Information chiffrée : tableaux croisés, nuage de points et ajustement affine

Tableaux croisés d'effectifs, nuages de points, ajustement affine, interpolation et extrapolation

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Ces problèmes corrigés sur « Information chiffrée : tableaux croisés, nuage de points et ajustement affine » en première permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de première et se résolvent étape par étape. Au programme : L'essentiel, Tableaux croisés d'effectifs et de fréquences, Nuage de points et point moyen, Ajustement affine. Cherche au brouillon, rédige, puis compare avec la correction détaillée de chaque problème. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en première.

Problèmes corrigés, type devoir surveillé ou bac : plusieurs parties, un raisonnement à rédiger. Traite chaque problème en entier au brouillon, puis déplie la correction rédigée.

Problème 1 — Écrans et sommeil

Moyen

Une enquête auprès de 800 adolescents croise le temps quotidien passé devant un écran (hors cours) et la durée de sommeil d'une nuit de semaine.

Temps d'écran	Moins de 7 h de sommeil	7 h de sommeil ou plus	Total
Moins de 2 h	30	170	200
De 2 h à 4 h	105	245	350
Plus de 4 h	135	115	250
Total	270	530	800

1. Calculer la fréquence marginale des adolescents qui dorment moins de 7 h.
2. a) Pour chacune des trois catégories de temps d'écran, calculer la fréquence des adolescents qui dorment moins de 7 h.
2. b) Montrer que la fréquence obtenue à la question 1 est la moyenne des trois fréquences du 2. a), pondérée par les effectifs des catégories.
3. Parmi les adolescents qui dorment moins de 7 h, quelle est la fréquence de ceux qui passent plus de 4 h par jour devant un écran ?
4. Quelle proportion des 800 adolescents passe plus de 4 h devant un écran et dort moins de 7 h ? Expliquer pourquoi l'effectif 135 conduit à trois fréquences différentes.
5. Un site titre : « Plus d'un ado sur deux qui abuse des écrans dort mal : les écrans provoquent le manque de sommeil. » Discuter les deux parties de ce titre.

1. 270 adolescents sur 800 dorment moins de 7 h : $\frac{270}{800} = 0, 3375$ . Fréquence marginale : 33,75 %.

2. a) On divise chaque effectif de la première colonne par le total de sa ligne :

moins de 2 h : $\frac{30}{200} = 0, 15$ ;
de 2 h à 4 h : $\frac{105}{350} = 0, 3$ ;
plus de 4 h : $\frac{135}{250} = 0, 54$ .

La fréquence des courtes nuits augmente avec le temps d'écran : 15 %, 30 % puis 54 %.

2. b) Moyenne pondérée par les effectifs : $\frac{200 \times 0, 15 + 350 \times 0, 3 + 250 \times 0, 54}{800} = \frac{30 + 105 + 135}{800} = \frac{270}{800} = 0, 3375$ . On retrouve bien la fréquence marginale : chaque produit redonne l'effectif de la case.

3. Population de référence : les 270 adolescents qui dorment moins de 7 h, dont 135 passent plus de 4 h devant un écran. $\frac{135}{270} = 0, 5$ . La moitié des « courts dormeurs » sont de gros utilisateurs d'écrans.

4. $\frac{135}{800} = 0, 16875$ , soit environ 16,9 % de l'ensemble. Le même effectif 135 donne trois fréquences selon le dénominateur : 16,9 % des 800 adolescents, 54 % des 250 gros utilisateurs d'écrans, 50 % des 270 courts dormeurs. Toute fréquence doit préciser sa population de référence.

5. La première partie est exacte : parmi les adolescents à plus de 4 h d'écran, 54 % dorment moins de 7 h, soit plus d'un sur deux. La seconde partie ne découle pas de l'enquête : le tableau montre un lien statistique, pas une causalité. Un troisième facteur peut agir sur les deux variables (âge, stress, horaires de la famille), ou la causalité peut être inversée (un adolescent qui dort mal occupe ses insomnies avec un écran). L'enquête est de plus déclarative. Pour établir une cause, il faudrait une étude qui fasse varier le temps d'écran toutes choses égales par ailleurs.

Problème 2 — Loyer et surface d'un appartement

Moyen

Une agence a relevé la surface $x$ (en m²) et le loyer mensuel $y$ (en €, charges comprises) de sept appartements d'un même quartier.

$x_{i}$	18	25	32	40	47	55	63
$y_{i}$	505	620	690	800	865	975	1 075

1. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage.
2. À l'aide de la calculatrice ou d'un tableur, donner l'équation de la droite des moindres carrés, coefficients arrondis au centième.
3. Interpréter le coefficient directeur dans le contexte.
4. Estimer le loyer d'un appartement de 36 m², arrondi à l'euro.
5. Un étudiant dispose d'un budget de 900 € par mois. Estimer la surface maximale qu'il peut louer dans ce quartier.
6. Une agence utilise la droite pour estimer à environ 2 150 € le loyer d'un appartement de 150 m². Critiquer cette estimation.
7. Que vaudrait, selon la droite, le loyer d'un logement de 0 m² ? Expliquer pourquoi ce nombre n'a pas de sens concret.

1. $\overset{―}{x} = \frac{18 + 25 + 32 + 40 + 47 + 55 + 63}{7} = \frac{280}{7} = 40$ et $\overset{―}{y} = \frac{505 + 620 + 690 + 800 + 865 + 975 + 1075}{7} = \frac{5530}{7} = 790$ . $G (40; 790)$ .

2. La calculatrice donne $a \approx 12, 357$ et $b \approx 295, 711$ . Vérification : les écarts $x_{i} - \overset{―}{x}$ valent $- 22$ , $- 15$ , $- 8$ , $0$ , $7$ , $15$ , $23$ et les écarts $y_{i} - \overset{―}{y}$ valent $- 285$ , $- 170$ , $- 100$ , $10$ , $75$ , $185$ , $285$ . $\sum (x_{i} - \overset{―}{x}) (y_{i} - \overset{―}{y}) = 6270 + 2550 + 800 + 0 + 525 + 2775 + 6555 = 19475$ et $\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2} = 484 + 225 + 64 + 0 + 49 + 225 + 529 = 1576$ . Donc $a = \frac{19475}{1576} \approx 12, 357$ et $b = 790 - 40 a \approx 295, 71$ . $y = 12, 36 x + 295, 71$ .

3. $a \approx 12, 36$ : dans ce quartier, chaque mètre carré supplémentaire augmente le loyer d'environ 12,36 € par mois en moyenne.

4. $12, 36 \times 36 + 295, 71 = 444, 96 + 295, 71 = 740, 67$ . Loyer estimé : environ 741 € (interpolation, car $36 \in [18; 63]$ ).

5. On cherche $x$ tel que $12, 36 x + 295, 71 ⩽ 900$ , soit $12, 36 x ⩽ 604, 29$ , donc $x ⩽ \frac{604, 29}{12, 36} \approx 48, 9$ . Surface maximale estimée : environ 48,9 m². Il s'agit d'un ordre de grandeur : les loyers réels s'écartent de la droite de quelques dizaines d'euros.

6. $12, 36 \times 150 + 295, 71 = 2149, 71$ : le calcul est juste, mais 150 m² est très loin de la plage observée (18 à 63 m²). C'est une extrapolation lointaine : les grands appartements forment un autre marché, avec un prix au mètre carré souvent différent, et aucun n'a été observé. L'estimation n'est pas fiable.

7. Pour $x = 0$ , $y = b \approx 295, 71$ €. Un logement de 0 m² n'existe pas et 0 est hors de $[18; 63]$ : $b$ sert seulement à placer la droite sur la plage observée ; il ne s'interprète pas comme un loyer.

Problème 3 — Prévoir la population d'une commune

Difficile

Population d'une commune (en milliers d'habitants) au 1er janvier de certaines années. On note $x$ le nombre d'années écoulées depuis 2000.

Année	2000	2004	2008	2012	2016	2020
$x_{i}$	0	4	8	12	16	20
$y_{i}$	12,4	13,2	14,3	15,0	16,2	16,8

1. Calculer les coordonnées des points moyens $G_{1}$ (trois premiers relevés) et $G_{2}$ (trois derniers), puis montrer que la droite de Mayer a pour équation $y = 0, 225 x + 12, 4$ .
2. Calculer les coordonnées du point moyen $G$ et vérifier qu'il appartient à la droite de Mayer.
3. Estimer, avec la droite de Mayer, la population en 2014. Interpolation ou extrapolation ?
4. Un tableur donne pour droite des moindres carrés $y = 0, 226 x + 12, 386$ (coefficients arrondis au millième). Comparer les estimations des deux droites pour 2030.
5. D'après la droite de Mayer, à partir de quelle année la population dépasserait-elle 18 000 habitants ?
6. Le maire annonce 21 400 habitants en 2040 pour dimensionner un nouveau collège. D'où vient ce nombre ? Discuter sa fiabilité.

1. $G_{1}$ : $x = \frac{0 + 4 + 8}{3} = 4$ et $y = \frac{12, 4 + 13, 2 + 14, 3}{3} = \frac{39, 9}{3} = 13, 3$ . $G_{2}$ : $x = \frac{12 + 16 + 20}{3} = 16$ et $y = \frac{15, 0 + 16, 2 + 16, 8}{3} = \frac{48}{3} = 16$ . Coefficient directeur : $a = \frac{16 - 13, 3}{16 - 4} = \frac{2, 7}{12} = 0, 225$ . $G_{1}$ est sur la droite : $b = 13, 3 - 0, 225 \times 4 = 13, 3 - 0, 9 = 12, 4$ . Droite de Mayer : $y = 0, 225 x + 12, 4$ .

2. $\overset{―}{x} = \frac{60}{6} = 10$ et $\overset{―}{y} = \frac{39, 9 + 48}{6} = \frac{87, 9}{6} = 14, 65$ . Or $0, 225 \times 10 + 12, 4 = 2, 25 + 12, 4 = 14, 65$ . $G (10; 14, 65)$ est sur la droite de Mayer, comme le prévoit la méthode.

3. 2014 correspond à $x = 14$ : $0, 225 \times 14 + 12, 4 = 3, 15 + 12, 4 = 15, 55$ . Environ 15 550 habitants. Comme $14 \in [0; 20]$ , c'est une interpolation.

4. 2030 correspond à $x = 30$ . Mayer : $0, 225 \times 30 + 12, 4 = 6, 75 + 12, 4 = 19, 15$ , soit 19 150 habitants. Moindres carrés : $0, 226 \times 30 + 12, 386 = 6, 78 + 12, 386 = 19, 166$ , soit environ 19 166 habitants. Les deux droites diffèrent d'environ 16 habitants : un écart négligeable devant l'incertitude d'une extrapolation à dix ans du dernier relevé.

5. On résout $0, 225 x + 12, 4 > 18$ , soit $0, 225 x > 5, 6$ , donc $x > \frac{5, 6}{0, 225} \approx 24, 9$ . Contrôle : pour $x = 24$ , $y = 17, 8$ ; pour $x = 25$ , $y = 18, 025$ . La population dépasserait 18 000 habitants à partir de 2025.

6. Pour $x = 40$ : $0, 225 \times 40 + 12, 4 = 9 + 12, 4 = 21, 4$ , d'où 21 400 habitants. C'est une extrapolation à vingt ans du dernier relevé, sur une durée égale à toute la période observée. Elle suppose une hausse constante d'environ 225 habitants par an. Or une nouvelle zone d'activité ou un programme de logements peut l'accélérer, tandis que le manque de terrains à bâtir ou le vieillissement peut la freiner. Le chiffre est un ordre de grandeur, à réviser à chaque recensement ; pour un collège, mieux vaut raisonner sur plusieurs scénarios.

Problème 4 — Le classement des lycées

Difficile

Résultats au baccalauréat de deux lycées ayant chacun 500 candidats, selon la voie.

Lycée	Générale : candidats	Générale : reçus	Technologique : candidats	Technologique : reçus
A	380	361	120	96
B	160	154	340	289

1. Calculer le taux de réussite global de chaque lycée.
2. Calculer le taux de réussite de chaque lycée dans chacune des deux voies.
3. Le lycée B fait mieux dans chaque voie mais moins bien au total. Expliquer ce paradoxe à l'aide de la répartition des candidats.
4. Montrer que le taux global du lycée B est la moyenne de ses deux taux par voie, pondérée par la part de chaque voie.
5. Calculer le taux global qu'aurait le lycée B s'il avait la même répartition de candidats que le lycée A, avec ses propres taux par voie.
6. Un magazine classe le lycée A devant le lycée B d'après le taux global. Rédiger une critique argumentée de ce classement.

1. Lycée A : $361 + 96 = 457$ reçus, $\frac{457}{500} = 0, 914$ , soit 91,4 %. Lycée B : $154 + 289 = 443$ reçus, $\frac{443}{500} = 0, 886$ , soit 88,6 %.

2. Lycée A : voie générale $\frac{361}{380} = 0, 95$ ; voie technologique $\frac{96}{120} = 0, 8$ . Lycée B : voie générale $\frac{154}{160} = 0, 9625$ ; voie technologique $\frac{289}{340} = 0, 85$ . B fait mieux dans les deux voies (96,25 % contre 95 %, 85 % contre 80 %).

3. Part de la voie générale : $\frac{380}{500} = 76$ % dans A, $\frac{160}{500} = 32$ % dans B. Dans les deux lycées, la voie générale a le meilleur taux. Le lycée A a surtout des candidats de cette voie, ce qui tire son taux global vers le haut ; le lycée B a surtout des candidats de la voie technologique, au taux plus bas. La différence de taux global vient de la composition des lycées, pas de leur efficacité.

4. Part de la voie technologique dans B : $\frac{340}{500} = 0, 68$ . Moyenne pondérée : $0, 32 \times 0, 9625 + 0, 68 \times 0, 85 = 0, 308 + 0, 578 = 0, 886$ . On retrouve 88,6 %, le taux global de B.

5. Avec 380 candidats en générale et 120 en technologique : $380 \times 0, 9625 + 120 \times 0, 85 = 365, 75 + 102 = 467, 75$ reçus « théoriques », soit $\frac{467, 75}{500} = 0, 9355$ . À structure égale, B aurait 93,55 %, devant les 91,4 % de A.

6. Le taux global mélange des voies aux taux de réussite très différents : il dépend autant de la répartition des candidats que de la qualité de l'enseignement. Comparé voie par voie, ou à structure identique (question 5), le lycée B est meilleur. Le classement du magazine est donc trompeur : il faudrait comparer les taux par voie, ou un taux corrigé de la composition, et tenir compte d'autres critères (niveau des élèves à l'entrée, taux d'accès au bac depuis la 2nde).

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