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Statistique à deux caractères : tableaux croisés, nuage de points, ajustement affine

Moyenne, médiane, quartiles et graphiques, tableau croisé d’effectifs, fréquences marginales et conditionnelles, nuage de points, point moyen, droite de Mayer, droite d’ajustement, interpolation et extrapolation, sans calculatrice.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 1re (tronc commun) traite la statistique à deux caractères en quatre cas : les rappels de seconde (moyenne, médiane, quartiles, graphiques et axes tronqués), le tableau croisé avec ses fréquences marginales et conditionnelles, le nuage de points avec son point moyen et la droite de Mayer, puis la droite d’ajustement pour interpoler ou extrapoler. Chaque cas a ses exemples rédigés, un réflexe, un piège et une mission d’entraînement.

Automatismes : moyenne, médiane, quartiles et graphiques

Ce qu’il faut savoir

Moyenne. Pour une série de $N$ valeurs, $\overset{―}{x} = \frac{somme des valeurs}{N}$ . Si la valeur $x_{i}$ apparaît $n_{i}$ fois, $\overset{―}{x} = \frac{n_{1} x_{1} + n_{2} x_{2} + \dots + n_{p} x_{p}}{N}$ : c’est une moyenne pondérée par les effectifs (on pondère de même par des coefficients). Pour une série regroupée en classes, on remplace chaque classe par son centre : on obtient une valeur approchée de la moyenne.

Médiane. On range les valeurs dans l’ordre croissant. Si $N$ est impair, la médiane $M e$ est la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ ; si $N$ est pair, c’est la moyenne des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ . Au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à $M e$ , et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.

Quartiles. Dans la série rangée, $Q_{1}$ est la valeur de rang $\frac{N}{4}$ et $Q_{3}$ la valeur de rang $\frac{3 N}{4}$ , ces rangs étant arrondis à l’entier supérieur. Au moins $25 %$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_{1}$ et au moins $75 %$ sont inférieures ou égales à $Q_{3}$ . L’écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ et l’étendue (maximum moins minimum) mesurent la dispersion.

Graphiques. Diagramme en barres : les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs. Diagramme circulaire : l’angle d’un secteur est proportionnel à la fréquence (360° pour $100 %$ ). Diagramme en boîte : minimum, $Q_{1}$ , $M e$ , $Q_{3}$ , maximum ; il sert à comparer deux séries.

Lire un graphique d’un œil critique. Si l’axe vertical d’un diagramme en barres ne part pas de $0$ , les hauteurs ne sont plus proportionnelles aux valeurs : les écarts paraissent amplifiés. Un dessin agrandi dans les deux dimensions voit son aire multipliée par le carré du coefficient : une hauteur doublée donne une aire quadruplée. On regarde aussi la source, l’unité, la période et la taille de l’échantillon.

Exemples

Série brute. Pointures des neuf joueurs d’une équipe de handball : $43$ ; $46$ ; $41$ ; $44$ ; $48$ ; $42$ ; $45$ ; $43$ ; $44$ . Leur somme vaut $396$ , donc $\overset{―}{x} = \frac{396}{9} = 44$ . Série rangée : $41$ ; $42$ ; $43$ ; $43$ ; $44$ ; $44$ ; $45$ ; $46$ ; $48$ . Comme $N = 9$ est impair, la médiane est la $5^{e}$ valeur : $M e = 44$ . Pour $Q_{1}$ : $\frac{9}{4} = 2, 25$ , on prend le rang $3$ , donc $Q_{1} = 43$ . Pour $Q_{3}$ : $\frac{27}{4} = 6, 75$ , on prend le rang $7$ , donc $Q_{3} = 45$ . Écart interquartile : $45 - 43 = 2$ .

Tableau d’effectifs. Nombre de personnes dans $40$ voitures à un péage : $1$ personne : $14$ voitures ; $2$ : $9$ ; $3$ : $8$ ; $4$ : $6$ ; $5$ : $3$ . Produits « valeur × effectif » : $14$ ; $18$ ; $24$ ; $24$ ; $15$ , de somme $95$ , donc $\overset{―}{x} = \frac{95}{40} = 2, 375$ personnes par voiture. $N = 40$ est pair : la médiane est la moyenne des valeurs de rangs $20$ et $21$ . Effectifs cumulés : $14$ ; $23$ ; $31$ ; $37$ ; $40$ . Les rangs $15$ à $23$ valent $2$ , donc $M e = 2$ .

Données en classes. Attente à un guichet pour $20$ clients : $[0; 4 [$ : $5$ clients ; $[4; 8 [$ : $10$ ; $[8; 12 [$ : $5$ . Avec les centres $2$ , $6$ et $10$ : $5 \times 2 + 10 \times 6 + 5 \times 10 = 120$ , donc $\overset{―}{x} \approx \frac{120}{20} = 6$ minutes.

Diagramme circulaire. Un secteur de 126° représente $\frac{126}{360} = 0, 35$ , soit $35 %$ de l’effectif.

Axe tronqué. Des ventes de $48$ , $50$ puis $53$ milliers d’articles sont dessinées avec un axe vertical qui commence à $46$ : les barres visibles mesurent $2$ , $4$ et $7$ , et la dernière paraît $3, 5$ fois plus haute que la première. En réalité, $\frac{53}{48} \approx 1, 1$ : les ventes n’ont augmenté que d’environ $10 %$ .

Réflexe — Je range la série avant de chercher la médiane ou les quartiles ; dans un tableau d’effectifs, je cumule les effectifs pour trouver la valeur d’un rang.

Attention — Dans un tableau d’effectifs, la moyenne se calcule avec les effectifs : $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ n’est pas le nombre moyen de personnes par voiture. Et un rang de quartile s’arrondit à l’entier supérieur : on ne fait pas de moyenne de deux valeurs pour $Q_{1}$ ou $Q_{3}$ .

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Tableau croisé : fréquences marginales et conditionnelles

Ce qu’il faut savoir

Tableau croisé d’effectifs. Il répartit une population selon deux caractères : chaque case contient l’effectif des individus qui ont à la fois la modalité de sa ligne et celle de sa colonne. La ligne et la colonne « Total » donnent les effectifs marginaux. On complète un tableau par additions et soustractions : chaque ligne et chaque colonne a pour somme son total.

Fréquence marginale. Elle ne porte que sur un caractère : $f (A) = \frac{effectif de A}{N}$ , où $N$ est l’effectif total.

Fréquence conditionnelle. La fréquence de $A$ parmi $B$ se calcule sur la sous-population $B$ : $f_{B} (A) = \frac{effectif de « A et B »}{effectif de B}$ . Les mots « parmi », « chez », « de ces » désignent le dénominateur. En général, $f_{B} (A) \neq f_{A} (B)$ : même numérateur, dénominateurs différents.

Propriété. $f (A et B) = f (B) \times f_{B} (A)$ , car $\frac{n_{A et B}}{N} = \frac{n_{B}}{N} \times \frac{n_{A et B}}{n_{B}}$ . Par conséquent, la fréquence marginale de $A$ est la moyenne des fréquences de $A$ dans chaque groupe, pondérée par les effectifs des groupes ; ce n’est pas leur moyenne simple quand les groupes n’ont pas la même taille.

Comparer des groupes. Quand les groupes n’ont pas la même taille, on compare des fréquences, pas des effectifs. Un diagramme en barres des fréquences conditionnelles (une barre par groupe) ou un tableau des fréquences par colonne (chaque colonne a pour somme $100 %$ ) rend la comparaison visible ; avec un tableur, une seule formule, recopiée, divise chaque case par le total de sa colonne.

Exemples

On a demandé aux $400$ élèves d’un lycée s’ils ont suivi la formation aux premiers secours (PSC1).

	2nde	1re	Tle	Total
Formés	42	72	86	200
Non formés	98	88	14	200
Total	140	160	100	400

Fréquence marginale. $f (formé) = \frac{200}{400} = 0, 5$ : la moitié des élèves sont formés.

Deux fréquences conditionnelles. Parmi les $140$ élèves de 2nde : $\frac{42}{140} = 0, 3$ , soit $30 %$ de formés. Parmi les $200$ élèves formés : $\frac{42}{200} = 0, 21$ , soit $21 %$ d’élèves de 2nde. Même numérateur $42$ , deux dénominateurs : deux réponses différentes.

Comparer les niveaux. $30 %$ de formés en 2nde, $\frac{72}{160} = 0, 45$ , soit $45 %$ , en 1re et $\frac{86}{100} = 0, 86$ , soit $86 %$ , en terminale : la formation progresse avec le niveau. Moyenne pondérée par les effectifs : $140 \times 0, 3 = 42$ , $160 \times 0, 45 = 72$ et $100 \times 0, 86 = 86$ , puis $\frac{42 + 72 + 86}{400} = 0, 5$ : on retrouve la fréquence marginale ; la moyenne simple $\frac{30 + 45 + 86}{3} \approx 53, 7$ serait fausse.

Réflexe — Avant de diviser, je complète la phrase « parmi les … » : l’effectif de ce groupe, total d’une ligne ou d’une colonne, est le dénominateur.

Attention — « $21 %$ des élèves formés sont en 2nde » et « $21 %$ des élèves de 2nde sont formés » ne disent pas la même chose : inverser la population de référence est l’erreur la plus fréquente. Et diviser par l’effectif total donne la fréquence de la case, $\frac{42}{400} = 0, 105$ , pas une fréquence conditionnelle.

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Nuage de points, point moyen et droite de Mayer

Ce qu’il faut savoir

Série à deux variables. À chaque individu $i$ , on associe deux mesures $x_{i}$ et $y_{i}$ . Le nuage de points est l’ensemble des points $M_{i} (x_{i}; y_{i})$ dans un repère.

Point moyen. C’est le point $G (\overset{―}{x}; \overset{―}{y})$ , où $\overset{―}{x}$ est la moyenne des $x_{i}$ et $\overset{―}{y}$ la moyenne des $y_{i}$ .

Lire la forme du nuage. Points à peu près alignés : on peut résumer le nuage par une droite, appelée droite d’ajustement (on parle d’ajustement affine). Nuage courbé (croissance de plus en plus rapide, palier) ou sans forme : une droite résume mal la tendance. Un nuage allongé montre un lien statistique, pas une causalité : un troisième facteur peut agir sur les deux variables.

Ajustement au jugé. On trace à la règle une droite qui passe par $G$ , au plus près des points, en laissant à peu près autant de points de chaque côté. Deux personnes n’obtiennent pas exactement la même droite.

Méthode de Mayer. On range la série par $x$ croissants et on la partage en deux groupes de même effectif (à un près). On calcule les points moyens $G_{1}$ et $G_{2}$ des deux groupes : la droite de Mayer est la droite $(G_{1} G_{2})$ . Elle passe par $G$ ; quand les deux groupes ont le même effectif, $G$ est le milieu de $[G_{1} G_{2}]$ .

Exemples

Point moyen. Nombre $y_{i}$ d’abonnés (en centaines) à une lettre d’information selon le rang $x_{i}$ du mois :

$x_{i}$	1	2	3	4	5
$y_{i}$	12	15	19	21	25

$\overset{―}{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = 3$ et $\overset{―}{y} = \frac{12 + 15 + 19 + 21 + 25}{5} = \frac{92}{5} = 18, 4$ , donc $G (3; 18, 4)$ .

Droite de Mayer. Hauteur d’eau $y_{i}$ (en cm) dans un bassin, $x_{i}$ minutes après l’ouverture d’une vanne :

$x_{i}$	2	4	6	8	10	12
$y_{i}$	7	9	11,3	12,9	15,3	17,1

Premier groupe ( $x = 2$ , $4$ , $6$ ) : $\frac{7 + 9 + 11, 3}{3} = \frac{27, 3}{3} = 9, 1$ , donc $G_{1} (4; 9, 1)$ . Second groupe ( $x = 8$ , $10$ , $12$ ) : $\frac{12, 9 + 15, 3 + 17, 1}{3} = \frac{45, 3}{3} = 15, 1$ , donc $G_{2} (10; 15, 1)$ . Coefficient directeur : $a = \frac{15, 1 - 9, 1}{10 - 4} = \frac{6}{6} = 1$ . Comme $G_{1}$ est sur la droite, $b = 9, 1 - 1 \times 4 = 5, 1$ : la droite de Mayer a pour équation $y = x + 5, 1$ .

Contrôle. $\overset{―}{x} = 7$ et $\overset{―}{y} = \frac{27, 3 + 45, 3}{6} = \frac{72, 6}{6} = 12, 1$ : $G (7; 12, 1)$ est bien le milieu de $[G_{1} G_{2}]$ , et $7 + 5, 1 = 12, 1$ .

Réflexe — Pour le point moyen, je fais deux moyennes, celle des $x_{i}$ et celle des $y_{i}$ . Pour Mayer : je range par $x$ croissants, je coupe en deux, je calcule $G_{1}$ et $G_{2}$ , puis $a$ et $b$ , et je contrôle avec $G$ .

Attention — $G$ n’est pas le milieu du premier et du dernier point du nuage : pour les abonnés, $\frac{12 + 25}{2} = 18, 5$ , alors que $\overset{―}{y} = 18, 4$ . Et pour Mayer, une série non rangée par $x$ croissants donne des groupes qui n’ont pas de sens.

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Droite d’ajustement : estimer, interpoler, extrapoler

Ce qu’il faut savoir

Droite des moindres carrés. Parmi toutes les droites, c’est celle qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts verticaux ${(y_{i} - (a x_{i} + b))}^{2}$ entre les points du nuage et la droite. Elle passe par le point moyen $G$ . On l’obtient avec la calculatrice (régression linéaire $y = a x + b$ dans le menu statistiques) ou avec un tableur (fonctions PENTE et ORDONNEE.ORIGINE, ou courbe de tendance linéaire). Sans calculatrice, son équation est donnée par l’énoncé.

Interpréter les coefficients. Le coefficient directeur $a$ est la variation moyenne de $y$ quand $x$ augmente de $1$ . L’ordonnée à l’origine $b$ est la valeur estimée pour $x = 0$ : si $0$ est loin des valeurs observées, elle peut n’avoir aucun sens concret.

Estimer. Pour estimer $y$ , on remplace $x$ par la valeur voulue dans $y = a x + b$ ; pour trouver $x$ connaissant $y$ , on résout l’équation $a x + b = y$ .

Interpolation, extrapolation. Estimer pour une valeur de $x$ comprise entre la plus petite et la plus grande valeur observée, c’est interpoler ; en dehors de cette plage, c’est extrapoler. Une extrapolation suppose que la tendance continue : une saturation, une rupture ou un phénomène non affine la rendent fausse, et le risque grandit avec la distance aux données.

Pour information. La calculatrice obtient $a = \frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x}) (y_{i} - \overset{―}{y})}{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}$ et $b = \overset{―}{y} - a \overset{―}{x}$ ; cette formule n’est pas à connaître.

Exemples

Obtenir la droite. Pour les abonnés de la partie précédente, de point moyen $G (3; 18, 4)$ , la calculatrice donne $y = 3, 2 x + 8, 8$ . Contrôle : $3, 2 \times 3 + 8, 8 = 18, 4$ , la droite passe bien par $G$ . Avec la formule : les écarts $x_{i} - \overset{―}{x}$ valent $- 2$ ; $- 1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ et les écarts $y_{i} - \overset{―}{y}$ valent $- 6, 4$ ; $- 3, 4$ ; $0, 6$ ; $2, 6$ ; $6, 6$ , leurs produits valent $12, 8$ ; $3, 4$ ; $0$ ; $2, 6$ ; $13, 2$ , de somme $32$ , et la somme des carrés des écarts $x_{i} - \overset{―}{x}$ vaut $4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10$ : $a = \frac{32}{10} = 3, 2$ .

Interpréter. $a = 3, 2$ : le nombre d’abonnés augmente en moyenne de $3, 2$ centaines, soit $320$ abonnés, par mois.

Interpoler. Pour $x = 3, 5$ , entre le troisième et le quatrième mois : $y = 3, 2 \times 3, 5 + 8, 8 = 20$ , soit environ $2 000$ abonnés. Comme $3, 5$ est compris entre $1$ et $5$ , c’est une interpolation.

Extrapoler. Pour le mois $12$ : $y = 3, 2 \times 12 + 8, 8 = 47, 2$ , soit environ $4 720$ abonnés. C’est une extrapolation, qui suppose que la croissance reste la même pendant sept mois de plus.

Trouver $x$ . Quand atteindra-t-on $3 000$ abonnés ? On résout $3, 2 x + 8, 8 = 30$ , soit $3, 2 x = 21, 2$ et $x = \frac{21, 2}{3, 2} = 6, 625$ : au cours du $7^{e}$ mois, par extrapolation, car $6, 625 > 5$ .

Réflexe — J’écris l’équation, je remplace $x$ (ou je résous $a x + b = y$ ), je donne le résultat avec son unité, puis je dis « interpolation » ou « extrapolation » en comparant $x$ à la plage observée.

Attention — Une estimation calculée n’est pas une certitude : $b = 8, 8$ , valeur du « mois $0$ », est déjà une extrapolation. Une droite d’ajustement ne prouve pas que $x$ agit sur $y$ . Enfin, on garde assez de décimales : une erreur de $0, 01$ sur $a$ devient une erreur de $1$ sur l’estimation pour $x = 100$ .

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Pour aller plus loin

Points de pourcentage. Quand un taux passe de $20 %$ à $25 %$ , il gagne $5$ points de pourcentage, mais son taux d’évolution vaut $\frac{25 - 20}{20} = 0, 25$ , soit $25 %$ : voir Automatismes : taux d’évolution.

Proportions. Proportion d’une sous-population, pourcentage de pourcentage, proportion sur deux groupes réunis : Automatismes : proportions et pourcentages.

Probabilités conditionnelles. Quand on choisit un individu au hasard, la fréquence conditionnelle « parmi $B$ » lue dans un tableau croisé devient une probabilité conditionnelle : Probabilités conditionnelles et indépendance.

Croissance linéaire ou exponentielle. Des valeurs qui augmentent d’une même quantité à chaque pas se modélisent par une suite arithmétique ; si elles sont multipliées par un même nombre, la droite ne convient plus et l’on passe à une suite géométrique : Suites arithmétiques et croissance linéaire et Suites géométriques et croissance exponentielle.

L’épreuve. Moyenne, médiane, quartiles et lecture de graphiques sont des automatismes de seconde évalués sans calculatrice dans la première partie de l’épreuve anticipée. Les autres automatismes : Automatismes : calcul numérique, calcul littéral et géométrie.

À retenir

Moyenne pondérée par les effectifs ; médiane et quartiles dans la série rangée ( $Q_{1}$ : rang $\frac{N}{4}$ , $Q_{3}$ : rang $\frac{3 N}{4}$ , arrondis à l’entier supérieur) ; un axe qui ne part pas de $0$ amplifie les écarts.
Tableau croisé : fréquence marginale $=$ total d’une ligne ou d’une colonne divisé par $N$ ; fréquence conditionnelle « parmi $B$ » $=$ effectif de « $A$ et $B$ » divisé par l’effectif de $B$ .
La fréquence marginale est la moyenne des fréquences des groupes pondérée par leurs effectifs, pas leur moyenne simple.
Point moyen $G (\overset{―}{x}; \overset{―}{y})$ ; droite de Mayer $(G_{1} G_{2})$ ; la droite de Mayer et la droite des moindres carrés passent par $G$ .
Estimer : remplacer $x$ dans $y = a x + b$ ou résoudre $a x + b = y$ ; dans la plage observée on interpole, en dehors on extrapole, avec prudence ; un lien statistique n’est pas une causalité.

Questions fréquentes

Comment trouver la médiane et les quartiles d’une série ?

On range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant. La médiane est la valeur du milieu (ou la moyenne des deux valeurs du milieu si l’effectif est pair). Le premier quartile Q1 est la valeur de rang N/4 et le troisième quartile Q3 celle de rang 3N/4, ces rangs étant arrondis à l’entier supérieur.

Quelle est la différence entre fréquence marginale et fréquence conditionnelle ?

La fréquence marginale porte sur toute la population : total d’une ligne ou d’une colonne du tableau croisé divisé par l’effectif total. La fréquence conditionnelle porte sur une sous-population : « parmi les B », on divise l’effectif de « A et B » par l’effectif de B. Inverser la population de référence change le résultat.

Comment calculer le point moyen d’un nuage de points ?

Le point moyen G a pour abscisse la moyenne des xᵢ et pour ordonnée la moyenne des yᵢ. Par exemple, pour les points (1 ; 4), (2 ; 6) et (6 ; 11), G a pour coordonnées (3 ; 7). La droite de Mayer et la droite des moindres carrés passent toujours par G.

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

Avec une droite d’ajustement y = ax + b, on estime y en remplaçant x. Si x est compris entre la plus petite et la plus grande valeur observée, c’est une interpolation, plutôt fiable si les points sont proches de la droite. En dehors de cette plage, c’est une extrapolation : elle suppose que la tendance continue et devient vite hasardeuse.

La statistique à deux caractères est-elle à l’épreuve anticipée de maths de première ?

Le chapitre fait partie du programme de mathématiques de première (tronc commun). Moyenne, médiane, quartiles et lecture de graphiques sont en plus des automatismes de seconde évalués sans calculatrice dans la première partie de l’épreuve anticipée ; sans calculatrice, l’équation d’une droite d’ajustement est donnée par l’énoncé.

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