Devoir surveillé : nombres décimaux et opérations

1. a)Dans $52,816$ : $8$ est le chiffre des dixièmes, $1$ celui des centièmes et $6$ celui des millièmes. Le chiffre des centièmes est donc $1$, et le chiffre $6$ vaut $6$ millièmes, soit $0,006$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$37,405={\displaystyle \frac{37405}{1000}}$ (trois chiffres après la virgule, donc des millièmes). Décomposition : $37,405=37+{\displaystyle \frac{4}{10}}+{\displaystyle \frac{0}{100}}+{\displaystyle \frac{5}{1000}}$, c'est-à-dire $37+{\displaystyle \frac{4}{10}}+{\displaystyle \frac{5}{1000}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)On supprime le zéro placé tout à gauche de la partie entière et les deux zéros placés tout à droite de la partie décimale : $0400,0300=400,03$. Les zéros de $400$ et le zéro des dixièmes sont utiles : les enlever changerait le nombre. (1 pt) (1)
4. d)Multiplier par $100$ rend chaque chiffre $100$ fois plus grand : la virgule se déplace de deux rangs vers la droite. $0,4058\times 100=40,58$. Le chiffre des dixièmes du résultat est $5$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Piège — un zéro n'est inutile que s'il est tout à gauche de la partie entière ou tout à droite de la partie décimale ; dans $400,03$, aucun zéro ne peut être retiré.

1. a)Les parties entières sont égales ($12$). On compare les dixièmes : $0$ dans $12,09$ et $1$ dans $12,1$. Comme $0<1$, on a $12,09<12,1$. (On peut aussi écrire $12,1=12,10$ et comparer $9$ centièmes et $10$ centièmes.) (1 pt) (1)
2. b)On écrit tous les nombres avec trois décimales : $4,300$ ; $4,030$ ; $4,330$ ; $4,303$ ; $4,033$. Ordre décroissant : $4,33>4,303>4,3>4,033>4,03$. (1 pt ; 0,5 pt si une seule inversion) (1)
3. c)$18,4<18,47<18,5$ : on prend les deux nombres à une décimale qui se suivent et entourent $18,47$. (1 pt) (1)
4. d)$3,60+2,85=6,45$ (on aligne les virgules). Encadrement : $6<6,45<7$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Méthode — pour comparer des décimaux, on compare d'abord les parties entières, puis les chiffres rang par rang en partant des dixièmes ; ajouter des zéros à droite pour avoir le même nombre de décimales rend la comparaison plus sûre.

1. a)On aligne les virgules et on complète : $27,60+8,47=36,07$ (retenues aux centièmes, aux dixièmes et aux unités). (1 pt) (1)
2. b)On écrit $63,20-17,58$ en alignant les virgules : $63,20-17,58=45,62$. Vérification : $45,62+17,58=63,2$. (1 pt) (1)
3. c)On calcule $43\times 26=1118$ sans s'occuper des virgules. Il y a $1+1=2$ chiffres après la virgule dans les facteurs, donc $4,3\times 2,6=11,18$. Ordre de grandeur : $4\times 3=12$, cohérent. (1 pt) (1)
4. d)$31÷7$ : $4$ fois, reste $3$ ; on place la virgule au quotient en abaissant le $5$ des dixièmes : $35÷7=5$, reste $0$. Donc $31,5÷7=4,5$. Vérification : $4,5\times 7=31,5$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — on aligne les virgules pour additionner et soustraire, mais pas pour multiplier : dans une multiplication, on calcule comme avec des entiers, puis on place la virgule en comptant le total des chiffres après la virgule des deux facteurs.

1. a)$0,37+0,63=1$ (complément à $100$ centièmes : $37+63=100$) ; $6,4+3,6=10$ ($6,4+0,6=7$, puis $7+3=10$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)$12,7+1,9=12,7+2-0,1=14,6$ ; $8,3-0,9=8,3-1+0,1=7,4$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$2,6\times 1000=2600$ (la virgule avance de trois rangs, on complète par des zéros) ; $47\times 0,01=47÷100=0,47$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Multiplier par $5$, c'est multiplier par $10$ puis diviser par $2$ : $3,2\times 10=32$, $32÷2=16$. Multiplier par $0,5$, c'est prendre la moitié : $2,4\times 0,5=1,2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — ajouter $1,9$, c'est ajouter $2$ puis retirer $0,1$ ; retirer $0,9$, c'est retirer $1$ puis rajouter $0,1$ : on calcule avec des nombres ronds, puis on corrige.

1. a)$3\times 2,35=7,05$. Les biscuits coûtent $7,05$ €. (1 pt) (1)
2. b)$7,05+1,90=8,95$. Léa dépense $8,95$ € au total. Ordre de grandeur : $7+2=9$, cohérent. (1 pt) (1)
3. c)$20-8,95=11,05$. On lui rend $11,05$ €. Vérification : $8,95+11,05=20$. (1 pt) (1)
4. d)$1,5÷6=0,25$ (car $6\times 0,25=1,5$). Chaque enfant reçoit $0,25$ L de jus. (1 pt) (1)

Méthode — avant de rendre un résultat d'argent, vérifie-le par un ordre de grandeur et, pour un rendu de monnaie, par une addition : prix payé + monnaie rendue doit redonner le billet.

1. a)Il n'y a aucun dixième : on écrit $0$ au rang des dixièmes. $5+{\displaystyle \frac{3}{100}}+{\displaystyle \frac{8}{1000}}=5,038$. (1 pt ; 0 si l'élève écrit $5,38$) (1)
2. b)$1284$ centièmes $={\displaystyle \frac{1284}{100}}=12,84$ : le dernier chiffre $4$ doit être au rang des centièmes. (1 pt) (1)
3. c)Diviser par $100$ rend chaque chiffre $100$ fois plus petit : $4,7÷100=0,047$. Le chiffre $7$ est au rang des millièmes : il vaut $7$ millièmes, soit $0,007$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)L'élève a « ajouté un zéro », ce qui ne change pas un nombre décimal : $0,50=0,5$. Multiplier par $10$ rend chaque chiffre $10$ fois plus grand : les $5$ dixièmes deviennent $5$ unités. Donc $0,5\times 10=5$. (0,5 pt explication + 0,5 pt résultat) (1)

Piège — « multiplier par $10$, c'est ajouter un zéro » ne marche que pour les entiers ; avec un décimal, ce sont les chiffres qui changent de rang (ou la virgule qui se déplace d'un rang vers la droite).

1. a)L'écart entre $2$ et $2,1$ est $2,1-2=0,1$, partagé en $10$ intervalles : $0,1÷10=0,01$. Le pas est d'un centième. (1 pt) (1)
2. b)$2+7\times 0,01=2+0,07=2,07$. A a pour abscisse $2,07$. (1 pt) (1)
3. c)$2,1-0,04=2,10-0,04=2,06$. Or $2,06=2+6\times 0,01$ : B est à la $6^{\text{e}}$ graduation après $2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Les graduations sont de centième en centième : $2,04$ ; $2,05$… Comme $2,04<2,045<2,05$, le nombre $2,045$ n'est sur aucune graduation : il se place entre la $4^{\text{e}}$ et la $5^{\text{e}}$ graduation après $2$, exactement au milieu car $2,045$ est à $0,005$ de chacune. (1 pt) (1)

Méthode — pour trouver le pas d'une graduation, on divise l'écart entre deux nombres connus par le nombre d'intervalles (et non de traits) qui les séparent.

1. a)L'élève a mal aligné les virgules : il a ajouté $4$ centièmes au lieu de $4$ dixièmes (il a calculé $15,04+3,25$). Bon calcul : $15,40+3,25=18,65$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
2. b)L'élève a retiré $2$ mais a recopié les $0,37$ au lieu de les soustraire. On écrit $9,00-2,37=6,63$. Vérification : $6,63+2,37=9$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$25\times 4=100$ mais l'élève a mal placé la virgule : les facteurs ont $1+1=2$ chiffres après la virgule, donc $2,5\times 0,4=1,00=1$. Contrôle : $0,4$ est plus petit que $1$, donc le produit est plus petit que $2,5$ ; $10$ est impossible. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)$7,2$ est plus petit que $8$, donc le quotient est plus petit que $1$ : $9$ est impossible. L'élève a oublié la virgule : $72÷8=9$ mais $7,2÷8=0,9$. Vérification : $0,9\times 8=7,2$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — un ordre de grandeur détecte la plupart des virgules mal placées : si l'on partage un nombre plus petit que le diviseur, le quotient est plus petit que $1$ ; si l'on multiplie par un nombre plus petit que $1$, le résultat diminue.

1. a)On regroupe les nombres dont la somme est ronde : $(2,7+7,3)+(5,6+0,4)=10+6=16$. (1 pt : 0,5 pour la méthode, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)$\times 0,5$, c'est prendre la moitié : $13,6\times 0,5=6,8$. $÷4$, c'est prendre deux fois la moitié : $9,2÷2=4,6$, puis $4,6÷2=2,3$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)$48,5\times 0,01=48,5÷100=0,485$, puis $0,485+0,515=1$ (car $485+515=1000$ millièmes). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Astuce — dans une longue somme, on peut changer l'ordre des termes pour former des paires qui donnent un nombre entier : c'est plus rapide et on fait moins d'erreurs.

1. a)$215\times 24=5160$, et les facteurs ont $2+1=3$ chiffres après la virgule : $2,15\times 2,4=5,160=5,16$. Les pommes coûtent $5,16$ €. Ordre de grandeur : $2\times 2,5=5$. (1 pt opération posée + 0,5 pt résultat) (1,25)
2. b)$8,4\times 0,75$ : $84\times 75=6300$, avec $1+2=3$ décimales : $6,300=6,3$. Les cerises coûtent $6,30$ €. (1 pt) (1,25)
3. c)Total : $5,16+6,30=11,46$ €. Monnaie : $20-11,46=8,54$. La marchande rend $8,54$ €. (0,5 pt total + 0,5 pt monnaie) (1,25)
4. d)Prix d'un kilogramme dans le filet : $5,85÷3=1,95$ € (car $3\times 1,95=5,85$). Comme $1,95<2,15$, le kilogramme est moins cher dans le filet : le filet est plus avantageux (il fait gagner $0,20$ € par kilogramme). (1 pt calcul + 0,5 pt conclusion justifiée) (1,25)

Erreur fréquente — dans un prix au kilogramme, la masse peut être inférieure à $1$ kg : $0,75$ kg de cerises coûte moins que $8,40$ €, ce qui permet de contrôler son résultat.

1. a)Un tel nombre s'écrit $6,\dots$ avec un chiffre des dixièmes égal à $3$ ou à $4$ (car il est entre $6,3$ et $6,5$, et $6,50$ est exclu). La somme des chiffres vaut $15$, donc dixièmes + centièmes $=15-6=9$. Si les dixièmes valent $3$, les centièmes valent $6$ : $6,36$. Si les dixièmes valent $4$, les centièmes valent $5$ : $6,45$. Il y a exactement deux solutions : $6,36$ et $6,45$ (on a examiné les deux seuls chiffres possibles des dixièmes). (1 pt pour les deux nombres + 0,5 pt pour la justification) (1,33333)
2. b)Il en existe une infinité : entre deux décimaux on peut toujours en intercaler un autre, en ajoutant des chiffres après la virgule. Par exemple $6,4$ ; $6,41$ ; $6,411$ ; $6,4111$… sont tous entre $6,3$ et $6,5$, et l'on peut continuer sans fin. (1 pt ; 0 sans justification) (1,33333)
3. c)Le chiffre avant la virgule peut être $0$, $3$, $5$ ou $8$. Avec $5$, le nombre commence par $5,$ et dépasse $5$ d'au moins $5,038-5=0,038$ (plus petit choix : $0$, puis $3$, puis $8$). Avec $3$, le nombre vaut au plus $3,850$, à plus de $1$ de $5$ ; avec $0$, il est inférieur à $1$ ; avec $8$, il vaut au moins $8,035$, à plus de $3$ de $5$. Le nombre le plus proche de $5$ est donc $5,038$. (1 pt pour le nombre + 0,5 pt pour la comparaison des cas) (1,33333)

Méthode — dans une question de recherche, on organise les cas (ici selon le chiffre des dixièmes, ou selon le chiffre des unités) : on est alors sûr de n'oublier aucune solution.

1. a)Faux. Multiplier par $0,1$, c'est diviser par $10$ : par exemple $30\times 0,1=3$, et $3<30$. Pour tout nombre non nul, le résultat est plus petit. (1 pt) (1)
2. b)Vrai. $1,9<2$, donc $3,7\times 1,9<3,7\times 2=7,4$, et $7,4<8$. (Calcul exact : $3,7\times 1,9=7,03$.) (1 pt ; 0,5 si vrai avec le seul calcul exact sans lien avec $8$) (1)
3. c)Faux. $2,95$ ; $3,05$ ; $2,99$ ou $3,001$ sont aussi des décimaux compris entre $2,9$ et $3,1$ ; il y en a même une infinité. (1 pt) (1)
4. d)Faux. $2\times 3=6$, mais les facteurs ont $1+1=2$ chiffres après la virgule : $0,2\times 0,3=0,06$. On peut aussi dire : $0,3$ est plus petit que $1$, donc le produit est plus petit que $0,2$ ; $0,6$ est impossible. (1 pt) (1)

Piège — multiplier ne fait pas toujours augmenter : par un nombre plus petit que $1$ (comme $0,1$ ou $0,3$), le produit est plus petit que le nombre de départ.

1. a)Le nombre cherché vaut $7,5+4,68=12,18$. Vérification : $12,18-4,68=7,5$. (1 pt) (1)
2. b)$0,036$ est $100$ fois plus petit que $3,6$ (la virgule a reculé de deux rangs) : on a multiplié par $0,01$. $3,6\times 0,01=0,036$. (1 pt) (1)
3. c)Le nombre cherché vaut $0,45\times 6=2,7$. Vérification : $2,7÷6=0,45$. (1 pt) (1)
4. d)$2,5\times 4=10$ ; pour obtenir $1$, résultat $10$ fois plus petit, on multiplie par $4÷10=0,4$. Vérification : $2,5\times 0,4=1$ (car $25\times 4=100$, avec deux décimales). (1 pt) (1)

Astuce — pour retrouver un nombre manquant, on utilise l'opération qui « défait » : une soustraction se défait par une addition, une division par une multiplication.

1. a)Écart entre A et B : $4,9-4,7=0,2$, partagé en $8$ intervalles : $0,2÷8=0,025$. Le pas est $0,025$. Vérification : $8\times 0,025=0,2$. (1 pt) (1)
2. b)$3\times 0,025=0,075$, puis $4,7+0,075=4,775$. C a pour abscisse $4,775$. (1 pt) (1)
3. c)$4,8-4,7=0,1$, et $0,1=4\times 0,025$. Le nombre $4,8$ est donc sur la $4^{\text{e}}$ graduation après A (à mi-chemin entre A et B). (1 pt) (1)

Erreur fréquente — un pas n'est pas forcément $0,1$ ou $0,01$ : il faut le calculer à partir des deux nombres connus et du nombre d'intervalles, même s'il a trois chiffres après la virgule.

1. a)Car par élève : $648÷24=27$ € (car $24\times 27=648$). Coût par élève : $27+4,50+2,85=34,35$ €. Les $3$ adultes ne paient rien : on ne les compte pas. (1 pt pour le partage du car + 1 pt pour le total) (1,66667)
2. b)La moitié du car par élève : $27\times 0,5=13,50$ €. Chaque famille paie $34,35-13,50=20,85$ €. (On peut aussi calculer $13,50+4,50+2,85=20,85$ €.) (1,5 pt) (1,66667)
3. c)Somme due par les familles : $24\times 20,85=480+20,40=500,40$ €. Comme $500<500,40$, ce n'est pas tout à fait assez : il manque $500,40-500=0,40$ €. (1 pt calcul + 0,5 pt conclusion) (1,66667)

Piège — un résultat très proche d'un nombre rond n'est pas égal à ce nombre : $500,40$ € n'est pas $500$ €, il faut calculer jusqu'au centime avant de conclure.