Fonction exponentielle

Que dit le cours ? Réponds par un nombre ou par un mot.

1. Nombre de solutions réelles de l’équation $e^x=-3$ :
   Pour tout réel $x$, $e^x>0$ : l’exponentielle ne prend jamais une valeur négative. L’équation n’a aucune solution.
2. La fonction $f(x)=5e^x$ vérifie $f\prime =f$. Valeur de $f(0)$ :
   $f(0)=5e^0=5\times 1=5\ne 1$ : $f$ n’est pas la fonction exponentielle, il manque la condition $f(0)=1$.
3. Valeur approchée de $e$ au centième :
   $e=\exp (1)\approx 2,718$, soit $2,72$ au centième.
4. Signe de $-2e^x$ pour tout réel $x$ (écris positif ou négatif) :
   $e^x>0$ et $-2<0$ : le produit $-2e^x$ est strictement négatif pour tout réel $x$.

On considère la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)=2e^x-3x$.

1. $f(0)=$
   $f(0)=2e^0-3\times 0=2\times 1$ $=2$.
2. $f\prime (x)=2e^x-$
   $(e^x{)}^{\prime }=e^x$ et $(3x{)}^{\prime }=3$ : $f\prime (x)=2e^x-3$.
3. $f\prime (0)=$
   $f\prime (0)=2e^0-3=2-3$ $=-1$.

Approfondissement (vu en Terminale). On rappelle (cours, démontré à la première question) que les fonctions dérivables sur $ℝ$ telles que $f\prime =f$ sont les fonctions $x\mapsto C{e}^x$, $C$ réel.

1. Soit $f$ dérivable sur $ℝ$ avec $f\prime =f$, et $h(x)={\displaystyle \frac{f(x)}{e^x}}$. Démontrer que $h$ est constante. Si $f(0)=4$, alors pour tout $x$, $h(x)=$
   Rédaction attendue. La fonction $h$ est un quotient de fonctions dérivables sur $ℝ$ dont le dénominateur $e^x$ ne s’annule jamais : elle est dérivable sur $ℝ$ et $h\prime (x)$ $={\displaystyle \frac{f\prime (x)e^x-f(x)e^x}{{\left(e^x\right)}^2}}$ $={\displaystyle \frac{e^x(f\prime (x)-f(x))}{e^{2x}}}$. Or $f\prime =f$, donc le numérateur est nul : $h\prime (x)=0$ pour tout réel $x$. Une fonction de dérivée nulle sur $ℝ$ est constante : $h(x)=h(0)={\displaystyle \frac{f(0)}{e^0}}$ $=f(0)=4$. On retrouve $f(x)=4e^x$.
2. La fonction $f$ telle que $f\prime =f$ et $f(2)=9$ s’écrit $f(x)=9e^{x+k}$ avec $k=$
   $f(x)=C{e}^x$ et $f(2)=C{e}^2=9$, donc $C={\displaystyle \frac{9}{e^2}}=9e^{-2}$. Ainsi $f(x)=9e^{-2}{e}^x=9e^{x-2}$ : $k=-2$. Vérification : $f(2)=9e^0=9$.

Méthode d’Euler pour l’exponentielle : on part de $y_0=1$ et on calcule $y_{k+1}=(1+h)y_k$. Après $n$ pas de longueur $h={\displaystyle \frac{1}{n}}$, le nombre $y_n$ est une valeur approchée de $e=\exp (1)$.

1. Justifier la relation $y_{k+1}=(1+h)y_k$. Avec $h=0,5$ (deux pas), valeur approchée de $e$ obtenue :
   Rédaction attendue. Pour $h$ petit, l’approximation affine donne $\exp (x+h)\approx \exp (x)$ $+h\exp \prime (x)$. Comme $\exp \prime =\exp$, on obtient $\exp (x+h)\approx \exp (x)$ $+h\exp (x)$ $=(1+h)\exp (x)$. Si $y_k$ approche $\exp (kh)$, on prend donc $y_{k+1}=(1+h)y_k$ pour approcher $\exp ((k+1)h)$. Avec $h=0,5$ : $y_1=1,5$ et $y_2=1,5\times 1,5=2,25$, valeur approchée (grossière) de $e\approx 2,718$.
2. Avec $h=0,25$ (quatre pas) : $y_4=1,{25}^4=$ (écriture décimale exacte)
   $1,{25}^2=1,5625$, puis $1,{25}^4=1,5625^2$ $=2,44140625$. Le pas est plus petit, la valeur se rapproche de $e$.
3. La fonction euler(n) du cours renvoie ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$. Valeur exacte de euler(3), en fraction irréductible :
   ${(1+{\displaystyle \frac{1}{3}})}^3={\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\right)}^3$ $={\displaystyle \frac{64}{27}}\approx 2,370$. La suite des valeurs $2,25$ ; $2,370$ ; $2,441$… augmente vers $e$.

Écrire chaque nombre sous la forme $e^k$ et donner l’entier $k$.

1. $A=e^7\times e^{-9}$ : $k=$
   On additionne les exposants : $A=e^{7+(-9)}=e^{-2}$.
2. $B={\displaystyle \frac{e^{11}}{e^6}}$ : $k=$
   On soustrait les exposants : $B=e^{11-6}=e^5$.
3. $C={\left(e^{-4}\right)}^3\times e^{15}$ : $k=$
   ${\left(e^{-4}\right)}^3=e^{-12}$, donc $C=e^{-12+15}=e^3$.
4. $D={\displaystyle \frac{1}{{\left(e^{-3}\right)}^2}}$ : $k=$
   ${\left(e^{-3}\right)}^2=e^{-6}$ et ${\displaystyle \frac{1}{e^{-6}}}=e^6$.

Écrire sous la forme $e^{ax+b}$ ou répondre à la question.

1. ${\displaystyle \frac{e^{3x}\times e^{x-8}}{e^{2x}}}=e^{ax+b}$ avec $a=$ et $b=$
   Numérateur : $e^{3x+x-8}=e^{4x-8}$. Puis on soustrait : $e^{4x-8-2x}=e^{2x-8}$.
2. ${\left(e^{x+2}\right)}^3\times e^{-5x}=e^{ax+b}$ avec $a=$ et $b=$
   ${\left(e^{x+2}\right)}^3=e^{3x+6}$, puis $e^{3x+6-5x}=e^{-2x+6}$.
3. $e^4+e^4=c\times e^4$ avec $c=$
   On a deux fois le même nombre : $e^4+e^4=2e^4$. Ce n’est pas $e^8$ : la règle des exposants ne vaut que pour un produit ($e^4\times e^4=e^8$).

Démontrer les égalités suivantes pour tout réel $x$.

1. ${(e^x+e^{-x})}^2-{(e^x-e^{-x})}^2$ ne dépend pas de $x$ ; sa valeur :
   Rédaction attendue. Soit $x$ un réel. D’après $e^x\times e^{-x}=1$ et ${\left(e^a\right)}^2=e^{2a}$ : ${(e^x+e^{-x})}^2$ $=e^{2x}+2e^x{e}^{-x}+e^{-2x}$ $=e^{2x}+2+e^{-2x}$ et ${(e^x-e^{-x})}^2$ $=e^{2x}-2+e^{-2x}$. Par différence : ${(e^x+e^{-x})}^2-{(e^x-e^{-x})}^2$ $=2-(-2)=4$, quel que soit $x$.
2. ${\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$. Pour $x=0$, ces deux nombres valent
   Rédaction attendue. On multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$ $={\displaystyle \frac{e^x}{e^x(1+e^{-x})}}$ $={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+e^x{e}^{-x}}}$ $={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$, car $e^x{e}^{-x}=1$. Pour $x=0$ : ${\displaystyle \frac{1}{1+1}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Développer, réduire ou factoriser, pour tout réel $x$.

1. ${(e^x-2e^{-x})}^2$ $=e^{2x}+c+4e^{-2x}$ avec $c=$
   ${(e^x-2e^{-x})}^2$ $=e^{2x}-2\times e^x\times 2e^{-x}$ $+4e^{-2x}=e^{2x}-4+4e^{-2x}$, car $e^x{e}^{-x}=1$.
2. $e^x(e^x+e^{-x})-e^{2x}=$
   $e^x\times e^x=e^{2x}$ et $e^x\times e^{-x}=1$ : $e^{2x}+1-e^{2x}=1$.
3. $e^{3x}-e^x=e^x(e^{px}-1)$ avec $p=$
   $e^x\times e^{2x}=e^{3x}$ : on a bien $e^{3x}-e^x=e^x(e^{2x}-1)$.

Résoudre dans $ℝ$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $e^{4x-1}=e^{x+8}$ : $x=$
   L’exponentielle est strictement croissante : $4x-1=x+8⟺3x=9$ $⟺x=3$. $S=\{3\}$.
2. $e^{6-x}=1$ : $x=$
   $1=e^0$, donc $6-x=0$ et $x=6$. $S=\{6\}$.
3. $e^{2x+7}⩽e^{x+3}⟺x⩽$
   $2x+7⩽x+3⟺x⩽-4$. $S=]-\infty ;-4]$.
4. $e^{-5x}>e⟺x<$
   $e=e^1$ : $-5x>1$. On divise par $-5<0$, le sens change : $x<-{\displaystyle \frac{1}{5}}=-0,2$. $S=]-\infty ;-0,2[$.

Résoudre dans $ℝ$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $e^{x^2}=e^{3x+10}$ : plus petite solution ; plus grande solution
   $x^2=3x+10$ $⟺x^2-3x-10=0$. $\Delta =9+40=49$, racines ${\displaystyle \frac{3-7}{2}}=-2$ et ${\displaystyle \frac{3+7}{2}}=5$. $S=\{-2;5\}$.
2. $e^{3x-1}\times e^{2-x}⩾e^{x+4}⟺x⩾$
   On réduit le produit : $e^{3x-1+2-x}=e^{2x+1}$. Puis $2x+1⩾x+4⟺x⩾3$. $S=[3;+\infty [$.
3. $e^{2x-7}<1⟺x<$
   $1=e^0$ : $2x-7<0⟺x<{\displaystyle \frac{7}{2}}=3,5$.

Étudier le signe d’une expression. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5).

1. $A(x)=(7-2x)e^x>0⟺x<$
   Comme $e^x>0$, $A(x)$ a le signe de $7-2x$ : $7-2x>0⟺x<{\displaystyle \frac{7}{2}}$. $A(x)>0$ sur $]-\infty ;{\displaystyle \frac{7}{2}}[$.
2. $B(x)=e^{-x}-1>0⟺x<$
   $e^{-x}-1>0⟺e^{-x}>e^0$ $⟺-x>0$ (l’exponentielle est strictement croissante) $⟺x<0$.
3. Justifier le signe de $D(x)=e^{2x}-e^x$. $D(x)>0⟺x>$
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $e^{2x}=e^x\times e^x$, donc $D(x)=e^x(e^x-1)$. Comme $e^x>0$, $D(x)$ a le signe de $e^x-1$. L’exponentielle étant strictement croissante, $e^x-1>0⟺e^x>e^0⟺x>0$. Donc $D(x)>0$ sur $]0;+\infty [$, $D(0)=0$ et $D(x)<0$ sur $]-\infty ;0[$.

On note $𝒞$ la courbe de $x\mapsto e^{2x}$ et $𝒟$ celle de $x\mapsto e^{x+6}$.

1. Abscisse du point d’intersection de $𝒞$ et $𝒟$ :
   $e^{2x}=e^{x+6}⟺2x=x+6$ $⟺x=6$.
2. L’ordonnée de ce point s’écrit $e^k$ avec $k=$
   En $x=6$ : $e^{2\times 6}=e^{12}$ (et $e^{6+6}=e^{12}$).
3. Étudier la position relative de $𝒞$ et $𝒟$. Contrôle : en $x=0$, l’écart $e^{x+6}-e^{2x}$ vaut $e^6-$
   Rédaction attendue. L’exponentielle étant strictement croissante, $e^{2x}<e^{x+6}⟺2x<x+6$ $⟺x<6$ et $e^{2x}>e^{x+6}⟺x>6$. Donc $𝒞$ est au-dessous de $𝒟$ sur $]-\infty ;6[$, au-dessus sur $]6;+\infty [$, et les courbes se coupent au point d’abscisse $6$. En $x=0$ : $e^6-e^0=e^6-1>0$, ce qui confirme que $𝒟$ est au-dessus.

Changement d’inconnue et inégalité.

1. Résoudre $e^{2x}-(1+e)e^x+e=0$ en posant $X=e^x$. Plus petite solution ; plus grande solution
   Avec $X=e^x>0$ : $X^2-(1+e)X+e=0$. On cherche deux nombres de somme $1+e$ et de produit $e$ : $1$ et $e$, donc $X^2-(1+e)X+e$ $=(X-1)(X-e)$. Les deux racines sont strictement positives : $e^x=1=e^0$ donne $x=0$, et $e^x=e=e^1$ donne $x=1$. $S=\{0;1\}$.
2. Démontrer que pour tout réel $x$, $e^x⩾ex$, en étudiant $h(x)=e^x-ex$. Le minimum de $h$ est atteint en $x=$
   Rédaction attendue. $h$ est dérivable sur $ℝ$ et $h\prime (x)=e^x-e$. L’exponentielle étant strictement croissante, $e^x-e>0⟺e^x>e^1$ $⟺x>1$, et de même $h\prime (x)<0⟺x<1$. Donc $h$ est décroissante sur $]-\infty ;1]$ et croissante sur $[1;+\infty [$ : elle admet un minimum en $x=1$, égal à $h(1)=e-e=0$. Ainsi $h(x)⩾0$ pour tout réel $x$, c’est-à-dire $e^x⩾ex$, avec égalité seulement pour $x=1$.

Dériver sur $ℝ$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $f(x)=5e^x-3x$ : $f\prime (0)=$
   $f\prime (x)=5e^x-3$, donc $f\prime (0)=5-3=2$.
2. $g(t)=e^{0,6t}$ : $g\prime (t)=c{e}^{0,6t}$ avec $c=$
   ${\left(e^{at}\right)}^{\prime }=a{e}^{at}$ avec $a=0,6$ : $g\prime (t)=0,6e^{0,6t}>0$, donc $g$ est strictement croissante.
3. $h(t)=12e^{-0,25t}$ : $h\prime (t)=c{e}^{-0,25t}$ avec $c=$
   $h\prime (t)$ $=12\times (-0,25)e^{-0,25t}$ $=-3e^{-0,25t}<0$ : $h$ est strictement décroissante.
4. $k(x)=e^x+e^{-x}$ : $k\prime (0)=$
   ${\left(e^{-x}\right)}^{\prime }=-e^{-x}$, donc $k\prime (x)=e^x-e^{-x}$ et $k\prime (0)=1-1=0$.

Soit $u$ la fonction définie sur $ℝ$ par $u(x)=(3x-1)e^x$. Une fraction s’écrit avec « / ».

1. $u\prime (x)=(ax+b)e^x$ avec $a=$ et $b=$
   Produit : $u\prime (x)$ $=3e^x+(3x-1)e^x$ $=(3x+2)e^x$.
2. $u$ atteint son minimum en $x=$
   $e^x>0$ : $u\prime (x)$ a le signe de $3x+2$, négatif avant $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, positif après. $u$ est décroissante puis croissante : minimum en $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$, égal à $u(-{\displaystyle \frac{2}{3}})=-3e^{-2/3}$.
3. Tangente à la courbe de $u$ au point d’abscisse $0$ : $y=2x+$
   $u(0)=(0-1)e^0=-1$ et $u\prime (0)=(0+2)e^0=2$ : $y=u\prime (0)(x-0)+u(0)$ $=2x-1$.
4. $v(x)=x^2{e}^x$ : $v\prime (x)=x(x+c)e^x$ avec $c=$
   $v\prime (x)=2x{e}^x+x^2{e}^x$ $=x(x+2)e^x$. Comme $e^x>0$, $v\prime$ a le signe de $x(x+2)$ : $v$ est croissante sur $]-\infty ;-2]$, décroissante sur $[-2;0]$, croissante sur $[0;+\infty [$ ; maximum local $v(-2)=4e^{-2}$, minimum local $v(0)=0$.

La figure montre les courbes ${𝒞}_1$, ${𝒞}_2$ et ${𝒞}_3$ des fonctions $t\mapsto e^{2t}$, $t\mapsto e^{0,5t}$ et $t\mapsto e^{-t}$, dans le désordre (un carreau = une unité). Une fraction s’écrit avec « / ».

1. Numéro de la courbe de $t\mapsto e^{-t}$ :
   Sa dérivée $-e^{-t}$ est strictement négative : c’est la seule des trois fonctions qui soit décroissante, donc la seule courbe qui descend, ${𝒞}_3$.
2. Numéro de la courbe de $t\mapsto e^{2t}$ :
   Pour $t>0$, $2t>0,5t$, donc $e^{2t}>e^{0,5t}$ (l’exponentielle est strictement croissante) : à droite de l’axe des ordonnées, la courbe de $t\mapsto e^{2t}$ est au-dessus de l’autre courbe croissante. C’est ${𝒞}_1$, la plus raide.
3. La tangente à ${𝒞}_2$ au point $(0;1)$ coupe l’axe des abscisses au point d’abscisse
   ${𝒞}_2$ est la courbe de $t\mapsto e^{0,5t}$, de dérivée $0,5e^{0,5t}$, qui vaut $0,5$ en $0$. La tangente a pour équation $y=0,5t+1$, et $0,5t+1=0⟺t=-2$.
4. La courbe symétrique de ${𝒞}_3$ par rapport à l’axe des ordonnées est celle de $t\mapsto e^{kt}$. Justifier, puis donner $k=$
   Rédaction attendue. Le point $M(t;e^{-t})$ de ${𝒞}_3$ a pour symétrique par rapport à l’axe des ordonnées le point $M\prime (-t;e^{-t})$. En posant $s=-t$, on a $M\prime (s;e^s)$ : $M\prime$ est sur la courbe de $t\mapsto e^t$, donc $k=1$. Ce n’est pas ${𝒞}_1$ : en $t=1$, $e^2\ne e$.

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f(x)=(x^2-8)e^{-x}$.

1. Démontrer que $f\prime (x)$ $=-(x-4)(x+2)e^{-x}$. Contrôle : $f\prime (0)=$
   Rédaction attendue. $f$ est le produit de $u(x)=x^2-8$ et $v(x)=e^{-x}$, dérivables sur $ℝ$, avec $u\prime (x)=2x$ et $v\prime (x)=-e^{-x}$. Donc $f\prime (x)=2x{e}^{-x}$ $+(x^2-8)(-e^{-x})$ $=(-x^2+2x+8)e^{-x}$. Le trinôme $x^2-2x-8$ a pour racines $4$ et $-2$ (somme $2$, produit $-8$), donc $-x^2+2x+8$ $=-(x-4)(x+2)$ et $f\prime (x)$ $=-(x-4)(x+2)e^{-x}$. Contrôle : $f\prime (0)=-(-4)(2)\times 1$ $=8$.
2. $f$ admet un minimum local en $x=$ et un maximum local en $x=$
   $e^{-x}>0$ : $f\prime (x)$ a le signe de $-(x-4)(x+2)$, positif entre les racines $-2$ et $4$, négatif à l’extérieur. $f$ est décroissante sur $]-\infty ;-2]$, croissante sur $[-2;4]$, décroissante sur $[4;+\infty [$. Minimum local $f(-2)=(4-8)e^2$ $=-4e^2$ ; maximum local $f(4)=(16-8)e^{-4}=8e^{-4}$.
3. Un élève affirme : « $f$ est négative sur $[-2;2]$, donc décroissante sur $[-2;2]$ ». Sens de variation réel de $f$ sur $[-2;2]$ (écris croissante ou décroissante) :
   Sur $[-2;2]$, $x^2⩽4<8$, donc $f(x)<0$ : l’élève a raison sur le signe. Mais le sens de variation se lit sur $f\prime$, positive sur $[-2;4]$ : $f$ y est croissante. Le signe d’une fonction ne donne pas ses variations.

Soit $f$ la fonction définie sur $ℝ$ par $f(x)=e^{2x}-2e^x$.

1. $f\prime (x)=2e^x(e^x-c)$ avec $c=$
   ${\left(e^{2x}\right)}^{\prime }=2e^{2x}$, donc $f\prime (x)=2e^{2x}-2e^x$ $=2e^x(e^x-1)$, car $e^{2x}=e^x\times e^x$.
2. Démontrer que $f$ est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [$. Valeur de son minimum :
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $2e^x>0$, donc $f\prime (x)$ a le signe de $e^x-1$. L’exponentielle étant strictement croissante, $e^x-1>0⟺e^x>e^0$ $⟺x>0$, et $e^x-1<0⟺x<0$. Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty ;0]$ et croissante sur $[0;+\infty [$ : elle admet un minimum en $0$, égal à $f(0)=e^0-2e^0=1-2$ $=-1$.
3. Soit $g$ dérivable sur $ℝ$ telle que $g\prime =4g$ et $g(0)=7$. Vérifier que $g(x)=7e^{kx}$ convient avec $k=$
   Rédaction attendue. Posons $g(x)=7e^{4x}$. Avec ${\left(e^{ax}\right)}^{\prime }=a{e}^{ax}$ : $g\prime (x)=7\times 4e^{4x}=28e^{4x}$ $=4\times 7e^{4x}=4g(x)$. De plus $g(0)=7e^0=7$. Les deux conditions sont vérifiées : $k=4$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n=5e^{-2n}$.

1. Premier terme : $u_0=$
   $u_0=5e^0=5$.
2. $(u_n)$ est géométrique de raison $e^k$ avec $k=$
   $u_{n+1}=5e^{-2n-2}$ $=5e^{-2n}\times e^{-2}=e^{-2}{u}_n$ : raison $e^{-2}$.
3. Sens de variation de $(u_n)$ (écris croissante ou décroissante) :
   Premier terme $5>0$ et raison $0<e^{-2}<1$ (car $-2<0$) : la suite est strictement décroissante.

Une grandeur est modélisée par $g(t)=150e^{0,08t}$ ($t$ en années, $g(t)$ en milliers). On donne $e^{0,08}\approx 1,0833$ et $e^{0,4}\approx 1,4918$.

1. $g(5)$ arrondi à l’unité :
   $g(5)$ $=150e^{0,4}\approx 150\times 1,4918$ $=223,77$, soit $224$ milliers.
2. La suite $u_n=g(n)$ est géométrique de raison arrondie au millième :
   $u_{n+1}$ $=150e^{0,08n}\times e^{0,08}$ $=e^{0,08}{u}_n$ : raison $e^{0,08}\approx 1,083$.
3. Taux d’évolution annuel, en %, arrondi au dixième :
   $(1,0833-1)\times 100=8,33$ : environ $+8,3\%$ par an, et non $8\%$ ($e^{0,08}\ne 1,08$).

Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=e^{2n+1}$.

1. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique. Sa raison s’écrit $e^k$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=e^{2(n+1)+1}=e^{2n+3}$ $=e^{2n+1}\times e^2=e^2{v}_n$. Le coefficient $e^2$ ne dépend pas de $n$ : la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $e^2$ et de premier terme $v_0=e^1=e$.
2. $v_0\times v_1=e^k$ avec $k=$
   $v_0=e^1$ et $v_1=e^3$ : $v_0\times v_1=e^{1+3}=e^4$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $w_n=e^{n^2}$.

1. ${\displaystyle \frac{w_1}{w_0}}=e^k$ avec $k=$
   $w_0=e^0=1$ et $w_1=e^1$ : ${\displaystyle \frac{w_1}{w_0}}=e^1$.
2. ${\displaystyle \frac{w_2}{w_1}}=e^k$ avec $k=$ . Justifier que $(w_n)$ n’est pas géométrique.
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{w_2}{w_1}}={\displaystyle \frac{e^4}{e^1}}=e^3$. Les quotients de deux termes consécutifs ${\displaystyle \frac{w_1}{w_0}}=e^1$ et ${\displaystyle \frac{w_2}{w_1}}=e^3$ sont différents (car $1\ne 3$ et l’exponentielle est strictement croissante) : il n’existe pas de raison commune, donc $(w_n)$ n’est pas géométrique. En général, ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}$ $=e^{(n+1{)}^2-n^2}=e^{2n+1}$ dépend de $n$.
3. $S=1+e+e^2+\cdots +e^9$ $={\displaystyle \frac{e^p-1}{e-1}}$ avec $p=$
   Somme $1+q+\cdots +q^9$ avec $q=e\ne 1$ : ${\displaystyle \frac{q^{10}-1}{q-1}}={\displaystyle \frac{e^{10}-1}{e-1}}$. Elle compte $10$ termes.