Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques
Fonction exponentielle
Définition par f′ = f et f(0) = 1, nombre e, signe, propriétés algébriques, variations, courbe, équations et inéquations, dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles, lien avec les suites géométriques.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
exp(0) vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. e
- D. −1
Réponse
B. 1 — Par définition, la fonction exponentielle vérifie f(0) = 1.
Pour tout réel x, le nombre eˣ est :
- A. négatif ou nul
- B. de signe variable selon x
- C. positif ou nul
- D. strictement positif
Réponse
D. strictement positif — L’exponentielle ne s’annule jamais et reste strictement positive : eˣ > 0 pour tout réel x.
La dérivée de x ↦ eˣ est :
- A. x·eˣ⁻¹
- B. eˣ⁻¹
- C. eˣ
- D. x·eˣ
Réponse
C. eˣ — L’exponentielle est sa propre dérivée : (eˣ)′ = eˣ.
Pour tous réels a et b, eᵃ × eᵇ est égal à :
- A. eᵃᵇ
- B. eᵃ + eᵇ
- C. (eᵃ)ᵇ
- D. e^(a+b)
Réponse
D. e^(a+b) — Relation fonctionnelle : on additionne les exposants, eᵃ × eᵇ = e^(a+b).
Le nombre e⁻³ est égal à :
- A. −e³
- B. 1/e³
- C. 3e
- D. −3e
Réponse
B. 1/e³ — Un exposant négatif donne l’inverse : e⁻ᵃ = 1/eᵃ, et ce nombre est positif.
Une valeur approchée du nombre e est :
- A. 1,414
- B. 2,236
- C. 2,718
- D. 3,142
Réponse
C. 2,718 — e = exp(1) ≈ 2,718. Les autres valeurs sont celles de √2, √5 et π.
Sur ℝ, la fonction exponentielle est :
- A. strictement décroissante
- B. strictement croissante
- C. constante
- D. croissante puis décroissante
Réponse
B. strictement croissante — Sa dérivée eˣ est strictement positive : elle est strictement croissante sur ℝ.
L’équation eˣ = 0 admet :
- A. aucune solution
- B. exactement une solution
- C. exactement deux solutions
- D. une infinité de solutions
Réponse
A. aucune solution — eˣ > 0 pour tout x : l’exponentielle ne prend jamais la valeur 0.
La tangente à la courbe de exp au point d’abscisse 0 a pour équation :
- A. y = x + 1
- B. y = x
- C. y = ex
- D. y = e
Réponse
A. y = x + 1 — exp(0) = 1 et exp′(0) = 1 : y = 1 × (x − 0) + 1 = x + 1.
Les courbes de t ↦ e^(3t) et de t ↦ e^(−3t) :
- A. sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses
- B. se coupent au point (0 ; 1)
- C. se coupent au point (1 ; 0)
- D. sont toutes deux décroissantes
Réponse
B. se coupent au point (0 ; 1) — En t = 0, e⁰ = 1 pour les deux fonctions. Elles sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, pas des abscisses ; et t ↦ e^(3t) est croissante.
La fonction t ↦ e^(−2t) est, sur ℝ :
- A. strictement croissante
- B. négative et décroissante
- C. constante
- D. strictement décroissante
Réponse
D. strictement décroissante — Sa dérivée −2e^(−2t) est strictement négative ; la fonction reste pourtant strictement positive.
La suite uₙ = e^(0,5n) est géométrique de raison :
- A. 0,5
- B. e^(0,5)
- C. 1,5
- D. e^(0,5n)
Réponse
B. e^(0,5) — uₙ₊₁ = e^(0,5n) × e^(0,5) = e^(0,5) uₙ : la raison est e^(0,5) ≈ 1,649, qui ne dépend pas de n.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Le produit e⁸ × e⁻³ vaut :
- A. e⁻²⁴
- B. e⁵
- C. e¹¹
- D. e⁻⁵
Réponse
B. e⁵ — On additionne les exposants : 8 + (−3) = 5.
La solution de e^(x+2) = e^(7−x) est :
- A. x = 2,5
- B. x = 5
- C. x = 9
- D. x = 4,5
Réponse
A. x = 2,5 — On identifie les exposants : x + 2 = 7 − x, donc 2x = 5 et x = 2,5.
La dérivée de t ↦ e^(−0,9t) est :
- A. e^(−0,9t)
- B. −0,9t·e^(−0,9t)
- C. 0,9e^(−0,9t)
- D. −0,9e^(−0,9t)
Réponse
D. −0,9e^(−0,9t) — (e^(at))′ = a e^(at) avec a = −0,9 : le coefficient sort devant, sans le t.
L’expression (e³ˣ)⁴/eˣ se simplifie en :
- A. e⁷ˣ
- B. e¹³ˣ
- C. e¹¹ˣ
- D. e¹²ˣ
Réponse
C. e¹¹ˣ — (e³ˣ)⁴ = e¹²ˣ, puis on soustrait l’exposant du dénominateur : 12x − x = 11x.
L’inéquation e²ˣ > e^(x+5) a pour solutions :
- A. x < 5
- B. x < −5
- C. x > 5
- D. x > −5
Réponse
C. x > 5 — L’exponentielle est strictement croissante : 2x > x + 5, soit x > 5.
Si f(x) = (x − 4)eˣ, alors f′(x) vaut :
- A. (x − 4)eˣ
- B. eˣ
- C. (x − 5)eˣ
- D. (x − 3)eˣ
Réponse
D. (x − 3)eˣ — (uv)′ = u′v + uv′ : f′(x) = eˣ + (x − 4)eˣ = (x − 3)eˣ.
Si f(x) = 6eˣ − 2x, alors f′(0) vaut :
- A. 2
- B. 4
- C. 6
- D. 8
Réponse
B. 4 — f′(x) = 6eˣ − 2, donc f′(0) = 6 × 1 − 2 = 4.
L’expression e²ˣ − 5eˣ se factorise en :
- A. eˣ(eˣ − 5)
- B. eˣ(e − 5)
- C. e²ˣ(1 − 5eˣ)
- D. eˣ(eˣ − 5eˣ)
Réponse
A. eˣ(eˣ − 5) — e²ˣ = eˣ × eˣ, donc e²ˣ − 5eˣ = eˣ(eˣ − 5).
L’équation e^(3x−6) = 1 a pour solution :
- A. x = 3
- B. x = 2
- C. x = 6
- D. x = 7/3
Réponse
B. x = 2 — 1 = e⁰, donc 3x − 6 = 0 et x = 2. La réponse 7/3 vient de l’erreur 3x − 6 = 1.
La dérivée de x ↦ e^(5x+1) est :
- A. (5x + 1)e^(5x)
- B. 5x·e^(5x+1)
- C. e^(5x+1)
- D. 5e^(5x+1)
Réponse
D. 5e^(5x+1) — (e^(ax+b))′ = a e^(ax+b) avec a = 5.
Une grandeur suit g(t) = 100e^(0,1t). D’un instant entier au suivant, elle est multipliée par :
- A. 1,1
- B. 0,1
- C. e^(0,1)
- D. e^(0,1t)
Réponse
C. e^(0,1) — g(n + 1) = g(n) × e^(0,1) : le coefficient est e^(0,1) ≈ 1,105, et non 1,1.
Pour f(x) = (x − 3)eˣ, le minimum de f sur ℝ est atteint en :
- A. x = 3
- B. x = 2
- C. x = −2
- D. x = 0
Réponse
B. x = 2 — f′(x) = eˣ + (x − 3)eˣ = (x − 2)eˣ, du signe de x − 2 : f décroît puis croît, minimum en x = 2.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Laquelle de ces égalités est fausse en général ?
- A. e^(a−b) = eᵃ/eᵇ
- B. (eᵃ)³ = e³ᵃ
- C. e^(a+b) = eᵃ + eᵇ
- D. e⁻ᵃ = 1/eᵃ
Réponse
C. e^(a+b) = eᵃ + eᵇ — L’exponentielle transforme les sommes en produits : e^(a+b) = eᵃeᵇ. Avec a = b = 1 : e² ≈ 7,39 alors que 2e ≈ 5,44.
Les fonctions x ↦ e^(x²) et x ↦ (eˣ)² :
- A. sont égales sur ℝ
- B. ne coïncident jamais
- C. coïncident seulement lorsque x vaut 1
- D. coïncident pour x = 0 et x = 2
Réponse
D. coïncident pour x = 0 et x = 2 — (eˣ)² = e²ˣ ; e^(x²) = e²ˣ équivaut à x² = 2x, soit x = 0 ou x = 2.
Sur ℝ, le signe de (x² − 9)eˣ est celui de :
- A. eˣ
- B. x² − 9
- C. x − 3
- D. sa dérivée
Réponse
B. x² − 9 — eˣ > 0 : seul le trinôme x² − 9 décide du signe, négatif sur ]−3 ; 3[.
Si f est dérivable sur ℝ, f′ = f et f(0) = 5, alors f(3) vaut :
- A. 5e³
- B. e³ + 5
- C. 5e
- D. e¹⁵
Réponse
A. 5e³ — Les fonctions telles que f′ = f sont les x ↦ Ceˣ ; ici C = f(0) = 5, donc f(3) = 5e³.
L’inéquation e^(−x) ≥ e^(−2) a pour solutions :
- A. x ≤ 2
- B. x ≥ 2
- C. x ≤ −2
- D. x ≥ −2
Réponse
A. x ≤ 2 — Passage aux exposants : −x ≥ −2 ; la multiplication par −1 change le sens : x ≤ 2.
La tangente à la courbe de exp au point d’abscisse 1 a pour équation :
- A. y = x + e
- B. y = ex
- C. y = ex + e
- D. y = ex − e
Réponse
B. y = ex — y = exp′(1)(x − 1) + exp(1) = e(x − 1) + e = ex : elle passe par l’origine.
Pour K > 0 et a < 0, la suite vₙ = K·e^(an) est :
- A. croissante, de raison supérieure à 1
- B. géométrique, de raison négative
- C. arithmétique, de raison eᵃ
- D. décroissante, de raison entre 0 et 1
Réponse
D. décroissante, de raison entre 0 et 1 — La raison eᵃ est strictement positive ; comme a < 0, 0 < eᵃ < 1 et la suite décroît.
Un élève résout eˣ = −4. La bonne réponse est :
- A. x = −4, car l’exponentielle est croissante
- B. x = −e⁴
- C. l’équation n’a pas de solution
- D. x = 4/e
Réponse
C. l’équation n’a pas de solution — Une exponentielle est toujours strictement positive : elle ne peut pas valoir −4.
Avec X = eˣ, l’équation e²ˣ − (e − 1)eˣ − e = 0 devient X² − (e − 1)X − e = 0, de racines −1 et e. L’équation de départ a :
- A. aucune solution
- B. deux solutions
- C. une seule solution
- D. quatre solutions
Réponse
C. une seule solution — eˣ = −1 est impossible (eˣ > 0) ; il reste eˣ = e = e¹, soit x = 1, car l’exponentielle est strictement croissante : une seule solution.
Le maximum de f(x) = x·e^(−x) sur ℝ vaut :
- A. 2/e
- B. 1
- C. e/2
- D. 1/e
Réponse
D. 1/e — f′(x) = e^(−x) − x·e^(−x) = (1 − x)e^(−x) : f croît puis décroît, maximum f(1) = e⁻¹ = 1/e.
Une population suit P(t) = 2 000e^(0,05t). D’une année à la suivante, elle augmente de :
- A. exactement 5 % chaque année
- B. environ 5,1 % : (e^(0,05) − 1) × 100
- C. 5 % au début, puis de moins en moins
- D. 0,05 % chaque année
Réponse
B. environ 5,1 % : (e^(0,05) − 1) × 100 — La raison est e^(0,05) ≈ 1,0513 : le taux annuel est d’environ 5,1 %, constant, un peu plus que 5 %.
Pour tout réel x, la fonction f(x) = eˣ − x vérifie :
- A. f(x) ≥ 1
- B. f(x) ≥ 0 seulement si x ≥ 0
- C. f(x) ≤ 1
- D. f(x) > 1
Réponse
A. f(x) ≥ 1 — f′(x) = eˣ − 1 : f décroît sur ]−∞ ; 0] puis croît, minimum f(0) = 1. Donc f(x) ≥ 1, avec égalité en 0 (d’où « f(x) > 1 » faux).
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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