Qu'est-ce qu'un ajustement affine d'un nuage de points ?

C'est le remplacement d'un nuage de points de forme allongée par une droite d'équation y = ax + b qui résume la tendance. On l'obtient à la main (droite passant par le point moyen, méthode de Mayer) ou par la méthode des moindres carrés, avec la calculatrice ou un tableur. Cette droite sert ensuite à faire des estimations.

Quelle est la différence entre interpolation et extrapolation ?

Interpoler, c'est estimer une valeur à l'intérieur de la plage des données observées ; extrapoler, c'est estimer en dehors, par exemple pour prévoir l'avenir. L'extrapolation suppose que la tendance observée continue : elle est d'autant moins fiable qu'on s'éloigne des données.

Comment obtenir la droite d'ajustement avec la calculatrice ou un tableur ?

On saisit les valeurs de x et de y dans deux listes, puis on lance la régression linéaire (ax + b) du menu statistiques. Au tableur, les fonctions PENTE et ORDONNEE.ORIGINE, ou une courbe de tendance linéaire, donnent a et b. On contrôle que la droite passe par le point moyen G.

Pourquoi un graphique peut-il être trompeur ?

Un axe vertical qui ne part pas de 0 exagère les écarts, et un pictogramme agrandi dans les deux dimensions trompe sur les proportions. Comparer des effectifs entre groupes de tailles différentes fausse aussi la conclusion. Il faut enfin distinguer points de pourcentage et taux d'évolution, et ne pas confondre lien statistique et causalité.

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Information chiffrée : tableaux croisés, nuage de points et ajustement affine

Q: Comment calculer une fréquence conditionnelle dans un tableau croisé ?

On divise l'effectif de la case qui réunit les deux modalités par le total de la ligne ou de la colonne de la population de référence, celle qui suit le mot « parmi ». Par exemple, si 90 élèves de 2nde sur 140 sont inscrits dans un club, la fréquence des inscrits parmi les élèves de 2nde est 90/140 ≈ 0,643. Diviser par l'effectif total donnerait la fréquence de la case, pas la fréquence conditionnelle.

Tableaux croisés d'effectifs, nuages de points, ajustement affine, interpolation et extrapolation

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en première sur « Information chiffrée : tableaux croisés, nuage de points et ajustement affine » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Tableaux croisés d'effectifs et de fréquences, Nuage de points et point moyen, Ajustement affine. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.

L'essentiel

Tableau croisé d'effectifs. Il répartit une population selon deux caractères : chaque case contient l'effectif des individus qui présentent à la fois la modalité de sa ligne et celle de sa colonne. La ligne et la colonne « Total » donnent les effectifs marginaux.

Fréquences. Fréquence marginale d'une modalité : total de sa ligne (ou de sa colonne) divisé par l'effectif total. Fréquence conditionnelle de A parmi B : effectif des individus qui sont à la fois A et B, divisé par l'effectif de B.

Nuage de points et point moyen. Une série statistique à deux variables

(x_{i}; y_{i})

se représente par un nuage de points dans un repère. Son point moyen est

G (\overset{―}{x}; \overset{―}{y})

, où

\overset{―}{x}

\overset{―}{y}

sont les moyennes des

x_{i}

et des

y_{i}

Ajustement affine. Quand le nuage a une forme allongée, on le résume par une droite

y = a x + b

, appelée droite d'ajustement. La droite des moindres carrés, fournie par la calculatrice ou le tableur, passe par

G

Interpolation, extrapolation. Estimer

y

pour une valeur de

x

comprise entre la plus petite et la plus grande valeur observée, c'est interpoler ; en dehors de cette plage, c'est extrapoler, avec prudence.

Tableaux croisés d'effectifs et de fréquences

On a demandé aux 400 élèves d'un lycée s'ils sont inscrits dans un club sportif.

	2nde	1re	Tle	Total
Club	90	70	60	220
Pas de club	50	70	60	180
Total	140	140	120	400

Fréquence marginale. Elle ne concerne qu'un seul caractère. Fréquence des inscrits en club :

\frac{220}{400} = 0, 55

, soit 55 %.

Fréquence conditionnelle. On se restreint à une sous-population (le dénominateur). Parmi les élèves de 2nde, la fréquence des inscrits est

\frac{90}{140} \approx 0, 643

; parmi les inscrits, la fréquence des élèves de 2nde est

\frac{90}{220} \approx 0, 409

. Même numérateur, dénominateurs différents : ces deux fréquences ne sont pas égales en général.

Deux tableaux de fréquences. En divisant chaque case par l'effectif total, on obtient le tableau des fréquences (somme des cases : 1). En divisant chaque case par le total de sa colonne, on obtient les fréquences conditionnelles par colonne (chaque colonne a pour somme 1) : c'est ce tableau qui permet de comparer les niveaux entre eux.

Propriété. La fréquence marginale est la moyenne des fréquences conditionnelles, pondérée par les effectifs des groupes. Ici :

\frac{140 \times \frac{90}{140} + 140 \times 0, 5 + 120 \times 0, 5}{400} = \frac{90 + 70 + 60}{400} = 0, 55

Nuage de points et point moyen

Série à deux variables. À chaque individu

i

on associe deux mesures

x_{i}

y_{i}

; le nuage est l'ensemble des points

M_{i} (x_{i}; y_{i})

. Point moyen :

\overset{―}{x} = \frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}

\overset{―}{y} = \frac{y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n}}{n}

Exemple. Nombre

y

d'abonnés (en centaines) à une lettre d'information selon le rang

x

du mois :

$x_{i}$	1	2	3	4	5
$y_{i}$	12	15	19	21	25

\overset{―}{x} = \frac{15}{5} = 3

\overset{―}{y} = \frac{92}{5} = 18, 4

, donc

G (3; 18, 4)

Lire la forme du nuage avant d'ajuster. Points à peu près alignés : un ajustement affine est pertinent. Nuage courbé (croissance de plus en plus rapide, palier) : une droite résume mal la tendance. Nuage sans forme : aucun lien affine exploitable.

Ajustement affine

Ajustement à la main. On trace à la règle une droite qui passe par

G

, au plus près des points, en laissant à peu près autant de points de chaque côté. Deux personnes n'obtiennent pas exactement la même droite.

Méthode de Mayer. On range la série par

x

croissants et on la partage en deux groupes de même effectif (à un près). On calcule leurs points moyens

G_{1}

G_{2}

: la droite

(G_{1} G_{2})

est la droite de Mayer. Elle passe par

G

Droite des moindres carrés. C'est la droite

y = a x + b

qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux

\sum {(y_{i} - (a x_{i} + b))}^{2}

. Elle passe par

G

. Ses coefficients sont donnés par la calculatrice (menu statistiques, régression linéaire

a x + b

) ou par le tableur (fonctions PENTE et ORDONNEE.ORIGINE, ou courbe de tendance linéaire). Pour information :

a = \frac{\sum (x_{i} - \overset{―}{x}) (y_{i} - \overset{―}{y})}{\sum (x_{i} - \overset{―}{x})^{2}}

b = \overset{―}{y} - a \overset{―}{x}

Exemple. Pour les abonnés de la section 3, les écarts

x_{i} - \overset{―}{x}

valent

- 2

- 1

0

1

2

et les écarts

y_{i} - \overset{―}{y}

valent

- 6, 4

;

- 3, 4

;

0, 6

;

2, 6

;

6, 6

. Donc

a = \frac{12, 8 + 3, 4 + 0 + 2, 6 + 13, 2}{4 + 1 + 0 + 1 + 4} = \frac{32}{10} = 3, 2

b = 18, 4 - 3, 2 \times 3 = 8, 8

. La droite des moindres carrés est

y = 3, 2 x + 8, 8

Interpréter $a$ . Le coefficient directeur est la variation moyenne de

y

quand

x

augmente de 1 : ici, environ 320 abonnés de plus chaque mois.

Interpolation et extrapolation

Estimer avec la droite. Pour estimer

y

, on remplace

x

par la valeur voulue dans

y = a x + b

; pour trouver

x

connaissant

y

, on résout l'équation

a x + b = y

Exemple. Avec

y = 3, 2 x + 8, 8

, établie pour

x \in [1; 5]

: pour

x = 3, 5

y = 3, 2 \times 3, 5 + 8, 8 = 20

, soit environ 2 000 abonnés (interpolation). Pour

x = 12

y = 47, 2

, soit environ 4 720 abonnés : c'est une extrapolation, qui suppose que la croissance reste la même pendant sept mois de plus.

Limites. Une interpolation est d'autant plus fiable que les points sont proches de la droite. Une extrapolation suppose que la tendance continue : une saturation, une rupture (crise, nouvelle règle) ou un phénomène non affine la rendent fausse. Plus on s'éloigne des données, plus le risque grandit.

L'ordonnée à l'origine.

b

est la valeur estimée pour

x = 0

. Si 0 est loin des valeurs observées, c'est une extrapolation et

b

peut n'avoir aucun sens concret : la « note obtenue avec 0 heure de révision » n'a pas de sens si l'on n'a observé que des durées de 3 à 10 heures.

Lecture critique de l'information chiffrée

Points de pourcentage et taux d'évolution. Quand un taux passe de

t_{1}

% à

t_{2}

%, il varie de

t_{2} - t_{1}

points ; son taux d'évolution est

\frac{t_{2} - t_{1}}{t_{1}}

. De 20 % à 25 % : hausse de 5 points, soit une hausse de 25 %.

Axe tronqué. Si l'axe vertical d'un diagramme en barres ne part pas de 0, les hauteurs des barres ne sont plus proportionnelles aux valeurs : les écarts paraissent amplifiés.

Exemple. Ventes de 48, 50 puis 53 milliers : hausse réelle de

\frac{53 - 48}{48} \approx 0, 104

, soit environ 10,4 %. Avec un axe partant de 46, les barres visibles mesurent 2, 4 et 7 : la dernière paraît 3,5 fois plus haute que la première.

Autres points de vigilance.
• Comparer des fréquences, pas des effectifs, quand les groupes n'ont pas la même taille.
• Un lien statistique (nuage allongé) ne prouve pas une causalité : un troisième facteur peut agir sur les deux variables.
• Des pourcentages calculés sur des populations différentes ne s'additionnent pas et ne se moyennent pas sans pondération.
• Pictogrammes : doubler la hauteur d'une image quadruple son aire.
• Regarder la source, l'unité, la période et la taille de l'échantillon.

Méthodes

Méthode 1 — Calculer une fréquence conditionnelle dans un tableau croisé

Repérer la population de référence : ce qui suit « parmi » donne le dénominateur.
Lire l'effectif de la case qui réunit les deux modalités : c'est le numérateur.
Lire le total de la population de référence (ligne ou colonne), jamais l'effectif total.
Diviser, puis conclure par une phrase avec un pourcentage.

Exemple rédigé. Une entreprise compte 80 salariés au service A, dont 52 en télétravail, et 170 au service B, dont 34 en télétravail. Parmi les salariés du service A, la fréquence du télétravail est

\frac{52}{80} = 0, 65

; parmi ceux du service B,

\frac{34}{170} = 0, 2

. Parmi les

52 + 34 = 86

télétravailleurs, la fréquence de ceux du service A est

\frac{52}{86} \approx 0, 605

: environ 60,5 % des télétravailleurs sont au service A.

Méthode 2 — Déterminer la droite de Mayer

Ranger les points par $x$ croissants et les partager en deux groupes de même effectif.
Calculer les points moyens $G_{1}$ et $G_{2}$ des deux groupes.
Calculer le coefficient directeur $a = \frac{y_{G_{2}} - y_{G_{1}}}{x_{G_{2}} - x_{G_{1}}}$ .
Trouver $b$ en écrivant que $G_{1}$ est sur la droite : $b = y_{G_{1}} - a x_{G_{1}}$ .
Contrôler que le point moyen $G$ vérifie l'équation.

Exemple rédigé. Série :

x

= 2, 4, 6, 8, 10, 12 et

y

= 7 ; 9 ; 11,3 ; 12,9 ; 15,3 ; 17,1. Premier groupe :

G_{1} (4; \frac{27, 3}{3}) = G_{1} (4; 9, 1)

. Second groupe :

G_{2} (10; \frac{45, 3}{3}) = G_{2} (10; 15, 1)

a = \frac{15, 1 - 9, 1}{10 - 4} = 1

b = 9, 1 - 1 \times 4 = 5, 1

: la droite de Mayer est

y = x + 5, 1

. Contrôle :

G (7; 12, 1)

7 + 5, 1 = 12, 1

Méthode 3 — Estimer à l'aide de la droite des moindres carrés

Saisir les $x_{i}$ dans une liste (ou colonne), les $y_{i}$ dans une autre.
Lancer la régression linéaire $a x + b$ ; noter $a$ et $b$ avec assez de décimales.
Contrôler que $G$ est sur la droite (aux arrondis près).
Remplacer $x$ (ou résoudre $a x + b = y$ ), dire s'il s'agit d'une interpolation ou d'une extrapolation et commenter la fiabilité.

Exemple rédigé. Pour les abonnés, la calculatrice donne

y = 3, 2 x + 8, 8

; contrôle :

3, 2 \times 3 + 8, 8 = 18, 4 = \overset{―}{y}

. Quand atteindra-t-on 3 000 abonnés ? On résout

3, 2 x + 8, 8 = 30

, soit

x = \frac{21, 2}{3, 2} = 6, 625

: au cours du 7e mois. Comme

6, 625 > 5

, c'est une extrapolation, raisonnable seulement si la croissance reste régulière.

Pièges et erreurs classiques

Inverser la population de référence. « 64 % des élèves de 2nde sont en club » et « 64 % des membres de club sont en 2nde » sont deux affirmations différentes : le dénominateur change.

Diviser par le mauvais total. Une fréquence « parmi B » se divise par le total de B, pas par l'effectif total : sinon on obtient la fréquence de la case.

Moyenne non pondérée. La fréquence globale n'est pas la moyenne simple des fréquences des groupes quand les groupes n'ont pas le même effectif.

Points et pourcentages. Un taux qui passe de 10 % à 12 % gagne 2 points, soit une hausse de 20 % : « +2 % » est faux.

Arrondir trop tôt. Garder

a

b

avec assez de décimales : une erreur de 0,01 sur

a

devient une erreur de 1 sur l'estimation pour

x = 100

Extrapoler sans réserve, conclure à une causalité. Une droite d'ajustement décrit une tendance sur la plage observée ; elle ne prouve ni que

x

agit sur

y

, ni que la tendance durera.

En bref

Fréquence marginale = total d'une ligne ou d'une colonne ÷ effectif total ; fréquence de A parmi B = effectif de « A et B » ÷ effectif de B.
La fréquence globale est la moyenne des fréquences conditionnelles pondérée par les effectifs des groupes.
Point moyen $G (\overset{―}{x}; \overset{―}{y})$ ; la droite de Mayer $(G_{1} G_{2})$ et la droite des moindres carrés passent par $G$ .
Moindres carrés : $a$ et $b$ donnés par la calculatrice ou le tableur ; $a$ = variation moyenne de $y$ quand $x$ augmente de 1.
Interpoler (dans la plage observée) est raisonnable ; extrapoler suppose que la tendance continue.
Lire un graphique : origine de l'axe, points ou pourcentage, effectifs ou fréquences ; corrélation n'est pas causalité.

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