Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonction exponentielle » ?

120 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Fonction exponentielle » du programme officiel de spécialité mathématiques en première.

Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fonction exponentielle

Définition par f′ = f et f(0) = 1, nombre e, signe, propriétés algébriques, variations, courbe, équations et inéquations, dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles, lien avec les suites géométriques.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de deux heures sur 20 points, sans calculatrice, avec corrigé détaillé : automatismes, calcul algébrique et équations, étude de (x + 5)e⁻ˣ, population de poissons modélisée par une décroissance exponentielle, vrai-faux justifiés.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 120 min · Noté sur 20

120:00

benprofparticulier.frSpécialité Mathématiques · 1ʳᵉ

Devoir surveillé – Fonction exponentielle

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Automatismes ★★

(3 pts)

Sans justification : donner directement le résultat.

a)Écrire $e^{5} \times e^{- 12}$ sous la forme $e^{k}$ .
b)Donner le signe de $- 3 e^{2 x}$ pour tout réel $x$ .
c)Résoudre $e^{x^{2} + x} = e^{6}$ .
d)Dériver $f (t) = e^{1, 5 t}$ .
e)La suite $u_{n} = e^{- 0, 6 n}$ est-elle croissante ou décroissante ?
f)Donner l’équation de la tangente à la courbe de $\exp$ au point d’abscisse $0$ .

Exercice 2 – Calcul algébrique, équations et inéquations ★★

(4 pts)

Les questions sont indépendantes. Justifier chaque étape.

a)Écrire $A = \frac{{(e^{- x})}^{4} \times e^{2 x}}{e^{5 x - 3}}$ sous la forme $e^{a x + b}$ .
b)Résoudre dans $ℝ$ l’équation $e^{7 x - 2} = e^{3 x + 14}$ .
c)Résoudre dans $ℝ$ l’inéquation $e^{- 4 x} ⩽ e^{12}$ .
d)Résoudre dans $ℝ$ l’équation $e^{2 x} - (e + e^{- 1}) e^{x} + 1 = 0$ , en posant $X = e^{x}$ .

Exercice 3 – Étude d’une fonction produit ★★

(4 pts)

Soit $f$ la fonction définie sur $[- 6; 2]$ par $f (x) = (x + 5) e^{- x}$ .

a)Montrer que pour tout $x$ de $[- 6; 2]$ , $f' (x) = (- x - 4) e^{- x}$ .
b)Étudier le signe de $f' (x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[- 6; 2]$ (valeurs exactes).
c)Donner la valeur exacte du maximum de $f$ sur $[- 6; 2]$ .
d)Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $0$ .

Exercice 4 – Population de poissons ★★★

(5 pts)

Le nombre de poissons d’un lac est modélisé par $P (t) = 3 200 e^{- 0, 12 t}$ , où $t$ est le temps en années depuis 2026. On donne : $e^{- 0, 12} \approx 0, 8869$ ; $e^{- 0, 48} \approx 0, 6188$ ; $e^{- 1, 08} \approx 0, 3396$ ; $e^{- 1, 2} \approx 0, 3012$ .

a)Calculer le nombre de poissons en 2026, puis en 2030 (arrondi à l’unité).
b)Calculer $P' (t)$ et en déduire le sens de variation de $P$ sur $[0; + \infty [$ .
c)On pose $p_{n} = P (n)$ . Montrer que $(p_{n})$ est géométrique ; donner sa raison arrondie au millième.
d)En déduire le pourcentage de diminution annuelle, arrondi au dixième.
e)Déterminer la première année où la population passe sous les $1 000$ poissons, en justifiant par deux calculs.

Exercice 5 – Vrai ou faux, et erreurs à corriger ★★★

(4 pts)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant ; pour la dernière, démontrer.

a)« Pour tout réel $x$ , $e^{x} > x + 1$ . »
b)« La fonction $x \mapsto e^{- 0, 7 x}$ est décroissante, donc elle prend des valeurs négatives. »
c)Un élève écrit : « $e^{2 x} + e^{x} = e^{3 x}$ car $2 x + x = 3 x$ . » Expliquer l’erreur et donner un contre-exemple chiffré.
d)Montrer que pour tout réel $x$ , $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} < 1$ .

Bon courage !

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Corrigé et barème – Fonction exponentielle

Durée : 120 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Spécialité Mathématiques 1ʳᵉ

Exercice 1 – Automatismes ★★

(3 pts)

a) $e^{5 - 12} = e^{- 7}$ . (0,5)
b) $e^{2 x} > 0$ et $- 3 < 0$ : $- 3 e^{2 x}$ est strictement négatif. (0,5)
c) $x^{2} + x = 6$ $⟺ x^{2} + x - 6 = 0$ ; $Δ = 1 + 24 = 25$ , racines $\frac{- 1 - 5}{2} = - 3$ et $\frac{- 1 + 5}{2} = 2$ : $S = {- 3; 2}$ . (0,5)
d) $f' (t) = 1, 5 e^{1, 5 t}$ . (0,5)
e)Géométrique de raison $e^{- 0, 6}$ , avec $0 < e^{- 0, 6} < 1$ et $u_{0} = 1 > 0$ : décroissante. (0,5)
f) $y = x + 1$ (car $\exp (0) = \exp' (0) = 1$ ). (0,5)

Repère — Un seul exposant, une exponentielle toujours positive, un coefficient qui sort devant : trois réflexes à avoir sans calcul.

Exercice 2 – Calcul algébrique, équations et inéquations ★★

(4 pts)

a) ${(e^{- x})}^{4} = e^{- 4 x}$ (règle ${(e^{a})}^{n} = e^{n a}$ ). Puis, en additionnant les exposants du numérateur et en soustrayant celui du dénominateur : $A = e^{- 4 x + 2 x - (5 x - 3)} = e^{3 - 7 x}$ . (1)
b)L’exponentielle étant strictement croissante, $e^{7 x - 2} = e^{3 x + 14}$ $⟺ 7 x - 2 = 3 x + 14$ $⟺ 4 x = 16 ⟺ x = 4$ . $S = {4}$ . (1)
c)L’exponentielle étant strictement croissante, $e^{- 4 x} ⩽ e^{12} ⟺ - 4 x ⩽ 12$ . On divise par $- 4 < 0$ , le sens change : $x ⩾ - 3$ . $S = [- 3; + \infty [$ . (1)
d)On pose $X = e^{x}$ , avec $X > 0$ : $X^{2} - (e + e^{- 1}) X + 1 = 0$ . Les nombres $e$ et $e^{- 1}$ ont pour somme $e + e^{- 1}$ et pour produit $e \times e^{- 1} = 1$ : ce sont les racines, et $X^{2} - (e + e^{- 1}) X + 1$ $= (X - e) (X - e^{- 1})$ . Les deux racines sont strictement positives. $e^{x} = e^{1} ⟺ x = 1$ et $e^{x} = e^{- 1} ⟺ x = - 1$ (exponentielle strictement croissante). $S = {- 1; 1}$ . (1)

Repère — Pour passer aux exposants, il faut une égalité ou une inégalité entre deux exponentielles : on y ramène chaque membre.

Exercice 3 – Étude d’une fonction produit ★★

(4 pts)

a) $f$ est le produit de $u (x) = x + 5$ et $v (x) = e^{- x}$ , dérivables, avec $u' (x) = 1$ et $v' (x) = - e^{- x}$ (dérivée de $e^{a x + b}$ avec $a = - 1$ ). Donc $f' (x) = 1 \times e^{- x} + (x$ $+ 5) (- e^{- x})$ $= (1 - x - 5) e^{- x}$ $= (- x - 4) e^{- x}$ . (1)
b)Pour tout $x$ , $e^{- x} > 0$ : $f' (x)$ a le signe de $- x - 4$ , qui est positif pour $x < - 4$ , nul en $- 4$ , négatif pour $x > - 4$ . Donc $f$ est croissante sur $[- 6; - 4]$ et décroissante sur $[- 4; 2]$ . Valeurs : $f (- 6) = (- 1) e^{6}$ $= - e^{6}$ , $f (- 4) = 1 \times e^{4} = e^{4}$ , $f (2) = 7 e^{- 2}$ .
$x$ $- 6$ $- 4$ $2$
$f' (x)$ $+$ $0$ $-$
$f$ $- e^{6}$ ↗ $e^{4}$ ↘ $7 e^{- 2}$
(1)
c)D’après le tableau, $f$ atteint son maximum en $x = - 4$ : $f (- 4) = (- 4 + 5) e^{4}$ $= e^{4}$ . (1)
d) $f (0) = 5 e^{0} = 5$ et $f' (0) = (- 0 - 4) e^{0}$ $= - 4$ . La tangente a pour équation $y = f' (0) (x - 0) + f (0)$ , soit $y = - 4 x + 5$ . (1)

$x$	$- 6$		$- 4$		$2$
$f' (x)$		$+$	$0$	$-$
$f$	$- e^{6}$	↗	$e^{4}$	↘	$7 e^{- 2}$

Repère — On factorise la dérivée par l’exponentielle : son signe est alors celui d’un simple facteur affine.

Exercice 4 – Population de poissons ★★★

(5 pts)

a)En 2026, $t = 0$ : $P (0) = 3 200 e^{0} = 3 200$ poissons. En 2030, $t = 4$ : $P (4)$ $= 3 200 e^{- 0, 48} \approx 3 200 \times 0, 6188$ $= 1 980, 16$ , soit environ $1 980$ poissons. (1)
b)D’après ${(e^{a t})}^{'} = a e^{a t}$ : $P' (t)$ $= 3 200 \times (- 0, 12) e^{- 0, 12 t}$ $= - 384 e^{- 0, 12 t}$ . Comme $e^{- 0, 12 t} > 0$ , $P' (t) < 0$ pour tout $t$ : $P$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , la population diminue. (1)
c)Pour tout entier naturel $n$ : $p_{n + 1}$ $= 3 200 e^{- 0, 12 (n + 1)}$ $= 3 200 e^{- 0, 12 n} \times e^{- 0, 12}$ $= e^{- 0, 12} p_{n}$ . Le coefficient $e^{- 0, 12}$ ne dépend pas de $n$ : $(p_{n})$ est géométrique de raison $e^{- 0, 12} \approx 0, 887$ et de premier terme $p_{0} = 3 200$ . (1)
d)Le taux d’évolution associé à la raison est $(0, 8869 - 1) \times 100$ $= - 11, 31$ : la population diminue d’environ $11, 3 %$ par an (et non de $12 %$ ). (1)
e) $P (9)$ $= 3 200 e^{- 1, 08} \approx 3 200 \times 0, 3396 \approx 1 087 > 1 000$ et $P (10)$ $= 3 200 e^{- 1, 2} \approx 3 200 \times 0, 3012 \approx 964 < 1 000$ . Comme $P$ est strictement décroissante, la population reste au-dessus de $1 000$ jusqu’en 2035 et passe en dessous à partir de $t = 10$ : en 2036. (1)

Repère — Un modèle K e^(at) pris aux années entières est une suite géométrique de raison e^a : le taux se lit sur la raison, pas sur a.

Exercice 5 – Vrai ou faux, et erreurs à corriger ★★★

(4 pts)

a)Fausse. Pour $x = 0$ : $e^{0} = 1$ et $0 + 1 = 1$ , il y a égalité et non inégalité stricte. Ce qui est vrai, c’est $e^{x} ⩾ x + 1$ pour tout réel $x$ : la courbe est au-dessus de sa tangente $y = x + 1$ , qu’elle touche en $0$ . (1)
b)Fausse. La fonction est bien strictement décroissante, car sa dérivée $- 0, 7 e^{- 0, 7 x}$ est strictement négative ; mais une exponentielle est toujours strictement positive : $e^{- 0, 7 x} > 0$ pour tout $x$ . Décroissante ne veut pas dire négative. (1)
c)La règle des exposants vaut pour un produit : $e^{2 x} \times e^{x} = e^{3 x}$ ; une somme ne se simplifie pas. Contre-exemple : pour $x = 0$ , $e^{0} + e^{0} = 2$ alors que $e^{3 \times 0} = 1$ . (1)
d)Pour tout réel $x$ , $e^{x} > 0$ , donc $e^{x} + 1 > 0$ et $e^{x} < e^{x} + 1$ . On divise les deux membres par le nombre strictement positif $e^{x} + 1$ : le sens est conservé, d’où $\frac{e^{x}}{e^{x} + 1} < 1$ . (1)

Repère — Positive ne veut pas dire croissante, décroissante ne veut pas dire négative : signe et variations se justifient séparément.

Ce contrôle de spécialité mathématiques 1ʳᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Fonction exponentielle » : 5 exercices, 120 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Automatismes ★★/ 3 pts
Exercice 2 — Calcul algébrique, équations et inéquations ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Étude d’une fonction produit ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Population de poissons ★★★/ 5 pts
Exercice 5 — Vrai ou faux, et erreurs à corriger ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Définition de l’exponentielle, nombre e, signe de eˣ, relation fonctionnelle, propriétés algébriques, sens de variation, courbe et tangente en 0, équations et inéquations, dérivée de e^(at) et de e^(ax + b), produit (mx + p)eˣ, lien avec les suites géométriques, croissance et décroissance exponentielles.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés.
Se tester avec le QCM (24 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 120 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de spécialité mathématiques 1ʳᵉ · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Fonction exponentielle » ?: 120 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 120 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de spécialité mathématiques de première ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Fonction exponentielle » du programme officiel de spécialité mathématiques en première, soit : fonction exponentielle, unique fonction dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1 (existence et unicité admises) ; exp(x + y) = exp(x) exp(y) et exp(x) exp(−x) = 1 ; nombre e, notation eˣ ; signe, sens de variation et courbe ; dérivée de t ↦ e^(at) ; fonctions t ↦ e^(kt) et t ↦ e^(−kt) ; lien avec les suites géométriques ; modéliser une croissance ou une décroissance exponentielle ; méthode d’Euler et valeur approchée de e.

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