Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Automatismes : proportions et pourcentages

Proportion d’une sous-population, écritures décimale, fractionnaire et en pourcentage, population de référence, pourcentage d’une quantité, partie et tout, pourcentage de pourcentage, sans calculatrice.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés sans calculatrice, dans l’esprit de la deuxième partie de l’épreuve anticipée : le mode de transport des élèves d’un lycée, les cadres d’une entreprise sur deux sites, les utilisateurs d’une application et d’un site web, le budget d’un festival et l’origine des composants défectueux d’une livraison.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère les populations : l’ensemble de référence, les sous-populations, et celles qui sont emboîtées (« parmi », « de ces »).
Je traduis chaque pourcentage en coefficient et j’écris l’égalité partie = proportion × tout avant de calculer.
Je calcule à la main : je simplifie les fractions et je combine des pourcentages simples (10 %, 5 %, 25 %, 50 %).
Je contrôle (proportion entre 0 et 1, partage qui totalise 100 %, proportion de proportion plus petite) et je réponds par une phrase.

Problème 1 · Comment les élèves viennent-ils au lycée ?★★★Facile

Un lycée de

1 200

élèves enquête sur le mode de déplacement principal de ses élèves. Les résultats sont dans le tableau ci-dessous.

	Transports en commun	Vélo	Autre	Total
Seconde	240	120	120	480
Première	210	60	90	360
Terminale	180	60	120	360
Total	630	240	330	1 200

1. Proportion d’élèves de première dans le lycée : %
Référence : les $1 200$ élèves. $\frac{360}{1 200} = \frac{3}{10}$ , soit $30 %$ .
2. Proportion d’élèves venant à vélo, parmi tous les élèves du lycée : %
Total de la colonne « Vélo » : $240$ . $\frac{240}{1 200} = \frac{1}{5}$ , soit $20 %$ .
3. Parmi les élèves de seconde, proportion venant à vélo : %
La référence change : les $480$ élèves de seconde. $\frac{120}{480} = \frac{1}{4}$ , soit $25 %$ : les élèves de seconde viennent plus souvent à vélo que l’ensemble du lycée.
4. Justifier que la proportion, dans tout le lycée, des élèves de seconde venant à vélo est le produit de la proportion d’élèves de seconde par la proportion de cyclistes parmi les élèves de seconde. Cette proportion vaut %
Rédaction attendue. Directement : $\frac{120}{1 200} = 0, 1$ , soit $10 %$ . Par ailleurs, la proportion d’élèves de seconde est $\frac{480}{1 200} = 0, 4$ , et la proportion de cyclistes parmi eux est $0, 25$ . Leur produit vaut $0, 25 \times 0, 4 = 0, 1$ : on retrouve $10 %$ . C’est la propriété $p_{A / E} = p_{A / B} \times p_{B / E}$ , avec $B$ l’ensemble des élèves de seconde.
5. Le proviseur affirme : « plus d’un élève sur deux vient en transports en commun ». Proportion d’élèves venant en transports en commun : %. A-t-il raison ?
$\frac{630}{1 200} = 0, 525$ , soit $52, 5 %$ des élèves. C’est plus que $50 %$ : le proviseur a raison.

Problème 2 · Les cadres d’une entreprise sur deux sites★★★Moyen

Une entreprise emploie

2 400

salariés sur deux sites.

35 %

des salariés travaillent sur le site nord, les autres sur le site sud. Sur le site nord,

25 %

des salariés sont cadres ; sur le site sud, ils sont

15 %

1. Nombre de salariés du site nord :
$0, 35 \times 2 400 = 840$ salariés (et donc $2 400 - 840 = 1 560$ sur le site sud).
2. Nombre total de cadres de l’entreprise :
Site nord : $0, 25 \times 840 = 210$ cadres. Site sud : $0, 15 \times 1 560 = 234$ cadres. Total : $210 + 234 = 444$ cadres.
3. Montrer que la proportion de cadres dans l’entreprise vaut %, puis retrouver ce résultat sans utiliser les effectifs.
Rédaction attendue. Avec les effectifs : $\frac{444}{2 400} = 0, 185$ , soit $18, 5 %$ . Sans les effectifs : les cadres du nord représentent $0, 25 \times 0, 35 = 0, 087 5$ des salariés et ceux du sud $0, 15 \times 0, 65 = 0, 097 5$ ; au total $0, 087 5 + 0, 097 5 = 0, 185$ . Le résultat est bien compris entre $15 %$ et $25 %$ .
4. La moitié du nombre de cadres vaut . En déduire si plus de la moitié des cadres travaillent sur le site sud.
$444 \div 2 = 222$ . Le site sud compte $234$ cadres, et $234 > 222$ : plus de la moitié des cadres travaillent sur le site sud, alors que le site nord a la plus forte proportion de cadres.
5. L’entreprise veut atteindre $20 %$ de cadres en recrutant uniquement des cadres, l’effectif total augmentant d’autant. Nombre de cadres à recruter :
Notons $x$ le nombre de cadres recrutés. On cherche $x$ tel que $444 + x = 0, 2 \times (2 400 + x)$ , soit $444 + x = 480 + 0, 2 x$ , d’où $0, 8 x = 36$ et $x = 45$ . Contrôle : $489$ cadres sur $2 445$ salariés, et $0, 2 \times 2 445 = 489$ .

Problème 3 · Application ou site web ?★★★Moyen

Une plateforme interroge

5 600

utilisateurs :

2 380

utilisent l’application mobile,

3 640

le site web, et

700

utilisent les deux. Par ailleurs,

45 %

des personnes interrogées ont moins de

25

ans et, parmi elles,

60 %

utilisent l’application mobile.

1. Proportion de personnes qui utilisent au moins un des deux services : %
$2 380 + 3 640 - 700 = 5 320$ utilisateurs (les $700$ utilisateurs des deux services ne sont comptés qu’une fois). $\frac{5 320}{5 600} = 0, 95$ , soit $95 %$ .
2. Proportion de personnes qui n’utilisent aucun des deux services : %
C’est le complémentaire : $1 - 0, 95 = 0, 05$ , soit $5 %$ des personnes interrogées ( $280$ personnes).
3. Un responsable s’étonne : « $42, 5 %$ des personnes utilisent l’application et $65 %$ le site, cela fait plus de $100 %$ ». La somme de ces deux pourcentages vaut %. Expliquer.
Rédaction attendue. $\frac{2 380}{5 600} = 0, 425$ et $\frac{3 640}{5 600} = 0, 65$ ; leur somme vaut $107, 5 %$ . Il n’y a pas de contradiction : les deux groupes se chevauchent. Les $700$ utilisateurs des deux services, soit $\frac{700}{5 600} = 12, 5 %$ des personnes, sont comptés deux fois : $107, 5 - 12, 5 = 95$ , on retrouve les $95 %$ de la première question.
4. Nombre de personnes de moins de $25$ ans qui utilisent l’application mobile :
Moins de $25$ ans : $0, 45 \times 5 600 = 2 520$ . Parmi eux : $0, 6 \times 2 520 = 1 512$ utilisateurs de l’application (soit $27 %$ des personnes interrogées, car $0, 6 \times 0, 45 = 0, 27$ ).
5. $60 %$ de $2 380$ vaut . Parmi les utilisateurs de l’application, la proportion de moins de $25$ ans dépasse-t-elle $60 %$ ?
$0, 6 \times 2 380 = 1 428$ . Or $1 512$ utilisateurs de l’application ont moins de $25$ ans, et $1 512 > 1 428$ : parmi les utilisateurs de l’application, la proportion de moins de $25$ ans dépasse $60 %$ . Ce n’est pas la même question que « parmi les moins de $25$ ans, $60 %$ utilisent l’application » : le dénominateur a changé.

Problème 4 · Le budget d’un festival★★★Moyen

Le budget d’un festival est de

48 000

€. Les artistes en reçoivent

35 %

, la technique le cinquième, la sécurité la proportion

0, 15

, et le reste va à la communication.

40 %

de la part des artistes revient aux artistes venus de l’étranger.

1. Part du budget consacrée à la technique, en pourcentage : %
Le cinquième, c’est $\frac{1}{5} = 0, 2$ , soit $20 %$ .
2. Justifier que la communication reçoit plus du quart du budget. Elle en reçoit %
Rédaction attendue. Les quatre postes se partagent le budget, donc leurs parts totalisent $100 %$ . La sécurité reçoit $0, 15 = 15 %$ . Communication : $100 - 35 - 20 - 15 = 30$ , soit $30 %$ , ce qui est plus que le quart ( $25 %$ ).
3. Montant reçu par les artistes : €
$0, 35 \times 48 000 = 16 800$ €. Sans calculatrice : $10 %$ vaut $4 800$ , donc $30 %$ vaut $14 400$ , $5 %$ vaut $2 400$ , et $14 400 + 2 400 = 16 800$ .
4. Part du budget total revenant aux artistes venus de l’étranger : %
Pourcentage de pourcentage : $0, 40 \times 0, 35 = 0, 14$ , soit $14 %$ du budget (c’est-à-dire $0, 4 \times 16 800 = 6 720$ €).
5. L’an prochain, la technique recevra $13 500$ €, soit $27 %$ du nouveau budget. Montant du nouveau budget : €
On divise la partie par la proportion : $\frac{13 500}{0, 27} = \frac{1 350 000}{27} = 50 000$ €. Contrôle : $0, 27 \times 50 000 = 13 500$ .

Problème 5 · D’où viennent les composants défectueux ?★★★Difficile

Un assembleur reçoit une livraison de

3 500

composants :

60 %

viennent du fournisseur F1, le reste du fournisseur F2. Parmi les composants de F1,

2 %

sont défectueux ; parmi ceux de F2,

4, 5 %

1. Nombre de composants défectueux venant de F1 :
F1 fournit $0, 6 \times 3 500 = 2 100$ composants, dont $0, 02 \times 2 100 = 42$ défectueux.
2. Nombre de composants défectueux venant de F2 :
F2 fournit $3 500 - 2 100 = 1 400$ composants, dont $0, 045 \times 1 400 = 63$ défectueux.
3. Montrer que la livraison contient exactement % de composants défectueux.
Rédaction attendue. La livraison contient $42 + 63 = 105$ composants défectueux sur $3 500$ , soit $\frac{105}{3 500} = 0, 03$ , c’est-à-dire $3 %$ . Autre calcul : $0, 6 \times 0, 02 + 0, 4 \times 0, 045 = 0, 012 + 0, 018 = 0, 03$ .
4. Parmi les composants défectueux, proportion venant de F2 : %
Référence : les $105$ composants défectueux. $\frac{63}{105} = \frac{3}{5}$ , soit $60 %$ . F2 ne fournit que $40 %$ des composants mais $60 %$ des défauts : son taux de défauts est plus de deux fois celui de F1.
5. On garde $3 500$ composants et les mêmes taux de défauts, mais la part de F1 devient $x$ (avec $0 ⩽ x ⩽ 1$ ) ; la proportion de défectueux est alors $f (x) = 0, 02 x + 0, 045 (1 - x)$ . Justifier que $f (x) = 0, 045 - 0, 025 x$ , puis donner la valeur de $x$ au-delà de laquelle la proportion de défectueux passe sous $2, 5 %$ :
Rédaction attendue. Les composants de F1 représentent la part $x$ et ceux de F2 la part $1 - x$ ; en pondérant les deux taux de défauts : $f (x) = 0, 02 x + 0, 045 (1 - x) = 0, 02 x + 0, 045 - 0, 045 x = 0, 045 - 0, 025 x$ . Puis $f (x) < 0, 025$ équivaut à $0, 045 - 0, 025 x < 0, 025$ , soit $0, 02 < 0, 025 x$ , c’est-à-dire $x > 0, 8$ : la part de F1 doit dépasser $80 %$ .
6. Un technicien affirme : « si la part de F2 double, la proportion de défauts double aussi ». La part de F2 passe de $40 %$ à $80 %$ : la proportion de défauts vaut alors %. L’affirmation est-elle vraie ?
Si la part de F2 vaut $0, 8$ , alors $x = 0, 2$ et $f (0, 2) = 0, 045 - 0, 025 \times 0, 2 = 0, 04$ , soit $4 %$ . La proportion passe de $3 %$ à $4 %$ : elle ne double pas (ce serait $6 %$ ). L’affirmation est fausse, car les composants de F1 apportent toujours leurs propres défauts.

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