Lycée · 1ʳᵉ · Spécialité Mathématiques

Fonction exponentielle

Définition par l'équation f' = f, propriétés algébriques, variations, lien avec les suites géométriques (programme 2026 de première spécialité maths)

À propos de cette page

Ces problèmes corrigés sur « Fonction exponentielle » en première permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en spécialité mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel : définition et nombre e, Propriétés algébriques, Variations, courbe et équations, Les fonctions t ↦ e^{at}. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en première.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Élimination d'un médicament

Moyen

Après une injection, la concentration d'un médicament dans le sang, en milligrammes par litre, est modélisée pour $t ⩾ 0$ (en heures) par $C (t) = 8 e^{- 0, 35 t} .$ Le médicament est considéré comme éliminé lorsque la concentration devient inférieure à $0, 5$ mg/L.

1. Calculer la concentration au moment de l'injection, puis au bout de $3$ heures (arrondir au centième).
2. Calculer $C^{'} (t)$ et en déduire le sens de variation de $C$ sur $[0; + \infty [$ .
3. Montrer que la suite $(c_{n})$ définie par $c_{n} = C (n)$ est géométrique et donner sa raison arrondie au millième.
4. Interpréter cette raison en termes de pourcentage d'évolution horaire, arrondi au dixième.
5. À l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'heures entières le médicament est considéré comme éliminé.
6. Un patient affirme : « au bout de $2$ heures il reste la moitié de la dose, donc au bout de $4$ heures il ne reste plus rien ». Expliquer pourquoi ce raisonnement est faux.

1. À l'instant de l'injection, $t = 0$ : $C (0) = 8 e^{0} = 8$ mg/L. Au bout de $3$ heures : $C (3) = 8 e^{- 1, 05} \approx 8 \times 0, 34994 \approx 2, 80$ mg/L.

2. $C$ est de la forme $K e^{a t}$ avec $K = 8$ et $a = - 0, 35$ , donc $C^{'} (t) = 8 \times (- 0, 35) e^{- 0, 35 t} = - 2, 8 e^{- 0, 35 t}$ . Comme $e^{- 0, 35 t} > 0$ pour tout $t$ , on a $C^{'} (t) < 0$ : $C$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , ce qui traduit l'élimination progressive du médicament.

3. Pour tout entier naturel $n$ : $c_{n + 1} = C (n + 1) = 8 e^{- 0, 35 (n + 1)} = 8 e^{- 0, 35 n} \times e^{- 0, 35} = e^{- 0, 35} c_{n} .$ Le rapport $\frac{c_{n + 1}}{c_{n}}$ est constant : $(c_{n})$ est géométrique de raison $q = e^{- 0, 35} \approx 0, 705$ , de premier terme $c_{0} = 8$ .

4. Le taux d'évolution associé à une raison $q$ est $(q - 1) \times 100$ , soit ici $(0, 7047 - 1) \times 100 \approx - 29, 5$ . La concentration diminue d'environ $29, 5 %$ chaque heure.

5. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $C (n) < 0, 5$ . À la calculatrice : $C (7) = 8 e^{- 2, 45} \approx 0, 688$ et $C (8) = 8 e^{- 2, 8} \approx 0, 486 < 0, 5$ . Comme $C$ est strictement décroissante, la condition reste vérifiée ensuite. Le médicament est considéré comme éliminé au bout de $8$ heures.

6. Le raisonnement suppose une décroissance linéaire (on retire la même quantité à chaque fois), alors que le modèle est exponentiel : on multiplie par un même facteur à chaque heure. En $2$ heures la concentration est multipliée par $e^{- 0, 7} \approx 0, 497$ , soit à peu près la moitié ; en $4$ heures elle est multipliée par ${(e^{- 0, 7})}^{2} \approx 0, 247$ , il reste donc environ un quart de la dose, soit $C (4) \approx 1, 97$ mg/L. Une fonction exponentielle de la forme $K e^{a t}$ avec $a < 0$ ne s'annule jamais : elle se rapproche de $0$ sans l'atteindre.

Problème 2 — Culture bactérienne et algorithme Python

Moyen

Une culture bactérienne contient initialement $500$ bactéries. Son effectif est modélisé par $N (t) = 500 e^{0, 45 t}$ , où $t$ est exprimé en heures. Le laboratoire doit transvaser la culture dès que l'effectif dépasse $20 000$ bactéries.

1. Calculer $N (2)$ et $N (6)$ , arrondis à l'unité.
2. Justifier que $N$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
3. On pose $b_{n} = N (n)$ . Montrer que $b_{n + 1} = e^{0, 45} b_{n}$ et donner le pourcentage d'augmentation horaire, arrondi au dixième.
4. Recopier et compléter l'algorithme Python ci-dessous pour qu'il renvoie le nombre d'heures entières au bout duquel l'effectif dépasse $20 000$ bactéries.
from math import exp def seuil(): n = 0 b = ... while ... : b = ... n = n + 1 return n
5. Donner la valeur renvoyée par cet algorithme, en justifiant par deux calculs.
6. Le modèle prévoit-il un effectif fini au bout de $24$ heures ? Commenter la pertinence du modèle sur une longue durée.

1. $N (2) = 500 e^{0, 9} \approx 500 \times 2, 4596 \approx 1 230$ bactéries. $N (6) = 500 e^{2, 7} \approx 500 \times 14, 8797 \approx 7 440$ bactéries.

2. $N^{'} (t) = 500 \times 0, 45 e^{0, 45 t} = 225 e^{0, 45 t}$ . Comme $e^{0, 45 t} > 0$ , $N^{'} (t) > 0$ pour tout $t ⩾ 0$ : $N$ est strictement croissante.

3. $b_{n + 1} = 500 e^{0, 45 (n + 1)} = 500 e^{0, 45 n} e^{0, 45} = e^{0, 45} b_{n}$ : la suite est géométrique de raison $e^{0, 45} \approx 1, 5683$ . Le taux d'évolution vaut $(1, 5683 - 1) \times 100 \approx 56, 8 %$ : l'effectif augmente d'environ $56, 8 %$ par heure.

4. On initialise avec l'effectif de départ et on multiplie par la raison tant que le seuil n'est pas dépassé :
from math import exp def seuil(): n = 0 b = 500 while b <= 20000 : b = b * exp(0.45) n = n + 1 return n

5. $N (8) = 500 e^{3, 6} \approx 500 \times 36, 598 \approx 18 299 ⩽ 20 000$ , tandis que $N (9) = 500 e^{4, 05} \approx 500 \times 57, 397 \approx 28 699 > 20 000$ . La boucle s'arrête donc après $9$ multiplications : l'algorithme renvoie $9$ , et le transvasement doit avoir lieu au cours de la neuvième heure.

6. Oui : $N (24) = 500 e^{10, 8} \approx 500 \times 49 020 \approx 2, 45 \times 10^{7}$ bactéries, un nombre fini mais gigantesque. Le modèle exponentiel n'est réaliste que sur une durée courte : il ignore l'épuisement des nutriments et la place disponible, qui finissent par limiter la croissance.

Problème 3 — Refroidissement d'une boisson

Difficile

Une boisson sortie d'une machine est placée dans une pièce à $20\,^\circ$C. Sa température, en degrés Celsius, est donnée pour $t ⩾ 0$ (en minutes) par $T (t) = 20 + 65 e^{- 0, 06 t} .$

1. Déterminer la température initiale de la boisson.
2. Calculer $T^{'} (t)$ et dresser le tableau de variations de $T$ sur $[0; 60]$ .
3. Montrer que la température n'atteint jamais $20\,^\circ$C, mais s'en approche autant qu'on veut.
4. On pose $d (t) = T (t) - 20$ . Montrer que la suite $(d_{n})$ définie par $d_{n} = d (n)$ est géométrique et préciser sa raison, arrondie au millième.
5. Déterminer, à la minute entière près, l'instant à partir duquel la boisson est buvable, c'est-à-dire lorsque $T (t) ⩽ 55$ .
6. Justifier que l'écart de température est divisé par deux environ toutes les $11, 6$ minutes.

1. $T (0) = 20 + 65 e^{0} = 20 + 65 = 85^{\circ} C$ .

2. La dérivée d'une constante est nulle et ${(65 e^{- 0, 06 t})}^{'} = 65 \times (- 0, 06) e^{- 0, 06 t}$ , donc $T^{'} (t) = - 3, 9 e^{- 0, 06 t}$ . Comme $e^{- 0, 06 t} > 0$ , $T^{'} (t) < 0$ sur $[0; 60]$ : $T$ est strictement décroissante, de $T (0) = 85$ à $T(60) = 20 + 65e^{-3{,}6} \approx 20 + 1{,}77 \approx 21{,}8\,^\circ$C.

$t$	$0$		$60$
$T^{'} (t)$	$-$
$T (t)$	$85$	↘	$\approx 21, 8$

3. $T (t) = 20 ⟺ 65 e^{- 0, 06 t} = 0 ⟺ e^{- 0, 06 t} = 0$ , ce qui est impossible car l'exponentielle est strictement positive. La température reste donc toujours strictement supérieure à $20\,^\circ$C. Cependant $e^{- 0, 06 t}$ se rapproche de $0$ quand $t$ grandit : pour $t = 120$ , $T \approx 20, 05$ . L'écart devient aussi petit que l'on veut : la température tend vers celle de la pièce.

4. $d (t) = T (t) - 20 = 65 e^{- 0, 06 t}$ , donc $d_{n} = 65 e^{- 0, 06 n}$ et $d_{n + 1} = 65 e^{- 0, 06 n} e^{- 0, 06} = e^{- 0, 06} d_{n} .$ $(d_{n})$ est géométrique de raison $q = e^{- 0, 06} \approx 0, 942$ , de premier terme $d_{0} = 65$ : l'écart avec la température ambiante diminue d'environ $5, 8 %$ par minute.

5. $T (t) ⩽ 55 ⟺ 65 e^{- 0, 06 t} ⩽ 35 ⟺ e^{- 0, 06 t} ⩽ \frac{35}{65} \approx 0, 5385$ . La fonction $T$ étant strictement décroissante, on cherche le premier entier convenable : $T (10) = 20 + 65 e^{- 0, 6} \approx 55, 7 > 55$ et $T (11) = 20 + 65 e^{- 0, 66} \approx 53, 6 ⩽ 55$ . La boisson est buvable à partir de $11$ minutes.

6. L'écart au bout de $t + 11, 6$ minutes vaut $d (t + 11, 6) = 65 e^{- 0, 06 t} e^{- 0, 06 \times 11, 6} = e^{- 0, 696} d (t)$ . Or $e^{- 0, 696} \approx 0, 4986 \approx 0, 5$ . Quel que soit l'instant considéré, l'écart avec les $20\,^\circ$C de la pièce est donc pratiquement divisé par deux toutes les $11, 6$ minutes : c'est la propriété caractéristique d'une décroissance exponentielle.

Problème 4 — Bénéfice d'un atelier

Difficile

Un atelier produit $x$ centaines d'objets par jour, avec $0 ⩽ x ⩽ 6$ . Le bénéfice journalier, en centaines d'euros, est modélisé par $B (x) = (14 - 2 x) e^{0, 5 x} - 20 .$

1. Calculer $B (0)$ et $B (6)$ (arrondir au centième) et interpréter chaque résultat.
2. Montrer que $B^{'} (x) = (5 - x) e^{0, 5 x}$ .
3. En déduire le tableau de variations de $B$ sur $[0; 6]$ et la production qui rend le bénéfice maximal.
4. Calculer le bénéfice maximal en euros, arrondi à l'euro.
5. Montrer que l'équation $B (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $[0; 5]$ , puis en donner un encadrement d'amplitude $0, 1$ et interpréter.
6. Un gérant conclut du signe de $B^{'}$ que « produire plus rapporte toujours plus ». Expliquer l'erreur.

1. $B (0) = 14 e^{0} - 20 = 14 - 20 = - 6$ : sans production, l'atelier perd $600$ € par jour (charges fixes). $B (6) = (14 - 12) e^{3} - 20 = 2 e^{3} - 20 \approx 2 \times 20, 0855 - 20 \approx 20, 17$ centaines d'euros, soit un bénéfice d'environ $2 017$ € pour $600$ objets.

2. $B$ est la somme de $- 20$ et du produit $u (x) v (x)$ avec $u (x) = 14 - 2 x$ , $u^{'} (x) = - 2$ , $v (x) = e^{0, 5 x}$ , $v^{'} (x) = 0, 5 e^{0, 5 x}$ . Donc $B^{'} (x) = - 2 e^{0, 5 x} + (14 - 2 x) \times 0, 5 e^{0, 5 x} = (- 2 + 7 - x) e^{0, 5 x} = (5 - x) e^{0, 5 x},$ ce qu'il fallait démontrer.

3. Pour tout $x$ , $e^{0, 5 x} > 0$ : le signe de $B^{'} (x)$ est celui de $5 - x$ . Ainsi $B^{'} (x) > 0$ sur $[0; 5 [$ et $B^{'} (x) < 0$ sur $] 5; 6]$ .

$x$	$0$		$5$		$6$
$B^{'} (x)$		$+$	$0$	$-$
$B (x)$	$- 6$	↗	$B (5)$	↘	$\approx 20, 17$

Le bénéfice est maximal pour $x = 5$ , soit une production de $500$ objets par jour.

4. $B (5) = (14 - 10) e^{2, 5} - 20 = 4 e^{2, 5} - 20 \approx 4 \times 12, 1825 - 20 \approx 28, 73$ centaines d'euros, soit environ $2 873$ € par jour.

5. Sur $[0; 5]$ , $B$ est continue (car dérivable) et strictement croissante d'après la question 3. De plus $B (0) = - 6 < 0$ et $B (5) \approx 28, 73 > 0$ : la valeur $0$ est franchie une fois et une seule, donc l'équation $B (x) = 0$ admet une unique solution $α$ sur $[0; 5]$ . À la calculatrice : $B (1) = 12 e^{0, 5} - 20 \approx 19, 78 - 20 \approx - 0, 21 < 0$ et $B (1, 1) = 11, 8 e^{0, 55} - 20 \approx 20, 45 - 20 \approx 0, 45 > 0$ . D'où $1 < α < 1, 1$ : l'atelier devient rentable à partir d'environ $110$ objets produits par jour.

6. Le gérant n'utilise le signe de $B^{'}$ que sur une partie de l'intervalle. $B^{'}$ est positive seulement sur $[0; 5]$ : au-delà de $500$ objets, $B^{'} (x) = (5 - x) e^{0, 5 x} < 0$ et le bénéfice diminue (il passe d'environ $2 873$ € à $2 017$ €). Le facteur $e^{0, 5 x}$ étant toujours positif, c'est le facteur $5 - x$ qui impose le changement de sens : produire davantage n'est rentable que jusqu'au seuil $x = 5$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs