Automatismes : proportions et pourcentages

Changer d’écriture. Écris un nombre décimal (exemple : 0,25).

1. $0,035=$ %
   On multiplie par $100$ : $0,035\times 100=3,5$, donc $0,035=3,5\%$.
2. $7,5\%$ en écriture décimale :
   $7,5\%={\displaystyle \frac{7,5}{100}}=0,075$.
3. ${\displaystyle \frac{3}{8}}=$ %
   ${\displaystyle \frac{3}{8}}=0,375$ (on pose $3÷8$), donc ${\displaystyle \frac{3}{8}}=37,5\%$.
4. $0,5\%$ en écriture décimale :
   $0,5\%={\displaystyle \frac{0,5}{100}}=0,005$. Ce n’est pas $0,5$, qui vaut $50\%$.
5. Le coefficient $1,2$ s’écrit %
   $1,2\times 100=120$ : le coefficient $1,2$ correspond à $120\%$. Ce pourcentage décrit une quantité, pas une proportion d’une sous-population.

Écris chaque proportion sous forme de fraction irréductible (exemple : 3/5).

1. $64\%=$
   $64\%={\displaystyle \frac{64}{100}}$ ; on simplifie par $4$ : ${\displaystyle \frac{16}{25}}$.
2. $0,225=$
   $0,225={\displaystyle \frac{225}{1000}}$ ; on simplifie par $25$ : ${\displaystyle \frac{9}{40}}$.
3. $4,5\%=$
   $4,5\%={\displaystyle \frac{4,5}{100}}={\displaystyle \frac{45}{1000}}$ ; on simplifie par $5$ : ${\displaystyle \frac{9}{200}}$.
4. $0,85=$
   $0,85={\displaystyle \frac{85}{100}}$ ; on simplifie par $5$ : ${\displaystyle \frac{17}{20}}$.

Comparer et arrondir. Pour un pourcentage arrondi, écris-le au dixième (exemple : 12,3).

1. Le plus grand des trois nombres $0,3$ ; ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ ; $32\%$ est
   On écrit les trois nombres en pourcentage : $0,3=30\%$, ${\displaystyle \frac{3}{8}}=37,5\%$ et $32\%$. Le plus grand est ${\displaystyle \frac{3}{8}}$.
2. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, arrondi au dixième de pourcentage : %
   $2÷3=0,6666\dots$, soit environ $66,7\%$. La valeur exacte n’est pas décimale : on écrit ${\displaystyle \frac{2}{3}}\approx 66,7\%$.
3. ${\displaystyle \frac{5}{6}}$, arrondi au dixième de pourcentage : %
   $5÷6=0,8333\dots$, soit environ $83,3\%$ (on écrit $\approx$ et non $=$).

Justifier, puis répondre. Écris un nombre.

1. Un lycée de $1400$ élèves compte $245$ internes. Justifier que la proportion d’internes est ${\displaystyle \frac{7}{40}}$, puis l’écrire en pourcentage : %
   Rédaction attendue. La population de référence est l’ensemble des $1400$ élèves. La proportion d’internes vaut ${\displaystyle \frac{245}{1400}}$. En simplifiant par $35$ ($245=35\times 7$ et $1400=35\times 40$), on obtient ${\displaystyle \frac{7}{40}}$. Or ${\displaystyle \frac{7}{40}}={\displaystyle \frac{175}{1000}}=0,175$. Les internes représentent donc $17,5\%$ des élèves.
2. Un article affirme : « dans cette ville de $24000$ habitants, il y a $130\%$ de vélos ». Justifier que $130\%$ ne peut pas être une proportion d’habitants, puis donner le nombre de vélos que décrit la phrase :
   Rédaction attendue. Une proportion d’une sous-population est le quotient d’un effectif par un effectif plus grand ou égal : elle ne dépasse jamais $100\%$. Ici, $130\%$ compare le nombre de vélos au nombre d’habitants : c’est une quantité, $1,3$ fois le nombre d’habitants. Nombre de vélos : $1,3\times 24000=31200$.

Calculer la proportion, en pourcentage.

1. Un club sportif compte $900$ adhérents, dont $216$ ont moins de $18$ ans. Proportion d’adhérents de moins de $18$ ans : %
   La référence est l’ensemble des $900$ adhérents : ${\displaystyle \frac{216}{900}}={\displaystyle \frac{24}{100}}$ (on divise par $9$), soit $24\%$.
2. Une association compte $1100$ membres, dont $253$ bénévoles. Proportion de bénévoles : %
   ${\displaystyle \frac{253}{1100}}={\displaystyle \frac{23}{100}}$ (on divise par $11$), soit $23\%$ des membres.
3. $615$ personnes sur $2050$ ont répondu à un questionnaire. Proportion de réponses : %
   ${\displaystyle \frac{615}{2050}}=0,3$ (contrôle : $2050\times 0,3=615$), soit $30\%$ de réponses.

Complémentaire et partage. Écris un pourcentage (sans le signe %).

1. Dans un sondage, $41\%$ des personnes sont favorables, $44\%$ défavorables, les autres sans avis. Sans avis : %
   Les trois groupes se partagent les personnes interrogées : $100-41-44=15$, soit $15\%$ sans avis.
2. Un orchestre de $40$ musiciens compte $14$ instruments à cordes et $10$ instruments à vent ; les autres musiciens sont percussionnistes. Proportion de percussionnistes : %
   Percussionnistes : $40-14-10=16$. Proportion : ${\displaystyle \frac{16}{40}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$, soit $40\%$.
3. La proportion de foyers équipés d’une box internet dans un village est $0,88$. Proportion de foyers non équipés : %
   Complémentaire : $1-0,88=0,12$, soit $12\%$ des foyers.

Un sondage porte sur $600$ personnes : $360$ déclarent parler anglais, $210$ parler espagnol, et $120$ parler les deux langues. Arrondir au dixième si nécessaire.

1. Proportion de personnes parlant au moins une des deux langues : %
   Les $120$ personnes bilingues sont dans les deux groupes : on ne les compte qu’une fois. $360+210-120=450$ personnes, et ${\displaystyle \frac{450}{600}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$, soit $75\%$.
2. Proportion de personnes ne parlant aucune des deux langues : %
   C’est le complémentaire du groupe précédent : $100-75=25$, soit $25\%$ (c’est-à-dire $150$ personnes).
3. Parmi les personnes parlant anglais, proportion parlant aussi espagnol : %
   La référence change : ce sont les $360$ anglophones. ${\displaystyle \frac{120}{360}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, soit environ $33,3\%$.
4. Parmi les personnes parlant espagnol, proportion parlant aussi anglais : %
   Référence : les $210$ hispanophones. ${\displaystyle \frac{120}{210}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$ ; $4÷7=0,5714\dots$, soit environ $57,1\%$. Les mêmes $120$ personnes, rapportées à deux références différentes, donnent deux proportions différentes.

Un institut interroge $1500$ personnes sur un projet d’aménagement : $900$ habitent en zone urbaine et $600$ en zone rurale. En zone urbaine, $540$ personnes sont favorables au projet ; en zone rurale, $210$.

1. Proportion de personnes favorables parmi les habitants de la zone urbaine : %
   Référence : les $900$ urbains. ${\displaystyle \frac{540}{900}}={\displaystyle \frac{6}{10}}$, soit $60\%$.
2. Proportion de personnes favorables parmi les habitants de la zone rurale : %
   Référence : les $600$ ruraux. ${\displaystyle \frac{210}{600}}={\displaystyle \frac{35}{100}}$, soit $35\%$.
3. Proportion de personnes favorables dans tout l’échantillon : %
   $540+210=750$ personnes favorables sur $1500$ : ${\displaystyle \frac{750}{1500}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$, soit $50\%$.
4. Parmi les personnes favorables, proportion habitant en zone urbaine : %. Justifier, puis expliquer pourquoi ce n’est pas le résultat de la première question.
   Rédaction attendue. La population de référence est maintenant l’ensemble des $750$ personnes favorables, dont $540$ habitent en zone urbaine. La proportion vaut ${\displaystyle \frac{540}{750}}={\displaystyle \frac{18}{25}}$ (on simplifie par $30$), c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{72}{100}}$, soit $72\%$. Ce n’est pas $60\%$ : à la première question, on calculait la part des favorables parmi les urbains (dénominateur $900$) ; ici, on calcule la part des urbains parmi les favorables (dénominateur $750$).

Calculer sans calculatrice.

1. $6\%$ de $1340$ $=$
   $1\%$ de $1340$ vaut $13,4$, donc $6\%$ vaut $6\times 13,4=80,4$.
2. $12\%$ de $725$ $=$
   $10\%$ de $725$ vaut $72,5$ et $2\%$ vaut $14,5$ : $72,5+14,5=87$.
3. $41\%$ de $2600$ $=$
   $40\%$ de $2600$ vaut $1040$ et $1\%$ vaut $26$ : $1040+26=1066$. Contrôle : un peu moins de la moitié de $2600$.
4. $4\%$ de $75$ $=$
   $4\%$ de $75$, c’est $75\%$ de $4$, soit les trois quarts de $4$ : $3$.
5. $0,5\%$ de $4800$ $=$
   $1\%$ de $4800$ vaut $48$, et $0,5\%$ en est la moitié : $24$.

Retrouver le tout. Écris un nombre entier.

1. Les $91$ abonnés à l’édition numérique d’un magazine représentent $13\%$ de ses abonnés. Nombre total d’abonnés :
   $0,13\times n=91$, donc $n={\displaystyle \frac{91}{0,13}}={\displaystyle \frac{9100}{13}}=700$. Contrôle : $0,13\times 700=91$.
2. $92$ réponses représentent $23\%$ des questionnaires envoyés. Nombre de questionnaires envoyés :
   $n={\displaystyle \frac{92}{0,23}}={\displaystyle \frac{9200}{23}}=400$. Contrôle : $0,23\times 400=92$.
3. $48$ personnes représentent les ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ d’un groupe. Effectif du groupe :
   ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ du groupe représente $48÷3=16$ personnes, donc le groupe compte $16\times 8=128$ personnes.

Un atelier A fabrique $600$ pièces, dont $5\%$ sont défectueuses. Un atelier B fabrique $900$ pièces, dont $2\%$ sont défectueuses.

1. Nombre de pièces défectueuses de l’atelier A :
   $0,05\times 600=30$ pièces.
2. Nombre de pièces défectueuses de l’atelier B :
   $0,02\times 900=18$ pièces.
3. Proportion de pièces défectueuses sur l’ensemble de la production : %
   $30+18=48$ pièces défectueuses sur $600+900=1500$ : ${\displaystyle \frac{48}{1500}}=0,032$, soit $3,2\%$. Ce n’est pas $3,5\%$, la moyenne de $5$ et $2$ : l’atelier B pèse plus lourd.
4. Parmi les pièces défectueuses, proportion venant de l’atelier A : %
   Référence : les $48$ pièces défectueuses. ${\displaystyle \frac{30}{48}}={\displaystyle \frac{5}{8}}=0,625$, soit $62,5\%$, alors que A ne fabrique que $40\%$ des pièces.
5. L’atelier B porte sa production à $1400$ pièces, toujours avec $2\%$ de pièces défectueuses ; A ne change pas. Nouvelle proportion de pièces défectueuses sur l’ensemble : %
   B : $0,02\times 1400=28$ pièces défectueuses. Total : $30+28=58$ sur $600+1400=2000$ pièces, soit ${\displaystyle \frac{58}{2000}}=0,029$, c’est-à-dire $2,9\%$. L’atelier le plus fiable pèse davantage : la proportion globale baisse.

Le lycée X compte $400$ élèves, dont $22\%$ pratiquent un sport en club. Le lycée Y compte $600$ élèves, dont $34\%$ pratiquent un sport en club. Un élève affirme : « sur les deux lycées réunis, $28\%$ des élèves pratiquent un sport en club, puisque c’est la moyenne de $22$ et $34$ ».

1. Nombre de sportifs en club du lycée X :
   $0,22\times 400=88$ élèves.
2. Nombre de sportifs en club du lycée Y :
   $0,34\times 600=204$ élèves.
3. Proportion réelle de sportifs en club sur les deux lycées : %
   $88+204=292$ sportifs sur $400+600=1000$ élèves : ${\displaystyle \frac{292}{1000}}=0,292$, soit $29,2\%$.
4. Le lycée Y garde ses élèves et le lycée X garde $22\%$ de sportifs en club. Combien d’élèves devrait compter le lycée X pour que l’affirmation de l’élève devienne exacte ? Justifier :
   Rédaction attendue. L’élève fait la moyenne des deux pourcentages, ce qui donne le même poids aux deux lycées ; or le lycée Y, plus nombreux, pèse davantage. Notons $x$ l’effectif du lycée X. Il y aurait $0,22x$ sportifs dans X et $204$ dans Y, sur $x+600$ élèves. On veut $0,22x+204=0,28(x+600)$, soit $0,22x+204=0,28x+168$, d’où $36=0,06x$ et $x=600$. Contrôle : $132+204=336$ sportifs sur $1200$ élèves, et ${\displaystyle \frac{336}{1200}}=0,28$. Il faudrait $600$ élèves au lycée X : la moyenne simple ne convient que pour deux groupes de même effectif.

Proportion de proportion. Écris un pourcentage (sans le signe %).

1. $50\%$ de $30\%$ d’une population représentent % de la population
   $0,5\times 0,3=0,15$, soit $15\%$.
2. $10\%$ de $10\%$ d’une population représentent % de la population
   $0,1\times 0,1=0,01$, soit $1\%$ (et non $20\%$).
3. $75\%$ de $80\%$ d’une population représentent % de la population
   $0,75\times 0,8=0,6$, soit $60\%$ : les trois quarts de $80\%$.
4. $5\%$ de $40\%$ d’une population représentent % de la population
   $0,05\times 0,4=0,02$, soit $2\%$.

Une plateforme en ligne compte $64000$ inscrits. $48\%$ des inscrits sont des femmes, et $15\%$ des femmes inscrites ont activé l’option premium.

1. Nombre de femmes inscrites :
   $0,48\times 64000=30720$ femmes.
2. Nombre de femmes ayant activé l’option premium :
   Les $15\%$ portent sur les femmes inscrites : $0,15\times 30720=4608$ (soit $3072+1536$ : $10\%$ puis $5\%$).
3. Proportion, parmi tous les inscrits, des femmes ayant activé l’option premium : %
   La référence redevient l’ensemble des inscrits : ${\displaystyle \frac{4608}{64000}}=0,072$, soit $7,2\%$. Directement : $0,15\times 0,48=0,072$. Le résultat est plus petit que $15\%$ et que $48\%$.

Dans un établissement de $875$ élèves, $32\%$ des élèves sont en seconde. Les élèves de seconde qui étudient le latin représentent $9,6\%$ de l’ensemble des élèves.

1. Parmi les élèves de seconde, proportion qui étudie le latin : %
   Notons $L$ les latinistes de seconde et $S$ les élèves de seconde : $p_{L/E}=p_{L/S}\times p_{S/E}$, donc $p_{L/S}={\displaystyle \frac{0,096}{0,32}}={\displaystyle \frac{96}{320}}=0,3$, soit $30\%$.
2. Nombre d’élèves de seconde qui étudient le latin :
   $0,096\times 875=84$. Autre chemin : $0,32\times 875=280$ élèves de seconde, puis $0,3\times 280=84$.
3. Justifier que l’on ne peut pas connaître la proportion de latinistes dans tout l’établissement. On sait seulement qu’elle est d’au moins %
   Rédaction attendue. Les données ne portent que sur les latinistes de seconde. Les élèves des autres niveaux peuvent aussi étudier le latin, et leur nombre n’est pas donné : la proportion de latinistes dans l’établissement est inconnue. Comme les latinistes de seconde en font partie, elle vaut au moins $9,6\%$.

Dans une région de $250000$ habitants, $40\%$ des habitants vivent en ville. Parmi les citadins, $25\%$ prennent les transports en commun chaque jour. Parmi ces usagers quotidiens, $30\%$ ont un abonnement annuel.

1. Proportion des habitants de la région qui sont des citadins usagers quotidiens : %
   $0,25\times 0,40=0,10$, soit $10\%$ des habitants.
2. Proportion des habitants de la région qui ont un abonnement annuel : %
   On enchaîne trois populations emboîtées : $0,30\times 0,25\times 0,40=0,03$, soit $3\%$ des habitants.
3. Justifier le calcul, puis donner le nombre d’abonnés annuels :
   Rédaction attendue. Les abonnés annuels forment une partie des usagers quotidiens, eux-mêmes partie des citadins, eux-mêmes partie des habitants : la proportion d’abonnés dans la région est le produit des trois proportions, $0,30\times 0,25\times 0,40=0,03$. Nombre d’abonnés annuels : $0,03\times 250000=7500$.
4. Parmi les citadins, proportion qui a un abonnement annuel : %
   La référence est l’ensemble des citadins : $0,30\times 0,25=0,075$, soit $7,5\%$. Contrôle : $0,4\times 250000=100000$ citadins, et ${\displaystyle \frac{7500}{100000}}=0,075$.