Ressources · 1ʳᵉ · Maths sans spécialité

Automatismes : taux d’évolution

Variation absolue, taux d’évolution et coefficient multiplicateur, points de pourcentage, valeur finale ou initiale, évolutions successives et évolution réciproque, sans calculatrice.

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés sans calculatrice, dans l’esprit de la deuxième partie de l’épreuve anticipée : les abonnés d’une médiathèque, deux remises successives sur un blouson, la consommation d’électricité d’un site industriel, une machine qui perd 15 % de sa valeur chaque année et un programme Python qui cumule des évolutions.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je repère les valeurs : la valeur de départ, la valeur d’arrivée, et ce que l’on cherche (une valeur, un coefficient ou un taux).
Je traduis chaque évolution en coefficient multiplicateur (1 + t pour une hausse, 1 − t pour une baisse) et j’écris l’égalité arrivée = coefficient × départ.
Je multiplie ou je divise : produit des coefficients pour des évolutions successives, division pour une valeur de départ, un taux manquant ou une évolution réciproque ; j’utilise les valeurs données par l’énoncé.
Je reviens au taux (t = CM − 1), j’arrondis seulement à la fin et je conclus par une phrase avec « hausse » ou « baisse ».

Problème 1 · Les abonnés d’une médiathèque★★★Facile

Une médiathèque comptait

1 600

abonnés en 2022. En 2023, le nombre d’abonnés a augmenté de

15 %

; en 2024, il est passé à

1 748

abonnés.

1. Nombre d’abonnés en 2023 :
$C M = 1, 15$ : $1 600 \times 1, 15 = 1 840$ abonnés ( $15 %$ de $1 600$ vaut $240$ ).
2. Taux d’évolution du nombre d’abonnés entre 2023 et 2024 : % (nombre négatif pour une baisse)
$t = \frac{1 748 - 1 840}{1 840} = \frac{- 92}{1 840} = - 0, 05$ : baisse de $5 %$ ( $10 %$ de $1 840$ vaut $184$ , et $92$ en est la moitié).
3. Variation absolue du nombre d’abonnés entre 2022 et 2024 : abonnés
$1 748 - 1 600 = 148$ abonnés de plus.
4. Montrer de deux façons que le taux d’évolution entre 2022 et 2024 vaut %
Rédaction attendue. Avec les valeurs : $C M = \frac{1 748}{1 600} = 1, 092 5$ (en effet $1 748 \div 16 = 109, 25$ ). Avec les évolutions successives : $1, 15 \times 0, 95 = 1, 092 5$ . Dans les deux cas, $t = 1, 092 5 - 1 = 0, 092 5$ : le nombre d’abonnés a augmenté de $9, 25 %$ entre 2022 et 2024, et non de $15 - 5 = 10 %$ .
5. La médiathèque vise $2 185$ abonnés en 2025. Taux d’évolution nécessaire entre 2024 et 2025 : %
$C M = \frac{2 185}{1 748} = 1, 25$ (contrôle : $1 748 \times 1, 25 = 1 748 + 437 = 2 185$ ) : il faut une hausse de $25 %$ .

Problème 2 · Deux remises successives★★★Moyen

Un magasin de sport affiche un blouson à

148

€. Pendant les soldes, il applique une première remise de

30 %

sur le prix affiché, puis, en caisse, une remise supplémentaire de

20 %

sur le prix déjà soldé. Arrondir les taux au centième de pourcent.

1. Prix après la première remise : €
Une remise de $30 %$ correspond au coefficient $0, 7$ : $148 \times 0, 7 = 103, 60$ €.
2. Prix payé en caisse : €
La seconde remise s’applique au prix soldé, avec le coefficient $0, 8$ : $103, 60 \times 0, 8 = 82, 88$ €.
3. Taux de remise global, justifié par les coefficients : remise de %
Les deux remises sont successives : $C M = 0, 7 \times 0, 8 = 0, 56$ , donc $t = 0, 56 - 1 = - 0, 44$ . La remise globale est de $44 %$ . Contrôle : $148 \times 0, 56 = 82, 88$ €.
4. Un client affirme : « $30 %$ puis $20 %$ , cela fait $50 %$ de remise ». Expliquer son erreur, puis donner l’écart, en euros, entre le prix qu’il attend et le prix réel : €
Rédaction attendue. Le client additionne les taux. Or la seconde remise ne porte pas sur $148$ € mais sur $103, 60$ €, un prix déjà réduit : elle rapporte moins que si elle portait sur le prix affiché, et les coefficients se multiplient ( $0, 56$ , soit $44 %$ de remise). Avec $50 %$ de remise, il paierait $148 \times 0, 5 = 74$ €. L’écart avec le prix réel est $82, 88 - 74 = 8, 88$ €.
5. Quel prix affiché faudrait-il pour payer $70$ € en caisse avec les deux mêmes remises ? €
On cherche $x$ tel que $x \times 0, 56 = 70$ , donc $x = \frac{70}{0, 56} = \frac{7 000}{56} = 125$ €.
6. Le magasin veut porter la remise globale à $50 %$ en gardant la première remise de $30 %$ . Taux de la seconde remise : %
On cherche $C M_{2}$ tel que $0, 7 \times C M_{2} = 0, 5$ : $C M_{2} = \frac{0, 5}{0, 7} = \frac{5}{7} \approx 0, 714 29$ (on pose $5 \div 7$ ), donc $t_{2} \approx - 0, 285 71$ . La seconde remise devrait être d’environ $28, 57 %$ , et non de $20 %$ .

Problème 3 · Consommation d’électricité d’un site industriel★★★Moyen

La consommation d’électricité d’un site industriel était de

1 180

MWh au 4^e trimestre 2025. Le tableau donne les taux d’évolution trimestriels relevés en 2026.

Trimestre	T1	T2	T3	T4
Taux d’évolution	$+ 12 %$	$- 7 %$	$+ 3, 5 %$	$- 1, 5 %$

Arrondir les consommations au dixième de MWh et les taux au centième de pourcent. On donne :

1, 041 6 \times 1, 035 = 1, 078 056

;

1, 078 056 \times 0, 985 \approx 1, 061 885

;

1 \div 1, 078 056 \approx 0, 927 60

1. Coefficient multiplicateur du deuxième trimestre :
On applique $C M = 1 + t$ : T1 : $1, 12$ ; T2 : $1 - 0, 07 = 0, 93$ ; T3 : $1, 035$ ; T4 : $1 - 0, 015 = 0, 985$ .
2. Consommation à la fin du deuxième trimestre 2026 : MWh
Les deux premières évolutions sont successives : $C M = 1, 12 \times 0, 93 = 1, 041 6$ . Consommation : $1 180 \times 1, 041 6 = 1 229, 088$ , soit environ $1 229, 1$ MWh.
3. Taux d’évolution de la consommation sur l’année 2026 : %
Coefficient annuel : $C M = 1, 12 \times 0, 93 \times 1, 035 \times 0, 985 = 1, 041 6 \times 1, 035 \times 0, 985 \approx 1, 061 885$ (valeurs données). Le taux annuel vaut $t \approx 0, 061 885$ , soit une hausse d’environ $6, 19 %$ .
4. Le directeur visait une baisse de $4 %$ sur l’année. Consommation visée en fin d’année : MWh. L’objectif est-il atteint ?
Une baisse de $4 %$ correspond au coefficient $0, 96$ : $1 180 \times 0, 96 = 1 132, 8$ MWh. Or le coefficient obtenu, environ $1, 061 9$ , est supérieur à $1$ : la consommation a augmenté (environ $1 180 \times 1, 061 885 \approx 1 253, 0$ MWh). L’objectif n’est pas atteint.
5. Taux d’évolution qu’il aurait fallu au quatrième trimestre pour finir l’année exactement à $1 180$ MWh : % (nombre négatif pour une baisse)
Rédaction attendue. Après les trois premiers trimestres, le coefficient cumulé vaut $1, 041 6 \times 1, 035 = 1, 078 056$ . Pour revenir à la consommation initiale, le coefficient du quatrième trimestre doit être son inverse (évolution réciproque) : $C M_{4} = \frac{1}{1, 078 056} \approx 0, 927 60$ . Donc $t_{4} \approx - 0, 072 40$ : il aurait fallu une baisse d’environ $7, 24 %$ au quatrième trimestre.

Problème 4 · Une machine qui perd la même part chaque année★★★Difficile

Une machine-outil a été achetée

18 500

€. Sa valeur diminue de

15 %

chaque année. Arrondir les taux au centième de pourcent et les montants au centime. On donne :

0, 861 25^{2} \approx 0, 741 752

1 \div 0, 722 5 \approx 1, 384 08

1. Coefficient multiplicateur de la valeur de la machine sur les deux premières années :
Chaque année, la valeur est multipliée par $1 - 0, 15 = 0, 85$ . Les deux baisses étant successives : $C M = 0, 85 \times 0, 85 = 0, 722 5$ .
2. Taux d’évolution de la valeur sur ces deux ans : % (nombre négatif pour une baisse)
$t = 0, 722 5 - 1 = - 0, 277 5$ : sur les deux ans, la valeur a baissé de $27, 75 %$ .
3. Valeur de la machine au bout de deux ans : €
$18 500 \times 0, 85 = 15 725$ €, puis $15 725 \times 0, 85 = 13 366, 25$ € (c’est aussi $18 500 \times 0, 722 5$ ).
4. Un technicien affirme : « une baisse de $27, 75 %$ en deux ans, cela fait $13, 875 %$ par an ». Avec ce taux annuel, la baisse sur deux ans serait de %. Expliquer son erreur.
Rédaction attendue. Avec $13, 875 %$ par an, le coefficient annuel serait $1 - 0, 138 75 = 0, 861 25$ et le coefficient sur deux ans $0, 861 25^{2} \approx 0, 741 752$ , soit une baisse d’environ $25, 82 %$ , et non de $27, 75 %$ . Le technicien a divisé le taux global par $2$ , ce qui revient à additionner deux taux annuels. Or les taux ne s’additionnent pas : la seconde baisse porte sur une valeur déjà diminuée, si bien que le taux annuel réel ( $15 %$ ) est plus élevé que la moitié du taux global.
5. Taux de la hausse qui redonnerait à la machine sa valeur d’achat : %
C’est l’évolution réciproque de l’évolution sur deux ans : $C M' = \frac{1}{0, 722 5} \approx 1, 384 08$ , donc $t' \approx 0, 384 08$ . Il faudrait une hausse d’environ $38, 41 %$ pour revenir à $18 500$ €.

Problème 5 · Un programme Python qui cumule des évolutions★★★Difficile

Un analyste suit le prix d’un service sur quatre années. Les taux d’évolution annuels, en pourcentage, sont stockés dans une liste et traités par le programme Python ci-dessous.

def coef(t):
    return 1 + t/100

L = [5, -20, 25, -4]
c = 1
for t in L:
    c = c * coef(t)
print(round((c - 1) * 100, 2))

1. Valeur de coef(-20) :
coef(-20) $= 1 + \frac{- 20}{100} = 1 - 0, 2 = 0, 8$ : c’est le coefficient multiplicateur d’une baisse de $20 %$ . La fonction coef transforme un taux exprimé en pourcentage en coefficient multiplicateur.
2. Valeur de la variable c après le deuxième tour de boucle :
c vaut $1$ au départ, puis est multipliée par chaque coefficient : après le premier tour, $c = 1, 05$ ; après le deuxième, $c = 1, 05 \times 0, 8 = 0, 84$ .
3. Valeur de c à la fin de la boucle :
Troisième tour : $c = 0, 84 \times 1, 25 = 1, 05$ ; quatrième tour : $c = 1, 05 \times 0, 96 = 1, 008$ .
4. Nombre affiché par le programme :
Le programme affiche $(c - 1) \times 100$ arrondi au centième : $(1, 008 - 1) \times 100 = 0, 8$ , écrit 0.8 en Python. Sur les quatre années, le prix du service a augmenté de $0, 8 %$ .
5. Un élève affirme que le programme devrait afficher la somme des taux de la liste, soit . Expliquer d’où vient l’écart.
Rédaction attendue. La somme des taux vaut $5 - 20 + 25 - 4 = 6$ . Or des évolutions successives se cumulent en multipliant les coefficients, chaque taux portant sur le prix de l’année précédente et non sur le prix initial. L’affichage réel, $0, 8$ , est bien inférieur à $6$ : par exemple, la hausse de $25 %$ porte sur un prix déjà diminué de $20 %$ et ne fait que le ramener à $1, 05$ fois le prix initial.
6. On remplace la dernière ligne par print(round((1/c - 1) * 100, 2)). On donne : à la fin de la boucle, 1/c vaut environ $0, 992 06$ . Nombre affiché :
Le programme calcule alors le taux de l’évolution réciproque : $\frac{1}{c} = \frac{1}{1, 008} \approx 0, 992 06$ , donc $(0, 992 06 - 1) \times 100 \approx - 0, 79$ . Il affiche -0.79 : une baisse d’environ $0, 79 %$ ramènerait le prix à sa valeur initiale.

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