À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Proportions et pourcentages » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Proportion d'une sous-population, Pourcentage et proportion, Pourcentage d'une quantité, Appliquer un pourcentage (remise, hausse). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Proportion d'une sous-population
2 · Pourcentage et proportion
3 · Pourcentage d'une quantité
4 · Appliquer un pourcentage (remise, hausse)
5 · Pourcentage de pourcentage
6 · Retrouver une proportion ou un total
1Proportion d'une sous-population
Dans un ensemble de $n$ éléments (la population), une partie en contient $p$ (la sous-population). La proportion de cette partie est la part qu'elle représente dans le total.
Définition. La proportion (ou fréquence) d'une sous-population de $p$ éléments dans une population de $n$ éléments est le nombre $$p_{\text{rop}} = \frac{p}{n}.$$ C'est un nombre compris entre $0$ et $1$ : on a toujours $0 \le \frac{p}{n} \le 1$.
Exemple. Dans une classe de $30$ élèves, $18$ sont des filles. La proportion de filles est $$\frac{18}{30} = 0{,}6.$$
Astuce. Une proportion peut s'écrire sous forme de fraction ($\frac{18}{30}$), de nombre décimal ($0{,}6$) ou de pourcentage ($60\%$). Ce sont trois écritures du même nombre.
2Pourcentage et proportion
Un pourcentage est simplement une proportion exprimée pour une population de référence de $100$.
Définition. Dire qu'une sous-population représente $t\%$ de la population, c'est dire que sa proportion vaut $$\frac{t}{100}.$$ On passe d'une écriture à l'autre ainsi :
- d'une proportion décimale au pourcentage : on multiplie par $100$ ;
- d'un pourcentage à la proportion décimale : on divise par $100$.
Exemple 1. La proportion $0{,}6$ correspond à $0{,}6 \times 100 = 60\%$.
Exemple 2. Le pourcentage $35\%$ correspond à la proportion $\frac{35}{100} = 0{,}35$.
| Fraction | Décimal | Pourcentage |
|---|
| $\frac{1}{4}$ | $0{,}25$ | $25\%$ |
| $\frac{1}{2}$ | $0{,}5$ | $50\%$ |
| $\frac{3}{4}$ | $0{,}75$ | $75\%$ |
| $\frac{1}{5}$ | $0{,}2$ | $20\%$ |
Attention ! Un pourcentage n'a de sens que rapporté à une référence. « $20\%$ » ne veut rien dire seul : il faut savoir $20\%$ de quoi.
3Pourcentage d'une quantité
Le calcul le plus fréquent consiste à prendre un certain pourcentage d'une quantité connue.
Règle. Prendre $t\%$ d'une quantité $N$, c'est multiplier $N$ par la proportion $\frac{t}{100}$ : $$t\% \text{ de } N = \frac{t}{100} \times N.$$
Exemple 1. $15\%$ de $240$ vaut $$\frac{15}{100} \times 240 = 0{,}15 \times 240 = 36.$$
Exemple 2. Un lycée compte $850$ élèves et $42\%$ pratiquent un sport en club. Le nombre de sportifs est $$0{,}42 \times 850 = 357 \text{ élèves}.$$
Astuce de calcul mental. $10\%$ d'un nombre, c'est ce nombre divisé par $10$ ; $1\%$, c'est divisé par $100$ ; $50\%$, c'est la moitié ; $25\%$, c'est le quart. On combine ces repères : $30\%$ de $80 = 3 \times (10\% \text{ de } 80) = 3 \times 8 = 24$.
4Appliquer un pourcentage (remise, hausse)
Beaucoup de situations concrètes (soldes, taxes, augmentations) reviennent à ajouter ou retirer un pourcentage d'une valeur de départ.
Règle. Soit une valeur de départ $V$.
- Appliquer une remise de $t\%$ : on retire $\frac{t}{100}\times V$, donc la valeur finale est $$V - \frac{t}{100}\times V = \left(1 - \frac{t}{100}\right) \times V.$$
- Appliquer une hausse de $t\%$ : on ajoute $\frac{t}{100}\times V$, donc la valeur finale est $$V + \frac{t}{100}\times V = \left(1 + \frac{t}{100}\right) \times V.$$
Exemple 1 (remise). Un article coûte $80$ € avec une remise de $25\%$. On peut faire $0{,}25 \times 80 = 20$ € de remise, puis $80 - 20 = 60$ €. Ou directement : $\left(1 - \frac{25}{100}\right) \times 80 = 0{,}75 \times 80 = 60$ €.
Exemple 2 (hausse). Un loyer de $750$ € augmente de $3\%$. Nouveau loyer : $\left(1 + \frac{3}{100}\right) \times 750 = 1{,}03 \times 750 = 772{,}50$ €.
Attention ! « Baisser de $20\%$ » (on garde $80\%$, soit $\times 0{,}80$) n'est pas « passer à $20\%$ de la valeur » ($\times 0{,}20$). Ce sont deux situations très différentes.
5Pourcentage de pourcentage
On rencontre souvent un pourcentage d'une partie qui est elle-même un pourcentage du total. On parle alors de pourcentage de pourcentage : on multiplie les deux proportions décimales.
Règle. Si une partie représente $b\%$ du total, et que $a\%$ de cette partie a une certaine caractéristique, alors la proportion de ces éléments dans le total est $$\frac{a}{100} \times \frac{b}{100}.$$ Pour l'exprimer en pourcentage du total, on multiplie le résultat par $100$.
Exemple. Dans une entreprise, $60\%$ des salariés sont des femmes, et $30\%$ de ces femmes sont cadres. La proportion de femmes cadres dans toute l'entreprise est $$0{,}30 \times 0{,}60 = 0{,}18 = 18\%.$$
Astuce. Le pourcentage d'une partie d'une partie est toujours plus petit que chacun des deux pourcentages. Ici $18\% < 30\%$ et $18\% < 60\%$ : c'est un bon réflexe de vérification.
Attention ! On multiplie les pourcentages (sous forme décimale), on ne les additionne pas. $30\%$ de $60\%$ n'est pas $90\%$ ni $30\% + 60\%$, mais $18\%$.
6Retrouver une proportion ou un total
On sait parfois l'effectif d'une partie et celui du total : on peut alors retrouver le pourcentage. Inversement, connaissant le pourcentage et l'effectif d'une partie, on peut retrouver le total.
Règle.- Pourcentage à partir des effectifs : $$\text{pourcentage} = \frac{p}{n} \times 100.$$
- Total à partir d'une partie et de son pourcentage : si $p$ éléments représentent $t\%$ du total $n$, alors $$n = \frac{p}{\frac{t}{100}} = \frac{p \times 100}{t}.$$
Exemple 1. Dans un sondage de $200$ personnes, $50$ répondent « oui ». La proportion de « oui » est $\frac{50}{200}\times 100 = 25\%$.
Exemple 2. $84$ élèves représentent $35\%$ d'un lycée. L'effectif total est $$n = \frac{84 \times 100}{35} = \frac{8400}{35} = 240 \text{ élèves}.$$
Astuce (tableau de proportionnalité). On peut poser un tableau : $35\% \leftrightarrow 84$ et $100\% \leftrightarrow n$. Par produit en croix, $n = \frac{84 \times 100}{35} = 240$.
★À retenir
En bref :
• Proportion : $\frac{p}{n}$, nombre entre $0$ et $1$ ($\times 100$ pour le pourcentage).
• Pourcentage $\leftrightarrow$ décimal : $\times 100$ dans un sens, $\div 100$ dans l'autre ($35\% = 0{,}35$).
• $t\%$ de $N$ : $\frac{t}{100}\times N$.
• Remise de $t\%$ : $\times\left(1-\frac{t}{100}\right)$ ; hausse de $t\%$ : $\times\left(1+\frac{t}{100}\right)$.
• Pourcentage de pourcentage : on multiplie les proportions décimales ($30\%$ de $60\% = 0{,}3\times 0{,}6 = 18\%$).
• Retrouver le total : $n = \frac{p \times 100}{t}$.