Automatismes : proportions et pourcentages

Proportion. Soit $E$ une population de $n$ éléments ($n\ne 0$) et $A$ une sous-population de $E$ comptant $n_A$ éléments. La proportion de $A$ dans $E$ est le quotient $p={\displaystyle \frac{n_A}{n}}$. Comme $0⩽n_A⩽n$, une proportion est toujours comprise entre $0$ et $1$.

Trois écritures d’un même nombre. Une proportion s’écrit sous forme fractionnaire, décimale ou en pourcentage, et $t\%$ désigne le nombre ${\displaystyle \frac{t}{100}}$. Pour passer de l’écriture décimale au pourcentage, on multiplie par $100$ : $0,26$ et $26\%$ sont le même nombre.

Repères à connaître : ${\displaystyle \frac{1}{2}}=50\%$ ; ${\displaystyle \frac{1}{4}}=25\%$ ; ${\displaystyle \frac{3}{4}}=75\%$ ; ${\displaystyle \frac{1}{5}}=20\%$ ; ${\displaystyle \frac{1}{10}}=10\%$ ; ${\displaystyle \frac{1}{8}}=12,5\%$ ; ${\displaystyle \frac{1}{3}}\approx 33,3\%$.

Proportion ou évolution ? Un pourcentage exprime soit une proportion (une partie comparée à un tout, au même moment : « $54\%$ des abonnés sont des femmes »), soit une évolution (une grandeur comparée à elle-même entre deux dates : « le loyer a augmenté de $3\%$ »). Ce chapitre traite des proportions ; les évolutions ont leur propre chapitre.

Plus de 100 %. La proportion d’une sous-population ne dépasse jamais $100\%$. En revanche, « $150\%$ d’une quantité » a un sens : c’est $1,5$ fois cette quantité (un budget, une production…), ce n’est pas une proportion.

La population de référence. Une proportion se calcule toujours par rapport à une population de référence : $p={\displaystyle \frac{\text{effectif de la partie}}{\text{effectif de la population de référence}}}$. « $30\%$ de filles » n’a de sens que si l’on précise : $30\%$ de qui ? Changer de référence change le dénominateur, donc le résultat.

Les mots qui désignent la référence : « parmi », « de ces », « d’entre eux », « sur l’ensemble des ». Dans « parmi les abonnés, un tiers utilise l’application », la référence est l’ensemble des abonnés, et non l’ensemble des clients.

Complémentaire. Si la sous-population $A$ représente la proportion $p$ de $E$, les éléments de $E$ qui ne sont pas dans $A$ représentent la proportion $1-p$. Des sous-populations qui se partagent $E$ sans se chevaucher ont des proportions dont la somme vaut $1$, soit $100\%$ : c’est un contrôle rapide.

« Au moins l’un des deux ». Pour compter les éléments qui sont dans $A$, dans $B$ ou dans les deux, on ajoute les deux effectifs puis on retire ceux qui sont dans les deux (sinon ils sont comptés deux fois) : effectif $=n_A+n_B-n_{A\text{ et }B}$.

Calculer la partie. Prendre $t\%$ d’une quantité $x$, c’est calculer ${\displaystyle \frac{t}{100}}\times x$ ; le nombre ${\displaystyle \frac{t}{100}}$ est le coefficient associé au pourcentage. Plus généralement, si $p$ est la proportion de $A$ dans $E$, alors $n_A=p\times n$.

Calculer le tout. De $n_A=p\times n$, on tire $n={\displaystyle \frac{n_A}{p}}$ (avec $p\ne 0$) : on divise la partie par la proportion.

Les trois calculs sont trois façons de lire la même égalité $n_A=p\times n$ : on cherche la partie ($n_A=p\times n$), la proportion ($p={\displaystyle \frac{n_A}{n}}$) ou le tout ($n={\displaystyle \frac{n_A}{p}}$).

Sans calculatrice. $10\%$ : on divise par $10$ ; $1\%$ : par $100$ ; $50\%$ : la moitié ; $25\%$ : le quart ; $20\%$ : le cinquième ; $5\%$ : la moitié de $10\%$. On combine ces pourcentages simples. Enfin, $t\%$ de $x$ est égal à $x\%$ de $t$ : $8\%$ de $50$, c’est $50\%$ de $8$, soit $4$.

Deux groupes réunis. Pour obtenir la proportion sur l’ensemble de deux groupes, on calcule l’effectif concerné dans chaque groupe, on les ajoute, puis on divise par l’effectif total. On ne fait pas la moyenne des deux pourcentages : le résultat est compris entre les deux proportions, et il n’est égal à leur moyenne que si les deux groupes ont le même effectif.

Propriété (proportion de proportion). Soit $A\subset B\subset E$ : $A$ est une partie de $B$, elle-même partie de $E$. Si $p_{B/E}$ est la proportion de $B$ dans $E$ et $p_{A/B}$ la proportion de $A$ dans $B$, alors la proportion de $A$ dans $E$ vaut $p_{A/E}=p_{A/B}\times p_{B/E}$.

Démonstration. Notons $n$, $n_B$ et $n_A$ les effectifs de $E$, $B$ et $A$, avec $n\ne 0$ et $n_B\ne 0$. On introduit le facteur ${\displaystyle \frac{n_B}{n_B}}$, égal à $1$ : $p_{A/E}={\displaystyle \frac{n_A}{n}}={\displaystyle \frac{n_A}{n_B}}\times {\displaystyle \frac{n_B}{n}}$, c’est-à-dire $p_{A/B}\times p_{B/E}$.

Calcul inverse. Si l’on connaît $p_{A/E}$ et $p_{B/E}$ (non nulle), alors $p_{A/B}={\displaystyle \frac{p_{A/E}}{p_{B/E}}}$ : on divise par la proportion de la population intermédiaire.

Contrôle. Une proportion de proportion est inférieure ou égale à chacune des deux proportions de départ.