\pi$, d'où $n\sin {\displaystyle \frac{\pi }{n}}<\pi$ (pour $n=6$ : $12\sin {\displaystyle \frac{\pi }{6}}=6$, cohérent). (0,5 pt) (0,833333)

Piège — Élever une inégalité à une puissance ou passer aux inverses n'est permis qu'entre nombres strictement positifs : on vérifie ce signe avant chaque étape.

1. a)Pour tout $\theta$ : $r(\theta +\pi )=er(\theta )⟺e^{k\theta }{e}^{k\pi }=e\times e^{k\theta }⟺e^{k\pi }=e^1⟺k\pi =1⟺k={\displaystyle \frac{1}{\pi }}$. Donc $r(\theta )=e^{\theta /\pi }$. (1 pt) (0,833333)
2. b)$r\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)=e^{\frac{1}{3}}$ : $M\left({\displaystyle \frac{\pi }{3}}\right)\left({\displaystyle \frac{e^{1/3}}{2}};{\displaystyle \frac{\sqrt{3}{e}^{1/3}}{2}}\right)$. $r\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)=e^{\frac{3}{2}}$, $\cos {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}=0$, $\sin {\displaystyle \frac{3\pi }{2}}=-1$ : $M\left({\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\right)(0;-e^{3/2})$. (0,5 pt + 0,5 pt) (0,833333)
3. c)$r(\theta )=e^{a\theta }$ avec $a={\displaystyle \frac{1}{\pi }}$ : $r\prime (\theta )={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{e}^{\theta /\pi }>0$, donc $r$ est strictement croissante. (0,5 pt) (0,833333)
4. d)$M(\theta )$ est sur $y=x$ si et seulement si $r(\theta )\sin \theta =r(\theta )\cos \theta$, soit $\cos \theta =\sin \theta$ (car $r(\theta )>0$) : points images ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ ou ${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$ à un tour près. Sur $[0;4\pi ]$ : $\theta \in \left\{{\displaystyle \frac{\pi }{4}};{\displaystyle \frac{5\pi }{4}};{\displaystyle \frac{9\pi }{4}};{\displaystyle \frac{13\pi }{4}}\right\}$. Dans le quart $x<0$, $y<0$ : ${\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$ et ${\displaystyle \frac{13\pi }{4}}$ ; $r$ croissante, le plus proche est $M\left({\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\right)(-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{5/4};-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{e}^{5/4})$. (0,5 pt + 0,5 pt) (0,833333)
5. e)Sur l'axe des abscisses : $\sin \theta =0$, soit $\theta =n\pi$ ($n$ entier naturel), et $r(n\pi )=e^n$. Il faut $e^n>100$ : $e^4\approx 54,6<100$ (et $r$ croissante, donc aussi pour $n⩽4$), $e^5\approx 148,4>100$. Donc $\theta =5\pi$ ; $\cos 5\pi =-1$, d'où $M(5\pi )(-e^5;0)$, à environ $1,48$ m de $O$. (1 pt) (0,833333)
6. f)$\theta +\pi$ a pour point image le symétrique de celui de $\theta$ par rapport à $O$ ($\cos (\theta +\pi )=-\cos \theta$, $\sin (\theta +\pi )=-\sin \theta$) : $M(\theta )$ et $M(\theta +\pi )$ sont sur une même droite passant par $O$, de part et d'autre de $O$. Donc $M(\theta )M(\theta +\pi )=r(\theta )+r(\theta +\pi )=e^{\theta /\pi }+e{e}^{\theta /\pi }=(1+e)e^{\theta /\pi }$. (0,5 pt) (0,833333)