Automatismes : proportions et pourcentages

1. a)$0,17\times 2800=476$. Sans calculatrice : $1\%$ de $2800$ vaut $28$, et $17\times 28=476$. (1)
2. b)${\displaystyle \frac{460}{1150}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$ (on simplifie par $230$), soit $0,4$ : $40\%$ d’abonnés. (1)
3. c)Partie $=p\times$ tout, donc tout $={\displaystyle \frac{171}{0,045}}={\displaystyle \frac{171000}{45}}=3800$ personnes. Contrôle : $0,045\times 3800=171$. (1)
4. d)${\displaystyle \frac{7}{16}}=0,4375$ (on pose $7÷16$), soit $43,75\%$. (1)
5. e)$0,36={\displaystyle \frac{36}{100}}$ ; en simplifiant par $4$ : ${\displaystyle \frac{9}{25}}$. (1)
6. f)$120\%=1,2$, et $1,2\times 45=54$. Ce pourcentage décrit une quantité, pas une proportion. (1)

Repère — Les trois calculs de base viennent de la même égalité : partie = proportion × tout.

1. a)$0,35\times 8400=2940$ habitants de moins de $30$ ans. (1)
2. b)Les $45\%$ portent sur les moins de $30$ ans : $0,45\times 2940=1323$ sportifs en club. (1)
3. c)$2940-1323=1617$ habitants. Autre calcul, par complémentaire : $100-45=55$, donc $55\%$ des moins de $30$ ans, et $0,55\times 2940=1617$. (1)
4. d)${\displaystyle \frac{1323}{8400}}=0,1575$, soit $15,75\%$ de la commune. Sans les effectifs : $0,45\times 0,35=0,1575$ (proportion de proportion). (1)
5. e)Les deux pourcentages n’ont pas la même référence : $35\%$ porte sur toute la commune, $45\%$ seulement sur les moins de $30$ ans. Les populations sont emboîtées : on multiplie les coefficients, on n’additionne pas. D’ailleurs, une partie des jeunes ne peut pas être plus nombreuse que tous les jeunes ($80\%>35\%$). (1)

Piège — Une proportion de proportion est toujours plus petite que chacune des deux proportions.

1. a)${\displaystyle \frac{1140}{1900}}={\displaystyle \frac{6}{10}}$ (on simplifie par $190$), soit $60\%$ des personnes interrogées. (1)
2. b)On ne compte qu’une fois les $342$ lecteurs des deux genres : $1140+722-342=1520$ lecteurs, et ${\displaystyle \frac{1520}{1900}}={\displaystyle \frac{8}{10}}$, soit $80\%$. (1)
3. c)Complémentaire : $100-80=20$, soit $20\%$ des personnes interrogées ($1900-1520=380$ personnes). (1)
4. d)La référence est l’ensemble des $722$ lecteurs de bandes dessinées, dont la moitié vaut $361$. Seuls $342$ d’entre eux lisent des romans, et $342<361$ : la proportion est inférieure à la moitié (elle vaut ${\displaystyle \frac{342}{722}}={\displaystyle \frac{9}{19}}$). (1)

Méthode — Avant chaque division, compléter la phrase « parmi les … » : c’est elle qui donne le dénominateur.

1. a)Club A : $0,125\times 320=40$ licenciés (le huitième de $320$). Club B : $0,25\times 480=120$ licenciés (le quart de $480$). (1)
2. b)$40+120=160$ licenciés de moins de $12$ ans sur $320+480=800$ : ${\displaystyle \frac{160}{800}}=0,2$, soit $20\%$. (1)
3. c)La référence devient l’ensemble des $160$ licenciés de moins de $12$ ans : ${\displaystyle \frac{120}{160}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$, soit $75\%$ viennent du club B, alors que B ne regroupe que $60\%$ des licenciés (${\displaystyle \frac{480}{800}}=0,6$). (1)
4. d)La moyenne des deux pourcentages donne le même poids aux deux clubs, alors que le club B compte $160$ licenciés de plus : il pèse davantage. On doit passer par les effectifs, comme à la question précédente. (1)
5. e)Il faudrait $0,25\times 800=200$ licenciés de moins de $12$ ans au total. Le club B en apporte $120$, donc le club A devrait en compter $200-120=80$, soit ${\displaystyle \frac{80}{320}}=25\%$ de son effectif. (1)

À retenir — Sur deux groupes réunis, on ajoute les effectifs, pas les pourcentages.