Fonction exponentielle

A. $1$ — Par définition, la fonction exponentielle est l'unique fonction dérivable telle que $f^{\prime }=f$ et $f(0)=1$.

B. strictement positif — L'exponentielle ne s'annule jamais et reste strictement positive : $e^x>0$ pour tout réel $x$.

C. $e^x$ — C'est la propriété fondamentale : l'exponentielle est sa propre dérivée, $(e^x{)}^{\prime }=e^x$.

D. $e^{a+b}$ — La relation fonctionnelle transforme les produits en sommes d'exposants : $e^a{e}^b=e^{a+b}$.

D. ${\displaystyle \frac{1}{e^3}}$ — Un exposant négatif donne l'inverse : $e^{-a}=\frac{1}{e^a}$, donc $e^{-3}=\frac{1}{e^3}\approx 0,0498$.

C. $2,718$ — $e=\exp (1)\approx 2,718$. Les autres valeurs sont celles de $\sqrt{2}$, de $\ln (10)$ et de $\pi$.

B. croissante sur $ℝ$ — Sa dérivée $e^x$ est strictement positive, donc la fonction est strictement croissante sur $ℝ$.

A. aucune solution — Comme $e^x>0$ pour tout $x$, l'exponentielle ne prend jamais la valeur $0$ : l'équation n'a pas de solution.

B. $e^5$ — On additionne les exposants : $8+(-3)=5$, donc le produit vaut $e^5$.

A. $x=2,5$ — On identifie les exposants : $x+2=7-x$, donc $2x=5$ et $x=2,5$.

D. $-0,9e^{-0,9t}$ — La formule ${\left(e^{at}\right)}^{\prime }=a{e}^{at}$ donne ici $a=-0,9$ : la dérivée est $-0,9e^{-0,9t}$.

C. $e^{11x}$ — ${\left(e^{3x}\right)}^4=e^{12x}$, puis on soustrait l'exposant du dénominateur : $12x-x=11x$.

C. $x>5$ — L'exponentielle est strictement croissante : $2x>x+5$, soit $x>5$.

D. $(x-3)e^x$ — Avec $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ : $f^{\prime }(x)=e^x+(x-4)e^x=(x-3)e^x$.

A. $e^{0,3}$ — $u_{n+1}=e^{0,3n}\times e^{0,3}=e^{0,3}{u}_n$ : la raison vaut $e^{0,3}\approx 1,35$, et non $1,3$.

B. $4$ — $f^{\prime }(x)=6e^x-2$, donc $f^{\prime }(0)=6\times 1-2=4$.

C. $e^{a+b}=e^a+e^b$ — L'exponentielle transforme les sommes en produits : $e^{a+b}=e^a{e}^b$. Avec $a=b=1$ : $e^2\approx 7,39$ alors que $2e\approx 5,44$.

D. coïncident pour $x=0$ et $x=2$ — ${\left(e^x\right)}^2=e^{2x}$ : l'égalité $e^{x^2}=e^{2x}$ équivaut à $x^2=2x$, soit $x=0$ ou $x=2$.

B. $x^2-9$ — Le facteur $e^x$ est toujours strictement positif : seul le trinôme $x^2-9$ décide du signe, négatif sur $]-3;3[$.

A. $5e^3$ — Les fonctions vérifiant $f^{\prime }=f$ sont les $x\mapsto C{e}^x$ ; ici $C=f(0)=5$, donc $f(3)=5e^3\approx 100,4$.

A. $x⩽2$ — Le passage aux exposants donne $-x⩾-2$ ; la division par $-1$ change le sens : $x⩽2$.

B. $y=ex$ — $y={\exp }^{\prime }(1)(x-1)+\exp (1)=e(x-1)+e=ex$ : la tangente en $1$ passe par l'origine.

D. décroissante, de raison entre $0$ et $1$ — La raison est $e^a$, strictement positive ; comme $a<0$, on a $0<e^a<1$ et la suite décroît.

C. l'équation n'a pas de solution — Une exponentielle est toujours strictement positive : elle ne peut pas valoir $-4$. C'est $e^x=4$ qui donnerait $x\approx 1,386$.