Statistique à deux caractères : tableaux croisés, nuage de points, ajustement affine

Calculer sans calculatrice. Écris un nombre décimal (exemple : 12,5).

1. Moyenne de la série $12$ ; $7$ ; $15$ ; $10$ ; $6$ :
   ${\displaystyle \frac{12+7+15+10+6}{5}}={\displaystyle \frac{50}{5}}=10$.
2. Médiane de la série $8$ ; $3$ ; $11$ ; $5$ ; $9$ ; $14$ ; $2$ :
   Série rangée : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $8$ ; $9$ ; $11$ ; $14$. $N=7$ est impair : la médiane est la valeur de rang $4$, soit $8$.
3. Médiane de la série $15$ ; $9$ ; $21$ ; $12$ ; $18$ ; $10$ :
   Série rangée : $9$ ; $10$ ; $12$ ; $15$ ; $18$ ; $21$. $N=6$ est pair : $Me={\displaystyle \frac{12+15}{2}}=13,5$.
4. Dans un diagramme circulaire, un secteur de 72° représente % de l’effectif
   ${\displaystyle \frac{72}{360}}=0,2$, soit $20\%$ de l’effectif.
5. Âge des $50$ spectateurs d’une séance : $[10;20[$ : $12$ ; $[20;30[$ : $18$ ; $[30;40[$ : $15$ ; $[40;50[$ : $5$. Âge moyen estimé avec les centres des classes : ans
   Centres : $15$, $25$, $35$ et $45$. $\bar{x}\approx {\displaystyle \frac{12\times 15+18\times 25+15\times 35+5\times 45}{50}}={\displaystyle \frac{180+450+525+225}{50}}={\displaystyle \frac{1380}{50}}=27,6$ ans.

Nombre de buts marqués par une équipe de football lors de ses $25$ matchs de la saison.

1. Nombre moyen de buts par match :
   ${\displaystyle \frac{0\times 4+1\times 7+2\times 6+3\times 5+4\times 3}{25}}={\displaystyle \frac{0+7+12+15+12}{25}}={\displaystyle \frac{46}{25}}=1,84$ but par match.
2. Médiane :
   $N=25$ est impair : la médiane est la valeur de rang $13$. Effectifs cumulés : $4$ ; $11$ ; $17$ ; $22$ ; $25$. Les rangs $12$ à $17$ valent $2$, donc $Me=2$.
3. Premier quartile $Q_1$ :
   ${\displaystyle \frac{25}{4}}=6,25$, on prend le rang $7$. Les rangs $5$ à $11$ valent $1$, donc $Q_1=1$.
4. Troisième quartile $Q_3$ :
   ${\displaystyle \frac{3\times 25}{4}}=18,75$, on prend le rang $19$. Les rangs $18$ à $22$ valent $3$, donc $Q_3=3$.

Deux lignes de bus relient la gare au lycée. Sur un mois, les durées de trajet (en minutes) sont résumées ainsi. Ligne 1 : minimum $18$, $Q_1=22$, $Me=25$, $Q_3=27$, maximum $40$. Ligne 2 : minimum $20$, $Q_1=23$, $Me=24$, $Q_3=26$, maximum $31$.

1. Écart interquartile de la ligne 1 : min
   $Q_3-Q_1=27-22=5$ min.
2. Écart interquartile de la ligne 2 : min
   $26-23=3$ min : la moitié centrale des trajets de la ligne 2 est plus resserrée.
3. Étendue de la ligne 1 : min
   $40-18=22$ min (contre $31-20=11$ min pour la ligne 2).
4. Sur la ligne 2, au moins $75\%$ des trajets durent au plus min
   C’est la définition de $Q_3$ : au moins $75\%$ des valeurs sont inférieures ou égales à $Q_3=26$ min.
5. Ligne pour laquelle on peut affirmer qu’au moins la moitié des trajets durent $24$ min ou moins : ligne
   Sur la ligne 2, $Me=24$ : au moins la moitié des trajets durent $24$ min ou moins. Sur la ligne 1, $Me=25$ ne permet pas de l’affirmer.

Un club d’échecs a compté ses adhérents : $400$ en 2023, $412$ en 2024 et $430$ en 2025. Sur son affiche, il les représente par un diagramme en barres dont l’axe vertical commence à $390$.

1. Sur l’affiche, la barre de 2025 paraît fois plus haute que celle de 2023
   Hauteurs visibles : $430-390=40$ et $400-390=10$. Rapport : ${\displaystyle \frac{40}{10}}=4$.
2. Augmentation réelle du nombre d’adhérents entre 2023 et 2025 : %
   ${\displaystyle \frac{430-400}{400}}={\displaystyle \frac{30}{400}}=0,075$, soit $7,5\%$.
3. Justifier que l’affiche est trompeuse. Pour que les hauteurs soient proportionnelles aux effectifs, l’axe vertical devrait commencer à
   Rédaction attendue. Les hauteurs visibles sont les effectifs diminués de $390$ : elles ne sont pas proportionnelles aux effectifs. La barre de 2025 paraît $4$ fois plus haute que celle de 2023, alors que ${\displaystyle \frac{430}{400}}=1,075$ : les adhérents n’ont augmenté que de $7,5\%$. Pour une affiche honnête, l’axe vertical doit partir de $0$.
4. Un club voisin, deux fois plus nombreux, est représenté par le même dessin agrandi deux fois en hauteur et en largeur. L’aire du dessin est multipliée par
   Les deux dimensions sont multipliées par $2$ : l’aire est multipliée par $2\times 2=4$. L’œil voit un club « quatre fois plus gros ».

Une piscine a compté ses $500$ entrées d’un mercredi selon le moment et le tarif. Voici le tableau incomplet.

1. Entrées « enfant » du matin :
   Colonne « Matin » : $200-140=60$.
2. Entrées « adulte » de l’après-midi :
   Ligne « Adulte » : $275-140=135$.
3. Total des entrées « enfant » :
   $500-275=225$. Contrôle : $60+165=225$, et le total de l’après-midi vaut $135+165=300=500-200$.
4. Fréquence marginale des entrées « enfant » : %
   ${\displaystyle \frac{225}{500}}=0,45$, soit $45\%$ des entrées.
5. Parmi les entrées du matin, fréquence des entrées « enfant » : %
   Référence : les $200$ entrées du matin. ${\displaystyle \frac{60}{200}}=0,3$, soit $30\%$ (contre ${\displaystyle \frac{165}{300}}=55\%$ l’après-midi).

Lors d’un contrôle technique, on a relevé la motorisation et l’âge de $640$ voitures. Arrondir au dixième si nécessaire.

1. Fréquence marginale des voitures hybrides ou électriques : %
   ${\displaystyle \frac{132}{640}}=0,20625$, soit environ $20,6\%$ des voitures.
2. Parmi les voitures de moins de $5$ ans, fréquence des hybrides ou électriques : %
   Référence : les $240$ voitures de moins de $5$ ans. ${\displaystyle \frac{96}{240}}=0,4$, soit $40\%$.
3. Parmi les voitures de $5$ ans ou plus, fréquence des hybrides ou électriques : %
   Référence : les $400$ voitures de $5$ ans ou plus. ${\displaystyle \frac{36}{400}}=0,09$, soit $9\%$.
4. Parmi les voitures hybrides ou électriques, fréquence de celles qui ont moins de $5$ ans : %
   Référence : les $132$ hybrides ou électriques. ${\displaystyle \frac{96}{132}}={\displaystyle \frac{8}{11}}\approx 0,727$, soit environ $72,7\%$. Ce n’est pas $40\%$ : le dénominateur a changé.

Un parc d’attractions a accueilli $1200$ visiteurs un samedi. $30\%$ d’entre eux avaient un billet coupe-file. $60\%$ des visiteurs avec coupe-file ont fait plus de $10$ attractions, contre $20\%$ des autres visiteurs.

1. Nombre de visiteurs avec coupe-file :
   $0,3\times 1200=360$ visiteurs (et donc $840$ sans coupe-file).
2. Nombre de visiteurs ayant fait plus de $10$ attractions :
   Avec coupe-file : $0,6\times 360=216$. Sans coupe-file : $0,2\times 840=168$. Total : $216+168=384$.
3. Parmi les visiteurs ayant fait plus de $10$ attractions, fréquence de ceux qui avaient un coupe-file : %
   Référence : les $384$ visiteurs. ${\displaystyle \frac{216}{384}}=0,5625$, soit $56,25\%$, alors que les coupe-file ne sont que $30\%$ des visiteurs.
4. Un employé affirme que $40\%$ des visiteurs ont fait plus de $10$ attractions, « la moyenne de $60\%$ et $20\%$ ». Justifier son erreur en écrivant la bonne fréquence comme une moyenne pondérée. Cette fréquence vaut %
   Rédaction attendue. La moyenne simple donne le même poids aux deux groupes, alors que les visiteurs sans coupe-file sont bien plus nombreux ($70\%$ contre $30\%$). On pondère par les parts des groupes : $0,3\times 0,6+0,7\times 0,2=0,18+0,14=0,32$, soit $32\%$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{384}{1200}}=0,32$.

Dans une salle d’escalade, $40\%$ des grimpeurs ont un abonnement. $30\%$ des abonnés et $50\%$ des non-abonnés louent des chaussons. Un samedi, $168$ grimpeurs ont loué des chaussons.

1. Fréquence des grimpeurs qui louent des chaussons : %
   Moyenne pondérée : $0,4\times 0,3+0,6\times 0,5=0,12+0,3=0,42$, soit $42\%$.
2. Justifier le calcul, puis donner le nombre de grimpeurs venus ce samedi :
   Rédaction attendue. Notons $N$ le nombre de grimpeurs. La fréquence des loueurs vaut $0,42$, donc $0,42\times N=168$, d’où $N={\displaystyle \frac{168}{0,42}}={\displaystyle \frac{16800}{42}}=400$. Contrôle : $160$ abonnés dont $0,3\times 160=48$ loueurs, $240$ non-abonnés dont $0,5\times 240=120$ loueurs, et $48+120=168$.
3. Nombre d’abonnés qui louent des chaussons :
   $0,4\times 400=160$ abonnés, dont $0,3\times 160=48$ louent des chaussons.
4. Parmi les grimpeurs qui louent des chaussons, fréquence des abonnés : %
   Référence : les $168$ loueurs. ${\displaystyle \frac{48}{168}}={\displaystyle \frac{2}{7}}\approx 0,286$, soit environ $28,6\%$.

Calculer les coordonnées du point moyen $G$. Écris un nombre décimal.

1. Points $(2;5)$, $(4;9)$, $(6;10)$ et $(8;16)$ : abscisse de $G$ :
   $\bar{x}={\displaystyle \frac{2+4+6+8}{4}}={\displaystyle \frac{20}{4}}=5$.
2. Mêmes points : ordonnée de $G$ :
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{5+9+10+16}{4}}={\displaystyle \frac{40}{4}}=10$, donc $G(5;10)$.
3. $x_i$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $5$ ; $6$ et $y_i$ : $3$ ; $4$ ; $4$ ; $6$ ; $7$ ; $9$ : ordonnée de $G$ :
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{3+4+4+6+7+9}{6}}={\displaystyle \frac{33}{6}}=5,5$ (et $\bar{x}={\displaystyle \frac{21}{6}}=3,5$).
4. $x_i$ : $10$ ; $20$ ; $40$ ; $50$ et $y_i$ : $2,4$ ; $3,1$ ; $4,5$ ; $5$ : ordonnée de $G$ :
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{2,4+3,1+4,5+5}{4}}={\displaystyle \frac{15}{4}}=3,75$ (et $\bar{x}={\displaystyle \frac{120}{4}}=30$).

On a relevé la durée de révision $x$ (en heures) et la note $y$ (sur $20$) de cinq élèves.

1. Abscisse du point moyen $G$ :
   $\bar{x}={\displaystyle \frac{2+3+5+6+9}{5}}={\displaystyle \frac{25}{5}}=5$.
2. Note moyenne, ordonnée du point moyen $G$ :
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{8+9,5+12+13+15,5}{5}}={\displaystyle \frac{58}{5}}=11,6$, donc $G(5;11,6)$.
3. Une droite d’ajustement tracée au jugé passe par $G$ et a pour coefficient directeur $1,05$. Justifier que son ordonnée à l’origine vaut
   Rédaction attendue. La droite a pour équation $y=1,05x+b$. Elle passe par $G(5;11,6)$, donc $11,6=1,05\times 5+b=5,25+b$, d’où $b=11,6-5,25=6,35$. Son équation est $y=1,05x+6,35$.

Un chauffeur de taxi a relevé le prix $y$ (en €) de six courses selon la distance $x$ (en km).

1. Ordonnée de $G_1$, point moyen des trois premières courses :
   $G_1$ : $x={\displaystyle \frac{2+5+8}{3}}=5$ et $y={\displaystyle \frac{7,8+12+16,2}{3}}={\displaystyle \frac{36}{3}}=12$, donc $G_1(5;12)$.
2. Ordonnée de $G_2$, point moyen des trois dernières courses :
   $G_2$ : $x={\displaystyle \frac{11+14+17}{3}}=14$ et $y={\displaystyle \frac{20,4+24,9+28,5}{3}}={\displaystyle \frac{73,8}{3}}=24,6$, donc $G_2(14;24,6)$.
3. Coefficient directeur de la droite de Mayer :
   $a={\displaystyle \frac{24,6-12}{14-5}}={\displaystyle \frac{12,6}{9}}=1,4$ : environ $1,40$ € par kilomètre.
4. Ordonnée à l’origine de la droite de Mayer :
   $G_1$ est sur la droite, donc $b=12-1,4\times 5=12-7=5$. Droite de Mayer : $y=1,4x+5$ ; les $5$ € correspondent à la prise en charge.
5. Justifier que le point moyen $G$ de la série est sur la droite de Mayer. Ordonnée de $G$ :
   Rédaction attendue. $\bar{x}={\displaystyle \frac{57}{6}}=9,5$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{36+73,8}{6}}={\displaystyle \frac{109,8}{6}}=18,3$. Or $1,4\times 9,5+5=13,3+5=18,3$ : les coordonnées de $G$ vérifient l’équation, donc $G$ est sur la droite de Mayer. C’est d’ailleurs le milieu de $[G_1{G}_2]$ : ${\displaystyle \frac{5+14}{2}}=9,5$ et ${\displaystyle \frac{12+24,6}{2}}=18,3$.

Production annuelle $y$ (en GWh) d’une centrale solaire l’année de rang $x$ (rang $1$ : 2018, …, rang $8$ : 2025).

1. Ordonnée de $G_1$, point moyen des quatre premières années :
   $G_1$ : $x={\displaystyle \frac{1+2+3+4}{4}}=2,5$ et $y={\displaystyle \frac{21,4+23+24,9+26,1}{4}}={\displaystyle \frac{95,4}{4}}=23,85$.
2. Ordonnée de $G_2$, point moyen des quatre dernières années :
   $G_2$ : $x={\displaystyle \frac{5+6+7+8}{4}}=6,5$ et $y={\displaystyle \frac{28,2+29,5+31,6+32,9}{4}}={\displaystyle \frac{122,2}{4}}=30,55$.
3. Coefficient directeur de la droite de Mayer :
   $a={\displaystyle \frac{30,55-23,85}{6,5-2,5}}={\displaystyle \frac{6,7}{4}}=1,675$ : la production augmente d’environ $1,7$ GWh par an.
4. Ordonnée à l’origine de la droite de Mayer :
   $b=23,85-1,675\times 2,5=23,85-4,1875=19,6625$. Droite de Mayer : $y=1,675x+19,6625$.
5. Justifier que le point moyen $G$ de la série est le milieu de $[G_1{G}_2]$ et qu’il appartient à la droite de Mayer. Ordonnée de $G$ :
   Rédaction attendue. $\bar{x}={\displaystyle \frac{36}{8}}=4,5$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{95,4+122,2}{8}}={\displaystyle \frac{217,6}{8}}=27,2$. Les deux groupes ont le même effectif, donc $\bar{x}={\displaystyle \frac{2,5+6,5}{2}}$ et $\bar{y}={\displaystyle \frac{23,85+30,55}{2}}$ : $G(4,5;27,2)$ est le milieu de $[G_1{G}_2]$. Contrôle par l’équation : $1,675\times 4,5+19,6625=7,5375+19,6625=27,2$.

Sur des parcelles ayant reçu entre $10$ et $40$ kg d’engrais par hectare, un agronome a ajusté le rendement $y$ (en quintaux par hectare) à la dose $x$ (en kg/ha) par la droite $y=0,8x+14$.

1. Rendement estimé pour $25$ kg/ha : q/ha
   $0,8\times 25+14=20+14=34$ q/ha. Comme $25$ est entre $10$ et $40$, c’est une interpolation.
2. Dose pour laquelle le rendement estimé vaut $30$ q/ha : kg/ha
   On résout $0,8x+14=30$, soit $0,8x=16$, donc $x={\displaystyle \frac{16}{0,8}}=20$ kg/ha.
3. Rendement estimé pour $60$ kg/ha : q/ha
   $0,8\times 60+14=48+14=62$ q/ha. Mais au-delà d’une certaine dose, l’engrais n’est plus absorbé et peut même nuire à la culture : ce résultat est peu fiable.
4. L’estimation pour $60$ kg/ha est une (interpolation ou extrapolation)
   $60$ est en dehors de la plage observée $[10;40]$ : c’est une extrapolation.

Pour des logements de $20$ à $120$ m², la facture annuelle de chauffage $y$ (en €) est ajustée à la surface $x$ (en m²) par la droite $y=9,5x+240$.

1. Facture estimée pour $80$ m² : €
   $9,5\times 80+240=760+240=1000$ € (interpolation).
2. Surface pour laquelle la facture estimée vaut $1190$ € : m²
   $9,5x+240=1190$ donne $9,5x=950$, donc $x={\displaystyle \frac{950}{9,5}}=100$ m².
3. D’après la droite, écart entre les factures estimées d’un logement de $70$ m² et d’un logement de $60$ m² : €
   Le coefficient directeur $a=9,5$ est la hausse de la facture par m² supplémentaire : pour $10$ m² de plus, $10\times 9,5=95$ €. Contrôle : $905-810=95$.
4. Le nombre $240$ est l’estimation pour $x=0$ : c’est une (interpolation ou extrapolation)
   $0$ est en dehors de $[20;120]$ : c’est une extrapolation, et un logement de $0$ m² n’existe pas. $240$ sert à placer la droite, sans sens concret.

Un éditeur a testé cinq prix $x$ (en €) pour un album dans des librairies comparables et relevé le nombre $y$ d’exemplaires vendus en un mois. Un tableur donne la droite des moindres carrés $y=-49x+724$.

1. Nombre moyen d’exemplaires vendus, ordonnée du point moyen $G$ :
   $\bar{y}={\displaystyle \frac{530+470+440+380+330}{5}}={\displaystyle \frac{2150}{5}}=430$ et $\bar{x}=6$. Contrôle : $-49\times 6+724=-294+724=430$, la droite passe par $G$.
2. Ventes estimées au prix de $6,40$ €, arrondies à l’unité : exemplaires
   $-49\times 6,4+724=-313,6+724=410,4$, soit environ $410$ exemplaires (interpolation).
3. Prix pour lequel la droite estime $500$ ventes, arrondi au centime : €
   $-49x+724=500$ donne $49x=224$, donc $x={\displaystyle \frac{224}{49}}={\displaystyle \frac{32}{7}}\approx 4,571$, soit environ $4,57$ €.
4. Justifier que la droite prévoit des ventes négatives pour un prix de $15$ €, puis expliquer ce que cela révèle. Ventes « prévues » :
   Rédaction attendue. $-49\times 15+724=-735+724=-11$ : un nombre d’exemplaires négatif est impossible. La droite n’a de sens que sur la plage des prix testés, de $4$ à $8$ € ; $15$ € est une extrapolation lointaine, et rien n’indique que la relation entre prix et ventes reste affine si loin des données.

Dans une culture, on mesure le nombre $y$ de bactéries (en milliers par mL) toutes les heures ($x$ en heures). Un tableur donne la droite des moindres carrés $y=2,56x+0,53$.

1. Écart « observé − estimé » pour $x=0$ :
   Estimé : $0,53$. Écart : $2-0,53=1,47$ (point au-dessus de la droite).
2. Écart « observé − estimé » pour $x=3$ :
   Estimé : $2,56\times 3+0,53=8,21$. Écart : $6,8-8,21=-1,41$ (point en dessous).
3. Écart « observé − estimé » pour $x=5$ :
   Estimé : $2,56\times 5+0,53=13,33$. Écart : $15,2-13,33=1,87$ (point au-dessus). Les signes des six écarts sont $+$, $-$, $-$, $-$, $-$, $+$ : le nuage est courbé.
4. Estimation pour $x=8$ avec la droite : milliers par mL
   $2,56\times 8+0,53=20,48+0,53=21,01$.
5. Le nombre de bactéries est multiplié par environ $1,5$ chaque heure ($2\times 1,5=3$, $3\times 1,5=4,5$…). En prolongeant cette évolution à partir de $15,2$, estimation pour $x=8$ : milliers par mL
   Trois heures de plus : $15,2\times 1,5^3=15,2\times 3,375=51,3$ milliers par mL, plus du double de l’estimation affine.
6. Justifier que l’ajustement affine n’est pas adapté ici, bien que le tableur fournisse une droite. Augmentation du nombre de bactéries entre $x=4$ et $x=5$ :
   Rédaction attendue. Une droite suppose que $y$ augmente de la même quantité chaque heure. Or les augmentations successives valent $1$ ; $1,5$ ; $2,3$ ; $3,3$ ; $5,1$ : elles grandissent, l’évolution est multiplicative. Les écarts sont positifs aux extrémités et négatifs au milieu, ce qui confirme que le nuage est courbé. La droite existe au sens du calcul, mais elle décrit mal la tendance et sous-estime fortement les valeurs extrapolées.