Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Statistique à deux caractères : tableaux croisés, nuage de points, ajustement affine

Moyenne, médiane, quartiles et graphiques, tableau croisé d’effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, nuage de points, point moyen, droite de Mayer, droite d’ajustement, interpolation et extrapolation, sans calculatrice.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés sans calculatrice, dans l’esprit de l’épreuve anticipée : écrans et sommeil chez 800 adolescents, loyer et surface d’appartements, population d’une commune avec la droite de Mayer, ponctualité de deux compagnies aériennes (un paradoxe des taux globaux) et le choix entre plusieurs droites d’ajustement.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère le type de données : un tableau croisé (populations de référence) ou une série à deux variables (nuage, point moyen).
J’écris le calcul avant de le faire : fraction « partie sur référence », moyennes des $x_{i}$ et des $y_{i}$ , équation $y = a x + b$ .
Je calcule à la main et je contrôle : fréquences entre $0$ et $1$ , droite passant par le point moyen $G$ .
Je conclus avec prudence : population de référence nommée, interpolation ou extrapolation, lien statistique et non causalité.

Problème 1 · Écrans et sommeil★★★Facile

Une enquête auprès de

800

adolescents croise le temps quotidien passé devant un écran (hors cours) et la durée de sommeil d’une nuit de semaine.

Temps d’écran	Moins de 7 h de sommeil	7 h de sommeil ou plus	Total
Moins de 2 h	30	170	200
De 2 h à 4 h	105	245	350
Plus de 4 h	135	115	250
Total	270	530	800

1. Fréquence marginale des adolescents qui dorment moins de $7$ h : %
$\frac{270}{800} = 0, 337 5$ , soit $33, 75 %$ .
2. Parmi les adolescents qui passent moins de $2$ h devant un écran, fréquence de ceux qui dorment moins de $7$ h : %
Référence : les $200$ adolescents de la ligne. $\frac{30}{200} = 0, 15$ , soit $15 %$ .
3. Même question pour ceux qui passent de $2$ h à $4$ h devant un écran : %
$\frac{105}{350} = 0, 3$ , soit $30 %$ .
4. Même question pour ceux qui passent plus de $4$ h devant un écran : %
$\frac{135}{250} = 0, 54$ , soit $54 %$ : la fréquence des courtes nuits augmente avec le temps d’écran ( $15 %$ , $30 %$ , $54 %$ ).
5. Moyenne simple des trois fréquences précédentes : %. Montrer que la fréquence de la première question est, elle, leur moyenne pondérée par les effectifs des catégories.
Rédaction attendue. Moyenne simple : $\frac{15 + 30 + 54}{3} = \frac{99}{3} = 33$ , soit $33 %$ , ce qui n’est pas $33, 75 %$ . Moyenne pondérée par les effectifs : $\frac{200 \times 0, 15 + 350 \times 0, 3 + 250 \times 0, 54}{800} = \frac{30 + 105 + 135}{800} = \frac{270}{800} = 0, 337 5$ : on retrouve la fréquence marginale. Chaque produit redonne l’effectif d’une case de la première colonne ; la moyenne simple donne à tort le même poids aux trois catégories.
6. Parmi les adolescents qui dorment moins de $7$ h, fréquence de ceux qui passent plus de $4$ h devant un écran : %
Référence : les $270$ « courts dormeurs ». $\frac{135}{270} = 0, 5$ : la moitié d’entre eux passent plus de $4$ h devant un écran.
7. Proportion, parmi les $800$ adolescents, de ceux qui passent plus de $4$ h devant un écran et dorment moins de $7$ h, au dixième : %
$\frac{135}{800} = 0, 168 75$ , soit environ $16, 9 %$ . Le même effectif $135$ donne trois fréquences selon la référence : $16, 9 %$ des $800$ adolescents, $54 %$ des $250$ gros utilisateurs d’écrans, $50 %$ des $270$ courts dormeurs.
8. Un site titre : « Plus d’un ado sur deux qui abuse des écrans dort mal : les écrans provoquent le manque de sommeil. » La première partie s’appuie sur la fréquence de %. Discuter les deux parties du titre.
Rédaction attendue. La première partie est exacte : parmi les adolescents à plus de $4$ h d’écran, $54 %$ dorment moins de $7$ h, soit plus d’un sur deux. La seconde ne découle pas de l’enquête : le tableau montre un lien statistique, pas une causalité. Un troisième facteur peut agir sur les deux variables (âge, stress, horaires de la famille), ou la cause peut être inversée (un adolescent qui dort mal occupe ses insomnies avec un écran). De plus, l’enquête est déclarative.

Problème 2 · Loyer et surface d’un appartement★★★Moyen

Une agence a relevé la surface

x

(en m²) et le loyer mensuel

y

(en €, charges comprises) de sept appartements d’un même quartier.

Surface $x_{i}$ (m²)	18	25	32	40	47	55	63
Loyer $y_{i}$ (€)	505	620	690	800	865	975	1 075

Un tableur donne pour la droite des moindres carrés un coefficient directeur d’environ

12, 4

. On utilise la droite

D

de coefficient directeur

12, 4

qui passe par le point moyen

G

du nuage.

1. Abscisse de $G$ : m²
$\overset{―}{x} = \frac{18 + 25 + 32 + 40 + 47 + 55 + 63}{7} = \frac{280}{7} = 40$ .
2. Ordonnée de $G$ : €
$\overset{―}{y} = \frac{505 + 620 + 690 + 800 + 865 + 975 + 1 075}{7} = \frac{5 530}{7} = 790$ , donc $G (40; 790)$ .
3. Justifier que $D$ a pour équation $y = 12, 4 x + b$ , avec $b$ égal à
Rédaction attendue. $D$ a pour coefficient directeur $12, 4$ , donc une équation de la forme $y = 12, 4 x + b$ . Elle passe par $G (40; 790)$ , donc $790 = 12, 4 \times 40 + b = 496 + b$ , d’où $b = 294$ . Ce nombre serait le loyer d’un logement de $0$ m² : c’est une extrapolation sans sens concret, il sert seulement à placer la droite.
4. D’après $D$ , écart de loyer estimé entre un appartement de $55$ m² et un appartement de $45$ m² : €
Le coefficient directeur $12, 4$ est la hausse moyenne du loyer par m² supplémentaire : pour $10$ m² de plus, $10 \times 12, 4 = 124$ € par mois.
5. Loyer estimé d’un appartement de $36$ m², arrondi à l’euro : €
$12, 4 \times 36 + 294 = 446, 4 + 294 = 740, 4$ , soit environ $740$ € (interpolation, car $36$ est entre $18$ et $63$ ).
6. Un étudiant dispose de $914$ € par mois. Surface maximale estimée qu’il peut louer : m²
On cherche $x$ tel que $12, 4 x + 294 ⩽ 914$ , soit $12, 4 x ⩽ 620$ , donc $x ⩽ \frac{620}{12, 4} = 50$ . Environ $50$ m², un ordre de grandeur : les loyers réels s’écartent de la droite de quelques dizaines d’euros.
7. Une agence utilise $D$ pour estimer le loyer d’un appartement de $150$ m² : €. Critiquer cette estimation.
Rédaction attendue. $12, 4 \times 150 + 294 = 1 860 + 294 = 2 154$ €. Le calcul est juste, mais $150$ m² est très loin de la plage observée ( $18$ à $63$ m²) : c’est une extrapolation lointaine. Les grands appartements forment un autre marché, avec un prix au mètre carré souvent différent, et aucun n’a été observé : l’estimation n’est pas fiable.

Problème 3 · Prévoir la population d’une commune★★★Moyen

Population d’une commune (en milliers d’habitants) au 1er janvier de certaines années. On note

x

le nombre d’années écoulées depuis 2000.

Année	2000	2004	2008	2012	2016	2020
$x_{i}$	0	4	8	12	16	20
$y_{i}$	12,4	13,2	14,3	15	16,2	16,8

1. Ordonnée de $G_{1}$ , point moyen des trois premiers relevés :
$G_{1}$ : $x = \frac{0 + 4 + 8}{3} = 4$ et $y = \frac{12, 4 + 13, 2 + 14, 3}{3} = \frac{39, 9}{3} = 13, 3$ .
2. Ordonnée de $G_{2}$ , point moyen des trois derniers relevés :
$G_{2}$ : $x = \frac{12 + 16 + 20}{3} = 16$ et $y = \frac{15 + 16, 2 + 16, 8}{3} = \frac{48}{3} = 16$ .
3. Montrer que la droite de Mayer a pour ordonnée à l’origine $12, 4$ et pour coefficient directeur
Rédaction attendue. $a = \frac{16 - 13, 3}{16 - 4} = \frac{2, 7}{12} = 0, 225$ . $G_{1}$ est sur la droite : $13, 3 = 0, 225 \times 4 + b = 0, 9 + b$ , donc $b = 12, 4$ . La droite de Mayer a pour équation $y = 0, 225 x + 12, 4$ .
4. Vérifier que le point moyen $G$ appartient à la droite de Mayer. Ordonnée de $G$ :
$\overset{―}{x} = \frac{60}{6} = 10$ et $\overset{―}{y} = \frac{39, 9 + 48}{6} = \frac{87, 9}{6} = 14, 65$ . Or $0, 225 \times 10 + 12, 4 = 2, 25 + 12, 4 = 14, 65$ : $G$ est sur la droite, comme le prévoit la méthode.
5. Population estimée en 2014 avec la droite de Mayer : habitants
2014 correspond à $x = 14$ : $0, 225 \times 14 + 12, 4 = 3, 15 + 12, 4 = 15, 55$ , soit environ $15 550$ habitants. Comme $14$ est entre $0$ et $20$ , c’est une interpolation.
6. Un tableur donne pour droite des moindres carrés $y = 0, 226 x + 12, 386$ . Écart entre les estimations des deux droites pour 2030 : habitants
$x = 30$ . Mayer : $0, 225 \times 30 + 12, 4 = 19, 15$ , soit $19 150$ habitants. Moindres carrés : $0, 226 \times 30 + 12, 386 = 6, 78 + 12, 386 = 19, 166$ , soit $19 166$ habitants. Écart : $16$ habitants, négligeable devant l’incertitude d’une extrapolation à dix ans du dernier relevé.
7. D’après la droite de Mayer, première année au 1er janvier de laquelle la population dépasserait $18 000$ habitants :
$0, 225 x + 12, 4 > 18$ donne $0, 225 x > 5, 6$ , soit $x > \frac{5, 6}{0, 225} \approx 24, 9$ . Contrôle : pour $x = 24$ , $y = 17, 8$ ; pour $x = 25$ , $y = 18, 025$ . La population dépasserait $18 000$ habitants en 2025.
8. Le maire annonce $21 400$ habitants en 2040 pour dimensionner un nouveau collège. Retrouver ce nombre avec la droite de Mayer et discuter sa fiabilité. Valeur de $x$ utilisée :
Rédaction attendue. 2040 correspond à $x = 40$ : $0, 225 \times 40 + 12, 4 = 9 + 12, 4 = 21, 4$ , d’où $21 400$ habitants. C’est une extrapolation à vingt ans du dernier relevé, sur une durée égale à toute la période observée : elle suppose une hausse constante d’environ $225$ habitants par an. Une nouvelle zone de logements peut l’accélérer, le manque de terrains ou le vieillissement la freiner. C’est un ordre de grandeur, à réviser à chaque recensement ; pour un collège, mieux vaut étudier plusieurs scénarios.

Problème 4 · Quelle compagnie est la plus ponctuelle ?★★★Difficile

Deux compagnies aériennes ont effectué chacune

500

vols en un mois. Le tableau donne, selon le type de vol, le nombre de vols et le nombre de vols arrivés à l’heure.

Compagnie	Courts-courriers : vols	Courts-courriers : à l’heure	Longs-courriers : vols	Longs-courriers : à l’heure
A	380	361	120	96
B	160	154	340	289

1. Taux de ponctualité global de la compagnie A : %
$361 + 96 = 457$ vols à l’heure sur $500$ : $\frac{457}{500} = 0, 914$ , soit $91, 4 %$ .
2. Taux de ponctualité global de la compagnie B : %
$154 + 289 = 443$ vols à l’heure sur $500$ : $\frac{443}{500} = 0, 886$ , soit $88, 6 %$ .
3. Taux de ponctualité de B sur les courts-courriers : %
$\frac{154}{160} = 0, 962 5$ , soit $96, 25 %$ (contre $\frac{361}{380} = 0, 95$ , soit $95 %$ , pour A).
4. Taux de ponctualité de B sur les longs-courriers : %
$\frac{289}{340} = 0, 85$ , soit $85 %$ (contre $\frac{96}{120} = 0, 8$ , soit $80 %$ , pour A). B fait mieux que A sur les deux types de vols.
5. B fait mieux sur chaque type de vol, mais moins bien au total. Expliquer ce paradoxe. Part des courts-courriers dans les vols de A : %
Rédaction attendue. Part des courts-courriers : $\frac{380}{500} = 0, 76$ , soit $76 %$ pour A, et $\frac{160}{500} = 0, 32$ , soit $32 %$ pour B. Dans les deux compagnies, les courts-courriers sont les plus ponctuels. A fait surtout des courts-courriers, ce qui tire son taux global vers le haut ; B fait surtout des longs-courriers, moins ponctuels. L’écart des taux globaux vient de la composition des vols, pas de l’efficacité des compagnies.
6. Montrer que le taux global de B est la moyenne de ses deux taux, pondérée par la part de chaque type de vol. Part des longs-courriers pour B : %
$\frac{340}{500} = 0, 68$ , soit $68 %$ . Moyenne pondérée : $0, 32 \times 0, 962 5 + 0, 68 \times 0, 85 = 0, 308 + 0, 578 = 0, 886$ : on retrouve $88, 6 %$ .
7. Taux global qu’aurait B avec la même répartition de vols que A ( $380$ courts-courriers et $120$ longs-courriers), avec ses propres taux : %
$380 \times 0, 962 5 + 120 \times 0, 85 = 365, 75 + 102 = 467, 75$ vols « à l’heure », soit $\frac{467, 75}{500} = 0, 935 5$ , c’est-à-dire $93, 55 %$ , devant les $91, 4 %$ de A.
8. Un magazine classe A devant B d’après le taux global. Rédiger une critique de ce classement. Avance de B sur A à répartition égale, en points de pourcentage :
Rédaction attendue. $93, 55 - 91, 4 = 2, 15$ points. Le taux global mélange des vols aux taux de ponctualité très différents : il dépend autant de la répartition des vols que de la qualité de la compagnie. Comparée type de vol par type de vol, ou à répartition égale, la compagnie B est la plus ponctuelle : le classement du magazine est trompeur.

Problème 5 · Choisir entre plusieurs droites d’ajustement★★★Difficile

Nombre

y

d’inscriptions (en centaines) à une application de covoiturage lors des semaines de rang

x

Semaine $x_{i}$	1	2	3	4
Inscriptions $y_{i}$ (centaines)	3	5	8	9

Deux droites sont proposées :

D_{1} : y = 2, 1 x + 1

D_{2} : y = 2 x + 1, 5

. On appelle écarts les nombres

y_{i} - (a x_{i} + b)

, différences entre valeurs observées et valeurs estimées.

1. Nombre moyen d’inscriptions par semaine, en centaines (ordonnée du point moyen $G$ ) :
$\overset{―}{x} = \frac{10}{4} = 2, 5$ et $\overset{―}{y} = \frac{3 + 5 + 8 + 9}{4} = \frac{25}{4} = 6, 25$ : $G (2, 5; 6, 25)$ .
2. Valeur de $2 x + 1, 5$ pour $x = 2, 5$ : . En déduire laquelle des deux droites passe par $G$ .
Rédaction attendue. $2 \times 2, 5 + 1, 5 = 6, 5 \neq 6, 25$ : $D_{2}$ ne passe pas par $G$ . En revanche, $2, 1 \times 2, 5 + 1 = 5, 25 + 1 = 6, 25$ : $D_{1}$ passe par $G$ .
3. Somme $S_{1}$ des carrés des écarts pour $D_{1}$ :
Estimations : $3, 1$ ; $5, 2$ ; $7, 3$ ; $9, 4$ . Écarts : $- 0, 1$ ; $- 0, 2$ ; $0, 7$ ; $- 0, 4$ . $S_{1} = 0, 01 + 0, 04 + 0, 49 + 0, 16 = 0, 7$ .
4. Somme $S_{2}$ des carrés des écarts pour $D_{2}$ :
Estimations : $3, 5$ ; $5, 5$ ; $7, 5$ ; $9, 5$ . Écarts : $- 0, 5$ ; $- 0, 5$ ; $0, 5$ ; $- 0, 5$ . $S_{2} = 4 \times 0, 25 = 1$ : $D_{1}$ est plus proche des points que $D_{2}$ .
5. Somme des écarts, sans les élever au carré, pour $D_{1}$ :
$0, 7 - 0, 1 - 0, 2 - 0, 4 = 0$ : les écarts positifs et négatifs se compensent.
6. La droite $D_{3} : y = 3 x - 1, 25$ passe aussi par $G$ , et la somme de ses écarts est nulle elle aussi. Somme $S_{3}$ des carrés de ses écarts :
Estimations : $1, 75$ ; $4, 75$ ; $7, 75$ ; $10, 75$ . Écarts : $1, 25$ ; $0, 25$ ; $0, 25$ ; $- 1, 75$ , de somme nulle. $S_{3} = 1, 562 5 + 0, 062 5 + 0, 062 5 + 3, 062 5 = 4, 75$ . Toute droite passant par $G$ a une somme d’écarts nulle : ce critère ne départage pas les droites, d’où l’usage des carrés.
7. Le tableur donne pour droite des moindres carrés $D_{1}$ . Expliquer pourquoi $S_{2} ⩾ S_{1}$ était prévisible, puis estimer le nombre d’inscriptions la semaine $6$ avec $D_{1}$ : centaines
Rédaction attendue. La droite des moindres carrés est, par définition, celle qui rend la somme des carrés des écarts la plus petite possible parmi toutes les droites ; $D_{1}$ étant cette droite, aucune autre, en particulier $D_{2}$ , ne peut avoir une somme plus petite. Semaine $6$ : $2, 1 \times 6 + 1 = 13, 6$ centaines, soit environ $1 360$ inscriptions ; c’est une extrapolation ( $6 > 4$ ), à prendre avec prudence.

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