Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fonction exponentielle

Définition par l'équation f' = f, propriétés algébriques, variations, lien avec les suites géométriques (programme 2026 de première spécialité maths)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « Fonction exponentielle » en première permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel : définition et nombre e, Propriétés algébriques, Variations, courbe et équations, Les fonctions t ↦ e^{at}. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser spécialité mathématiques en première.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Simplifications immédiates

Facile

Écrire chaque expression sous la forme $e^{k}$ ou $e^{u (x)}$ avec un seul exposant réduit.

a) $A = e^{7} \times e^{- 9}$
b) $B = \frac{e^{11}}{e^{6}}$
c) $C = {(e^{- 4})}^{3} \times e^{15}$
d) $D = \frac{e^{3 x} \times e^{x - 8}}{e^{2 x}}$

a) On additionne les exposants : $A = e^{7 + (- 9)} = e^{- 2}$ .

b) On soustrait les exposants : $B = e^{11 - 6} = e^{5}$ .

c) ${(e^{- 4})}^{3} = e^{- 4 \times 3} = e^{- 12}$ , donc $C = e^{- 12} \times e^{15} = e^{- 12 + 15} = e^{3}$ .

d) Numérateur : $e^{3 x} \times e^{x - 8} = e^{3 x + x - 8} = e^{4 x - 8}$ . Puis on divise : $D = e^{4 x - 8 - 2 x} = e^{2 x - 8}$ .

Exercice 2 — Équations et inéquations de base

Facile

Résoudre dans $ℝ$ .

a) $e^{4 x - 1} = e^{x + 8}$
b) $e^{6 - x} = 1$
c) $e^{2 x + 7} ⩽ e^{x + 3}$
d) $e^{- 5 x} > e$

a) L'exponentielle est strictement croissante donc injective : $e^{4 x - 1} = e^{x + 8} ⟺ 4 x - 1 = x + 8 ⟺ 3 x = 9 ⟺ x = 3$ . $S = {3}$ .

b) $1 = e^{0}$ , donc $e^{6 - x} = e^{0} ⟺ 6 - x = 0 ⟺ x = 6$ . $S = {6}$ .

c) $e^{2 x + 7} ⩽ e^{x + 3} ⟺ 2 x + 7 ⩽ x + 3 ⟺ x ⩽ - 4$ . $S =] - \infty; - 4]$ .

d) $e = e^{1}$ , donc $e^{- 5 x} > e^{1} ⟺ - 5 x > 1$ . En divisant par $- 5 < 0$ , l'inégalité change de sens : $x < - \frac{1}{5}$ . $S =] - \infty; - 0, 2 [$ .

Exercice 3 — Dérivées immédiates

Facile

Dériver chaque fonction sur $ℝ$ et préciser son sens de variation.

a) $f (x) = 5 e^{x} - 3 x$
b) $g (t) = e^{0, 6 t}$
c) $h (t) = 12 e^{- 0, 25 t}$
d) $k (x) = e^{x} + e^{- x}$

a) $f^{'} (x) = 5 e^{x} - 3$ . On cherche son signe : $5 e^{x} - 3 > 0 ⟺ e^{x} > 0, 6$ . La fonction n'est donc pas monotone sur $ℝ$ ; elle est décroissante puis croissante. $f^{'} (x) = 5 e^{x} - 3$ .

b) Avec ${(e^{a t})}^{'} = a e^{a t}$ et $a = 0, 6$ : $g^{'} (t) = 0, 6 e^{0, 6 t}$ . Comme $e^{0, 6 t} > 0$ et $0, 6 > 0$ , $g^{'}$ est strictement positive : $g$ est strictement croissante sur $ℝ$ .

c) $h^{'} (t) = 12 \times (- 0, 25) e^{- 0, 25 t} = - 3 e^{- 0, 25 t}$ . Ce nombre est strictement négatif car $e^{- 0, 25 t} > 0$ : $h$ est strictement décroissante sur $ℝ$ .

d) $k^{'} (x) = e^{x} - e^{- x}$ . Or $e^{x} > e^{- x} ⟺ x > - x ⟺ x > 0$ : $k^{'}$ est négative sur $] - \infty; 0]$ et positive sur $[0; + \infty [$ . $k$ est décroissante puis croissante, avec un minimum $k (0) = 2$ .

Exercice 4 — Factoriser et étudier un signe

Moyen

On considère $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = e^{2 x} - 4 e^{x}$ .

a) Factoriser $f (x)$ par $e^{x}$ .
b) En déduire le signe de $f (x)$ sur $ℝ$ .
c) Résoudre l'équation $f (x) = 0$ .
d) Déterminer $f^{'} (x)$ et le sens de variation de $f$ .

a) $e^{2 x} = e^{x} \times e^{x}$ , donc $f (x) = e^{x} (e^{x} - 4)$ .

b) Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ : le signe de $f (x)$ est celui de $e^{x} - 4$ . Or $e^{x} - 4 > 0 ⟺ e^{x} > 4$ . Comme $e^{1} \approx 2, 72$ et $e^{2} \approx 7, 39$ , le seuil est entre $1$ et $2$ ; en notant $α$ le réel tel que $e^{α} = 4$ (soit $α \approx 1, 386$ ), on obtient : $f (x) < 0$ sur $] - \infty; α [$ , $f (α) = 0$ , $f (x) > 0$ sur $] α; + \infty [$ .

c) $f (x) = 0 ⟺ e^{x} (e^{x} - 4) = 0$ . Un produit est nul si l'un des facteurs est nul ; $e^{x} \neq 0$ , donc $e^{x} = 4$ , c'est-à-dire $x = α \approx 1, 386$ (valeur unique car $\exp$ est strictement croissante).

d) $f^{'} (x) = 2 e^{2 x} - 4 e^{x} = 2 e^{x} (e^{x} - 2)$ . Le signe est celui de $e^{x} - 2$ , qui s'annule pour $e^{x} = 2$ , soit $x = β \approx 0, 693$ . $f$ est strictement décroissante sur $] - \infty; β]$ et strictement croissante sur $[β; + \infty [$ , avec $f (β) = 2^{2} - 4 \times 2 = - 4$ .

Exercice 5 — Dérivée d'un produit

Moyen

Dériver et étudier les variations sur $ℝ$ .

a) $u (x) = (3 x - 1) e^{x}$
b) $v (x) = x^{2} e^{x}$
c) Montrer que $u$ admet un minimum et donner sa valeur exacte.
d) Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $u$ au point d'abscisse $0$ .

a) $u$ est un produit : avec $f (x) = 3 x - 1$ ( $f^{'} (x) = 3$ ) et $g (x) = e^{x}$ ( $g^{'} (x) = e^{x}$ ), $u^{'} (x) = 3 e^{x} + (3 x - 1) e^{x} = (3 x + 2) e^{x}$ . Comme $e^{x} > 0$ , $u^{'} (x)$ a le signe de $3 x + 2$ , qui s'annule en $- \frac{2}{3}$ . $u$ est décroissante sur $] - \infty; - \frac{2}{3}]$ et croissante sur $[- \frac{2}{3}; + \infty [$ .

b) $v^{'} (x) = 2 x e^{x} + x^{2} e^{x} = x (x + 2) e^{x}$ . Le signe est celui de $x (x + 2)$ : positif sur $] - \infty; - 2]$ , négatif sur $[- 2; 0]$ , positif sur $[0; + \infty [$ . $v$ est croissante, puis décroissante, puis croissante (maximum local $v (- 2) = 4 e^{- 2} \approx 0, 54$ , minimum local $v (0) = 0$ ).

c) D'après a), $u$ change de sens de variation en $x = - \frac{2}{3}$ : elle y atteint son minimum, égal à $u (- \frac{2}{3}) = (3 \times (- \frac{2}{3}) - 1) e^{- 2 / 3} = - 3 e^{- 2 / 3} \approx - 1, 54$ .

d) La tangente en $0$ a pour équation $y = u^{'} (0) (x - 0) + u (0)$ . Or $u (0) = (0 - 1) e^{0} = - 1$ et $u^{'} (0) = (0 + 2) e^{0} = 2$ . $y = 2 x - 1$ .

Exercice 6 — Équations à changement d'inconnue

Moyen

Résoudre dans $ℝ$ en posant $X = e^{x}$ lorsque c'est utile.

a) $e^{2 x} - 7 e^{x} + 10 = 0$
b) $e^{x} + 6 e^{- x} = 5$
c) $e^{x^{2}} = e^{3 x + 10}$

a) On pose $X = e^{x}$ , avec la contrainte $X > 0$ . L'équation devient $X^{2} - 7 X + 10 = 0$ . Discriminant : $Δ = 49 - 40 = 9 > 0$ , racines $X_{1} = \frac{7 - 3}{2} = 2$ et $X_{2} = \frac{7 + 3}{2} = 5$ . Les deux sont strictement positives. On revient à $x$ : $e^{x} = 2$ ou $e^{x} = 5$ , soit deux solutions, $x_{1} \approx 0, 693$ et $x_{2} \approx 1, 609$ (valeurs approchées obtenues à la calculatrice).

b) On multiplie par $e^{x} > 0$ (ce qui ne change pas l'ensemble des solutions) : $e^{2 x} + 6 = 5 e^{x}$ , soit $X^{2} - 5 X + 6 = 0$ avec $X = e^{x} > 0$ . $Δ = 25 - 24 = 1$ , racines $X = 2$ et $X = 3$ , toutes deux positives. Donc $e^{x} = 2$ ou $e^{x} = 3$ : $x \approx 0, 693$ ou $x \approx 1, 099$ .

c) Ici aucun changement d'inconnue n'est nécessaire : $e^{x^{2}} = e^{3 x + 10} ⟺ x^{2} = 3 x + 10 ⟺ x^{2} - 3 x - 10 = 0$ . $Δ = 9 + 40 = 49$ , $\sqrt{Δ} = 7$ , racines $\frac{3 - 7}{2} = - 2$ et $\frac{3 + 7}{2} = 5$ . $S = {- 2; 5}$ .

Exercice 7 — Du modèle continu à la suite

Moyen

Une grandeur est modélisée par $g (t) = 150 e^{0, 08 t}$ , où $t$ est le temps en années et $g (t)$ la grandeur en milliers d'unités.

a) Calculer $g (0)$ et $g (5)$ , arrondis à l'unité.
b) On pose $u_{n} = g (n)$ pour tout entier naturel $n$ . Montrer que $(u_{n})$ est géométrique et préciser sa raison, arrondie au millième.
c) En déduire le taux d'évolution annuel, en pourcentage arrondi au dixième.
d) Justifier que la grandeur ne dépasse jamais $150$ en arrière du temps, c'est-à-dire pour $t < 0$ .

a) $g (0) = 150 e^{0} = 150$ . $g (5) = 150 e^{0, 4} \approx 150 \times 1, 4918 \approx 224$ milliers d'unités.

b) $u_{n + 1} = 150 e^{0, 08 (n + 1)} = 150 e^{0, 08 n} \times e^{0, 08} = e^{0, 08} \times u_{n}$ . Pour tout $n$ , $u_{n + 1} = q u_{n}$ avec $q$ constant : $(u_{n})$ est géométrique de raison $q = e^{0, 08} \approx 1, 083$ , de premier terme $u_{0} = 150$ .

c) Une raison $q$ correspond à un taux d'évolution $(q - 1) \times 100$ . Ici $(1, 0833 - 1) \times 100 \approx 8, 3 %$ d'augmentation par an. (Le taux n'est pas $8 %$ : $e^{0, 08} \neq 1, 08$ .)

d) La fonction $t \mapsto e^{0, 08 t}$ est strictement croissante car $0, 08 > 0$ , donc $g$ l'est aussi ( $150 > 0$ ). Pour $t < 0$ , $g (t) < g (0) = 150$ : la grandeur reste strictement inférieure à $150$ milliers d'unités avant l'instant initial.

Exercice 8 — Étude complète d'une fonction

Difficile

Soit $f$ définie sur $ℝ$ par $f (x) = (x^{2} - 5) e^{- x}$ .

a) Montrer que $f^{'} (x) = (- x^{2} + 2 x + 5) e^{- x}$ .
b) Étudier le signe de $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[- 3; 4]$ .
c) Déterminer les points d'intersection de la courbe de $f$ avec l'axe des abscisses.
d) Un élève affirme : « $f$ est négative donc décroissante sur $[- 2; 2]$ . » Expliquer son erreur.

a) $f$ est le produit de $u (x) = x^{2} - 5$ et $v (x) = e^{- x}$ , avec $u^{'} (x) = 2 x$ et $v^{'} (x) = - e^{- x}$ . Donc $f^{'} (x) = 2 x e^{- x} + (x^{2} - 5) \times (- e^{- x}) = (2 x - x^{2} + 5) e^{- x} = (- x^{2} + 2 x + 5) e^{- x}$ , ce qu'il fallait démontrer.

b) Comme $e^{- x} > 0$ , le signe de $f^{'} (x)$ est celui du trinôme $- x^{2} + 2 x + 5$ . Son discriminant vaut $Δ = 4 + 20 = 24$ , $\sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ , d'où les racines $x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{6}}{- 2} = 1 \mp \sqrt{6}$ , soit $x_{1} = 1 - \sqrt{6} \approx - 1, 449$ et $x_{2} = 1 + \sqrt{6} \approx 3, 449$ . Le coefficient de $x^{2}$ est $- 1 < 0$ : le trinôme est négatif à l'extérieur des racines, positif entre elles. $f$ est décroissante sur $[- 3; 1 - \sqrt{6}]$ , croissante sur $[1 - \sqrt{6}; 1 + \sqrt{6}]$ , décroissante sur $[1 + \sqrt{6}; 4]$ . Minimum local $f (1 - \sqrt{6}) \approx - 12, 6$ , maximum local $f (1 + \sqrt{6}) \approx 0, 22$ .

c) $f (x) = 0 ⟺ (x^{2} - 5) e^{- x} = 0$ . Comme $e^{- x} \neq 0$ , il reste $x^{2} = 5$ , soit $x = - \sqrt{5}$ ou $x = \sqrt{5}$ . La courbe coupe l'axe des abscisses en $(- \sqrt{5}; 0)$ et $(\sqrt{5}; 0)$ , soit environ $x \approx - 2, 236$ et $x \approx 2, 236$ .

d) L'élève confond le signe de $f$ (donné par $x^{2} - 5$ ) et le sens de variation (donné par le signe de $f^{'}$ ). Sur $[- 2; 2]$ , $f$ est bien négative, mais $f^{'}$ y change de signe en $1 - \sqrt{6} \approx - 1, 449$ : $f$ y est d'abord décroissante, puis croissante. Le signe d'une fonction ne détermine jamais ses variations.

Exercice 9 — Inéquations et position relative

Difficile

On note $𝒞$ la courbe de $f : x \mapsto e^{2 x}$ et $𝒟$ celle de $g : x \mapsto e^{x + 6}$ .

a) Déterminer l'abscisse du point d'intersection de $𝒞$ et $𝒟$ .
b) Étudier la position relative de $𝒞$ et $𝒟$ .
c) Résoudre l'inéquation $e^{3 x - 1} \times e^{2 - x} ⩾ e^{x + 4}$ .
d) Montrer que pour tout réel $x$ , $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$ .

a) Les deux courbes se coupent lorsque $e^{2 x} = e^{x + 6}$ , c'est-à-dire $2 x = x + 6$ , soit $x = 6$ . Point d'intersection d'abscisse $6$ , d'ordonnée $e^{12}$ .

b) $e^{2 x} > e^{x + 6} ⟺ 2 x > x + 6 ⟺ x > 6$ (l'exponentielle étant strictement croissante). Donc $𝒞$ est au-dessous de $𝒟$ sur $] - \infty; 6 [$ , au-dessus sur $] 6; + \infty [$ , les deux courbes se croisant en $x = 6$ .

c) On réduit le membre de gauche : $e^{3 x - 1} \times e^{2 - x} = e^{3 x - 1 + 2 - x} = e^{2 x + 1}$ . L'inéquation devient $e^{2 x + 1} ⩾ e^{x + 4} ⟺ 2 x + 1 ⩾ x + 4 ⟺ x ⩾ 3$ . $S = [3; + \infty [$ .

d) Posons $X = e^{x}$ , avec $X > 0$ . L'inégalité à démontrer s'écrit $X + \frac{1}{X} ⩾ 2$ , soit, en multipliant par $X > 0$ (le sens est conservé), $X^{2} - 2 X + 1 ⩾ 0$ , c'est-à-dire $(X - 1)^{2} ⩾ 0$ : c'est vrai pour tout réel $X$ en tant que carré. Donc $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$ pour tout réel $x$ , avec égalité si et seulement si $X = 1$ , soit $x = 0$ .

Exercice 10 — Caractérisation par l'équation différentielle

Difficile

On admet que les fonctions dérivables sur $ℝ$ vérifiant $f^{'} = f$ sont exactement les fonctions $x \mapsto C e^{x}$ , où $C$ est un réel.

a) Déterminer la fonction $f$ dérivable sur $ℝ$ telle que $f^{'} = f$ et $f (2) = 9$ .
b) Soit $h$ définie par $h (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ où $f$ est dérivable sur $ℝ$ et vérifie $f^{'} = f$ . Montrer que $h$ est constante.
c) Soit $g$ dérivable sur $ℝ$ telle que $g^{'} (x) = 4 g (x)$ pour tout $x$ , et $g (0) = 7$ . Vérifier que $x \mapsto 7 e^{4 x}$ convient et calculer $g (0, 5)$ arrondi au centième.

a) D'après l'énoncé, $f (x) = C e^{x}$ . La condition $f (2) = 9$ donne $C e^{2} = 9$ , soit $C = 9 e^{- 2}$ . Ainsi $f (x) = 9 e^{- 2} e^{x} = 9 e^{x - 2}$ . Vérification : $f^{'} (x) = 9 e^{x - 2} = f (x)$ et $f (2) = 9 e^{0} = 9$ .

b) $h$ est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur $e^{x}$ ne s'annule jamais : $h$ est dérivable sur $ℝ$ et $h^{'} (x) = \frac{f^{'} (x) e^{x} - f (x) e^{x}}{{(e^{x})}^{2}} = \frac{e^{x} (f^{'} (x) - f (x))}{e^{2 x}} .$ Or $f^{'} = f$ , donc le numérateur est nul : $h^{'} (x) = 0$ pour tout $x$ . Une fonction de dérivée nulle sur $ℝ$ est constante : $h$ est constante, égale à $f (0)$ , ce qui redonne $f (x) = f (0) e^{x}$ .

c) Posons $g (x) = 7 e^{4 x}$ . Alors $g^{'} (x) = 7 \times 4 e^{4 x} = 28 e^{4 x} = 4 \times 7 e^{4 x} = 4 g (x)$ : l'équation est vérifiée. De plus $g (0) = 7 e^{0} = 7$ : la condition initiale l'est aussi. Enfin $g (0, 5) = 7 e^{2} \approx 7 \times 7, 389 \approx 51, 72$ .

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