Information chiffrée : tableaux croisés, nuage de points et ajustement affine

a) Plein tarif, soir : $300-85=215$. Tarif réduit, après-midi : $210-85=125$. Total tarif réduit : $500-300=200$. Total soir : $500-210=290$. Contrôles : $125+75=200$ et $215+75=290$, le tableau est cohérent.

b) Fréquence marginale : total de la colonne « Soir » divisé par l'effectif total : $\frac{290}{500}=0,58$. 58 % des spectateurs sont venus le soir.

c) La population de référence est celle de l'après-midi (210 spectateurs), dont 125 au tarif réduit : $\frac{125}{210}\approx 0,595$. Environ 59,5 % des spectateurs de l'après-midi paient le tarif réduit.

a) $\bar{x}=\frac{2+3+5+6+9}{5}=\frac{25}{5}=5$ et $\bar{y}=\frac{8+9,5+12+13+15,5}{5}=\frac{58}{5}=11,6$. $G(5;11,6)$.

b) Pour $x=5$ : $1,05\times 5+6,35=5,25+6,35=11,6=\bar{y}$. Les coordonnées de $G$ vérifient l'équation : $D$ passe par $G$.

c) Pour $x=4$ : $y=1,05\times 4+6,35=4,2+6,35=10,55$. Note estimée : environ 10,6 sur 20. Comme $4\in [2;9]$, plage des durées observées, il s'agit d'une interpolation.

a) $y=0,8\times 25+14=20+14=34$. Rendement estimé : 34 q/ha (interpolation, car $25\in [10;40]$).

b) On résout $0,8x+14=30$, soit $0,8x=16$, donc $x=\frac{16}{0,8}=20$. Dose : 20 kg/ha.

c) $y=0,8\times 60+14=48+14=62$ q/ha. Mais 60 est en dehors de $[10;40]$ : c'est une extrapolation. Rien ne garantit que le rendement continue d'augmenter au même rythme : au-delà d'une certaine dose, l'engrais n'est plus absorbé et peut même nuire à la culture. Estimation peu fiable.

d) 14 est le rendement estimé sans engrais ($x=0$). Or 0 n'appartient pas à $[10;40]$ : c'est encore une extrapolation, et la droite n'a pas été établie pour des parcelles non fertilisées. On ne peut pas s'y fier.

a) $\frac{132}{640}=0,20625$. Environ 20,6 % des lycéens viennent à vélo.

b) Parmi les 240 lycéens proches : $\frac{96}{240}=0,4$, soit 40 %. Parmi les 400 lycéens éloignés : $\frac{36}{400}=0,09$, soit 9 %. Comme $\frac{0,4}{0,09}\approx 4,4$, le vélo est environ 4,4 fois plus fréquent chez les lycéens qui habitent à moins de 3 km.

c) La population de référence est celle des 132 cyclistes : $\frac{96}{132}\approx 0,727$. Environ 72,7 % des cyclistes habitent à moins de 3 km.

d) 40 % est la fréquence des cyclistes parmi les lycéens habitant à moins de 3 km (dénominateur 240). Le journal a inversé la population de référence : la fréquence des lycéens proches parmi les cyclistes se calcule sur 132 élèves et vaut environ 72,7 %. Il fallait écrire « 40 % des lycéens habitant à moins de 3 km viennent à vélo ».

a) $G_1$ : $x=\frac{1+2+3+4}{4}=2,5$ et $y=\frac{21,4+23,0+24,9+26,1}{4}=\frac{95,4}{4}=23,85$. $G_2$ : $x=\frac{5+6+7+8}{4}=6,5$ et $y=\frac{28,2+29,5+31,6+32,9}{4}=\frac{122,2}{4}=30,55$. $G_1(2,5;23,85)$ et $G_2(6,5;30,55)$.

b) Coefficient directeur : $a=\frac{30,55-23,85}{6,5-2,5}=\frac{6,7}{4}=1,675$. $G_1$ est sur la droite : $b=23,85-1,675\times 2,5=23,85-4,1875=19,6625$. Donc $(G_1{G}_2):y=1,675x+19,6625$.

c) $\bar{x}=\frac{36}{8}=4,5$ et $\bar{y}=\frac{95,4+122,2}{8}=\frac{217,6}{8}=27,2$. Or $1,675\times 4,5+19,6625=7,5375+19,6625=27,2$. $G(4,5;27,2)$ appartient à la droite de Mayer.

d) 2027 correspond au rang 10 : $y=1,675\times 10+19,6625=36,4125$. Production estimée : environ 36,4 GWh. Comme $10>8$, c'est une extrapolation : elle suppose que la centrale continue de s'agrandir au même rythme.

a) La calculatrice donne $a=-49$ et $b=724$. Vérification : $\bar{x}=6$, $\bar{y}=\frac{2150}{5}=430$ ; écarts $x_i-\bar{x}$ : $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$ ; écarts $y_i-\bar{y}$ : $100$, $40$, $10$, $-50$, $-100$. $a=\frac{-200-40+0-50-200}{4+1+0+1+4}=\frac{-490}{10}=-49$ et $b=430-(-49)\times 6=724$. $y=-49x+724$.

b) $y=-49\times 6,5+724=-318,5+724=405,5$. Environ 406 exemplaires (interpolation : $6,5\in [4;8]$).

c) $-49x+724=500$ donne $49x=224$, soit $x=\frac{224}{49}\approx 4,571$. Prix estimé : environ 4,57 €.

d) $y=-49\times 15+724=-735+724=-11<0$. Un nombre de ventes ne peut pas être négatif : la droite n'a de sens que sur la plage des prix testés ; 15 € est une extrapolation lointaine, et la relation entre prix et ventes n'a aucune raison de rester affine si loin des données.

a) Ville A : $\frac{1240}{31000}=0,04$, soit 4 %. Ville B : $\frac{690}{11500}=0,06$, soit 6 %.

b) Le journal compare des effectifs alors que les deux villes n'ont pas le même nombre de cyclistes. Rapporté au nombre de cyclistes, le risque est plus élevé dans la ville B (6 % contre 4 %). C'est la ville B qui est la plus dangereuse.

c) Rapport des hauteurs : $\frac{1240}{690}\approx 1,80$. Le dessin est agrandi dans les deux dimensions, donc le rapport des aires est le carré : ${\left(\frac{1240}{690}\right)}^2\approx 3,23$. L'œil perçoit un vélo environ 3,2 fois plus gros, ce qui amplifie un écart d'effectifs déjà trompeur.

d) De 6 % à 5 % : $5-6=-1$, baisse de 1 point. Taux d'évolution : $\frac{5-6}{6}\approx -0,167$, baisse d'environ 16,7 %.

a) Cadres : $0,36\times 1500=540$ ; non-cadres : $1500-540=960$. Cadres formés : $0,55\times 540=297$ ; non-cadres formés : $0,15\times 960=144$. On complète par différence.

b) $\frac{441}{1500}=0,294$. 29,4 % des salariés ont été formés.

c) Population de référence : les 441 formés. $\frac{297}{441}\approx 0,6735$. Environ 67,3 % des salariés formés sont des cadres, alors que les cadres ne représentent que 36 % de l'entreprise.

d) La moyenne simple $\frac{55+15}{2}=35$ donne le même poids aux deux groupes, alors que les non-cadres sont bien plus nombreux. Il faut pondérer par les parts des groupes : $0,36\times 0,55+0,64\times 0,15=0,198+0,096=0,294$. On retrouve 29,4 %, et non 35 %.

a) $\bar{x}=\frac{10}{4}=2,5$ et $\bar{y}=\frac{25}{4}=6,25$ : $G(2,5;6,25)$. $D_1$ : $2,1\times 2,5+1=6,25$, donc $D_1$ passe par $G$. $D_2$ : $2\times 2,5+1,5=6,5\ne 6,25$, donc $D_2$ ne passe pas par $G$.

b) $D_1$ : estimations $3,1$ ; $5,2$ ; $7,3$ ; $9,4$ ; écarts $-0,1$ ; $-0,2$ ; $0,7$ ; $-0,4$ ; $S_1=0,01+0,04+0,49+0,16=0,70$. $D_2$ : estimations $3,5$ ; $5,5$ ; $7,5$ ; $9,5$ ; écarts $-0,5$ ; $-0,5$ ; $0,5$ ; $-0,5$ ; $S_2=4\times 0,25=1$. $S_1<S_2$ : $D_1$ ajuste mieux le nuage.

c) Pour $D_1$ : $-0,1-0,2+0,7-0,4=0$. Mais $D_3$ passe aussi par $G$ ($3\times 2,5-1,25=6,25$) ; ses estimations sont $1,75$ ; $4,75$ ; $7,75$ ; $10,75$ et ses écarts $1,25$ ; $0,25$ ; $0,25$ ; $-1,75$, de somme nulle elle aussi, alors que $S_3=1,5625+0,0625+0,0625+3,0625=4,75$. Toute droite passant par $G$ a une somme d'écarts nulle : les écarts positifs et négatifs se compensent. C'est pourquoi on élève les écarts au carré.

d) La droite des moindres carrés est, par définition, celle qui rend $S$ minimale parmi toutes les droites. $D_1$ étant cette droite, aucune autre droite, en particulier $D_2$, ne peut avoir une somme plus petite : $S_2⩾S_1$ était inévitable.

a) Estimations $2,56x+0,53$ : $0,53$ ; $3,09$ ; $5,65$ ; $8,21$ ; $10,77$ ; $13,33$. Écarts observé − estimé : $1,47$ ; $-0,09$ ; $-1,15$ ; $-1,41$ ; $-0,67$ ; $1,87$. Signes : + − − − − + : les points sont au-dessus de la droite aux extrémités et en dessous au milieu. Le nuage est courbé.

b) $\frac{3}{2}=1,5$ ; $\frac{4,5}{3}=1,5$ ; $\frac{6,8}{4,5}\approx 1,51$ ; $\frac{10,1}{6,8}\approx 1,49$ ; $\frac{15,2}{10,1}\approx 1,50$. Le nombre de bactéries est multiplié par environ 1,5 chaque heure : l'évolution est multiplicative, pas additive.

c) Avec la droite : $2,56\times 8+0,53=21,01$, soit environ 21 000 bactéries par mL. En multipliant par 1,5 pendant trois heures de plus : $15,2\times 1,5^3=15,2\times 3,375=51,3$, soit environ 51 300 bactéries par mL, plus du double de l'estimation affine.

d) Une droite suppose que $y$ augmente de la même quantité chaque heure ; ici, les augmentations successives (1 ; 1,5 ; 2,3 ; 3,3 ; 5,1) grandissent. La répartition des signes des écarts le confirme. La droite existe toujours au sens du calcul, mais elle décrit mal la tendance et sous-estime fortement les valeurs extrapolées.