Automatismes : taux d’évolution

Donner le coefficient multiplicateur associé à chaque évolution (exemple : 1,05).

1. Une baisse de $24\%$ : $CM=$
   $CM=1-0,24=0,76$.
2. Une hausse de $4,2\%$ : $CM=$
   $4,2\%=0,042$, donc $CM=1+0,042=1,042$.
3. Une hausse de $140\%$ : $CM=$
   $CM=1+1,40=2,4$. Une hausse de $140\%$ multiplie la grandeur par $2,4$ : elle fait plus que doubler.
4. Une baisse de $0,8\%$ : $CM=$
   $0,8\%=0,008$ (et non $0,08$), donc $CM=1-0,008=0,992$.

Donner le taux d’évolution associé à chaque coefficient, en pourcentage (nombre négatif pour une baisse).

1. $CM=0,94$ : taux %
   $t=0,94-1=-0,06$ : baisse de $6\%$.
2. $CM=1,0125$ : taux %
   $t=1,0125-1=0,0125$ : hausse de $1,25\%$.
3. $CM=0,5$ : taux %
   $t=0,5-1=-0,5$ : baisse de $50\%$, la grandeur est divisée par $2$.
4. $CM=2,7$ : taux %
   $t=2,7-1=1,7$ : hausse de $170\%$. Multiplier par $2,7$ n’est pas augmenter de $270\%$.

Calculer le taux d’évolution entre la première et la seconde valeur, en pourcentage (nombre négatif pour une baisse).

1. Le nombre de repas servis par une cantine scolaire passe de $1750$ à $1925$ : %
   Variation : $1925-1750=175$. Taux : $t={\displaystyle \frac{175}{1750}}=0,1$. Le nombre de repas a augmenté de $10\%$.
2. La masse d’un échantillon passe de $72,5$ g à $65,25$ g : %
   Variation : $65,25-72,5=-7,25$. Taux : $t={\displaystyle \frac{-7,25}{72,5}}=-0,1$. La masse a diminué de $10\%$ (directement : $CM={\displaystyle \frac{65,25}{72,5}}=0,9$).
3. Le prix d’un billet de train passe de $78$ € à $81,90$ € : %
   Variation : $81,90-78=3,90$ €. Taux : $t={\displaystyle \frac{3,90}{78}}=0,05$ ($78\times 0,05=3,90$). Le prix a augmenté de $5\%$.
4. Le loyer d’un studio passe de $800$ € à $780$ € : %
   Variation : $780-800=-20$ €. Taux : $t={\displaystyle \frac{-20}{800}}=-0,025$. Le loyer a baissé de $2,5\%$.
5. Le taux de remplissage d’un parking passe de $60\%$ à $75\%$. En points de pourcentage, il gagne points.
   $75-60=15$ : le taux de remplissage gagne $15$ points de pourcentage. Son taux d’évolution, lui, vaut ${\displaystyle \frac{15}{60}}=0,25$, soit une hausse de $25\%$.

Dans un commerce, le taux de marge est passé de $12,5\%$ à $14\%$ en un an.

1. Taux d’évolution du taux de marge : %
   La grandeur qui évolue est le taux de marge, de valeur de départ $12,5$ et de valeur d’arrivée $14$. $t={\displaystyle \frac{14-12,5}{12,5}}={\displaystyle \frac{1,5}{12,5}}=0,12$ : hausse de $12\%$. Le taux de marge a par ailleurs gagné $14-12,5=1,5$ point de pourcentage.
2. Un élève répond : « le taux de marge a augmenté de $1,5\%$ ». Justifier qu’il se trompe en calculant ce que deviendrait un taux de $12,5\%$ augmenté de $1,5\%$ : %
   Rédaction attendue. Augmenter $12,5$ de $1,5\%$, c’est le multiplier par $1,015$ : $12,5\times 1,015=12,5+0,1875=12,6875$. On obtiendrait un taux de marge de $12,6875\%$, et non de $14\%$ : l’affirmation de l’élève est fausse. Il confond la différence des deux pourcentages ($1,5$ point) avec le taux d’évolution du taux de marge ($+12\%$). La formulation correcte est : « le taux de marge a gagné $1,5$ point, soit une hausse de $12\%$ ».
3. L’année suivante, le taux de marge augmente encore de $12\%$. Nouveau taux de marge : %
   La grandeur qui évolue est le taux de marge, de valeur de départ $14$ : $14\times 1,12=14+1,68=15,68$. Le taux de marge passe à $15,68\%$ : il gagne cette fois $1,68$ point, pour le même taux d’évolution de $12\%$.

Calculer la valeur après l’évolution, sans calculatrice.

1. Un loyer de $750$ € augmente de $2\%$. Nouveau loyer : €
   $CM=1,02$ : $750\times 1,02=765$ € ($2\%$ de $750$ vaut $15$).
2. Un stock de $1200$ pièces baisse de $35\%$. Nouveau stock : pièces
   $CM=0,65$ : $1200\times 0,65=780$ pièces.
3. Un prix de $48$ € augmente de $12,5\%$. Nouveau prix : €
   $12,5\%={\displaystyle \frac{1}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{48}{8}}=6$, donc $48\times 1,125=48+6=54$ €.
4. Une commune de $3500$ habitants perd $4\%$ de ses habitants. Nouvelle population : habitants
   $CM=0,96$ : $3500\times 0,96=3360$ habitants ($4\%$ de $3500$ vaut $140$).

Retrouver la valeur avant l’évolution.

1. Après une hausse de $20\%$, un prix vaut $66$ €. Prix avant la hausse : €
   $x\times 1,2=66$, donc $x={\displaystyle \frac{66}{1,2}}=55$ €. Contrôle : $55\times 1,2=66$.
2. Après une baisse de $25\%$, un stock compte $360$ unités. Stock avant la baisse : unités
   $x\times 0,75=360$, donc $x={\displaystyle \frac{360}{0,75}}=480$ unités (les trois quarts de $480$ font $360$).
3. Après une hausse de $150\%$, un site reçoit $8000$ visiteurs par jour. Visiteurs par jour avant la hausse :
   $CM=1+1,5=2,5$, donc $x={\displaystyle \frac{8000}{2,5}}=3200$ visiteurs par jour.
4. Après une baisse de $8\%$, un trajet dure $46$ min. Durée avant la baisse : min
   $CM=0,92$, donc $x={\displaystyle \frac{46}{0,92}}={\displaystyle \frac{4600}{92}}=50$ min.

Arrondir à l’unité lorsque la grandeur est un nombre d’habitants.

1. Un abonnement annuel de $1460$ € augmente de $7,5\%$. Nouveau montant : €
   $CM=1+0,075=1,075$, donc le montant devient $1460\times 1,075=1569,50$ € ($7,5\%$ de $1460$ vaut $146-36,5=109,5$).
2. Une commune de $24600$ habitants perd $2,4\%$ de sa population. Nouvelle population : habitants
   $CM=1-0,024=0,976$, donc la population devient $24600\times 0,976=24009,6$, soit environ $24010$ habitants.
3. Après une baisse de $12\%$, un article est vendu $396$ €. Prix avant la baisse : €
   Soit $x$ le prix initial : $x\times 0,88=396$, donc $x={\displaystyle \frac{396}{0,88}}={\displaystyle \frac{39600}{88}}=450$ €. Contrôle : $450\times 0,88=396$.
4. Un vendeur ajoute $12\%$ à $396$ € pour retrouver le prix d’avant la baisse. Il obtient €, ce qui ne redonne pas le prix de départ.
   $396\times 1,12=443,52$ €, alors que le prix avant la baisse était $450$ € : la baisse de $12\%$ portait sur $450$ €, pas sur $396$ €.

Après une hausse de $8\%$, un loyer mensuel vaut $702$ €. Pour retrouver l’ancien loyer, un locataire calcule $702\times 0,92$.

1. Résultat du calcul du locataire : €
   $702\times 0,92=702-56,16=645,84$ €.
2. Justifier que ce calcul est faux, puis donner l’ancien loyer : €
   Rédaction attendue. Notons $x$ l’ancien loyer. La hausse de $8\%$ s’écrit $x\times 1,08=702$, donc $x={\displaystyle \frac{702}{1,08}}={\displaystyle \frac{70200}{108}}=650$ €. Contrôle : $650\times 1,08=650+52=702$. Le locataire retire $8\%$ de $702$ €, alors que les $8\%$ portaient sur l’ancien loyer : d’ailleurs $645,84\times 1,08=697,5072$, pas $702$. L’ancien loyer était de $650$ €.
3. Montant de la hausse, en euros : €
   Variation absolue : $702-650=52$ €, c’est-à-dire $8\%$ de $650$ €.

Donner le taux d’évolution global, en pourcentage (nombre négatif pour une baisse).

1. Une hausse de $10\%$ puis une hausse de $20\%$ : %
   $1,1\times 1,2=1,32$, soit une hausse de $32\%$ (et non de $30\%$).
2. Une baisse de $20\%$ puis une baisse de $10\%$ : %
   $0,8\times 0,9=0,72$, soit une baisse de $28\%$ (et non de $30\%$).
3. Une hausse de $50\%$ puis une baisse de $40\%$ : %
   $1,5\times 0,6=0,9$, soit une baisse de $10\%$.
4. Deux hausses successives de $5\%$ : %
   $1,{05}^2=1,05\times 1,05=1,1025$, soit une hausse de $10,25\%$.

Un capital de $2000$ € placé sur trois ans augmente de $4\%$ la première année, de $7\%$ la deuxième, puis diminue de $5\%$ la troisième.

1. Coefficient multiplicateur de la troisième année :
   Les coefficients sont $1,04$, $1,07$ et $1-0,05=0,95$.
2. Coefficient multiplicateur global sur les trois ans (valeur exacte) :
   Les évolutions sont successives, donc les coefficients se multiplient : $1,04\times 1,07=1,1128$, puis $1,1128\times 0,95=1,05716$.
3. Taux d’évolution global, arrondi au centième de pourcent : %
   $t=1,05716-1=0,05716$, soit une hausse d’environ $5,72\%$ sur les trois ans. Additionner les taux ($4+7-5=6\%$) donnerait un résultat faux.
4. Capital au bout de trois ans : €
   $2000\times 1,05716=2114,32$ €.

Une grandeur subit deux évolutions successives. Déterminer le taux de la seconde, en pourcentage (nombre négatif pour une baisse).

1. Une baisse de $18\%$, puis une évolution inconnue ; globalement, la grandeur a augmenté de $2,5\%$ : %
   Premier coefficient $0,82$, coefficient global $1,025$. En notant $C{M}_2$ le coefficient cherché : $0,82\times C{M}_2=1,025$, donc $C{M}_2={\displaystyle \frac{1,025}{0,82}}=1,25$. La seconde évolution est une hausse de $25\%$.
2. Une baisse de $5\%$, puis une évolution inconnue ; globalement, la grandeur a baissé de $12,6\%$ : %
   Coefficient global : $1-0,126=0,874$. On résout $0,95\times C{M}_2=0,874$, donc $C{M}_2={\displaystyle \frac{0,874}{0,95}}=0,92$. La seconde évolution est une baisse de $8\%$. Contrôle : $0,95\times 0,92=0,874$.

Une grandeur strictement positive augmente de $t$, puis diminue de $t$, où $t$ est un réel strictement compris entre $0$ et $1$ (taux écrit en décimal). Un taux en pourcentage s’écrit avec un nombre négatif pour une baisse.

1. Cas $t=0,35$ : taux d’évolution global %
   $CM=1,35\times 0,65=0,8775$, donc le taux global vaut $0,8775-1=-0,1225$ : la grandeur a baissé de $12,25\%$.
2. Justifier que le coefficient global vaut $1-t^2$ et que la grandeur finit toujours en dessous de sa valeur de départ. Pour $t=0,15$, ce coefficient vaut
   Rédaction attendue. Les deux évolutions sont successives, de coefficients $1+t$ et $1-t$ : le coefficient global vaut $(1+t)(1-t)=1-t^2$ (identité remarquable). Comme $0<t<1$, on a $t^2>0$, donc $1-t^2<1$ : la valeur finale est strictement inférieure à la valeur de départ, et ce résultat ne dépend pas de l’ordre des deux évolutions. Pour $t=0,15$ : $1-0,{15}^2=1-0,0225=0,9775$.
3. Valeur de $t$ pour laquelle la baisse globale est exactement de $9\%$ : $t=$
   Une baisse globale de $9\%$ signifie $1-t^2=0,91$, donc $t^2=0,09$ et, comme $t>0$, $t=0,3$. Une hausse de $30\%$ suivie d’une baisse de $30\%$ fait perdre $9\%$.

Donner le taux de l’évolution réciproque, en pourcentage (nombre négatif pour une baisse).

1. Réciproque d’une baisse de $75\%$ : %
   $CM=0,25$, donc $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{0,25}}=4$ et $t\prime =4-1=3$ : il faut une hausse de $300\%$.
2. Réciproque d’une hausse de $400\%$ : %
   $CM=5$, donc $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{5}}=0,2$ et $t\prime =0,2-1=-0,8$ : il faut une baisse de $80\%$.
3. Réciproque d’une baisse de $90\%$ : %
   $CM=0,1$, donc $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{0,1}}=10$ et $t\prime =10-1=9$ : il faut une hausse de $900\%$.

Arrondir les taux au centième de pourcent (nombre négatif pour une baisse). On donne : $1÷1,45\approx 0,68966$ et $1÷0,84\approx 1,19048$.

1. Un tarif a augmenté de $45\%$. Taux de l’évolution qui ramène au tarif initial : %
   $CM=1,45$, donc $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{1,45}}\approx 0,68966$ et $t\prime \approx -0,31034$ : il faut une baisse d’environ $31,03\%$.
2. Une production a baissé de $16\%$. Taux de l’évolution réciproque : %
   $CM=0,84$, donc $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{0,84}}\approx 1,19048$ et $t\prime \approx 0,19048$ : il faut une hausse d’environ $19,05\%$.
3. Montrer que l’évolution réciproque d’une hausse de $100\%$ est une baisse de $50\%$. Coefficient de cette évolution réciproque :
   Rédaction attendue. Une hausse de $100\%$ correspond au coefficient $CM=1+1=2$. L’évolution réciproque a pour coefficient $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{2}}=0,5$, donc $t\prime =0,5-1=-0,5$ : c’est bien une baisse de $50\%$. Ce qui a doublé doit être divisé par $2$ pour revenir à sa valeur initiale.

Le cours d’une action baisse de $20\%$ un mois, puis de $25\%$ le mois suivant. Taux en pourcentage, nombre négatif pour une baisse.

1. Taux d’évolution global sur les deux mois : %
   $0,8\times 0,75=0,6$, donc $t=-0,4$ : l’action a perdu $40\%$ (et non $45\%$).
2. Taux de la hausse qui ramènerait l’action à sa valeur de départ, arrondi au centième de pourcent : %
   C’est la réciproque de l’évolution globale : $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{0,6}}={\displaystyle \frac{5}{3}}\approx 1,6667$, donc $t\prime \approx 0,6667$ : il faut une hausse d’environ $66,67\%$.
3. Un actionnaire pense qu’une hausse de $40\%$ suffit. Avec cette hausse, l’action retrouverait seulement % de sa valeur de départ.
   $0,6\times 1,4=0,84$ : l’action ne vaudrait que $84\%$ de sa valeur de départ. Une hausse de $40\%$ porte sur une valeur déjà réduite, elle ne compense pas une baisse de $40\%$.

Un article coûte $200$ €. Son prix augmente de $9\%$, puis baisse de $11\%$, puis augmente de $2\%$. Arrondir les prix au centime et les taux au centième de pourcent (nombre négatif pour une baisse).

1. Coefficient multiplicateur global, sans l’arrondir :
   $CM=1,09\times 0,89\times 1,02$. On calcule $1,09\times 0,89=0,9701$, puis $0,9701\times 1,02=0,989502$.
2. Taux d’évolution global : %
   $t=0,989502-1=-0,010498$, soit une baisse d’environ $1,05\%$. Malgré deux hausses et une seule baisse, le prix a diminué : la baisse de $11\%$ porte sur un prix déjà augmenté.
3. Prix final de l’article : €
   $200\times 0,989502=197,9004$, soit $197,90$ €.
4. Pour revenir à $200$ €, un vendeur augmente le prix final de $1,05\%$. Prix obtenu : €. Justifier que cette hausse ne suffit pas.
   Rédaction attendue. $197,90\times 1,0105=197,90+2,07795=199,97795$, soit $199,98$ €, moins que $200$ € : la hausse de $1,05\%$ ne suffit pas. L’évolution qui ramène le prix à $200$ € est la réciproque de l’évolution globale, de coefficient ${\displaystyle \frac{1}{0,989502}}$, c’est-à-dire environ ${\displaystyle \frac{200}{197,90}}=1+{\displaystyle \frac{2,10}{197,90}}\approx 1,0106$ : il faudrait une hausse d’environ $1,06\%$. Le taux réciproque n’est pas l’opposé du taux global, car la hausse porte sur un prix plus bas que $200$ €.