Fonction exponentielle

1. $e^5\times e^{-12}$
2. ${\displaystyle \frac{e^{2x}}{e^{5x-3}}}$
3. ${\left(e^{-x}\right)}^4\times e^{9x}$
4. ${\displaystyle \frac{e^{x+7}\times e^{-2x}}{e^4}}$

1. Résoudre $e^{7x-2}=e^{3x+14}$.
2. Résoudre $e^{x^2+x}=e^6$.
3. Résoudre $e^{-4x}⩽e^{12}$.
4. Résoudre $e^{2x}-15e^x+54=0$ et donner les solutions arrondies au millième.

Soit $f$ définie sur $[-6;2]$ par $f(x)=(x+5)e^{-x}$.
a) Montrer que $f^{\prime }(x)=(-x-4)e^{-x}$.

1. Étudier le signe de $f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ sur $[-6;2]$.
2. Donner la valeur exacte du maximum de $f$, puis sa valeur arrondie au centième.
3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $0$.

Le nombre de poissons d'un lac est modélisé par $P(t)=3200e^{-0,12t}$, où $t$ désigne le temps en années depuis 2026.
a) Calculer le nombre de poissons en 2026 et en 2030, arrondi à l'unité.

1. On pose $p_n=P(n)$. Montrer que $(p_n)$ est géométrique et donner sa raison arrondie au millième.
2. En déduire le pourcentage de diminution annuelle, arrondi au dixième.
3. Déterminer la première année où la population passe sous la barre des $1000$ poissons, en justifiant par deux calculs.

1. L'affirmation « pour tout réel $x$, $e^x>x+1$ » est-elle vraie ? Justifier.
2. L'affirmation « la fonction $x\mapsto e^{-0,7x}$ est décroissante, donc elle prend des valeurs négatives » est-elle vraie ? Justifier.
3. Un élève écrit : « $e^{2x}+e^x=e^{3x}$ car $2x+x=3x$ ». Expliquer son erreur et donner un contre-exemple chiffré.
4. Montrer que pour tout réel $x$, ${\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}<1$.