Ressources · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fonction exponentielle

Définition par f′ = f et f(0) = 1, nombre e, signe, propriétés algébriques, variations, courbe, équations et inéquations, dérivée de t ↦ e^(at), croissance et décroissance exponentielles, lien avec les suites géométriques.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés dans l’esprit de l’épreuve anticipée, sans calculatrice : élimination d’un médicament, culture bactérienne avec un programme Python de seuil, refroidissement d’une boisson, bénéfice d’un atelier et chaînette d’un câble suspendu.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je relève les données : la fonction modèle K e^(at), l’unité de temps, les valeurs « On donne » (le sujet est sans calculatrice).
Je dérive avec (e^(at))′ = a e^(at) ou (uv)′ = u′v + uv′, puis je factorise par l’exponentielle.
Je justifie le signe par « e^(…) > 0 » et j’en déduis les variations, puis j’interprète dans la situation.
Je passe à la suite uₙ = f(n) : raison e^a, taux (e^a − 1) × 100 %.
Je cherche un seuil avec les valeurs données (ou une boucle « tant que ») et je vérifie les deux entiers qui encadrent la réponse.

Problème 1 · Élimination d’un médicament★★★Facile

Après une injection, la concentration d’un médicament dans le sang, en mg/L, est modélisée pour

t ⩾ 0

(en heures) par

C (t) = 8 e^{- 0, 35 t}

. Le médicament est considéré comme éliminé lorsque la concentration est inférieure à

0, 5

mg/L. On donne :

e^{- 0, 35} \approx 0, 705

;

e^{- 0, 7} \approx 0, 497

;

e^{- 1, 05} \approx 0, 350

;

e^{- 2, 45} \approx 0, 0863

;

e^{- 2, 8} \approx 0, 0608

1. Concentration au bout de $3$ heures, arrondie au dixième : $C (3) \approx$ mg/L
À l’injection, $C (0) = 8 e^{0} = 8$ mg/L. Au bout de $3$ heures : $C (3) = 8 e^{- 0, 35 \times 3}$ $= 8 e^{- 1, 05} \approx 8 \times 0, 350$ $= 2, 8$ mg/L.
2. Calculer $C' (t)$ et en déduire le sens de variation de $C$ : $C' (t) = c e^{- 0, 35 t}$ avec $c =$
Rédaction attendue. $C$ est de la forme $K e^{a t}$ avec $K = 8$ et $a = - 0, 35$ ; d’après ${(e^{a t})}^{'} = a e^{a t}$ , $C' (t)$ $= 8 \times (- 0, 35) e^{- 0, 35 t}$ $= - 2, 8 e^{- 0, 35 t}$ . Pour tout $t$ , $e^{- 0, 35 t} > 0$ , donc $C' (t) < 0$ : la fonction $C$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ . La concentration diminue sans cesse : le médicament s’élimine.
3. Montrer que la suite $c_{n} = C (n)$ est géométrique. Sa raison, arrondie au millième :
Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$ , $c_{n + 1}$ $= 8 e^{- 0, 35 (n + 1)}$ $= 8 e^{- 0, 35 n} \times e^{- 0, 35}$ $= e^{- 0, 35} c_{n}$ . Le coefficient $e^{- 0, 35}$ ne dépend pas de $n$ : $(c_{n})$ est géométrique de raison $e^{- 0, 35} \approx 0, 705$ et de premier terme $c_{0} = 8$ .
4. Taux d’évolution horaire de la concentration, en %, arrondi au dixième :
$(0, 705 - 1) \times 100$ $= - 29, 5$ : la concentration baisse d’environ $29, 5 %$ chaque heure.
5. Au bout de combien d’heures entières le médicament est-il considéré comme éliminé ?
Rédaction attendue. $C (7)$ $= 8 e^{- 2, 45} \approx 8 \times 0, 0863 \approx 0, 690 > 0, 5$ et $C (8)$ $= 8 e^{- 2, 8} \approx 8 \times 0, 0608 \approx 0, 486 < 0, 5$ . Comme $C$ est strictement décroissante, $C (t) > 0, 5$ pour $t ⩽ 7$ et $C (t) < 0, 5$ pour $t ⩾ 8$ : le médicament est considéré comme éliminé au bout de $8$ heures.
6. Un patient affirme : « au bout de $2$ heures il reste la moitié, donc au bout de $4$ heures il ne reste plus rien ». On a $\frac{C (4)}{C (0)} = e^{k}$ avec $k =$
$\frac{C (4)}{C (0)} = \frac{8 e^{- 1, 4}}{8}$ $= e^{- 1, 4}$ $= {(e^{- 0, 7})}^{2} \approx 0, 497^{2} \approx 0, 25$ . En $2$ heures la concentration est multipliée par $e^{- 0, 7} \approx 0, 497$ (environ la moitié), en $4$ heures par environ $0, 25$ : il reste à peu près un quart, pas zéro. Le modèle multiplie par un même facteur, il ne retire pas une même quantité ; et $8 e^{- 0, 35 t} > 0$ ne s’annule jamais.

Problème 2 · Culture bactérienne et programme Python★★★Moyen

L’effectif d’une culture bactérienne est modélisé par

N (t) = 500 e^{0, 45 t}

, où

t ⩾ 0

est le temps en heures. Le laboratoire transvase la culture dès que l’effectif dépasse

20 000

bactéries. On donne :

e^{0, 45} \approx 1, 568

;

e^{0, 9} \approx 2, 460

;

e^{3, 6} \approx 36, 60

;

e^{4, 05} \approx 57, 40

1. $N (2)$ arrondi à l’unité :
$N (2)$ $= 500 e^{0, 9} \approx 500 \times 2, 460$ $= 1 230$ bactéries.
2. Justifier que $N$ est strictement croissante : $N' (t) = c e^{0, 45 t}$ avec $c =$
Rédaction attendue. D’après ${(e^{a t})}^{'} = a e^{a t}$ : $N' (t)$ $= 500 \times 0, 45 e^{0, 45 t}$ $= 225 e^{0, 45 t}$ . Comme $e^{0, 45 t} > 0$ , on a $N' (t) > 0$ pour tout $t ⩾ 0$ : $N$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
3. On pose $b_{n} = N (n)$ ; alors $b_{n + 1} = e^{0, 45} b_{n}$ . Pourcentage d’augmentation horaire, arrondi à l’unité : %
$b_{n + 1}$ $= 500 e^{0, 45 n} \times e^{0, 45}$ $= e^{0, 45} b_{n}$ : la suite est géométrique de raison $e^{0, 45} \approx 1, 568$ . Taux : $(1, 568 - 1) \times 100 = 56, 8$ , soit environ $57 %$ par heure.
4. On complète ce programme pour qu’il renvoie le nombre d’heures entières au bout duquel l’effectif dépasse 20000.
```
from math import exp
def seuil():
    n = 0
    b = 500
    while b <= 20000:
        b = ...
        n = n + 1
    return n
```
La ligne à compléter s’écrit b = b *
À chaque heure, l’effectif est multiplié par la raison $e^{0, 45}$ , qui s’écrit exp(0.45) en Python (point décimal) : b = b * exp(0.45).
5. Valeur renvoyée par seuil() :
Rédaction attendue. Après $n$ passages dans la boucle, b vaut $b_{n} = N (n)$ . Or $N (8)$ $= 500 e^{3, 6} \approx 500 \times 36, 60$ $= 18 300 ⩽ 20 000$ et $N (9)$ $= 500 e^{4, 05} \approx 500 \times 57, 40$ $= 28 700 > 20 000$ . La boucle tourne tant que $b ⩽ 20 000$ : elle s’arrête après le calcul de $b_{9}$ et la fonction renvoie $9$ . Le transvasement a lieu au cours de la neuvième heure. Le modèle ne vaut que sur une courte durée : les nutriments et la place finissent par manquer.

Problème 3 · Refroidissement d’une boisson★★★Moyen

Une boisson chaude est posée dans une pièce à

20

°C. Sa température, en °C, est donnée pour

t ⩾ 0

(en minutes) par

T (t) = 20 + 65 e^{- 0, 06 t}

. On donne :

e^{- 0, 06} \approx 0, 942

;

e^{- 0, 6} \approx 0, 549

;

e^{- 0, 66} \approx 0, 517

;

e^{- 3, 6} \approx 0, 027

1. Température initiale, en °C : $T (0) =$
$T (0) = 20 + 65 e^{0}$ $= 20 + 65 = 85$ °C.
2. Calculer $T' (t)$ et en déduire le sens de variation de $T$ : $T' (t) = c e^{- 0, 06 t}$ avec $c =$
Rédaction attendue. La dérivée d’une constante est nulle et ${(65 e^{- 0, 06 t})}^{'}$ $= 65 \times (- 0, 06) e^{- 0, 06 t}$ , donc $T' (t) = - 3, 9 e^{- 0, 06 t}$ . Comme $e^{- 0, 06 t} > 0$ , $T' (t) < 0$ : $T$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , la boisson refroidit.
3. Démontrer que la température reste toujours supérieure à $20$ °C. Valeur de $T (60)$ arrondie au dixième :
Rédaction attendue. Pour tout $t ⩾ 0$ , $e^{- 0, 06 t} > 0$ , donc $65 e^{- 0, 06 t} > 0$ et $T (t)$ $= 20 + 65 e^{- 0, 06 t} > 20$ : l’équation $T (t) = 20$ n’a pas de solution, la boisson n’atteint jamais la température de la pièce. Elle s’en approche : $T (60) = 20$ $+ 65 e^{- 3, 6} \approx 20$ $+ 65 \times 0, 027 = 21, 755$ , soit environ $21, 8$ °C.
4. On pose $d_{n} = T (n) - 20$ . La suite $(d_{n})$ est géométrique de raison arrondie au millième :
$d_{n} = 65 e^{- 0, 06 n}$ et $d_{n + 1}$ $= 65 e^{- 0, 06 n} \times e^{- 0, 06}$ $= e^{- 0, 06} d_{n}$ : raison $e^{- 0, 06} \approx 0, 942$ . L’écart avec la pièce baisse d’environ $5, 8 %$ par minute.
5. La boisson est buvable lorsque $T (t) ⩽ 55$ . Elle l’est à partir de la minute entière
Rédaction attendue. $T (10) = 20$ $+ 65 e^{- 0, 6} \approx 20$ $+ 65 \times 0, 549 \approx 55, 7 > 55$ et $T (11) = 20$ $+ 65 e^{- 0, 66} \approx 20$ $+ 65 \times 0, 517 \approx 53, 6 ⩽ 55$ . Comme $T$ est strictement décroissante, $T (t) ⩽ 55$ pour tout $t ⩾ 11$ : la boisson est buvable à partir de $11$ minutes.

Problème 4 · Bénéfice d’un atelier★★★Difficile

Un atelier produit

x

centaines d’objets par jour, avec

0 ⩽ x ⩽ 6

. Le bénéfice journalier, en centaines d’euros, est

B (x)

= (14 - 2 x) e^{0, 5 x} - 20

. On donne :

e^{0, 5} \approx 1, 649

;

e^{0, 55} \approx 1, 733

;

e^{2, 5} \approx 12, 182

;

e^{3} \approx 20, 086

1. $B (0) =$
$B (0) = 14 e^{0} - 20$ $= 14 - 20 = - 6$ : sans production, l’atelier perd $600$ € par jour (charges fixes).
2. Démontrer que $B' (x) = (5 - x) e^{0, 5 x}$ . Contrôle : $B' (0) =$
Rédaction attendue. $B$ est la somme de $- 20$ et du produit $u (x) v (x)$ avec $u (x) = 14 - 2 x$ , $u' (x) = - 2$ , $v (x) = e^{0, 5 x}$ , $v' (x) = 0, 5 e^{0, 5 x}$ . Donc $B' (x) = - 2 e^{0, 5 x}$ $+ (14 - 2 x) \times 0, 5 e^{0, 5 x}$ $= (- 2 + 7 - x) e^{0, 5 x}$ $= (5 - x) e^{0, 5 x}$ . Contrôle : $B' (0) = 5 \times 1 = 5$ .
3. Production (en centaines d’objets) qui rend le bénéfice maximal : $x =$
$e^{0, 5 x} > 0$ : $B' (x)$ a le signe de $5 - x$ , positif sur $[0; 5 [$ , nul en $5$ , négatif sur $] 5; 6]$ . $B$ est croissante sur $[0; 5]$ puis décroissante sur $[5; 6]$ : maximum en $x = 5$ , soit $500$ objets.
4. Bénéfice maximal, en euros, arrondi à l’euro : €
$B (5)$ $= (14 - 10) e^{2, 5} - 20$ $= 4 e^{2, 5} - 20 \approx 4 \times 12, 182 - 20$ $= 28, 728$ centaines d’euros, soit environ $2 873$ €.
5. Justifier que l’atelier n’est pas rentable avec $100$ objets mais l’est avec $110$ . Valeur de $B (1, 1)$ arrondie au centième :
Rédaction attendue. $B (1)$ $= 12 e^{0, 5} - 20 \approx 12 \times 1, 649 - 20$ $= - 0, 212 < 0$ et $B (1, 1)$ $= 11, 8 e^{0, 55} - 20 \approx 11, 8 \times 1, 733 - 20 \approx 0, 45 > 0$ . Comme $B$ est croissante sur $[0; 5]$ , $B (x) ⩽ B (1) < 0$ pour $0 ⩽ x ⩽ 1$ : avec $100$ objets ou moins, l’atelier perd de l’argent ; avec $110$ objets, il est rentable.
6. Un gérant dit : « produire plus rapporte toujours plus ». $B (6) \approx$ (centaines d’euros, au centième)
$B (6) = (14 - 12) e^{3} - 20$ $= 2 e^{3} - 20 \approx 2 \times 20, 086 - 20$ $= 20, 172$ , soit environ $2 017$ €, moins que les $2 873$ € obtenus pour $500$ objets. Le gérant a tort : $B' (x) < 0$ sur $] 5; 6]$ , produire au-delà de $500$ objets fait baisser le bénéfice.

Problème 5 · La chaînette d’un câble suspendu★★★Difficile

La forme d’un câble suspendu entre deux poteaux fait intervenir la fonction

h

définie sur

ℝ

par

h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

. On pose aussi

s (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

1. Montrer que $h$ est paire et que $s$ est impaire. Valeur de $h (0)$ :
Rédaction attendue. Pour tout réel $x$ , $- x$ est réel et $h (- x) = \frac{e^{- x} + e^{x}}{2}$ $= h (x)$ : $h$ est paire. De même $s (- x) = \frac{e^{- x} - e^{x}}{2}$ $= - \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = - s (x)$ : $s$ est impaire. Enfin $h (0) = \frac{1 + 1}{2} = 1$ .
2. Montrer que $h' = s$ et $s' = h$ . Valeur de $h' (0)$ :
${(e^{- x})}^{'} = - e^{- x}$ , donc $h' (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = s (x)$ et $s' (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = h (x)$ . Ainsi $h' (0) = s (0) = \frac{1 - 1}{2} = 0$ : la tangente au sommet est horizontale.
3. Démontrer que $h (x)^{2} - s (x)^{2}$ est constant. Sa valeur :
Rédaction attendue. Avec $e^{x} e^{- x} = 1$ : $h (x)^{2} = \frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}}{4}$ et $s (x)^{2} = \frac{e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}}{4}$ . Par différence, $h (x)^{2} - s (x)^{2}$ $= \frac{2 - (- 2)}{4} = 1$ pour tout réel $x$ .
4. Étudier le signe de $s (x)$ et en déduire les variations de $h$ . Minimum de $h$ sur $ℝ$ :
Rédaction attendue. L’exponentielle étant strictement croissante, $s (x) > 0 ⟺ e^{x} > e^{- x}$ $⟺ x > - x ⟺ x > 0$ , et de même $s (x) < 0 ⟺ x < 0$ . Comme $h' = s$ , $h$ est décroissante sur $] - \infty; 0]$ et croissante sur $[0; + \infty [$ : son minimum est $h (0) = 1$ .
5. En déduire que $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$ pour tout réel $x$ . L’égalité a lieu pour $x =$
Pour tout réel $x$ , $h (x) ⩾ 1$ , soit $\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} ⩾ 1$ , donc $e^{x} + e^{- x} ⩾ 2$ . Il y a égalité seulement quand $h (x) = 1$ , c’est-à-dire en $x = 0$ (le minimum n’est atteint qu’en $0$ , car $h$ est strictement monotone de chaque côté).

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