Comment est définie la fonction exponentielle en première ?

C'est l'unique fonction f dérivable sur ℝ telle que f' = f et f(0) = 1. On la note exp, et on écrit exp(x) = e^x où e = exp(1) ≈ 2,718. Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ.

Quelles sont les propriétés algébriques de e^x ?

L'exponentielle transforme les sommes en produits : e^(a+b) = e^a × e^b, e^(−a) = 1/e^a, e^(a−b) = e^a / e^b et (e^a)^n = e^(na) pour tout entier n. Ces règles ressemblent à celles des puissances, ce qui n'est pas un hasard : e^x prolonge la suite géométrique de raison e.

Comment résoudre une équation avec des exponentielles ?

On se ramène à une égalité de la forme e^A = e^B, puis on utilise que la fonction exponentielle est strictement croissante : e^A = e^B équivaut à A = B, et e^A < e^B équivaut à A < B. On résout ensuite l'équation ou l'inéquation obtenue sur les exposants.

Quelle est la dérivée de e^(at) ?

Pour tout réel a, la fonction t ↦ e^(at) est dérivable sur ℝ et sa dérivée est t ↦ a e^(at). Elle est strictement croissante si a > 0 et strictement décroissante si a < 0. Ce type de fonction modélise les croissances et décroissances à taux constant (populations, radioactivité, refroidissement).

Quel est le lien entre fonction exponentielle et suites géométriques ?

Si u_n = e^(an), alors u_(n+1) = e^a × u_n : la suite est géométrique de raison e^a. Réciproquement, une évolution en pourcentage constant peut se modéliser en temps continu par une fonction t ↦ K e^(at). L'exponentielle est la version continue de la suite géométrique.

Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fonction exponentielle

Q: Quelle est la dérivée de e^(at) ?

Pour tout réel a, la fonction t ↦ e^(at) est dérivable sur ℝ et sa dérivée est t ↦ a e^(at). Elle est strictement croissante si a > 0 et strictement décroissante si a < 0. Ce type de fonction modélise les croissances et décroissances à taux constant (populations, radioactivité, refroidissement).

Q: Quel est le lien entre fonction exponentielle et suites géométriques ?

Si u_n = e^(an), alors u_(n+1) = e^a × u_n : la suite est géométrique de raison e^a. Réciproquement, une évolution en pourcentage constant peut se modéliser en temps continu par une fonction t ↦ K e^(at). L'exponentielle est la version continue de la suite géométrique.

Définition par l'équation f' = f, propriétés algébriques, variations, lien avec les suites géométriques (programme 2026 de première spécialité maths)

À propos de cette page

Ce cours de spécialité mathématiques en première sur « Fonction exponentielle » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel : définition et nombre e, Propriétés algébriques, Variations, courbe et équations, Les fonctions t ↦ e^{at}. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en spécialité mathématiques.

L'essentiel : définition et nombre e

Définition. On admet qu'il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que

f^{'} = f

f (0) = 1

. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée

\exp

Nombre e. On pose

e = \exp (1) \approx 2, 718

. Pour tout réel

x

, on note

\exp (x) = e^{x}

: on lit « e puissance x » ou « exponentielle de x ».

Premières valeurs.

e^{0} = 1

e^{1} = e

e^{- 1} = \frac{1}{e} \approx 0, 368

e^{2} \approx 7, 389

Propriété fondamentale. La fonction exponentielle est dérivable sur

ℝ

et est sa propre dérivée : pour tout réel

x

\exp^{'} (x) = \exp (x)

, c'est-à-dire

(e^{x})^{'} = e^{x}

Positivité. Pour tout réel

x

e^{x} > 0

. En particulier, l'exponentielle ne s'annule jamais : l'équation

e^{x} = 0

n'a aucune solution, et

e^{x} = - 2

non plus.

Exemple. La fonction

f (x) = 3 e^{x}

vérifie

f^{'} (x) = 3 e^{x} = f (x)

, mais

f (0) = 3 \neq 1

: ce n'est pas la fonction exponentielle. La condition

f (0) = 1

est indispensable pour l'unicité.

Propriétés algébriques

Relation fonctionnelle. Pour tous réels

a

b

e^{a + b} = e^{a} \times e^{b} .

L'exponentielle transforme les sommes en produits.

Conséquences. Pour tous réels

a

b

et tout entier relatif

n

:
•

e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}

;
•

e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}

;
•

{(e^{a})}^{n} = e^{n a}

;
•

e^{a} \times e^{- a} = 1

Exemples.

e^{3} \times e^{- 5} = e^{3 - 5} = e^{- 2}

;

\frac{e^{x + 1}}{e^{2 x}} = e^{x + 1 - 2 x} = e^{1 - x}

;

{(e^{x})}^{2} = e^{2 x}

(et non

e^{x^{2}}

) ;

{(e^{- x})}^{3} \times e^{4 x} = e^{- 3 x + 4 x} = e^{x}

Démonstration exigible : $e^{x} \times e^{- x} = 1$ et $e^{x} > 0$ .
Soit

φ

la fonction définie sur

ℝ

par

φ (x) = \exp (x) \exp (- x)

. Elle est dérivable comme produit de fonctions dérivables, et

φ^{'} (x) = \exp (x) \exp (- x) + \exp (x) \times (- \exp (- x)) = 0

. Donc

φ

est constante sur

ℝ

, égale à

φ (0) = \exp (0) \exp (0) = 1

. Ainsi

\exp (x) \exp (- x) = 1

pour tout

x

: l'exponentielle ne s'annule pas (un produit nul aurait un facteur nul).
De plus

\exp (x) = \exp (\frac{x}{2} + \frac{x}{2}) = {(\exp \frac{x}{2})}^{2} ⩾ 0

, et comme

\exp (x) \neq 0

, on conclut

\exp (x) > 0

Astuce. Les exposants se manipulent comme ceux des puissances : additionner les exposants pour un produit, soustraire pour un quotient, multiplier pour une puissance.

Variations, courbe et équations

Variations. Pour tout

x

\exp^{'} (x) = e^{x} > 0

: la fonction exponentielle est strictement croissante sur

ℝ

$x$	$- \infty$		$0$		$1$		$+ \infty$
$e^{x}$		↗	$1$	↗	$e$	↗

Équations et inéquations. Comme

\exp

est strictement croissante, pour tous réels

A

B

:
•

e^{A} = e^{B} ⟺ A = B

;
•

e^{A} < e^{B} ⟺ A < B

(même sens pour

⩽

>

⩾

Exemples.

e^{2 x + 1} = e^{x - 3} ⟺ 2 x + 1 = x - 3 ⟺ x = - 4

e^{3 x} < e^{x + 4} ⟺ 3 x < x + 4 ⟺ x < 2

: l'ensemble des solutions est

] - \infty; 2 [

e^{x} > 1 ⟺ e^{x} > e^{0} ⟺ x > 0

Courbe représentative. La courbe de

\exp

passe par

(0; 1)

(1; e)

, est située au-dessus de l'axe des abscisses, et sa tangente au point d'abscisse

0

a pour équation

y = x + 1

(car

\exp (0) = 1

\exp^{'} (0) = 1

). Quand

x

devient très négatif,

e^{x}

se rapproche de

0

sans l'atteindre.

Les fonctions t ↦ e^{at}

Propriété. Soit

a

un réel. La fonction

g : t \mapsto e^{a t}

est dérivable sur

ℝ

g^{'} (t) = a e^{a t} .

Variations. Comme

e^{a t} > 0

, le signe de

g^{'} (t)

est celui de

a

:
• si

a > 0

g

est strictement croissante sur

ℝ

(croissance exponentielle) ;
• si

a < 0

g

est strictement décroissante sur

ℝ

(décroissance exponentielle) ;
• si

a = 0

g

est constante égale à

1

Exemples.

{(e^{- 0, 4 t})}^{'} = - 0, 4 e^{- 0, 4 t}

: fonction strictement décroissante.

{(7 e^{2 t})}^{'} = 14 e^{2 t}

: fonction strictement croissante.

Plus généralement. Si

u

est une fonction dérivable,

{(e^{u})}^{'} = u^{'} e^{u}

. Ce résultat est au programme de terminale ; en première, on se limite à

u (t) = a t

et aux produits du type

(m t + p) e^{t}

que l'on dérive avec la formule

(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Exemple de produit. Pour

f (x) = (x + 2) e^{x}

f^{'} (x) = 1 \times e^{x} + (x + 2) e^{x} = (x + 3) e^{x}

. Le signe de

f^{'} (x)

est celui de

x + 3

Lien avec les suites géométriques

Propriété. Soit

a

un réel et

(u_{n})

la suite définie par

u_{n} = e^{a n}

. Alors pour tout entier naturel

n

u_{n + 1} = e^{a (n + 1)} = e^{a n} \times e^{a} = e^{a} u_{n} .

La suite

(u_{n})

est géométrique de raison $q = e^{a}$ et de premier terme

u_{0} = 1

. Plus généralement,

v_{n} = K e^{a n}

est géométrique de raison

e^{a}

et de premier terme

K

Interprétation.

e^{a}

est un réel strictement positif : la raison est toujours positive.
• Si

a > 0

, alors

e^{a} > 1

: la suite est croissante, chaque terme augmente d'un pourcentage fixe

(e^{a} - 1) \times 100 %

.
• Si

a < 0

, alors

0 < e^{a} < 1

: la suite est décroissante.

Exemple. Une grandeur suit le modèle continu

g (t) = 200 e^{0, 2 t}

. La suite

w_{n} = g (n) = 200 e^{0, 2 n}

est géométrique de raison

e^{0, 2} \approx 1, 221

: la grandeur augmente d'environ

22, 1 %

par unité de temps.

À retenir. La fonction

t \mapsto e^{a t}

est la version « en temps continu » d'une suite géométrique : les valeurs prises aux entiers forment une suite géométrique de raison

e^{a}

Méthodes

Méthode 1 — Simplifier une expression avec des exponentielles

Transformer chaque puissance ${(e^{u})}^{n}$ en $e^{n u}$ .
Regrouper en un seul exposant : produit → somme des exposants, quotient → différence.
Réduire l'exposant obtenu.

Exemple rédigé. Simplifier

A = \frac{{(e^{2 x})}^{3} \times e^{- x}}{e^{x + 5}}

A = \frac{e^{6 x} \times e^{- x}}{e^{x + 5}} = e^{6 x - x - (x + 5)} = e^{4 x - 5}

Méthode 2 — Résoudre une équation ou une inéquation

Écrire chaque membre sous la forme $e^{A}$ (en utilisant $1 = e^{0}$ et $e = e^{1}$ si besoin).
Appliquer $e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ ou $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ .
Résoudre l'équation ou l'inéquation sur les exposants ; conclure par un ensemble de solutions.

Exemple rédigé. Résoudre

e^{5 - 2 x} ⩾ e

e^{5 - 2 x} ⩾ e^{1} ⟺ 5 - 2 x ⩾ 1 ⟺ - 2 x ⩾ - 4 ⟺ x ⩽ 2

(on divise par

- 2 < 0

, le sens change).

S =] - \infty; 2]

Méthode 3 — Étudier les variations d'un produit $(m x + p) e^{x}$

Dériver avec $(u v)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ et factoriser par $e^{x}$ .
Utiliser $e^{x} > 0$ : le signe de $f^{'} (x)$ est celui du facteur affine.
Dresser le tableau de variations et calculer l'extremum.

Exemple rédigé.

f (x) = (2 x - 3) e^{x}

sur

ℝ

f^{'} (x) = 2 e^{x} + (2 x - 3) e^{x} = (2 x - 1) e^{x}

. Comme

e^{x} > 0

f^{'} (x)

a le signe de

2 x - 1

: négatif sur

] - \infty; \frac{1}{2}]

, positif sur

[\frac{1}{2}; + \infty [

. Donc

f

est décroissante puis croissante, avec un minimum

f (\frac{1}{2}) = - 2 e^{1 / 2} \approx - 3, 30

Méthode 4 — Passer d'un modèle continu à une suite géométrique

Poser $u_{n} = g (n)$ où $g (t) = K e^{a t}$ .
Calculer $u_{n + 1} = K e^{a (n + 1)} = e^{a} \times u_{n}$ : la raison est $e^{a}$ .
Traduire la raison en pourcentage d'évolution : $(e^{a} - 1) \times 100 %$ .

Exemple rédigé.

g (t) = 40 e^{- 0, 1 t}

u_{n} = g (n) = 40 e^{- 0, 1 n}

, donc

u_{n + 1} = 40 e^{- 0, 1 n} e^{- 0, 1} = e^{- 0, 1} u_{n}

. Suite géométrique de raison

e^{- 0, 1} \approx 0, 905

: baisse d'environ

9, 5 %

par unité de temps.

Pièges et erreurs classiques

Confondre $e^{2 x}$ et $e^{x^{2}}$ .

{(e^{x})}^{2} = e^{2 x}

. En revanche

e^{x^{2}}

est l'exponentielle de

x^{2}

: pour

x = 3

e^{2 x} = e^{6}

e^{x^{2}} = e^{9}

Inventer une règle pour la somme.

e^{a + b} \neq e^{a} + e^{b}

e^{a} + e^{b}

ne se simplifie pas. Seuls les produits, quotients et puissances se transforment.

Oublier que $e^{x} > 0$ .

e^{x} = - 5

e^{x} = 0

n'ont aucune solution. Dans un tableau de signes, une ligne «

e^{x}

» est toujours positive : c'est le facteur affine qui décide du signe.

Dériver $e^{a t}$ sans le coefficient.

{(e^{- 3 t})}^{'} = - 3 e^{- 3 t}

, pas

e^{- 3 t}

. Le coefficient

a

sort devant.

Confondre « décroissante » et « négative ».

f (x) = (x - 1) e^{x}

est décroissante sur

] - \infty; 0]

mais négative sur

] - \infty; 1 [

: le signe de

f

vient de

x - 1

, le sens de variation vient de

f^{'} (x) = x e^{x}

Diviser par un négatif dans une inéquation.

e^{- x} < e^{4} ⟺ - x < 4 ⟺ x > - 4

. Le passage aux exposants conserve le sens, mais la division par

- 1

le change.

En bref

$\exp$ est l'unique fonction dérivable sur $ℝ$ telle que $\exp^{'} = \exp$ et $\exp (0) = 1$ ; on note $\exp (x) = e^{x}$ , $e \approx 2, 718$ .
Pour tout $x$ , $e^{x} > 0$ ; $\exp$ est strictement croissante ; $e^{A} = e^{B} ⟺ A = B$ et $e^{A} < e^{B} ⟺ A < B$ .
$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ , $e^{- a} = \frac{1}{e^{a}}$ , $e^{a - b} = \frac{e^{a}}{e^{b}}$ , ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ .
${(e^{a t})}^{'} = a e^{a t}$ : croissante si $a > 0$ , décroissante si $a < 0$ .
$u_{n} = K e^{a n}$ est géométrique de raison $e^{a}$ : l'exponentielle est la suite géométrique « en continu ».

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