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Maths sans spécialité 1ʳᵉ

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Statistique à deux caractères : tableaux croisés, nuage de points, ajustement affine

Moyenne, médiane, quartiles et graphiques, tableau croisé d’effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, nuage de points, point moyen, droite de Mayer, droite d’ajustement, interpolation et extrapolation, sans calculatrice.

À propos de cette page
Un QCM sur la statistique à deux caractères en trois niveaux de douze questions à quatre choix : médiane et quartiles, fréquences marginales et conditionnelles, point moyen, droite de Mayer, interpolation et extrapolation, axe tronqué, lien et causalité. Chaque réponse est expliquée.

Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile ★ — 12 questions

  1. Dans un tableau croisé d’effectifs, la fréquence marginale d’une modalité s’obtient en divisant :

    • A. un effectif du tableau par le total de sa ligne
    • B. un effectif du tableau par le total de sa colonne
    • C. le total de sa ligne ou de sa colonne par l’effectif total
    • D. l’effectif total par le total de la ligne de la modalité
    Réponse

    C. le total de sa ligne ou de sa colonne par l’effectif total — Une fréquence marginale ne porte que sur un caractère : c’est le total de la ligne (ou de la colonne) de la modalité rapporté à l’effectif total.

  2. Sur 250 personnes interrogées, 85 déclarent lire un quotidien. La fréquence des lecteurs est :

    • A. 0,34
    • B. 0,085
    • C. 2,94
    • D. 0,165
    Réponse

    A. 0,34 — 85/250 = 0,34, soit 34 %. (2,94 correspond au quotient inversé 250/85.)

  3. Le point moyen G d’une série (xᵢ ; yᵢ) a pour coordonnées :

    • A. (x₁ ; yₙ), premier et dernier relevés
    • B. le milieu du point le plus bas et du plus haut
    • C. (ȳ ; x̄), les deux moyennes échangées
    • D. (x̄ ; ȳ), les deux moyennes
    Réponse

    D. (x̄ ; ȳ), les deux moyennes — L’abscisse de G est la moyenne des xᵢ, son ordonnée la moyenne des yᵢ.

  4. Estimer y pour une valeur de x comprise entre la plus petite et la plus grande valeur observée, c’est faire :

    • A. une extrapolation
    • B. une interpolation
    • C. une régression inverse
    • D. une moyenne pondérée
    Réponse

    B. une interpolation — À l’intérieur de la plage des données, on interpole ; en dehors, on extrapole.

  5. La droite des moindres carrés fournie par la calculatrice passe toujours par :

    • A. le premier point du nuage
    • B. le point moyen du nuage
    • C. l’origine du repère
    • D. le point le plus haut du nuage
    Réponse

    B. le point moyen du nuage — Comme b = ȳ − a x̄, les coordonnées de G(x̄ ; ȳ) vérifient toujours l’équation.

  6. La médiane de la série 4 ; 9 ; 2 ; 7 ; 5 est :

    • A. 2
    • B. 5,4
    • C. 7
    • D. 5
    Réponse

    D. 5 — Série rangée : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9. La médiane est la 3e valeur, 5. (2 est la valeur du milieu de la série non rangée, 5,4 la moyenne.)

  7. Sur un diagramme en barres dont l’axe vertical commence à 90 au lieu de 0, les écarts entre les barres paraissent :

    • A. amplifiés
    • B. atténués
    • C. exactement inchangés
    • D. inversés
    Réponse

    A. amplifiés — Seule la partie au-dessus de 90 est dessinée : les hauteurs ne sont plus proportionnelles aux valeurs et les écarts semblent plus grands.

  8. Dans un tableau croisé « sexe × pratique d’un instrument », la fréquence des musiciens parmi les filles est une fréquence :

    • A. marginale
    • B. totale
    • C. conditionnelle
    • D. cumulée croissante
    Réponse

    C. conditionnelle — « Parmi les filles » restreint la population de référence : c’est une fréquence conditionnelle.

  9. Dans un diagramme circulaire, un secteur de 90° représente :

    • A. 25 % de l’effectif
    • B. 90 % de l’effectif
    • C. 9 % de l’effectif
    • D. 50 % de l’effectif
    Réponse

    A. 25 % de l’effectif — 90/360 = 0,25 : un quart du disque, soit 25 % de l’effectif.

  10. Dans une série rangée de 20 valeurs, le premier quartile est la valeur de rang :

    • A. 4
    • B. 6
    • C. 5
    • D. 10
    Réponse

    C. 5 — 20/4 = 5 : Q₁ est la 5e valeur (le rang 10 donnerait une valeur centrale, pas Q₁).

  11. Les points (1 ; 4), (3 ; 6) et (5 ; 11) ont pour point moyen :

    • A. (3 ; 6)
    • B. (3 ; 7)
    • C. (9 ; 21)
    • D. (3 ; 7,5)
    Réponse

    B. (3 ; 7) — x̄ = 9/3 = 3 et ȳ = 21/3 = 7. (3 ; 7,5) est le milieu du premier et du dernier point, (3 ; 6) le point du milieu.

  12. Une droite d’ajustement y = 2x + 10 a été établie pour x entre 5 et 20. L’estimation pour x = 12 est :

    • A. 24
    • B. 22
    • C. 44
    • D. 34
    Réponse

    D. 34 — 2 × 12 + 10 = 34, par interpolation car 12 est entre 5 et 20.

Niveau moyen ★★ — 12 questions

  1. Sur 300 clients d’une librairie, 120 ont acheté un roman et, parmi eux, 45 ont aussi acheté un marque-page. Parmi les acheteurs de roman, la fréquence des acheteurs de marque-page est :

    • A. 0,15
    • B. 0,375
    • C. 0,4
    • D. 0,625
    Réponse

    B. 0,375 — Population de référence : les 120 acheteurs de roman. 45/120 = 0,375. (0,15 = 45/300 et 0,4 = 120/300.)

  2. Les points (1 ; 5), (3 ; 8), (4 ; 9) et (8 ; 14) ont pour point moyen :

    • A. (4 ; 8,5)
    • B. (4,5 ; 9)
    • C. (9 ; 4)
    • D. (4 ; 9)
    Réponse

    D. (4 ; 9) — x̄ = 16/4 = 4 et ȳ = 36/4 = 9.

  3. Une droite d’ajustement y = −1,8x + 47 a été obtenue pour x entre 2 et 20. L’estimation pour x = 11 est :

    • A. 27,2
    • B. 66,8
    • C. −27,2
    • D. 25,8
    Réponse

    A. 27,2 — −1,8 × 11 + 47 = −19,8 + 47 = 27,2 (interpolation).

  4. La droite des moindres carrés d’un nuage de point moyen G(6 ; 20) a pour coefficient directeur 2,5. Son ordonnée à l’origine vaut :

    • A. 35
    • B. −5
    • C. 5
    • D. 17,5
    Réponse

    C. 5 — La droite passe par G, donc b = 20 − 2,5 × 6 = 20 − 15 = 5.

  5. Par la méthode de Mayer, on obtient G₁(2 ; 10) et G₂(7 ; 24). Le coefficient directeur de (G₁G₂) est :

    • A. 5
    • B. 0,36
    • C. 2,8
    • D. 3,4
    Réponse

    C. 2,8 — a = (24 − 10)/(7 − 2) = 14/5 = 2,8.

  6. Une série de 10 valeurs a pour moyenne 12. On lui ajoute la valeur 1. La nouvelle moyenne vaut :

    • A. 11
    • B. 12
    • C. 6,5
    • D. 12,1
    Réponse

    A. 11 — Somme : 10 × 12 + 1 = 121, pour 11 valeurs : 121/11 = 11. (12,1 vient d’une division par 10 au lieu de 11.)

  7. Dans une entreprise, 28 des 80 salariés du site A et 14 des 70 salariés du site B viennent à vélo. Parmi les cyclistes, la fréquence de ceux du site A vaut environ :

    • A. 0,35
    • B. 0,2
    • C. 0,187
    • D. 0,667
    Réponse

    D. 0,667 — 28 + 14 = 42 cyclistes, dont 28 du site A : 28/42 ≈ 0,667. (0,35 = 28/80 est la fréquence des cyclistes parmi le site A.)

  8. Une droite d’ajustement y = 0,5x + 3 a été obtenue pour x entre 0 et 10. Pour le point observé (6 ; 7,4), l’écart observé − estimé vaut :

    • A. −1,4
    • B. 1,4
    • C. 7,4
    • D. 0,4
    Réponse

    B. 1,4 — Valeur estimée : 0,5 × 6 + 3 = 6 ; écart : 7,4 − 6 = 1,4 (le point est au-dessus de la droite).

  9. Dans un tableau croisé, l’effectif de A vaut 80, celui de B vaut 50 et celui de « A et B » vaut 20. La fréquence de B parmi A vaut :

    • A. 0,4
    • B. 0,625
    • C. 1,6
    • D. 0,25
    Réponse

    D. 0,25 — Parmi A : 20/80 = 0,25. (0,4 = 20/50 est la fréquence de A parmi B.)

  10. Série rangée : 3 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20. Le troisième quartile vaut :

    • A. 15
    • B. 12
    • C. 13,5
    • D. 10
    Réponse

    B. 12 — 3 × 8/4 = 6 : Q₃ est la 6e valeur, 12. On ne fait pas de moyenne entre deux valeurs.

  11. Valeurs 1, 2 et 3 avec les effectifs 6, 10 et 4. La moyenne de la série vaut :

    • A. 2
    • B. 3,8
    • C. 1,9
    • D. 6,67
    Réponse

    C. 1,9 — (1 × 6 + 2 × 10 + 3 × 4)/20 = 38/20 = 1,9. (2 est la moyenne des valeurs sans les effectifs.)

  12. Une droite d’ajustement y = 0,5x + 3 donne une estimation de 8. La valeur de x correspondante est :

    • A. 10
    • B. 7
    • C. 16
    • D. 22
    Réponse

    A. 10 — 0,5x + 3 = 8 donne 0,5x = 5, donc x = 10. (7 = 0,5 × 8 + 3 : on a remplacé x par 8.)

Niveau difficile ★★★ — 12 questions

  1. Sur un été, le nuage (glaces vendues ; coups de soleil soignés) a une forme allongée croissante. On peut affirmer :

    • A. que les glaces provoquent les coups de soleil
    • B. que les coups de soleil font vendre des glaces
    • C. qu’aucun lien n’existe entre les deux séries
    • D. que les deux séries varient dans le même sens
    Réponse

    D. que les deux séries varient dans le même sens — Le nuage montre un lien statistique, pas une causalité : un troisième facteur, l’ensoleillement, agit sur les deux.

  2. Dans un tableau croisé, la fréquence de A parmi B et celle de B parmi A :

    • A. sont toujours égales
    • B. ont le même numérateur
    • C. ont le même dénominateur
    • D. ont toujours pour somme 1
    Réponse

    B. ont le même numérateur — Les deux ont pour numérateur l’effectif de « A et B » ; les dénominateurs (effectif de B, effectif de A) diffèrent en général.

  3. Une droite d’ajustement a été établie avec des températures relevées entre 5 °C et 25 °C. Une estimation pour 40 °C :

    • A. est exacte car la droite passe par G
    • B. est plus fiable qu’une interpolation
    • C. suppose que la tendance reste affine
    • D. est impossible à calculer avec la droite
    Réponse

    C. suppose que la tendance reste affine — Le calcul est possible, mais c’est une extrapolation : elle n’a de valeur que si la tendance affine se prolonge au-delà de 25 °C.

  4. Des ventes de 120 et 132 milliers sont représentées par deux barres, sur un axe vertical qui commence à 110. La seconde barre paraît :

    • A. 2,2 fois plus haute que la première
    • B. 1,1 fois plus haute que la première
    • C. 12 fois plus haute que la première
    • D. 22 fois plus haute que la première
    Réponse

    A. 2,2 fois plus haute que la première — Hauteurs visibles : 120 − 110 = 10 et 132 − 110 = 22, rapport 2,2. En réalité, 132/120 = 1,1 : l’axe tronqué amplifie l’écart.

  5. Un lycée A a de meilleurs taux de réussite que le lycée B dans chaque voie, mais un taux global plus faible. Est-ce possible ?

    • A. non, c’est forcément une erreur de calcul
    • B. seulement si les deux lycées ont le même effectif
    • C. oui, si la répartition par voie diffère
    • D. oui, mais seulement si A a moins d’élèves
    Réponse

    C. oui, si la répartition par voie diffère — Le taux global est une moyenne pondérée par la répartition des candidats : une composition différente peut inverser le classement.

  6. Deux droites passent par le point moyen G d’un nuage. Pour savoir laquelle est la plus proche des points, on compare :

    • A. les sommes des carrés des écarts verticaux
    • B. les sommes des écarts verticaux, sans carré
    • C. les ordonnées à l’origine des deux droites
    • D. les distances de G à l’origine du repère
    Réponse

    A. les sommes des carrés des écarts verticaux — Toute droite passant par G a une somme d’écarts nulle ; seul le critère des carrés départage les droites.

  7. Le nuage (âge d’un arbre ; hauteur) s’incurve nettement pour les grandes valeurs de l’âge. Un ajustement affine sur tout le nuage :

    • A. reste le meilleur choix dans tous les cas
    • B. donne des extrapolations d’autant plus sûres
    • C. est justifié dès que G est sur la droite
    • D. risque de mal décrire la tendance réelle
    Réponse

    D. risque de mal décrire la tendance réelle — Une croissance qui ralentit n’est pas affine : la droite décrit mal la tendance et ses extrapolations sont trompeuses.

  8. Sur 2 000 personnes, 8 % fument ; 30 % des fumeurs et 5 % des non-fumeurs ont une toux chronique. Le nombre de personnes ayant une toux chronique est :

    • A. 35
    • B. 140
    • C. 1 400
    • D. 48
    Réponse

    B. 140 — 160 fumeurs, dont 48 tousseurs ; 1 840 non-fumeurs, dont 92 tousseurs ; total 48 + 92 = 140.

  9. Pour une série de 6 points, la droite de Mayer a pour équation y = 2x + 1, avec G₁(2 ; 5). Le point moyen de la série est G(4 ; 9). Alors G₂ vaut :

    • A. (8 ; 17)
    • B. (6 ; 13)
    • C. (4 ; 9)
    • D. (6 ; 12)
    Réponse

    B. (6 ; 13) — Les deux groupes ont 3 points : G est le milieu de [G₁G₂], donc G₂ = (2 × 4 − 2 ; 2 × 9 − 5) = (6 ; 13). (8 ; 17) est sur la droite, mais G n’en serait pas le milieu.

  10. Quatre points ont pour point moyen G(5 ; 12). Trois d’entre eux sont (2 ; 8), (4 ; 11) et (6 ; 13). Le quatrième point est :

    • A. (5 ; 12)
    • B. (8 ; 12)
    • C. (6 ; 16)
    • D. (8 ; 16)
    Réponse

    D. (8 ; 16) — Somme des abscisses : 4 × 5 = 20, donc x = 20 − 12 = 8 ; somme des ordonnées : 4 × 12 = 48, donc y = 48 − 32 = 16.

  11. Dans un lycée, 40 % des élèves sont internes ; 30 % des internes et 10 % des externes font partie de l’association sportive. La fréquence des membres de l’association est :

    • A. 18 %
    • B. 20 %
    • C. 40 %
    • D. 12 %
    Réponse

    A. 18 % — Moyenne pondérée : 0,4 × 0,3 + 0,6 × 0,1 = 0,12 + 0,06 = 0,18. (20 % est la moyenne simple, 12 % la part des internes membres.)

  12. Pour des mois de rang 1 à 10, une droite d’ajustement du nombre de clients a pour ordonnée à l’origine −35. On peut affirmer :

    • A. il y avait −35 clients au mois de rang 0
    • B. la droite d’ajustement est forcément fausse
    • C. −35 est une extrapolation, sans sens concret
    • D. −35 est une interpolation, donc fiable
    Réponse

    C. −35 est une extrapolation, sans sens concret — x = 0 est hors de la plage observée : b est une extrapolation, et un nombre de clients négatif n’a pas de sens. La droite reste utile entre les rangs 1 et 10.

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