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Fonction exponentielle

Q: Comment définit-on la fonction exponentielle en 1re ?

C’est l’unique fonction dérivable sur ℝ qui est égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0 (f′ = f et f(0) = 1) ; son existence et son unicité sont admises. On note e = exp(1) ≈ 2,718 et exp(x) = eˣ. La méthode d’Euler permet d’en construire des valeurs approchées.

Q: Quelles sont les propriétés algébriques de l’exponentielle ?

eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, e⁻ᵃ = 1/eᵃ, eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ et (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ pour n entier relatif. Elles se manipulent comme les puissances : on additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient. En revanche eᵃ + eᵇ ne se simplifie pas.

Q: Comment résoudre une équation ou une inéquation avec des exponentielles ?

On écrit chaque membre sous la forme e^A (avec 1 = e⁰ et e = e¹), puis on utilise e^A = e^B ⇔ A = B et e^A < e^B ⇔ A < B, car l’exponentielle est strictement croissante. Une équation eˣ = un nombre négatif ou nul n’a aucune solution.

Q: Quelle est la dérivée de e^(at) ?

Pour tout réel a, la dérivée de t ↦ e^(at) est t ↦ a e^(at) ; plus généralement (e^(ax + b))′ = a e^(ax + b). Pour un produit comme (2x + 1)eˣ, on utilise (uv)′ = u′v + uv′, puis on factorise par l’exponentielle, qui est toujours strictement positive.

Q: Quel est le lien entre l’exponentielle et les suites géométriques ?

Pour tout réel a, la suite uₙ = e^(na) est géométrique de raison eᵃ. Un modèle K e^(at) pris aux instants entiers donne donc une suite géométrique : si a > 0, c’est une croissance exponentielle de taux (eᵃ − 1) × 100 % ; si a < 0, une décroissance.

Définition par f′ = f et f(0) = 1, nombre e, signe, propriétés algébriques, variations, courbe, équations et inéquations, dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles, lien avec les suites géométriques.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de 1re sur la fonction exponentielle suit cinq parties : définition par f′ = f et f(0) = 1 avec le nombre e et la méthode d’Euler, propriétés algébriques, variations et équations, dérivée de e^(at) et étude de fonctions comme (2x − 3)eˣ, lien avec les suites géométriques. Les démonstrations proposées par le programme (eˣ × e⁻ˣ = 1, positivité, relation fonctionnelle) y sont rédigées.

Définition, nombre e et signe

Ce qu’il faut savoir

Définition (existence et unicité admises). Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que $f' = f$ et $f (0) = 1$ . C’est la fonction exponentielle, notée $\exp$ . Ainsi $\exp (0) = 1$ et, pour tout réel $x$ , $\exp' (x) = \exp (x)$ .

Produit avec l’opposé. Pour tout réel $x$ : $\exp (x) \times \exp (- x) = 1$ . Donc l’exponentielle ne s’annule jamais et $\exp (- x) = \frac{1}{\exp (x)}$ .

Signe. Pour tout réel $x$ , $\exp (x) > 0$ .

Nombre $e$ . On pose $e = \exp (1) \approx 2, 718$ et, pour tout réel $x$ , on note $\exp (x) = e^{x}$ (« e puissance x »). Valeurs à connaître : $e^{0} = 1$ , $e^{1} = e$ , $e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0, 368$ , $e^{2} \approx 7, 389$ .

Dérivée. $(e^{x})^{'} = e^{x}$ : l’exponentielle est sa propre dérivée.

Équation $f' = f$ (approfondissement, vu en Terminale). Plus généralement (on le démontre en exercice avec $h (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ), les fonctions dérivables sur $ℝ$ telles que $f' = f$ sont les fonctions $x \mapsto C e^{x}$ , où $C$ est un réel : on a alors $C = f (0)$ .

Méthode d’Euler. Avec un pas $h$ petit, l’approximation affine $f (x + h) \approx f (x) + h f' (x)$ devient, puisque $f' = f$ : $f (x + h) \approx (1 + h) f (x)$ . En partant de $f (0) = 1$ et en avançant $n$ fois du pas $h = \frac{1}{n}$ , on obtient $e = f (1) \approx {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ .

Exemples

Démonstration de $\exp (x) \exp (- x) = 1$ et $\exp (x) > 0$ (approfondissement proposé par le programme). Soit $φ (x) = \exp (x) \exp (- x)$ . La fonction $x \mapsto \exp (- x)$ est dérivable, de dérivée $- \exp (- x)$ (dérivée de $t \mapsto e^{a t}$ avec $a = - 1$ ). Par produit : $φ' (x) = \exp (x) \exp (- x)$ $+ \exp (x) \times (- \exp (- x))$ $= 0$ . Une fonction de dérivée nulle sur $ℝ$ est constante : $φ (x) = φ (0) = 1 \times 1 = 1$ . Un produit égal à $1$ n’a aucun facteur nul : $\exp (x) \neq 0$ . Enfin $\exp (x) = \exp (\frac{x}{2} + \frac{x}{2})$ $= {(\exp \frac{x}{2})}^{2} ⩾ 0$ (relation fonctionnelle, cas 2) et $\exp (x) \neq 0$ , donc $\exp (x) > 0$ .

La condition $f (0) = 1$ compte. $f (x) = 3 e^{x}$ vérifie $f' (x) = 3 e^{x} = f (x)$ , mais $f (0) = 3 \neq 1$ : ce n’est pas la fonction exponentielle.

Signe. L’équation $e^{x} = - 2$ n’a aucune solution, ni $e^{x} = 0$ . Et $- 5 e^{x} < 0$ pour tout réel $x$ .

Euler en Python. La fonction ci-dessous applique $n$ pas de longueur $h = \frac{1}{n}$ à partir de $y = 1$ ; elle renvoie ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ , valeur approchée de $e$ .

def euler(n):
    h = 1 / n
    y = 1
    for k in range(n):
        y = y + h * y
    return y

euler(10) renvoie environ $2, 594$ et euler(1000) environ $2, 717$ : plus le pas est petit, plus on approche $e \approx 2, 718$ .

Réflexe — Devant $e^{quelque chose}$ , je pense « strictement positif » : un facteur $e^{u}$ ne change jamais le signe d’un produit, et une équation $e^{u} = c$ avec $c ⩽ 0$ n’a aucune solution.

Attention — $e^{x}$ n’est pas $e \times x$ , et $e^{- x}$ n’est pas négatif : $e^{- x} = \frac{1}{e^{x}} > 0$ . Le signe « moins » porte sur l’exposant, pas sur le résultat.

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Propriétés algébriques

Ce qu’il faut savoir

Relation fonctionnelle. Pour tous réels $a$ et $b$ : $e^{a + b} = e^{a} \times e^{b}$ . L’exponentielle transforme les sommes en produits.

Conséquences. Pour tous réels $a$ , $b$ et tout entier relatif $n$ :

Règle	Formule
Inverse	$e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$
Quotient	$e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$
Puissance	${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$
Produit avec l’opposé	$e^{a} \times e^{- a} = 1$

On calcule comme avec les puissances : on additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient, on les multiplie pour une puissance.

Exemples

Démonstration de la relation fonctionnelle (approfondissement proposé par le programme). Fixons un réel $b$ et posons $h (x) = e^{x + b} \times e^{- x}$ . Par produit (en admettant que $x \mapsto e^{x + b}$ a pour dérivée $x \mapsto e^{x + b}$ , et avec $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ ) : $h' (x)$ $= e^{x + b} e^{- x} + e^{x + b} \times (- e^{- x})$ $= 0$ . Donc $h$ est constante : $h (x) = h (0) = e^{b} \times 1$ $= e^{b}$ . En multipliant $e^{x + b} e^{- x} = e^{b}$ par $e^{x}$ (et $e^{- x} e^{x} = 1$ ) : $e^{x + b} = e^{x} e^{b}$ .

Un seul exposant. $e^{3} \times e^{- 5} = e^{3 - 5} = e^{- 2}$ ; $\frac{e^{x + 1}}{e^{2 x}} = e^{x + 1 - 2 x} = e^{1 - x}$ ; ${(e^{- x})}^{3} \times e^{4 x} = e^{- 3 x + 4 x} = e^{x}$ .

Rédigé. Simplifier $A = \frac{{(e^{2 x})}^{3} \times e^{- x}}{e^{x + 5}}$ . On transforme la puissance : ${(e^{2 x})}^{3} = e^{6 x}$ . Puis $A = \frac{e^{6 x} \times e^{- x}}{e^{x + 5}} = e^{6 x - x - (x + 5)}$ $= e^{4 x - 5}$ .

Factoriser. $e^{2 x} = {(e^{x})}^{2}$ , donc $e^{2 x} + 3 e^{x} = e^{x} (e^{x} + 3)$ .

Réflexe — Je transforme d’abord chaque puissance ${(e^{u})}^{n}$ en $e^{n u}$ , puis je regroupe tout en un seul exposant, que je réduis en mettant des parenthèses autour de ce que je soustrais.

Attention — $e^{a + b} \neq e^{a} + e^{b}$ et une somme $e^{a} + e^{b}$ ne se simplifie pas. Et ${(e^{x})}^{2} = e^{2 x}$ , pas $e^{x^{2}}$ : pour $x = 3$ , $e^{2 x} = e^{6}$ alors que $e^{x^{2}} = e^{9}$ .

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Variations, courbe, équations et inéquations

Ce qu’il faut savoir

Variations. Pour tout $x$ , $\exp' (x) = e^{x} > 0$ : la fonction exponentielle est strictement croissante sur $ℝ$ .

$x$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$e^{x}$	$0, 368$	$1$	$2, 718$	$7, 389$

(valeurs approchées au millième, sauf $e^{0} = 1$ ; de gauche à droite, $e^{x}$ augmente)

Courbe. Elle passe par $(0; 1)$ et $(1; e)$ et reste au-dessus de l’axe des abscisses ; quand $x$ devient très négatif, $e^{x}$ se rapproche de $0$ sans l’atteindre. Sa tangente au point d’abscisse $0$ a pour équation $y = x + 1$ (car $\exp (0) = 1$ et $\exp' (0) = 1$ ).

Équations et inéquations. Pour tous réels $A$ et $B$ : $e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ et $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ (de même avec $⩽$ , $>$ , $⩾$ ). En particulier $e^{x} > 1 ⟺ x > 0$ et $0 < e^{x} < 1 ⟺ x < 0$ .

Exemples

Équation. $e^{2 x + 1} = e^{x - 3}$ $⟺ 2 x + 1 = x - 3$ $⟺ x = - 4$ . $S = {- 4}$ .

Inéquation rédigée. Résoudre $e^{5 - 2 x} ⩾ e$ . On écrit $e = e^{1}$ ; l’exponentielle étant strictement croissante, $e^{5 - 2 x} ⩾ e^{1} ⟺ 5 - 2 x ⩾ 1$ $⟺ - 2 x ⩾ - 4 ⟺ x ⩽ 2$ (on divise par $- 2 < 0$ : le sens change). $S =] - \infty; 2]$ .

Changement d’inconnue. $e^{2 x} + e^{x} - 2 = 0$ . On pose $X = e^{x}$ , avec $X > 0$ : $X^{2} + X - 2 = 0$ , de racines $1$ et $- 2$ . La racine $- 2$ est impossible ( $e^{x} > 0$ ) ; reste $e^{x} = 1 = e^{0}$ , soit $x = 0$ . $S = {0}$ .

Courbe au-dessus de sa tangente en 0. Montrons que $e^{x} ⩾ x + 1$ pour tout réel $x$ . Soit $φ (x) = e^{x} - x - 1$ ; $φ' (x) = e^{x} - 1$ . Or $e^{x} - 1 > 0 ⟺ e^{x} > e^{0}$ $⟺ x > 0$ : $φ$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ . Son minimum est $φ (0) = 1 - 0 - 1 = 0$ , donc $φ (x) ⩾ 0$ , c’est-à-dire $e^{x} ⩾ x + 1$ , avec égalité seulement en $x = 0$ .

Réflexe — J’écris chaque membre sous la forme $e^{\dots}$ (avec $1 = e^{0}$ et $e = e^{1}$ ), je passe aux exposants en citant « l’exponentielle est strictement croissante », je résous, puis je conclus par un ensemble de solutions.

Attention — Le passage aux exposants garde le sens de l’inégalité ; c’est ensuite la division par un nombre négatif qui le change. Et après $X = e^{x}$ , une racine $X ⩽ 0$ doit être écartée.

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Dériver e^(at) et étudier une fonction

Ce qu’il faut savoir

Dérivée de $t \mapsto e^{a t}$ . Pour tout réel $a$ , la fonction $t \mapsto e^{a t}$ est dérivable sur $ℝ$ et ${(e^{a t})}^{'} = a e^{a t}$ . Comme $e^{a x + b} = e^{b} \times e^{a x}$ , on en déduit ${(e^{a x + b})}^{'} = a e^{a x + b}$ .

Fonctions $t \mapsto e^{k t}$ et $t \mapsto e^{- k t}$ ( $k > 0$ ). Comme $e^{k t} > 0$ , la dérivée $k e^{k t}$ est strictement positive : $t \mapsto e^{k t}$ est strictement croissante. La dérivée de $t \mapsto e^{- k t}$ est $- k e^{- k t} < 0$ : elle est strictement décroissante. Les deux courbes passent par $(0; 1)$ et sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l’axe des ordonnées ; plus $k$ est grand, plus elles sont raides.

Produit. Pour $f (x) = u (x) e^{x}$ , on dérive avec $(u v)^{'} = u' v + u v'$ , puis on factorise par l’exponentielle : $f' (x)$ $= (u' (x) + u (x)) e^{x}$ . Comme $e^{x} > 0$ , le signe de $f' (x)$ est celui de $u' (x) + u (x)$ .

Exemples

Dérivées. ${(e^{- 0, 4 t})}^{'}$ $= - 0, 4 e^{- 0, 4 t}$ ; ${(7 e^{2 t})}^{'} = 14 e^{2 t}$ ; ${(e^{3 x - 2})}^{'} = 3 e^{3 x - 2}$ .

Produit. $f (x) = (x + 2) e^{x}$ : $f' (x)$ $= 1 \times e^{x} + (x + 2) e^{x}$ $= (x + 3) e^{x}$ , du signe de $x + 3$ .

Étude rédigée. $g (x) = (2 x - 3) e^{x}$ sur $ℝ$ . On pose $u (x) = 2 x - 3$ , $u' (x) = 2$ , $v (x) = v' (x) = e^{x}$ . Alors $g' (x)$ $= 2 e^{x} + (2 x - 3) e^{x}$ $= (2 x - 1) e^{x}$ . Comme $e^{x} > 0$ , $g' (x)$ a le signe de $2 x - 1$ : négatif sur $] - \infty; \frac{1}{2}]$ , positif sur $[\frac{1}{2}; + \infty [$ .

$x$	$- \infty$		$\frac{1}{2}$		$+ \infty$
$g' (x)$		$-$	$0$	$+$
$g$		↘	$- 2 e^{1 / 2}$	↗

Le minimum de $g$ est $g (\frac{1}{2}) = (1 - 3) e^{1 / 2}$ $= - 2 e^{1 / 2}$ .

Quotient. $k (x) = \frac{e^{x}}{x + 1}$ sur $] - 1; + \infty [$ : $k' (x)$ $= \frac{e^{x} (x + 1) - e^{x} \times 1}{(x + 1)^{2}}$ $= \frac{x e^{x}}{(x + 1)^{2}}$ , du signe de $x$ .

Réflexe — Je dérive (le coefficient $a$ de $e^{a x + b}$ sort devant), je factorise par l’exponentielle, j’écris « $e^{\dots} > 0$ donc $f' (x)$ a le signe de… », puis je dresse le tableau de variations et je calcule les extremums en valeur exacte.

Attention — ${(e^{- 3 t})}^{'} = - 3 e^{- 3 t}$ , pas $e^{- 3 t}$ : le coefficient sort devant. Et le signe de $f$ n’est pas celui de $f'$ : $(x - 1) e^{x}$ est négative sur $] - \infty; 1 [$ mais décroissante seulement sur $] - \infty; 0]$ , car sa dérivée vaut $x e^{x}$ .

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Suites géométriques et modèles exponentiels

Ce qu’il faut savoir

Lien avec les suites géométriques. Pour tout réel $a$ , la suite définie par $u_{n} = e^{n a}$ est géométrique de raison $e^{a}$ et de premier terme $u_{0} = 1$ , car $u_{n + 1} = e^{(n + 1) a} = e^{n a} \times e^{a}$ $= e^{a} u_{n}$ . Plus généralement, $v_{n} = K e^{n a}$ est géométrique de raison $e^{a}$ et de premier terme $K$ .

Sens de variation ( $K > 0$ ). La raison $e^{a}$ est toujours strictement positive. Si $a > 0$ , $e^{a} > 1$ : la suite est croissante, chaque terme augmente de $(e^{a} - 1) \times 100 %$ . Si $a < 0$ , $0 < e^{a} < 1$ : la suite est décroissante, de taux $(e^{a} - 1) \times 100 %$ , négatif.

Modèles continus. Une grandeur $g (t) = K e^{k t}$ ( $K > 0$ , $k > 0$ ) a une croissance exponentielle ; $g (t) = K e^{- k t}$ , une décroissance exponentielle (médicament éliminé, désintégration radioactive). Ses valeurs aux instants entiers forment une suite géométrique : c’est la version « en temps continu » d’une évolution à taux constant.

Exemples

Croissance. Une grandeur suit le modèle $g (t) = 200 e^{0, 2 t}$ . La suite $w_{n} = g (n) = 200 e^{0, 2 n}$ est géométrique de raison $e^{0, 2} \approx 1, 221$ : la grandeur augmente d’environ $22, 1 %$ par unité de temps (et non de $20 %$ ).

Décroissance rédigée. $g (t) = 40 e^{- 0, 1 t}$ ; on donne $e^{- 0, 1} \approx 0, 905$ . On pose $u_{n} = g (n) = 40 e^{- 0, 1 n}$ . Pour tout entier naturel $n$ : $u_{n + 1}$ $= 40 e^{- 0, 1 (n + 1)}$ $= 40 e^{- 0, 1 n} \times e^{- 0, 1}$ $= e^{- 0, 1} u_{n}$ . La suite $(u_{n})$ est géométrique de raison $e^{- 0, 1} \approx 0, 905$ et de premier terme $u_{0} = 40$ : la grandeur baisse d’environ $9, 5 %$ par unité de temps.

Somme. Avec la formule $1 + q + \dots + q^{n}$ $= \frac{q^{n + 1} - 1}{q - 1}$ ( $q \neq 1$ ) et $q = e^{2}$ : $1 + e^{2} + e^{4} + e^{6}$ $= \frac{e^{8} - 1}{e^{2} - 1}$ .

Réflexe — Pour un modèle $K e^{a t}$ : je pose $u_{n} = K e^{a n}$ , j’écris $u_{n + 1} = K e^{a n} \times e^{a}$ $= e^{a} u_{n}$ , je conclus « géométrique de raison $e^{a}$ », puis je traduis la raison en taux : $(e^{a} - 1) \times 100 %$ .

Attention — Le taux n’est pas le coefficient de l’exposant : $e^{0, 2} \approx 1, 221$ , donc $+ 22, 1 %$ et non $+ 20 %$ . Et une décroissance exponentielle ne s’arrête jamais : $K e^{- k t} > 0$ , la grandeur n’atteint jamais $0$ .

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Pour aller plus loin

Dérivation. Les formules $(u v)^{'} = u' v + u v'$ et ${(\frac{u}{v})}^{'}$ utilisées ici sont établies dans le chapitre Calcul de dérivées ; le lien entre signe de la dérivée et variations, dans Variations, extremums et courbes.

Suites géométriques. Terme général $u_{0} q^{n}$ , sens de variation et somme $1 + q + \dots + q^{n}$ : chapitre Suites géométriques.

Se verra en Terminale. Les limites de l’exponentielle en $+ \infty$ et en $- \infty$ et les croissances comparées (« l’exponentielle l’emporte sur les puissances ») sont traitées dans le chapitre Limites de fonctions. La dérivée de $e^{u}$ pour une fonction $u$ quelconque, ${(e^{u})}^{'} = u' e^{u}$ , est vue en Terminale, comme la fonction logarithme népérien, qui permet de résoudre $e^{x} = 4$ (solution $\ln 4$ ).

À retenir

$\exp$ est l’unique fonction dérivable sur $ℝ$ telle que $f' = f$ et $f (0) = 1$ ; $e = \exp (1) \approx 2, 718$ et $\exp (x) = e^{x}$ .
Pour tout réel $x$ : $e^{x} > 0$ et $e^{x} \times e^{- x} = 1$ ; une équation $e^{u} = c$ avec $c ⩽ 0$ n’a pas de solution.
$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$ , $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ , ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ; une somme $e^{a} + e^{b}$ ne se simplifie pas.
$\exp$ est strictement croissante : $e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ et $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ ; tangente en $0$ : $y = x + 1$ .
${(e^{a t})}^{'} = a e^{a t}$ et ${(e^{a x + b})}^{'} = a e^{a x + b}$ ; pour étudier $u (x) e^{x}$ , on factorise par $e^{x} > 0$ .
Lien avec les suites géométriques : $u_{n} = K e^{n a}$ est géométrique de raison $e^{a}$ : croissance exponentielle si $a > 0$ , décroissance si $a < 0$ .

Questions fréquentes

Comment définit-on la fonction exponentielle en 1re ?

C’est l’unique fonction dérivable sur ℝ qui est égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0 (f′ = f et f(0) = 1) ; son existence et son unicité sont admises. On note e = exp(1) ≈ 2,718 et exp(x) = eˣ. La méthode d’Euler permet d’en construire des valeurs approchées.

Quelles sont les propriétés algébriques de l’exponentielle ?

eᵃ⁺ᵇ = eᵃ × eᵇ, e⁻ᵃ = 1/eᵃ, eᵃ⁻ᵇ = eᵃ/eᵇ et (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ pour n entier relatif. Elles se manipulent comme les puissances : on additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient. En revanche eᵃ + eᵇ ne se simplifie pas.

Comment résoudre une équation ou une inéquation avec des exponentielles ?

On écrit chaque membre sous la forme e^A (avec 1 = e⁰ et e = e¹), puis on utilise e^A = e^B ⇔ A = B et e^A < e^B ⇔ A < B, car l’exponentielle est strictement croissante. Une équation eˣ = un nombre négatif ou nul n’a aucune solution.

Quelle est la dérivée de e^(at) ?

Pour tout réel a, la dérivée de t ↦ e^(at) est t ↦ a e^(at) ; plus généralement (e^(ax + b))′ = a e^(ax + b). Pour un produit comme (2x + 1)eˣ, on utilise (uv)′ = u′v + uv′, puis on factorise par l’exponentielle, qui est toujours strictement positive.

Quel est le lien entre l’exponentielle et les suites géométriques ?

Pour tout réel a, la suite uₙ = e^(na) est géométrique de raison eᵃ. Un modèle K e^(at) pris aux instants entiers donne donc une suite géométrique : si a > 0, c’est une croissance exponentielle de taux (eᵃ − 1) × 100 % ; si a < 0, une décroissance.

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