Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Taux d'évolution et évolutions successives
Taux, coefficient multiplicateur et évolutions successives — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Taux d'évolution et évolutions successives » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Taux d'évolution, Coefficient multiplicateur, Du taux au CM, et inversement, Évolutions successives. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
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Taux d'évolution
Quand une grandeur passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A$, on mesure sa variation relative (c'est-à-dire par rapport à la valeur de départ) grâce au taux d'évolution.
Définition. Le taux d'évolution de $V_D$ vers $V_A$ est le nombre $$t = \frac{V_A - V_D}{V_D}$$ On l'exprime souvent en pourcentage en le multipliant par $100$.
• Si $t \gt 0$ : c'est une hausse (augmentation).
• Si $t \lt 0$ : c'est une baisse (diminution).
• Si $t \gt 0$ : c'est une hausse (augmentation).
• Si $t \lt 0$ : c'est une baisse (diminution).
Exemple 1. Le prix d'un abonnement passe de $50$ € à $65$ €.
$t = \dfrac{65 - 50}{50} = \dfrac{15}{50} = 0{,}30$, soit une hausse de 30 %.
$t = \dfrac{65 - 50}{50} = \dfrac{15}{50} = 0{,}30$, soit une hausse de 30 %.
Exemple 2. Le nombre d'adhérents d'un club passe de $200$ à $170$.
$t = \dfrac{170 - 200}{200} = \dfrac{-30}{200} = -0{,}15$, soit une baisse de 15 %.
$t = \dfrac{170 - 200}{200} = \dfrac{-30}{200} = -0{,}15$, soit une baisse de 15 %.
Astuce. Le taux se calcule toujours par rapport à la valeur de départ $V_D$, qui se trouve au dénominateur. C'est l'erreur la plus fréquente : ne divisez jamais par la valeur d'arrivée.
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Coefficient multiplicateur
Plutôt que d'ajouter ou de retrancher un pourcentage, on peut multiplier directement la valeur de départ par un nombre : le coefficient multiplicateur.
Définition. Le coefficient multiplicateur (noté CM) associé à un taux d'évolution $t$ (en écriture décimale) est $$CM = 1 + t$$ On a alors la relation très pratique $$V_A = CM \times V_D$$
Exemple. Un loyer de $750$ € augmente de $3 \%$.
Ici $t = 0{,}03$, donc $CM = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$.
Nouveau loyer : $V_A = 1{,}03 \times 750 = 772{,}50$ €.
Ici $t = 0{,}03$, donc $CM = 1 + 0{,}03 = 1{,}03$.
Nouveau loyer : $V_A = 1{,}03 \times 750 = 772{,}50$ €.
| Évolution | Taux $t$ | $CM = 1+t$ |
|---|---|---|
| Hausse de $20 \%$ | $+0{,}20$ | $1{,}20$ |
| Baisse de $15 \%$ | $-0{,}15$ | $0{,}85$ |
| Hausse de $3{,}5 \%$ | $+0{,}035$ | $1{,}035$ |
Attention ! Ne confondez pas « baisser de $20 \%$ » ($CM = 0{,}80$) avec « passer à $20 \%$ de sa valeur » ($CM = 0{,}20$). Ce sont deux situations très différentes !
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Du taux au CM, et inversement
Le taux $t$ et le coefficient multiplicateur $CM$ contiennent la même information : on passe facilement de l'un à l'autre.
À retenir. $$CM = 1 + t \qquad \text{et} \qquad t = CM - 1$$ Pour exprimer le taux en pourcentage, on multiplie par $100$.
Exemple 1 (taux → CM). Une baisse de $22 \%$ : $t = -0{,}22$ donc $CM = 1 - 0{,}22 = 0{,}78$.
Exemple 2 (CM → taux). Un coefficient $CM = 1{,}045$ : $t = 1{,}045 - 1 = 0{,}045$, soit une hausse de 4,5 %.
Exemple 3 (retrouver le CM à partir des valeurs). Un article passe de $120$ € à $156$ €.
$CM = \dfrac{V_A}{V_D} = \dfrac{156}{120} = 1{,}30$, soit une hausse de 30 %.
$CM = \dfrac{V_A}{V_D} = \dfrac{156}{120} = 1{,}30$, soit une hausse de 30 %.
Astuce — retrouver la valeur de départ. Si on connaît $V_A$ et le $CM$, alors $$V_D = \frac{V_A}{CM}$$ Exemple : un article vaut $84$ € après une hausse de $5 \%$. Prix de départ : $V_D = \dfrac{84}{1{,}05} = 80$ €.
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Évolutions successives
Quand une grandeur subit plusieurs évolutions à la suite, on ne peut pas additionner les pourcentages. La bonne méthode consiste à multiplier les coefficients multiplicateurs.
Propriété. Si une grandeur subit successivement des évolutions de coefficients $CM_1$, $CM_2$, …, $CM_n$, alors le coefficient multiplicateur global est leur produit : $$CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times \dots \times CM_n$$ Le taux global vaut ensuite $t_{global} = CM_{global} - 1$.
Exemple. Un produit augmente de $10 \%$ en janvier, puis baisse de $10 \%$ en février.
$CM_1 = 1{,}10$ et $CM_2 = 0{,}90$.
$CM_{global} = 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$.
$t_{global} = 0{,}99 - 1 = -0{,}01$, soit une baisse globale de 1 % (et non $0 \%$ !).
$CM_1 = 1{,}10$ et $CM_2 = 0{,}90$.
$CM_{global} = 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99$.
$t_{global} = 0{,}99 - 1 = -0{,}01$, soit une baisse globale de 1 % (et non $0 \%$ !).
Piège classique. $+20 \%$ puis $-20 \%$ ne donne pas $0 \%$. En effet $CM = 1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96$, soit une baisse globale de $4 \%$.
Méthode en 3 étapes.
1. Convertir chaque taux en CM ($CM = 1 + t$).
2. Multiplier tous les CM entre eux.
3. Le résultat moins $1$ donne le taux global.
1. Convertir chaque taux en CM ($CM = 1 + t$).
2. Multiplier tous les CM entre eux.
3. Le résultat moins $1$ donne le taux global.
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Évolution réciproque
L'évolution réciproque est celle qui permet de revenir à la valeur de départ après une évolution donnée.
Propriété. Si une grandeur a subi une évolution de coefficient $CM$, alors l'évolution réciproque a pour coefficient $$CM' = \frac{1}{CM}$$ et pour taux $t' = \dfrac{1}{CM} - 1$.
Exemple 1. Un article a subi une hausse de $25 \%$, donc $CM = 1{,}25$.
Pour retrouver le prix de départ : $CM' = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80$, soit $t' = -0{,}20$ : il faut baisser de 20 % (et non de $25 \%$).
Pour retrouver le prix de départ : $CM' = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}80$, soit $t' = -0{,}20$ : il faut baisser de 20 % (et non de $25 \%$).
Exemple 2. Un vêtement est soldé à $-30 \%$, donc $CM = 0{,}70$.
$CM' = \dfrac{1}{0{,}70} \approx 1{,}4286$, soit une hausse d'environ 42,86 % pour revenir au prix de départ.
$CM' = \dfrac{1}{0{,}70} \approx 1{,}4286$, soit une hausse d'environ 42,86 % pour revenir au prix de départ.
Attention ! Pour annuler une hausse, la baisse à appliquer est toujours plus petite que la hausse de départ. Inversement, pour annuler une baisse, la hausse à appliquer est plus grande que la baisse. Les pourcentages ne se « compensent » jamais à l'identique.
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Lire et calculer sur un graphique
Beaucoup d'évolutions se lisent sur des graphiques (économie, démographie). Il faut savoir y repérer des valeurs et en déduire un taux.
Méthode de lecture.
1. Identifier les axes et leurs unités.
2. Lire les valeurs précises $V_D$ et $V_A$ aux deux dates.
3. Appliquer la formule $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$.
1. Identifier les axes et leurs unités.
2. Lire les valeurs précises $V_D$ et $V_A$ aux deux dates.
3. Appliquer la formule $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$.
Exemple. Le chiffre d'affaires d'une entreprise est $40$ M€ en 2021 et $50$ M€ en 2024.
$t = \dfrac{50 - 40}{40} = \dfrac{10}{40} = 0{,}25$, soit une hausse de 25 % sur la période.
$t = \dfrac{50 - 40}{40} = \dfrac{10}{40} = 0{,}25$, soit une hausse de 25 % sur la période.
Bon réflexe. Une variation qui « paraît grande » sur un graphique peut correspondre à un petit taux si la valeur de départ est élevée : on calcule toujours $t$, on ne se fie pas à l'allure visuelle.
En bref
- Taux d'évolution : $t = \dfrac{V_A - V_D}{V_D}$ (positif = hausse, négatif = baisse).
- Coefficient multiplicateur : $CM = 1 + t$, et $V_A = CM \times V_D$.
- Du CM au taux : $t = CM - 1$.
- Évolutions successives : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times \dots$ puis $t_{global} = CM_{global} - 1$.
- Évolution réciproque : $CM' = \dfrac{1}{CM}$ et $t' = \dfrac{1}{CM} - 1$.
- Piège : $+t \%$ puis $-t \%$ ne donne jamais $0 \%$.
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