Automatismes : taux d’évolution

Trois mesures d’une évolution. Une grandeur passe d’une valeur de départ $V_D$ (non nulle) à une valeur d’arrivée $V_A$. On définit :

• la variation absolue $V_A-V_D$, qui s’exprime dans l’unité de la grandeur ;
• le coefficient multiplicateur $CM={\displaystyle \frac{V_A}{V_D}}$, c’est-à-dire le nombre tel que $V_A=CM\times V_D$ ;
• le taux d’évolution (ou variation relative) $t={\displaystyle \frac{V_A-V_D}{V_D}}$, le plus souvent écrit en pourcentage.

Du taux au coefficient. On a toujours $CM=1+t$ et $t=CM-1$. Augmenter de $t\%$, c’est multiplier par $1+{\displaystyle \frac{t}{100}}$ ; diminuer de $t\%$, c’est multiplier par $1-{\displaystyle \frac{t}{100}}$.

Lire le signe. $t>0$ (donc $CM>1$) : la grandeur augmente ; $t<0$ (donc $0⩽CM<1$) : elle diminue ; $t=0$ ($CM=1$) : elle est inchangée. Le taux ne dépend pas de l’unité : un prix en euros ou en centimes donne le même taux.

Bornes. Une grandeur positive le reste, donc $CM⩾0$ : un taux d’évolution n’est jamais inférieur à $-100\%$ (cas $CM=0$). Vers le haut, il n’y a pas de limite : un coefficient $3,2$ correspond à une hausse de $220\%$.

Points de pourcentage. Quand la grandeur qui évolue est elle-même un pourcentage, la différence des deux pourcentages se compte en points de pourcentage ; son taux d’évolution se calcule comme pour toute autre grandeur.

Valeur finale. $V_A=CM\times V_D=(1+t)\times V_D$ : on multiplie la valeur de départ par le coefficient.

Valeur initiale. De $V_A=CM\times V_D$, on tire $V_D={\displaystyle \frac{V_A}{CM}}$ (avec $CM\ne 0$) : on divise la valeur d’arrivée par le coefficient.

Avec le taux, ce sont trois lectures de la même égalité $V_A=CM\times V_D$ : on cherche la valeur finale, la valeur initiale ou le coefficient ${\displaystyle \frac{V_A}{V_D}}$.

Sans calculatrice. Multiplier par $1,05$, c’est ajouter à la valeur ses $5\%$ (la moitié de ses $10\%$) ; multiplier par $0,85$, c’est lui retirer ses $15\%$. Diviser par $1,25={\displaystyle \frac{5}{4}}$, c’est multiplier par ${\displaystyle \frac{4}{5}}=0,8$.

Propriété. Si une grandeur subit successivement des évolutions de coefficients $C{M}_1$, $C{M}_2$, …, $C{M}_n$, le coefficient multiplicateur global est le produit $CM=C{M}_1\times C{M}_2\times \dots \times C{M}_n$, et le taux d’évolution global est $t=CM-1$.

Pourquoi. Pour deux évolutions : $V_1=C{M}_1\times V_0$ puis $V_2=C{M}_2\times V_1$, donc $V_2=C{M}_2\times C{M}_1\times V_0$.

Les taux ne s’additionnent pas : chaque pourcentage porte sur la valeur obtenue à l’étape précédente, pas sur la valeur initiale.

L’ordre ne change pas le résultat final, car la multiplication est commutative ; seules les valeurs intermédiaires changent.

Taux manquant. Si l’on connaît le coefficient global $CM$ et le premier coefficient $C{M}_1$, le second vaut $C{M}_2={\displaystyle \frac{CM}{C{M}_1}}$ : on divise, on ne soustrait pas les pourcentages.

Même taux deux fois. Deux hausses de taux $t$ donnent le coefficient $(1+t{)}^2$. Une hausse puis une baisse de même taux $t$ (avec $0<t<1$) donnent $(1+t)(1-t)=1-t^2$, toujours inférieur à $1$ : la grandeur finit plus bas qu’au départ.

Définition. L’évolution réciproque d’une évolution de coefficient $CM$ est l’évolution qui ramène la valeur d’arrivée à la valeur de départ.

Propriété. Son coefficient est $CM\prime ={\displaystyle \frac{1}{CM}}$, et son taux est $t\prime ={\displaystyle \frac{1}{1+t}}-1$ (avec $CM\ne 0$ : une baisse de $100\%$ n’a pas d’évolution réciproque, rien ne ramène une grandeur nulle à sa valeur de départ).

Justification. $V_A=CM\times V_D$, donc $V_D={\displaystyle \frac{1}{CM}}\times V_A$ : passer de $V_A$ à $V_D$, c’est multiplier par ${\displaystyle \frac{1}{CM}}$. On contrôle que $CM\times CM\prime =1$.

Après plusieurs évolutions, l’évolution réciproque a pour coefficient l’inverse du coefficient global.

Ordre de grandeur. La réciproque d’une hausse est une baisse d’un taux plus petit (en valeur absolue) ; la réciproque d’une baisse est une hausse d’un taux plus grand.