Devoir surveillé : Information chiffrée et statistique à deux caractères

1. a)$10\%$ de $360$ vaut $36$ et $5\%$ en est la moitié, $18$ : $15\%$ de $360$ vaut $36+18=54$ (ou $0,15\times 360=54$). (1 pt) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{9}{40}}={\displaystyle \frac{9\times 2,5}{40\times 2,5}}={\displaystyle \frac{22,5}{100}}=0,225$, soit $22,5\%$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Baisser de $35\%$, c'est multiplier par $1-0,35=0,65$ : $80\times 0,65=52$, le nouveau prix est $52$ €. Contrôle : $35\%$ de $80$ vaut $28$, et $80-28=52$. (1 pt) (1)
4. d)$t={\displaystyle \frac{368-320}{320}}={\displaystyle \frac{48}{320}}=0,15$ : le nombre d'inscrits augmente de $15\%$. Contrôle : $320\times 1,15=368$. (1 pt) (1)
5. e)Somme : $3+6+15+9+4+13+8+14=72$, donc la moyenne vaut ${\displaystyle \frac{72}{8}}=9$. Série rangée : $3$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $13$ ; $14$ ; $15$. L'effectif $8$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $4$ et $5$, soit ${\displaystyle \frac{8+9}{2}}=8,5$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
6. f)Le disque entier (360°) représente $100\%$ de l'effectif : ${\displaystyle \frac{162}{360}}={\displaystyle \frac{9}{20}}=0,45$, le secteur représente $45\%$ de l'effectif. (1 pt) (1)

Méthode — Sans calculatrice, on part de $10\%$ (diviser par $10$) et de $5\%$ (la moitié de $10\%$) : la plupart des pourcentages s'obtiennent en combinant ces deux-là.

1. a)Total du matin : $600-300=300$. Matin, espèces : $300-240=60$. Après-midi, carte : $300-90=210$, et l'on contrôle que $240+210=450$. Total des espèces : $60+90=150$, et l'on contrôle que $450+150=600$. (1 pt : 0,5 pt par paire de cases justes et justifiées) (1)
2. b)Espèces : ${\displaystyle \frac{150}{600}}={\displaystyle \frac{1}{4}}=0,25$, soit $25\%$ des achats. Matin : ${\displaystyle \frac{300}{600}}=0,5$, soit $50\%$ des achats. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Matin : ${\displaystyle \frac{240}{300}}=0,8$, soit $80\%$. Après-midi : ${\displaystyle \frac{210}{300}}=0,7$, soit $70\%$. La carte est plus utilisée le matin que l'après-midi. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{90}{150}}=0,6$ : $60\%$ est la part de l'après-midi parmi les paiements en espèces (dénominateur $150$). Parmi les $300$ achats de l'après-midi, la fréquence des paiements en espèces vaut ${\displaystyle \frac{90}{300}}=0,3$, soit $30\%$ : la gérante a inversé la population de référence. (0,5 pt pour l'erreur, 0,5 pt pour $30\%$) (1)
5. e)$0,4\times 210=84$ paiements sans contact l'après-midi, et ${\displaystyle \frac{84}{600}}=0,14$, soit $14\%$ des achats de la journée. Sans les effectifs : les paiements par carte de l'après-midi représentent ${\displaystyle \frac{210}{600}}=0,35$ des achats, et $0,4\times 0,35=0,14$ (pourcentage de pourcentage). (1 pt) (1)

Erreur fréquente — « $60\%$ des paiements en espèces ont lieu l'après-midi » et « $60\%$ des achats de l'après-midi sont payés en espèces » n'ont pas le même dénominateur : on écrit « parmi les … » avant de diviser.

1. a)Numériques : $0,6\times 5000=3000$ abonnés. Papier : $5000-3000=2000$ abonnés. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Numériques : hausse de $10\%$, coefficient $1,1$ : $3000\times 1,1=3300$. Papier : baisse de $15\%$, coefficient $0,85$ : $2000\times 0,85=1700$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Non. En 2025, le journal compte $3300+1700=5000$ abonnés, autant qu'en 2024 : le nombre total d'abonnés n'a pas changé (taux d'évolution nul). Les deux taux portent sur des groupes différents ($2000$ abonnés papier, $3000$ abonnés numériques) : on ne peut pas les additionner. (1 pt) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{3300}{5000}}=0,66$, soit $66\%$. La proportion passe de $60\%$ à $66\%$ : elle gagne $66-60=6$ points de pourcentage, et son taux d'évolution vaut ${\displaystyle \frac{66-60}{60}}={\displaystyle \frac{6}{60}}=0,1$, soit une hausse de $10\%$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — Deux taux d'évolution qui portent sur deux groupes différents ne s'additionnent pas : on revient aux effectifs de chaque groupe, puis on calcule le nouveau total.

1. a)Abscisse : ${\displaystyle \frac{1+2+3+4+5+6}{6}}={\displaystyle \frac{21}{6}}=3,5$. Ordonnée : ${\displaystyle \frac{12+19+26+33+41+46}{6}}={\displaystyle \frac{177}{6}}=29,5$. Donc $G(3,5;29,5)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$G_1$ : ${\displaystyle \frac{1+2+3}{3}}=2$ et ${\displaystyle \frac{12+19+26}{3}}={\displaystyle \frac{57}{3}}=19$, donc $G_1(2;19)$. $G_2$ : ${\displaystyle \frac{4+5+6}{3}}=5$ et ${\displaystyle \frac{33+41+46}{3}}={\displaystyle \frac{120}{3}}=40$, donc $G_2(5;40)$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Coefficient directeur : ${\displaystyle \frac{40-19}{5-2}}={\displaystyle \frac{21}{3}}=7$. $G_1$ est sur la droite, donc l'ordonnée à l'origine vaut $19-7\times 2=5$ : la droite a pour équation $y=7x+5$. Pour $x=3,5$ : $7\times 3,5+5=24,5+5=29,5$, donc $G$ est bien sur la droite. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)D'après cet ajustement, le plant grandit en moyenne de $7$ cm par semaine. Pour $x=10$ : $7\times 10+5=75$, soit environ $75$ cm. Comme $10>6$, c'est une extrapolation : elle suppose que la croissance reste aussi régulière, alors qu'un tournesol finit par ralentir puis cesse de grandir. (0,5 pt pour l'interprétation et le calcul, 0,5 pt pour l'extrapolation et la réserve) (1)
5. e)$t={\displaystyle \frac{33-12}{12}}={\displaystyle \frac{21}{12}}=1,75$ : la hauteur a augmenté de $175\%$. Elle a été multipliée par ${\displaystyle \frac{33}{12}}=2,75$ ; ce n'est pas une hausse de $275\%$. (1 pt) (1)

Astuce — La droite de Mayer passe toujours par le point moyen $G$ : vérifier que $G$ est sur la droite contrôle d'un coup les calculs de $G_1$, de $G_2$ et de l'équation.

1. a)Tout $=$ partie $÷$ proportion : ${\displaystyle \frac{63}{0,18}}={\displaystyle \frac{6300}{18}}=350$ élèves. Contrôle : $0,18\times 350=63$. (0,5 pt) (0,5)
2. b)$1,2\times 1,15=1,38$ : hausse globale de $38\%$, et non de $35\%$. (0,5 pt) (0,5)
3. c)Coefficient de la baisse : $1-0,375=0,625={\displaystyle \frac{5}{8}}$. Évolution réciproque : coefficient ${\displaystyle \frac{8}{5}}=1,6$, soit une hausse de $60\%$. (0,5 pt) (0,5)
4. d)Série rangée : $4$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $10$ ; $11$ ; $13$ ; $15$ ; $17$ ; $20$ ($N=10$). ${\displaystyle \frac{10}{4}}=2,5$ : rang $3$, donc $Q_1=8$. ${\displaystyle \frac{30}{4}}=7,5$ : rang $8$, donc $Q_3=15$. (0,5 pt) (0,5)
5. e)Moyenne pondérée par les effectifs : ${\displaystyle \frac{0\times 5+1\times 8+2\times 4+3\times 3}{20}}={\displaystyle \frac{25}{20}}=1,25$ frère ou sœur par élève. (0,5 pt) (0,5)
6. f)$1,5x+12=24⟺1,5x=12⟺x=8$. Comme $8$ est compris entre $0$ et $10$, c'est une interpolation. (0,5 pt) (0,5)

Méthode — Pour diviser sans calculatrice par $0,18$ ou $0,625$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par une puissance de $10$, ou l'on reconnaît une fraction simple : $0,625={\displaystyle \frac{5}{8}}$.

1. a)Faux. Les baisses se multiplient : le coefficient global vaut $0,8^5$. On calcule $0,8^2=0,64$, $0,8^3=0,512$, $0,8^4=0,4096$ et $0,8^5=0,32768$. La grandeur garde environ $32,8\%$ de sa valeur : elle a baissé d'environ $67,2\%$ (et jamais de $100\%$, puisque chaque coefficient est non nul). (1 pt) (1)
2. b)Vrai. Les spectateurs venus d'une autre ville et arrivés en train représentent $0,3\times 0,4=0,12$, soit $12\%$ des spectateurs (pourcentage de pourcentage). Ils sont tous arrivés en train, et d'autres spectateurs, venus de la ville même, ont pu aussi prendre le train : au moins $12\%$ des spectateurs sont arrivés en train. (1 pt) (1)
3. c)Vrai. Les deux groupes ne changent pas, car ils dépendent des $x_i$. Notons $G_1(x_1;y_1)$ et $G_2(x_2;y_2)$ les points moyens de départ : les nouveaux points moyens sont $(x_1;y_1+2)$ et $(x_2;y_2+2)$, car la moyenne de valeurs toutes augmentées de $2$ augmente de $2$. Le nouveau coefficient directeur vaut ${\displaystyle \frac{(y_2+2)-(y_1+2)}{x_2-x_1}}={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$, c'est l'ancien coefficient $a$, et la nouvelle ordonnée à l'origine vaut $(y_1+2)-a{x}_1$, soit l'ancienne augmentée de $2$. (0,5 pt pour les points moyens, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)Vrai. La somme des valeurs augmente et l'effectif ne change pas : la moyenne augmente. La valeur augmentée reste la plus grande, donc les autres valeurs gardent leur rang ; or la médiane ne dépend que de la ou des deux valeurs du milieu, qui ne sont jamais la dernière quand la série compte au moins trois valeurs. Exemple : $2$ ; $5$ ; $9$ devient $2$ ; $5$ ; $30$ ; la médiane reste $5$, la moyenne passe de ${\displaystyle \frac{16}{3}}$ à ${\displaystyle \frac{37}{3}}$. (0,5 pt pour la moyenne, 0,5 pt pour la médiane) (1)

Piège — Pour montrer qu'une affirmation est fausse, un contre-exemple chiffré suffit ; pour montrer qu'elle est vraie, un exemple ne suffit pas : il faut un raisonnement valable dans tous les cas.

1. a)Conduite accompagnée : $0,4\times 400=160$ candidats, dont $0,75\times 160=120$ reçus et $160-120=40$ non reçus. Formation classique : $400-160=240$ candidats, dont ${\displaystyle \frac{240}{2}}=120$ reçus et $120$ non reçus. Tableau : reçus $120$ ; $120$ ; total $240$ — non reçus $40$ ; $120$ ; total $160$ — totaux $160$ ; $240$ ; $400$. (1 pt : 0,5 pt par formation) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{240}{400}}=0,6$ : $60\%$ des candidats sont reçus. Moyenne pondérée : $0,4\times 0,75+0,6\times 0,5=0,3+0,3=0,6$. La moyenne simple ${\displaystyle \frac{75+50}{2}}=62,5$ donnerait le même poids aux deux formations, alors que la formation classique regroupe davantage de candidats ($60\%$ contre $40\%$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Parmi les $240$ reçus : ${\displaystyle \frac{120}{240}}=0,5$, soit $50\%$. Parmi les $160$ non reçus : ${\displaystyle \frac{40}{160}}=0,25$, soit $25\%$. La conduite accompagnée, qui concerne $40\%$ des candidats, est plus représentée parmi les reçus et moins représentée parmi les non-reçus. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Conduite accompagnée : $160\times 1,25=200$ candidats ; formation classique : $400-200=200$. Reçus : $0,75\times 200+0,5\times 200=150+100=250$. Fréquence : ${\displaystyle \frac{250}{400}}=0,625$, soit $62,5\%$, c'est-à-dire $2,5$ points de plus ; cette fois, c'est la moyenne simple des deux taux, car les deux formations ont le même effectif. Nombre de reçus : ${\displaystyle \frac{250-240}{240}}={\displaystyle \frac{1}{24}}\approx 0,0417$, soit une hausse d'environ $4,2\%$. (0,5 pt pour les reçus et la fréquence, 0,5 pt pour les points et le taux) (1)
5. e)Le tableau montre un lien statistique entre la formation et la réussite, pas une causalité : on n'a pas comparé des candidats identiques en tout point sauf la formation. Autre explication : les candidats en conduite accompagnée ont en général conduit beaucoup plus d'heures avant l'examen ; la motivation ou l'encadrement familial peuvent aussi agir à la fois sur le choix de la formation et sur la réussite. (0,5 pt pour lien et causalité, 0,5 pt pour une explication) (1)

Erreur fréquente — La fréquence sur deux groupes réunis est une moyenne pondérée par les effectifs : la moyenne simple des deux fréquences n'est juste que si les deux groupes ont le même effectif.

1. a)$G$ : ${\displaystyle \frac{2+3+4+5+6+7+8+9}{8}}={\displaystyle \frac{44}{8}}=5,5$ et ${\displaystyle \frac{1,8+2,6+3,1+3,9+4,7+5,3+6+6,6}{8}}={\displaystyle \frac{34}{8}}=4,25$, donc $G(5,5;4,25)$. $G_1$ : ${\displaystyle \frac{2+3+4+5}{4}}=3,5$ et ${\displaystyle \frac{1,8+2,6+3,1+3,9}{4}}={\displaystyle \frac{11,4}{4}}=2,85$. $G_2$ : ${\displaystyle \frac{6+7+8+9}{4}}=7,5$ et ${\displaystyle \frac{4,7+5,3+6+6,6}{4}}={\displaystyle \frac{22,6}{4}}=5,65$. (0,5 pt pour $G$, 0,5 pt pour $G_1$ et $G_2$) (1)
2. b)Coefficient directeur : ${\displaystyle \frac{5,65-2,85}{7,5-3,5}}={\displaystyle \frac{2,8}{4}}=0,7$ ; $G_1$ est sur la droite, donc l'ordonnée à l'origine vaut $2,85-0,7\times 3,5=2,85-2,45=0,4$. D'où $y=0,7x+0,4$. Pour $x=5,5$ : $0,7\times 5,5+0,4=3,85+0,4=4,25$, donc $G$ est bien sur la droite. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$0,7$ : sur la période observée, le chiot prend en moyenne $0,7$ kg, soit $700$ g, par semaine. $0,4$ : masse estimée à la naissance ($x=0$), soit $400$ g ; c'est une extrapolation, puisque $0<2$. Taux : ${\displaystyle \frac{6,6}{1,8}}={\displaystyle \frac{66}{18}}={\displaystyle \frac{11}{3}}\approx 3,6667$, la masse a été multipliée par environ $3,67$ ; le taux vaut donc environ $3,6667-1=2,6667$, soit une hausse d'environ $266,7\%$. (0,5 pt pour les interprétations, 0,5 pt pour le taux) (1)
4. d)$0,7x+0,4=8⟺0,7x=7,6⟺x={\displaystyle \frac{76}{7}}\approx 10,9$ : un peu avant $11$ semaines (extrapolation proche des données). À $52$ semaines : $0,7\times 52+0,4=36,4+0,4=36,8$ kg, plus que la masse d'un labrador adulte : cette extrapolation, très loin des données ($52$ semaines contre $9$ au plus), n'a pas de sens, car la croissance ralentit bien avant l'âge adulte. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — Une droite d'ajustement résume une tendance sur la plage observée : plus on s'en éloigne, moins l'extrapolation est fiable, et elle doit toujours être confrontée au contexte.

1. a)Total 2026 : $250000\times 1,08=270000$ €. BD 2025 : $0,32\times 250000=80000$ €. BD 2026 : $80000\times 1,35=108000$ €. (0,5 pt pour le total, 0,5 pt pour les BD) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{108000}{270000}}={\displaystyle \frac{108}{270}}=0,4$, soit $40\%$. La part passe de $32\%$ à $40\%$ : elle gagne $40-32=8$ points de pourcentage, et son taux d'évolution vaut ${\displaystyle \frac{40-32}{32}}={\displaystyle \frac{8}{32}}=0,25$, soit $+25\%$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Notons $B$ le chiffre d'affaires des BD et $C$ le chiffre d'affaires total en 2025. En 2026, la part des BD vaut ${\displaystyle \frac{1,35B}{1,08C}}={\displaystyle \frac{1,35}{1,08}}\times {\displaystyle \frac{B}{C}}$ : elle est multipliée par ${\displaystyle \frac{1,35}{1,08}}={\displaystyle \frac{135}{108}}={\displaystyle \frac{5}{4}}=1,25$, ce qui correspond à une hausse de $25\%$. Contrôle : $0,32\times 1,25=0,4$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Hors BD : $250000-80000=170000$ € en 2025 et $270000-108000=162000$ € en 2026. $t={\displaystyle \frac{162000-170000}{170000}}=-{\displaystyle \frac{8}{170}}=-{\displaystyle \frac{4}{85}}\approx -0,0471$ : baisse d'environ $4,7\%$. Évolution réciproque : coefficient ${\displaystyle \frac{170000}{162000}}={\displaystyle \frac{85}{81}}\approx 1,0494$, soit une hausse d'environ $4,9\%$, et non de $4,7\%$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — La part d'un groupe est multipliée par le quotient « coefficient du groupe ÷ coefficient du total » : on obtient son évolution sans recalculer aucun montant.

1. a)$1,1\times 0,9\times 1,1=0,99\times 1,1=1,089$ : hausse globale de $8,9\%$. (0,5 pt) (0,5)
2. b)${\displaystyle \frac{140}{0,025}}={\displaystyle \frac{140000}{25}}=5600$ personnes. Contrôle : $1\%$ de $5600$ vaut $56$, et $2,5\times 56=140$. (0,5 pt) (0,5)
3. c)Coefficient : $0,48$ ; coefficient réciproque : ${\displaystyle \frac{1}{0,48}}={\displaystyle \frac{100}{48}}={\displaystyle \frac{25}{12}}$. Taux : ${\displaystyle \frac{25}{12}}-1={\displaystyle \frac{13}{12}}\approx 1,083$, soit une hausse d'environ $108,3\%$. (0,5 pt) (0,5)
4. d)Centres des classes : $5$, $15$ et $30$ (la dernière classe a pour amplitude $20$). ${\displaystyle \frac{12\times 5+20\times 15+8\times 30}{40}}={\displaystyle \frac{60+300+240}{40}}={\displaystyle \frac{600}{40}}=15$ : environ $15$ min. (0,5 pt) (0,5)
5. e)Le secteur représente ${\displaystyle \frac{99}{360}}$ de l'effectif : ${\displaystyle \frac{99}{360}}\times 480={\displaystyle \frac{99\times 4}{3}}=132$ personnes. (0,5 pt) (0,5)
6. f)Cette droite passe par $G$ et par $A$. Coefficient directeur : ${\displaystyle \frac{30-50}{12-4}}={\displaystyle \frac{-20}{8}}=-2,5$ ; ordonnée à l'origine : $50-(-2,5)\times 4=50+10=60$. Équation : $y=-2,5x+60$ ; contrôle : $-2,5\times 12+60=30$. (0,5 pt) (0,5)

Erreur fréquente — Pour une série en classes, on remplace chaque classe par son centre, même quand les classes n'ont pas la même amplitude : le centre de $[20;40[$ est $30$, pas $25$.

1. a)Le coefficient global est le produit des coefficients : $(1+t_1)(1+t_2)=1+t_1+t_2+t_1{t}_2$, donc le taux global vaut $(1+t_1+t_2+t_1{t}_2)-1=t_1+t_2+t_1{t}_2$. Il est strictement inférieur à $t_1+t_2$ si et seulement si $t_1{t}_2<0$, c'est-à-dire si $t_1$ et $t_2$ sont de signes contraires : une hausse et une baisse. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)Le coefficient de la hausse est $1+t$, celui de l'évolution réciproque ${\displaystyle \frac{1}{1+t}}$, donc son taux vaut ${\displaystyle \frac{1}{1+t}}-1={\displaystyle \frac{1-(1+t)}{1+t}}=-{\displaystyle \frac{t}{1+t}}$ : c'est une baisse de taux ${\displaystyle \frac{t}{1+t}}$. Puis $t-{\displaystyle \frac{t}{1+t}}={\displaystyle \frac{t(1+t)-t}{1+t}}={\displaystyle \frac{t^2}{1+t}}>0$ car $t>0$ : la baisse est strictement plus faible que la hausse. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)L'effectif concerné vaut $n_1{p}_1+n_2{p}_2$, donc $p={\displaystyle \frac{n_1{p}_1+n_2{p}_2}{n_1+n_2}}$. Alors $p-p_1={\displaystyle \frac{n_1{p}_1+n_2{p}_2-(n_1+n_2)p_1}{n_1+n_2}}={\displaystyle \frac{n_2(p_2-p_1)}{n_1+n_2}}⩾0$ et, de même, $p_2-p={\displaystyle \frac{n_1(p_2-p_1)}{n_1+n_2}}⩾0$. Si $n_1=n_2=n$ : $p={\displaystyle \frac{n(p_1+p_2)}{2n}}={\displaystyle \frac{p_1+p_2}{2}}$. (0,5 pt pour l'encadrement, 0,5 pt pour le cas $n_1=n_2$) (1)
4. d)Notons $G(\bar{x};\bar{y})$. La somme des abscisses du premier groupe vaut $n_1{x}_1$ et celle du second $n_2{x}_2$, donc $\bar{x}={\displaystyle \frac{n_1{x}_1+n_2{x}_2}{n_1+n_2}}$ ; de même, $\bar{y}={\displaystyle \frac{n_1{y}_1+n_2{y}_2}{n_1+n_2}}$. Par le même calcul qu'en c) : $\bar{x}-x_1={\displaystyle \frac{n_2(x_2-x_1)}{n_1+n_2}}$ et $\bar{y}-y_1={\displaystyle \frac{n_2(y_2-y_1)}{n_1+n_2}}$. La droite $(G_1{G}_2)$ a pour coefficient directeur $a={\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}$ et passe par $G_1$, donc son ordonnée à l'origine vaut $y_1-a{x}_1$ et son équation s'écrit $y=y_1+a(x-x_1)$. Pour $x=\bar{x}$ : $y_1+a\times {\displaystyle \frac{n_2(x_2-x_1)}{n_1+n_2}}=y_1+{\displaystyle \frac{n_2(y_2-y_1)}{n_1+n_2}}=\bar{y}$, donc $G$ appartient à $(G_1{G}_2)$. (0,5 pt pour les coordonnées de $G$, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Méthode — Pour comparer deux expressions, on étudie le signe de leur différence, mise au même dénominateur : c'est ainsi qu'on prouve $p_1⩽p⩽p_2$ ou que la baisse réciproque est plus faible que la hausse.

1. a)A : $0,8\times 90=72$ foyers trient, $90-72=18$ non. B : $0,6\times 150=90$ trient, $150-90=60$ non. Totaux : $72+90=162$ trient, $18+60=78$ non, $240$ foyers. Fréquence : ${\displaystyle \frac{162}{240}}=0,675$, soit $67,5\%$, entre $60\%$ et $80\%$ mais plus près de $60\%$, car B compte plus de foyers que A. (0,5 pt pour le tableau, 0,5 pt pour la fréquence) (1)
2. b)Parmi les $150$ foyers de B : ${\displaystyle \frac{60}{150}}=0,4$, soit $40\%$ ne trient pas. L'affiche, elle, parle d'une autre population de référence : parmi les $78$ foyers qui ne trient pas, $60$ habitent B, soit ${\displaystyle \frac{60}{78}}={\displaystyle \frac{10}{13}}\approx 0,769$, environ $76,9\%$. C'est un peu plus des trois quarts : l'ordre de grandeur est juste, « plus des trois quarts » serait exact. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Il faut $0,75\times 240=180$ foyers qui trient, soit $180-162=18$ de plus, tous dans B, qui en compterait alors $90+18=108$. Fréquence dans B : ${\displaystyle \frac{108}{150}}=0,72$, soit $72\%$, c'est-à-dire $12$ points de plus. Nombre de foyers de B qui trient : ${\displaystyle \frac{108-90}{90}}={\displaystyle \frac{18}{90}}=0,2$, soit une hausse de $20\%$. (0,5 pt pour les $18$ foyers et la fréquence, 0,5 pt pour les points et le taux) (1)
4. d)Avec $n$ foyers dans C, dont $0,9n$ trient : ${\displaystyle \frac{162+0,9n}{240+n}}=0,75⟺162+0,9n=180+0,75n⟺0,15n=18⟺n=120$. Contrôle : $162+108=270$ foyers qui trient sur $360$, et ${\displaystyle \frac{270}{360}}=0,75$. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour sa résolution) (1)
5. e)Coefficient sur 2025 et 2026 : $0,8\times 0,85=0,68$ (baisse de $32\%$, pas de $35\%$). Une baisse d'au moins $40\%$ demande un coefficient global au plus égal à $0,6$. En notant $C{M}_3$ le coefficient multiplicateur de 2027 : $0,68\times C{M}_3⩽0,6⟺C{M}_3⩽{\displaystyle \frac{0,6}{0,68}}={\displaystyle \frac{60}{68}}={\displaystyle \frac{15}{17}}$. Or $1-{\displaystyle \frac{15}{17}}={\displaystyle \frac{2}{17}}\approx 0,118$ : il faut en 2027 une baisse d'au moins ${\displaystyle \frac{2}{17}}$, soit environ $11,8\%$ (et non $40-35=5\%$). (0,5 pt pour l'inéquation, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Piège — Un objectif global se traduit en coefficient global : le taux qui manque s'obtient en divisant des coefficients, jamais en soustrayant des pourcentages.

1. a)$G_1$ : ${\displaystyle \frac{0+1+2+3}{4}}=1,5$ et ${\displaystyle \frac{20,6+22,2+23,6+25,4}{4}}={\displaystyle \frac{91,8}{4}}=22,95$. $G_2$ : ${\displaystyle \frac{4+5+6+7}{4}}=5,5$ et ${\displaystyle \frac{27,1+29+30,7+32,2}{4}}={\displaystyle \frac{119}{4}}=29,75$. Coefficient directeur : ${\displaystyle \frac{29,75-22,95}{5,5-1,5}}={\displaystyle \frac{6,8}{4}}=1,7$ ; ordonnée à l'origine : $22,95-1,7\times 1,5=22,95-2,55=20,4$. Droite de Mayer : $y=1,7x+20,4$. (0,5 pt pour $G_1$ et $G_2$, 0,5 pt pour l'équation) (1)
2. b)Abscisse de $G$ : ${\displaystyle \frac{0+1+2+3+4+5+6+7}{8}}={\displaystyle \frac{28}{8}}=3,5$ ; ordonnée : ${\displaystyle \frac{91,8+119}{8}}={\displaystyle \frac{210,8}{8}}=26,35$. Mayer : $1,7\times 3,5+20,4=5,95+20,4=26,35$, donc $G$ est sur la droite de Mayer. $D$ : $1,69\times 3,5+20,45=5,915+20,45=26,365$. L'écart de $0,015$ vient de l'arrondi du coefficient directeur (il vaut environ $1,686$) : la droite des moindres carrés exacte passe par $G$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)2030 correspond à $x=12$. Mayer : $1,7\times 12+20,4=20,4+20,4=40,8$, soit environ $40800$ licenciés. $D$ : $1,69\times 12+20,45=20,28+20,45=40,73$, soit environ $40730$ licenciés. Les deux estimations sont proches, mais ce sont des extrapolations à cinq ans au-delà des données ($12>7$) : elles supposent que la tendance se maintient. (0,5 pt pour les calculs, 0,5 pt pour la réserve) (1)
4. d)De 2018 à 2019 : ${\displaystyle \frac{22,2-20,6}{20,6}}={\displaystyle \frac{1,6}{20,6}}\approx 0,078$, soit environ $+7,8\%$. De 2024 à 2025 : ${\displaystyle \frac{32,2-30,7}{30,7}}={\displaystyle \frac{1,5}{30,7}}\approx 0,049$, soit environ $+4,9\%$. Les hausses annuelles en milliers restent à peu près stables (entre $1,4$ et $1,9$), mais elles portent sur des effectifs de plus en plus grands : le taux diminue. La croissance est à peu près affine, pas à taux constant, et « $8\%$ par an » ne décrit que le début de la période. (0,5 pt pour les taux, 0,5 pt pour la discussion) (1)
5. e)Les valeurs estimées sont $1,7x+20,4$ puis $1,7(x+1)+20,4$, dont la différence vaut $1,7$ : le taux vaut ${\displaystyle \frac{1,7}{1,7x+20,4}}$. Comme $1,7x+20,4>0$ : ${\displaystyle \frac{1,7}{1,7x+20,4}}<0,04⟺1,7<0,068x+0,816⟺0,068x>0,884⟺x>13$. Pour $x=13$, le taux vaut exactement ${\displaystyle \frac{1,7}{42,5}}=0,04$ ; il faut donc $x=14$, soit la hausse de 2032 à 2033 : 2033 est la première année concernée. (0,5 pt pour le taux, 0,5 pt pour l'inéquation et l'année) (1)

Astuce — Pour choisir entre une hausse constante en valeur et une hausse constante en pourcentage, on compare les différences successives et les quotients successifs : la droite convient quand ce sont les différences qui restent stables.

1. a)On cherche $a⩽b⩽8⩽d⩽e$ avec $a+b+8+d+e=5\times 10=50$ et $e-a=12$. Avec $a=4$ et $e=16$, il faut $b+d=50-28=22$, par exemple $b=7$ et $d=15$. Série $4$ ; $7$ ; $8$ ; $15$ ; $16$ : somme $50$, donc moyenne $10$ ; médiane $8$ ; étendue $16-4=12$. D'autres réponses sont possibles. (0,5 pt pour la série, 0,5 pt pour les vérifications) (1)
2. b)Multiplier par $1,1$, nombre positif, ne change pas l'ordre des valeurs : la médiane est toujours la $3^{\text{e}}$ valeur, multipliée par $1,1$. La somme est multipliée par $1,1$, donc la moyenne aussi ; l'étendue devient $1,1e-1,1a=1,1(e-a)$. Les trois augmentent de $10\%$. En ajoutant $1$, la moyenne et la médiane augmentent de $1$ (ce qui ne fait $10\%$ que si elles valent $10$) et l'étendue ne change pas : ce n'est plus vrai. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Supposons qu'une telle série existe, rangée : $a⩽b⩽8⩽d⩽e$ avec $e=a+4$. Comme $a⩽b⩽8$, on a $e⩽12$, donc $d⩽12$. La somme vérifie alors $a+b+8+d+e⩽8+8+8+12+12=48$. Or une moyenne de $10$ impose une somme de $50$ : contradiction, aucune série ne convient. (0,5 pt pour l'encadrement de $d$ et $e$, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Méthode — Pour prouver qu'une série n'existe pas, on encadre la somme de ses valeurs : si la plus grande somme possible reste inférieure à celle qu'impose la moyenne, aucune série ne convient.